Resumen de L´ogica Aristot´elica Calixto Badesa Departamento de L´ogica, Historia y Filosof´ıa de la Ciencia 16 de abril de 2010

1.

El Organon

Los tratados de L´ ogica de Arist´ oteles se agrupan en una colecci´on que se conoce con el nombre de Organon. Listadas en el orden sistem´atico usual, las obras que componen el Organon son las siguientes: Categor´ıas (1), De Interpretatione (4), Primeros anal´ıticos (5), Segundos anal´ıticos (6), T´ opicos (2) y Refutaciones sof´ısticas (3). Todas las obras de l´ ogica fueron escritas en el per´ıodo del Liceo (335-322). Es problem´ atico determinar el orden en que Arist´ oteles las escribi´o, porque ´el mismo las revisaba constantemente y a˜ nad´ıa referencias a obras posteriores. El orden cronol´ogico aceptado es el que indican los n´ umeros que figuran entre par´entesis. (Una parte de los T´ opicos parece escrita despu´es de descubrir los silogismos, pero antes de escribir los Anal´ıticos.) Entre los escritos de inter´es l´ ogico puede mencionarse tambi´en el libro IV de la Metaf´ısica (libro Γ), donde Arist´ oteles habla de la noci´ on de verdad y discute los principios del tercio excluso y de no contradicci´ on. Las Categor´ıas es un libro en la frontera entre la l´ogica y la metaf´ısica que Arist´oteles dedica al estudio de la predicaci´ on. En De Interpretatione Arist´oteles estudia los enunciados (el t´ıtulo es poco afortunado, pero no es de Arist´ oteles). Los Primeros Anal´ıticos est´an dedicados fundamentalmente al estudio de los silogismos (tanto los categ´oricos como los modales y los hipot´eticos). Contienen, por tanto, lo que podemos consideran como la “l´ogica formal” de Arist´oteles. Los u ´ltimos 5 cap´ıtulos del segundo libro los dedica a estudiar los argumentos por inducci´on. Los Segundos Anal´ıticos es una obra de filosof´ıa de la ciencia. Contiene la teor´ıa de la definici´on y la concepci´on aristot´elica de la ciencia. Los T´ opicos son un manual de dial´ectica. Se trata de un conjunto de reglas y consejos u ´tiles para la participaci´ on en los debates p´ ublicos. Seg´ un Arist´oteles, los debates dial´ecticos ayudan discernir entre lo verdadero y lo falso. Aunque tradicionalmente se las considera por separado, las Refutaciones Sof´ısticas son un ap´endice de los T´ opicos que trata de los diversos tipos de falacias. De hecho, el apartado final de conclusiones abarca tambi´en los T´ opicos. Arist´oteles examina gran cantidad de argumentos falaces explicando en cada caso donde est´a la incorrecci´on.

