REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 34, No. 2. 2002

UN PÉNDULO, NO TAN SIMPLE: UN PROBLEMA EXPERIMENTO PARA EXPLORAR LA CONCEPTUALIZACIÓN DE LA MECÁNICA M. Fonseca, A. Hurtado, C. Lombana y O. Ocaña Universidad Distrital Francisco José de Caldas Proyecto Curricular de Licenciatura en Física, Grupo “Física e Informática” E-mail: [email protected] RESUMEN Hace algunos años, trabajando con un grupo de profesores de física de educación media, se planteó para discusión y posterior ejecución el siguiente problema: Se tiene un pequeño cuerpo atado a una cuerda, sujeta a una puntilla, el cuerpo podría oscilar libremente (como un péndulo). Se suelta el péndulo después de tener la cuerda horizontal y ligeramente tensionada. Una nueva puntilla se coloca verticalmente debajo de la primera. Cuando el péndulo llega al punto más bajo de su trayectoria continua moviéndose en una nueva trayectoria circular (centrado en la nueva puntilla) por un momento, luego el cuerpo queda libre y colisiona con la segunda puntilla. ¿A que altura del punto más bajo de la trayectoria se debe colocar la segunda puntilla para tener la situación descrita? La solución experimental es sencilla, pero la discusión de la solución teórica resulta bien interesante, lo que nos ha llevado a simular tal situación con ayuda del programa Interactive Physics™[1], buscando confrontar en forma “experimental” las concepciones erróneas o malas interpretaciones que se dan a la teoría, en este caso de la dinámica y los principios de conservación.

ABSTRACT Some years ago, working with a group of high school physics teachers, it was outlined for discussion and subsequent execution the following problem: Let us have a small body tied to a cord, hold to a tack, the body could oscillate freely (as a pendulum). The pendulum is released, after having the cord horizontal and lightly tensed. A new tack is placed vertically under the first one, when the body arrives to the bottom of its path, it continues moving into a new circular path (centered by the second tack) for a while, then the body is free and collides with the second tack. At what height from the bottommost point of the path should be placed the second tack, to have the described situation? The experimental solution is simple, but the discussion of the theoretical solution results very interesting, This has carried us to simulate such problem with the aid of the software Interactive Physics™ [1], trying to confront in an "experimental" way, the wrong conceptions or bad interpretations that are given to the theory, in this case to the dynamics and to the conservation principles.

INTRODUCCIÓN Versiones similares al problema aquí planteado se encuentran como ejercicios propuestos en algunos textos de física general [2,3], que requieren solución que involucra algunos de los fundamentos teóricos de la Mecánica de Newton, pero en general no requiere de tan diversos elementos, como los involucrados en la solución y análisis aquí realizados. Para la simulación ha sido necesario plantear algunas analogías teóricas que generen la misma solución, hecho éste que permite hacer un estudio detallado de las diferentes cantidades físicas involucradas en el problema, gracias a los medidores que posee dicho simulador, es posible 578

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DISCUSIÓN DEL PROBLEMA Lo primero que se ha pedido a los estudiantes es describir cualitativamente la trayectoria, identificando los “puntos claves”; es usual que identifiquen como primer punto de interés el punto más bajo, donde cambia el radio de la trayectoria circular, puesto que ahora rota alrededor de la segunda puntilla. La discusión interesante empieza en el siguiente punto; hay quienes consideran que corresponde al punto en el cual la cuerda está horizontal, para otros un poco más arriba (generalmente, en principio no identifican la condición que se debe cumplir), pero para algunos es en el punto más alto (encima de la puntilla, desde donde el Fig. 1. Trayectoria del cuerpo cuerpo cae libremente a ella). Al exigir argumentos soportados en las leyes de la física, es usual que los estudiantes estén de acuerdo en que el cuerpo continúa en movimiento circular hasta un ángulo por encima de la horizontal, pero en todo caso menor a 90°, después de lo cual el movimiento es parabólico (