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Tipos de enunciados

En l´ogica aristot´elica se llama t´ermino a la expresi´on que puede desempe˜ nar la funci´on de sujeto o de predicado en una oraci´ on atributiva de la forma sujeto + verbo ser + predicado. T´erminos singulares son aquellos que pueden desempe˜ nar la funci´on de sujeto, pero no de predicado. Los nombres propios y, en general, las expresiones que nombran un objeto individual son t´erminos singulares. Los t´erminos generales son aquellos que pueden desempe˜ nar tanto la funci´ on sujeto como la de predicado. Los nombres comunes, los adjetivos y, en general, las expresiones que usamos para decir que uno o varios objetos tienen cierta propiedad son t´erminos generales. Supongamos que a es un t´ermino singular, y S y P son t´erminos generales. Seg´ un Arist´oteles, los enunciados atributivos b´ asicos son de alguno de los siguientes tipos: Enunciados singulares : a es P (afirmaci´on), a no es P (negaci´on). Enunciados indefinidos : S es P (afirmaci´on), S no es P (negaci´on). Universal afirmativo (A) : Todo S es P. Universal negativo (E) : Ning´ un S es P. Particular afirmativo (I) : Alg´ un S es P. Particular negativo (O) : No todo S es P (Alg´ un S no es P ). (Las dos formas de los enunciados particulares negativos se consideran l´ogicamente equivalentes y, por tanto, se usan indistintamente en la l´ogica tradicional.) En los Primeros Anal´ıticos, Arist´ oteles prefiere formular los enunciados atributivos mencionando en primer lugar el predicado. Para ello se vale de expresiones tales como “P se predica de”, “P se dice de” o “P pertenece a”. As´ı, los enunciados categ´oricos cuantificados pueden reformularse, por ejemplo, de la siguiente forma: Universal afirmativo : P se predica de todo S. Universal negativo : P no se predica de ning´ un S. Particular afirmativo : P se predica de alg´ un S. Particular negativo : P no se predica de todo S. En la Edad Media a los enunciados atributivos b´asicos se les llam´o categ´ oricos. En la l´ ogica aristot´elica, todos los enunciados categ´oricos (incluidos los negativos y los cuantificados) son considerados simples, es decir, enunciados que no son analizables en t´erminos de otros de estructura m´as simple. Seg´ un Arist´ oteles, los enunciados simples son los que afirman o niegan una u ´nica cosa de una u ´nica cosa. Las vocales que figuran entre par´entesis se introdujeron en la Edad Media y se emplean para referirse abreviadamente a los distintos tipos de enunciados. Para designar a los afirmativos se usan las dos primeras vocales de “affirmo” y para designar a los negativos las dos vocales de “nego”. As´ı, un enunciado de tipo A es un universal afirmativo, uno tipo I es un particular afirmativo, uno de tipo E es un universal negativo y uno tipo O es un particular negativo, Como vamos a ver, la silog´ıstica aristot´elica se circunscribe a los enunciados categ´oricos cuantificados. Arist´ oteles los ignora los enunciados singulares en su exposici´on. Por lo que se refiere a los enunciados indefinidos, Arist´ oteles considera que, a efectos de la silog´ıstica, equivalen a los

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particulares correspondientes (“S es P ” equivale a “alg´ un S es P ”, y “S no es P ” a “alg´ un S no es P ”) y, por tanto, no es necesario mencionarlos expl´ıcitamente.

3.

Leyes b´ asicas de la l´ ogica aristot´ elica

En lo sucesivo simbolizar´e los cuatro tipos b´asicos de enunciados cuantificados con tres letras: la primera indicar´ a el tipo de enunciado, la segunda el sujeto y la tercera el predicado. La primera la escribiremos en may´ usculas y las otras dos con min´ usculas. As´ı, los cuatro enunciados categ´ oricos cuantificados toman la siguiente forma: Asp (todo S es P ), Isp (alg´ un S es P ), Esp (ning´ un S es P ) y Osp (no todo S es P ). Formuladas con ayuda de esta notaci´on, las leyes b´asicas de la l´ogica aristot´elica son las siguientes: 1. Oposici´ on a) Asp es verdadero si y s´ olo si Osp es falso. (Asp y Osp son contradictorios.) b) Esp es verdadero si y s´ olo si Isp es falso. (Esp e Isp son contradictorios) c) Asp y Esp no pueden ser ambos verdaderos, pero s´ı ambos falsos. (Asp y Esp son contrarios.) d) Isp y Osp no pueden ser ambos falsos, pero s´ı ambos verdaderos. (Isp y Osp son subcontrarios, seg´ un la terminolog´ıa medieval) 2. Conversi´ on a) Isp es l´ ogicamente equivalente a Ips. b) Esp es l´ ogicamente equivalente a Eps. c) Asp implica Ips. d) Esp implica Ops. En la Edad Media a las dos primeras leyes de conversi´on se las llamo “de conversi´on simple” y las dos u ´ltimas “de conversi´ on per accidens”. Arist´oteles no menciona (2d), pero es una consecuencia de las restantes y, de hecho, la usa en alguna ocasi´on. En l´ogica aristot´elica, los enunciados universales implican a los particulares correspondientes. Este hecho es el que expresan las dos leyes siguientes que son consecuencia inmediata de las leyes de conversi´on: 1. Asp implica Isp 2. Esp implica Osp. Los l´ogicos posteriores a Arist´ oteles llamaron a los enunciados particulares subalternos de los universales correspondientes; esto es, Isp es el subalterno de Asp y Osp el subalterno de Esp. Por este motivo me referir´e en lo sucesivo a las dos leyes anteriores con el nombre de leyes de subalternaci´ on.

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Con posterioridad a Arist´ oteles las principales relaciones entre los enunciados categ´oricos se representaban mediante un diagrama que se llam´o cuadrado de la oposici´ on:1 Contrarios

A

E

@ S @ u b a l t e r n o s

@

Contradictorios

@ @

@ @ ?

?

I

4.

S u b a l t e r n o s

@

Subcontrarios

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Silog´ıstica

Noci´ on aristot´ elica de silogismo Definici´on de silogismo: Un silogismo (συλλoγισµ` oς) es un logos en el cual, supuestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas supuestas se sigue necesariamente de que las cosas supuestas son tales. Por “de que las cosas supuestas son tales” entiendo que es a causa de ellas que la conclusi´ on se sigue; y por esto entiendo que no hay necesidad de ning´ un termino adicional para justificar la conclusi´on. (Pr. An. 24b19) De acuerdo con esta definici´ on, un silogismo es un argumento correcto, aunque no todo argumento correcto es un silogismo. Por ejemplo, un argumento que tuviera como conclusi´on una de las premisas ser´ıa l´ ogicamente correcto, pero no ser´ıa un silogismo de acuerdo con esta definici´on. Arist´oteles distingue entre silogismo y demostraci´on. Una demostraci´on es un silogismo (es decir, un argumento correcto) con premisas verdaderas. As´ı, toda demostraci´on es un silogismo, pero no todo silogismo es una demostraci´ on. En la exposici´ on sistem´ atica de la silog´ıstica, Arist´oteles usa otra noci´on de silogismo que es m´ as restringida que la introducida en la definici´on. En sentido t´ecnico (el que tiene en la silog´ıstica), un silogismo es un argumento correcto con s´olo dos premisas categ´oricas cuantificadas (universales o 1 El siguiente diagrama aparece en un manuscrito del s. IX del comentario de Apuleyo (125-180 aprox) al De Interpretatione de Arist´ oteles. Posiblemente sea la representacion m´ as antigua que se conoce del cuadrado de la oposici´ on..

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particulares) y tres t´erminos distintos distribuidos de modo que uno figura en las dos premisas pero no en la conclusi´ on, y los dos restantes aparecen uno en cada premisa y tambi´en en la conclusi´ on. Arist´oteles usa la palabra silogismo tanto en este sentido t´ecnico, como en el sentido que tiene en la definici´on, y s´ olo por el contexto se puede saber en qu´e sentido la est´a utilizando. A menos que diga lo contrario, en lo sucesivo usar´e el t´ermino silogismo en sentido t´ecnico.

Figuras Los tres t´erminos que aparecen un silogismos reciben los nombres de mayor, menor y medio. El sujeto de la conclusi´ on es el t´ermino menor ; el t´ermino com´ un a las dos premisas es el t´ermino medio; y el predicado de la conclusi´ on el termino mayor. Esta terminolog´ıa fue introducida por Arist´oteles, pero no defini´ o los t´erminos de esta manera. Las definiciones anteriores se deben a Juan Fil´opono (s. VI). La premisa que contiene el t´ermino mayor es la premisa mayor y la que contiene el t´ermino menor es la premisa menor. Se llama figura a cada una de las posibles disposiciones en que pueden estar los tres t´erminos de un silogismo. Las figuras quedan determinadas por la posici´on del t´ermino medio. Hay cuatro figuras posibles (aunque Arist´ oteles s´ olo reconoci´o las tres primeras): 1. Primera figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en la premisa mayor y la de predicado en la menor. 2. Segunda figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de predicado en las dos premisas. 3. Tercera figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en las dos premisas. 4. Cuarta figura: El termino medio desempe˜ na la funci´on de sujeto en la premisa menor y la de predicado en la mayor. Si representamos mediante “X − Y ” la disposici´on de los t´erminos en un enunciado categ´ orico cuyo sujeto es X y cuyo predicado es Y , las cuatro figuras pueden esquematizarse de la siguiente manera: 1a Figura

2a Figura

3a Figura

4a Figura

M −P S−M

P −M S−M

M −P M −S

P −M M −S

S−P

S−P

S−P

S−P

Se cree que Arist´ oteles tambi´en representaba esquem´aticamente las tres figuras que reconoci´ o, pero se desconoce el modo en que las representaba. Dos silogismos de una misma figura pueden diferir en la forma concreta de sus premisas y su conclusi´on. As´ı, por ejemplo, Apm Asm

Epm Asm

Asp

Esp

son esquemas diferentes de la segunda figura. Con posterioridad a Arist´oteles, los distintos esquemas a que da lugar una figura recibieron el nombre de modos.

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Modos v´ alidos Naturalmente, no todos los modos silog´ısticos son l´ogicamente v´alidos. Para memorizar con facilidad la totalidad de los modos v´ alidos, los l´ogicos medievales crearon un ingenioso modo de enumerar los principales modos v´ alidos. Los nombres medievales son los siguientes: PRIMERA SEGUNDA TERCERA CUARTA

FIGURA: FIGURA: FIGURA: FIGURA:

Barbara, Celarent, Darii y Ferio. Cesare, Camestres, Festino y Baroco. Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo y Ferison. Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo y Fresison.

La primera vocal del nombre indica el tipo de la premisa mayor, la segunda vocal el tipo de la premisa menor y la tercera el tipo de la conclusi´on. Veamos un ejemplo de cada figura (obs´ervese que en cada caso los t´erminos est´ an dispuestos tal como indica el esquema de la figura): 1. Barbara es un modo de la primera figura cuyas premisas y conclusi´on son de tipo A (es decir, universales afirmativas). As´ı, el esquema del modo Barbara es Amp Asm Asp 2. Festino es un modo de la segunda figura; su premisa mayor es de tipo E, su premisa menor de tipo I y su conclusi´ on de tipo O. As´ı, el esquema del modo Festino es Epm Ism Osp 3. Felapton es un modo de la tercera figura; su premisa mayor es de tipo E, su premisa menor de tipo A y su conclusi´ on de tipo O. As´ı, el esquema del modo Felapton es Emp Ams Osp 4. Dimaris es un modo de la cuarta figura; su premisa mayor es de tipo I, su premisa menor de tipo A y su conclusi´ on de tipo I. As´ı, el esquema del modo Dimaris es Ipm Ams Isp

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Modos subalternos Hemos visto que los enunciados universales implican a los particulares correspondientes. As´ı, para cada modo v´ alido cuya conclusi´ on es un enunciado universal, hay otro modo v´alido que se obtiene sustituyendo la conclusi´ on universal por su enunciado subalterno (esto es, substituyendo Asp por Isp y Esp por Osp). A los modos v´alidos obtenidos de esta manera se les llama tambi´en subalternos. Por ejemplo, en la primera figura hay un modo subalterno de Barbara y otro de Celarent cuyos esquemas son: Amp Asm

Emp Asm

Isp

Osp

Los restantes modos que tienen subalternos son: Cesare, Camestres y Camenes. No hay modos subalternos en la tercera figura. Observaci´ on Puesto que hay cuatro tipos de enunciados y cada silogismo est´a compuesto por tres enunciados, hay 64 (4 × 4 × 4) modos en cada figura. As´ı, en la silog´ıstica hay 256 (64 × 4) modos posibles. En cada figura hay 6 modos v´alidos (contando los modos subalternos), de modo que hay 24 modos v´ alidos en total.

5.

La silog´ıstica como sistema deductivo

Arist´oteles distingue entre silogismos perfectos e imperfectos. Los silogismos perfectos son aquellos en los que es evidente que la conclusi´on se sigue de las premisas, es decir, aquellos cuya correcci´ on l´ogica es evidente. En opini´ on de Arist´ oteles, s´olo los silogismos de la primera figura son perfectos. Los modos v´ alidos de las restantes figuras son imperfectos porque su validez no se considera evidente y, por tanto, ´esta debe ser demostrada con la u ´nica ayuda de principios cuya validez l´ ogica sea evidente: los modos perfectos y las leyes l´ogicas previamente establecidas. De este modo, la silog´ıstica constituye un sistema deductivo en el que pueden demostrarse todos los modos v´ alidos a partir de los modos de la primera figura y de un reducido n´ umero de reglas. Expl´ıcitamente, la silog´ıstica puede verse como un sistema deductivo que constituido por las siguientes reglas: 1. Reglas de conversi´ on simple a) Esp equivale a Eps. b) Isp equivale a Ips 2. Regla conversi´ on per accidens a) Asp implica Ips b) Esp implica Ops 3. Leyes de contradictoriedad

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a) Asp y Osp son contradictorios b) Esp y Isp son contradictorios 4. Modos de la primera figura La demostraci´ on de la validez de un modo imperfecto puede ser directa o por reducci´ on al absurdo. En una demostraci´ on directa se suponen las premisas del modo que se quiere justificar y se deriva la conclusi´ on con la u ´nica ayuda de las reglas de conversi´on y los modos de la primera figura. En una demostraci´ on por reducci´on al absurdo se suponen tanto las premisas del modo que se quiere justificar como el contradictorio de la conclusi´on y se deriva el contradictorio de una de las premisas con la u ´nica ayuda de las leyes de conversi´on y de los modos perfectos. Las leyes de contradictoriedad son necesarias en este tipo de demostraciones porque son las que determinan cu´ al es el contradictorio de cada enunciado. En una demostraci´ on puede aplicarse cualquier modo de la primera figura tantas veces como se considere oportuno, pero en la pr´ actica basta con aplicar una vez un u ´nico modo de la primera figura, concretamente, el modo cuyo nombre comienza con la misma consonante con la que comienza el nombre del modo imperfecto cuya validez se desea justificar. Por este motivo, la demostraci´ on de la validez de un silogismo imperfecto fue llamada reducci´ on a la primera figura por los l´ogicos medievales. As´ı, en terminolog´ıa medieval puede decirse que cada modo imperfecto se reduce al modo de la primera figura cuyo nombre comienza con la misma letra. Por ejemplo, para justificar el modo Baroco s´ olo es necesario aplicar una vez el modo Barbara, lo que en terminolog´ıa medieval se expresa diciendo que el modo Baroco se reduce al modo Barbara. Los nombres medievales de los modos v´alidos de las figuras segunda, tercera y cuarta indican en clave una forma de efectuar la reducci´on a los modos de la primera figura (que no tiene por qu´e ser la misma que usa Arist´ oteles). Un modo se reduce al de la primera figura que comienza con la misma letra. Algunas consonantes del nombre indican una forma de efectuar la reducci´ on. La letra “s” indica que debe aplicarse la regla de conversi´on simple al enunciado correspondiente a la vocal que precede a la letra “s”. La “p” indica que al enunciado correspondiente a la vocal que le precede debe aplicarse la conversi´on per accidens (excepto en el caso de Bramantip, donde la “p” indica la necesidad de aplicar dicha conversi´on a la conclusi´on obtenida mediante el modo Barbara). La letra “m” indica que las premisas deben trasponerse (esto es, la premisa mayor debe ser tomada como menor y la menor como mayor). La letra “c” indica que la validez del modo se demuestra por reducci´ on al absurdo: se niega la conclusi´on y se llega a una contradicci´on con la premisa correspondiente a la vocal que precede a “c”. Observe que estas convenciones se cumplen en los dos ejemplos de demostraci´ on que siguen. Ejemplos: 1. Justificaci´ on de Cesare. Demostraci´on directa. Suponemos que Epm y Asm (premisas); aplicando la regla de conversi´on simple a la primera premisa, Emp; as´ı, Emp y Asm; aplicando Celarent, Esp. 2. Justificaci´ on de Bocardo. Demostraci´on por reducci´on al absurdo.

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Suponemos que Omp, Ams (premisas) y Asp (el contradictorio de Osp); observemos ahora que a Asp y Ams tienen la forma del modo Barbara (en este caso s es el t´ermino medio y m el termino menor); as´ı, por Barbara, Amp; absurdo, pues hemos supuesto que Omp (Amp y Omp son contradictorios). Simplificaci´ on del sistema deductivo El sistema deductivo de la silog´ıstica puede simplificarse tanto en el n´ umero de reglas como en el n´ umero de modos primitivos sin perder por ello capacidad deductiva. Concretamente, para demostrar la validez de todos los modos imperfectos son suficientes las siguientes reglas y modos. 1. Regla de conversi´ on simple a) Esp equivale a Eps. 2. Regla conversi´ on per accidens a) Asp implica Ips 3. Leyes de contradictoriedad a) Asp y Osp son contradictorios b) Esp y Isp son contradictorios 4. Modos Barbara y Celarent de la figura Las restantes reglas de conversi´ on (Isp equivale a Ips y Esp implica Ops) y los modos Darii y Ferio pueden demostrarse con la u ´nica ayuda de las reglas y de los modos Barbara y Celarent. Demostramos a continuaci´ on las dos reglas y dejamos como ejercicio la demostraci´on de los modos Darii y Ferio. 1. Conversi´ on simple de los enunciados en I. Reducci´on al absurdo Supongamos que Isp y Eps (contradictorio de Ips). Por conversi´on simple, Esp; absurdo, pues Isp. 2. Conversi´ on per accidens de los enunciados en E. Reducci´on al absurdo. Supongamos que Esp y Aps (contradictorio de Ops). Por conversi´on per accidens, Isp; absurdo, pues Esp.

6.

Modos no v´ alidos

Adem´as de presentar un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los silogismos imperfectos, Arist´ oteles expone un procedimiento para mostrar la invalidez de los modo no validos. El procedimiento aristot´elico se basa en el siguiente principio (cuya formulaci´on no se encuentra en Arist´oteles):

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Si un modo es v´ alido, entonces todos los silogismos cuya estructura es la propia del modo son l´ ogicamente correctos. M´as expl´ıcitamente: Si un modo es v´ alido, entonces no existe ning´ un silogismo cuya estructura sea la del modo y tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa. De esta forma, para mostrar que un modo dado no es v´alido (no es l´ogicamente correcto) basta con hallar un silogismo que tenga la estructura del modo y que tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa. Por ejemplo, para mostrar que la invalidez del modo Imp Asm Isp de la primera figura, basta con mostrar que existen silogismos pertenecientes a este modo que tienen premisas verdaderas y conclusi´ on falsa. Es f´acil ver que existen silogismos de este tipo. Si interpretamos S como “hombre”, M como “mam´ıfero” y P como “felino”, obtenemos el silogismo Algunos mam´ıferos son felinos Todo hombre es mam´ıfero Algunos hombres son felinos que tiene premisas verdaderas y conclusi´on falsa. Esto muestra que el modo al que pertenece no es l´ogicamente correcto.

7.

Sem´ antica de los enunciados categ´ oricos cuantificados

Vamos a comenzar introduciendo una serie de convenciones que facilitar´an el an´alisis de la silog´ıstica desde el punto de vista actual. En lo sucesivo supondremos que los t´erminos generales se interpretan en un universo dado, y que si T es un t´ermino general, entonces la extensi´on de T en el universo es el conjunto de los objetos del universo que tienen la propiedad que expresamos con T. Un t´ermino general puede tener como extensi´on cualquier subconjunto del universo (incluido el conjunto vac´ıo). Si T es un t´ermino general, entonces T es la extensi´on de T en el universo. En la l´ogica actual, los enunciados categ´oricos cuantificados se simboliza del siguiente modo: Todo Alg´ un Ning´ un No todo

S S S S

es es es es

P P P P

: : : :

∀x(Sx → P x) ∃x(Sx ∧ P x) ¬∃x(Sx ∧ P x) ¬∀x(Sx → P x)

Con ayuda de las convenciones que hemos introducido, la sem´antica que la l´ogica de primer orden actual atribuye a los enunciados categ´oricos puede formularse as´ı:

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“todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S ⊆ P “alg´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P 6= ∅ “ning´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P = ∅ “no todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S * P No es dif´ıcil ver que si a los enunciados categ´oricos se les atribuye esta sem´antica, s´olo las dos primeras leyes de la oposici´ on y las dos primeras leyes de conversi´on se cumplen. La ley (1c) (Asp y Esp son contrarios) no se cumple, porque si S = ∅, entonces “todo S es P ” y “ning´ un S es P ” son ambos verdaderos. La ley (1d) (Isp y Osp son subcontrarios) no se cumple, porque si S = ∅, entonces tanto “alg´ un S es P ” como “no todo S es P ” son falsos. La ley de conversi´on per accidens (2c) no se cumple porque “todo S es P ” no implica “alg´ un P es S”, ya que si S = ∅, entonces “todo S es P ” es verdadero y “alg´ un P es S” es falso. Tampoco se cumple la ley de conversi´on per un S es P ” es verdadera y “no todo P es S” es falsa, accidens (2d), pues si P = ∅, entonces “ning´ y, por tanto, “ning´ un S es P ” no implica “no todo P es S”. Tampoco todos los silogismos que Arist´oteles considera v´alidos resultan serlo cuando se adopta esta sem´antica. En concreto, ni los modos subalternos ni los que llevan la letra “p” en el nombre (esto es, ninguno de los modos cuya validez depende de las reglas de conversi´on per accidens) son l´ogicamente correctos cuando se atribuye a los enunciados categ´oricos la sem´antica que les atribuye la l´ogica actual. S´olo existen contraejemplos a las leyes aristot´elicas si se admite que la extensi´on de un t´ermino general puede ser vac´ıa. Lo mismo sucede en el caso de los modos aristot´elicos que no son v´alidos con la sem´antica anterior. Este hecho ha sido considerado como una prueba de que Arist´oteles presupone que la extensi´ on de los t´erminos generales que aparecen en los enunciados categ´oricos es distinta del vac´ıo. Es verdad que si restringimos la sem´antica que hemos presentado a subconjuntos no vac´ıos del universo, entonces todas las leyes aristot´elicas resultan ser v´alidas y todos los silogismos son l´ogicamente correctos, pero no hay ninguna necesidad de hacer esta presuposici´on existencial. No es dif´ıcil ver que si interpretamos los enunciados categ´oricos cuantificados del siguiente modo: “todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S 6= ∅ y S ⊆ P “alg´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P 6= ∅ “ning´ un S es P ” es verdadero si y s´olo si S ∩ P = ∅ “no todo S es P ” es verdadero si y s´olo si S = ∅ o S * P todas las leyes arist´ otelicas son v´ alidas sin necesidad de suponer que las extensiones son distintas del vac´ıo. As´ı, la aceptaci´ on de la validez de las leyes aristot´elicas no es una raz´on para pensar que Arist´oteles hace alg´ un tipo de presuposici´on existencial. De hecho, esta u ´ltima interpretaci´on de los enunciados categ´ oricos cuantificados es, en lo esencial, la que adoptaron la mayor´ıa de los l´ogicos medievales. Una caracter´ıstica importante de esta interpretaci´on es que atribuye alcance existencial a los enunciados afirmativos, pero no a los negativos. En otras palabras, para que un enunciado afirmativo (universal o particular) sea verdadero es necesario que S 6= ∅; en cambio, los dos enunciados negativos son verdaderos cuando S = ∅.2 De este modo, cuando adoptamos esta interpretaci´ on tenemos que elegir entre aceptar que tanto “no todo S es P ” como “alg´ un S no es P ” son verdaderos 2 Puede decirse que de acuerdo con esta interpretaci´ on todas las afirmaciones sobre seres inexistentes son falsas y todas las negaciones sobre seres inexistentes son verdaderas. Este regla para atribuir valores de verdad a los enunciados

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cuando S = ∅ o aceptar que “alg´ un S no es P ” no es equivalente a “no todo S es P ”. Abelardo se inclin´o por la segunda opci´ on, pero la mayor´ıa de l´ogicos medievales consideraron que ambos enunciados eran equivalentes.

8.

Observaciones finales 1. En la l´ ogica aristot´elica todos los enunciados categ´oricos son considerados l´ogicamente simples (es decir, no se consideran analizables en t´erminos de otros menos complejos) y se presupone que la cuantificaci´ on afecta s´ olo al sujeto. Comp´arese el an´alisis aristot´elico de los enunciados categ´oricos cuantificados con su interpretaci´on en l´ogica de primer orden. 2. La l´ogica aristot´elica s´ olo se ocupa de los enunciados categ´oricos. Arist´oteles esquematiza los enunciados categ´ oricos con ayuda de variables para t´erminos generales. El uso de variables es lo que permite a Arist´ oteles formular con el m´aximo rigor y generalidad tanto las relaciones l´ogicas entre los enunciados categ´oricos como la silog´ıstica. 3. No todas las leyes que Arist´ oteles considera l´ogicamente v´alidas lo son cuando los enunciados categ´oricos se interpretan tal como se hace en l´ogica de primer orden. En particular, en l´ ogica arist´otelica los enunciados universales implican a los particulares correspondientes (esto es, “todo S es P ” implica “alg´ un S es P ” y “ning´ un S es P ” implica “no todo S es P ”), pero no sucede lo mismo en l´ ogica de primer orden. Tampoco las leyes de de contrariedad, subcontrariedad y conversi´ on per accidens se cumplen en l´ogica de primer orden. Del mismo modo, algunos silogismos aristot´elicamente v´alidos no lo son desde el punto de vista actual. 4. La silog´ıstica es un sistema deductivo basado en las leyes de conversi´on (simple y per accidens) y contradictoriedad y en los cuatro modos v´alidos de la primera figura. Los modos subalternos y los modos v´ alidos de las restantes figuras (llamados “imperfectos” por Arist´oteles), se demuestran en el sistema mediante pruebas directas o por reducci´on al absurdo. 5. Arist´oteles no s´ olo presenta un sistema deductivo que permite demostrar la validez de los silogismos imperfectos, explica adem´as c´omo podemos mostrar la invalidez de un modo no v´alido. El m´etodo de Arist´ oteles consiste esencialmente en aplicar el siguiente principio: si un silogismo tiene premisas verdaderas y conclusi´on falsa, entonces el modo al que pertenece el silogismo no es v´ alido. As´ı, para mostrar la invalidez de un modo basta con hallar un silogismo que pertenezca al modo y tenga premisas verdaderas y conclusi´on falsa.

cuantificados cuyo sujeto tiene extensi´ on vac´ıa no es m´ as que una generalizaci´ on de la que sigue Arist´ oteles para atribuir valores de verdad a los enunciados singulares cuyo sujeto nombra a alguien inexistente. V´ease el cap´ıtulo 10 de las Categor´ıas (13b12-36) donde Arist´ oteles sostiene que si S´ ocrates no existe, entonces todas las afirmaciones sobre S´ ocrates son falsas y todas las negaciones sobre ´el son verdaderas.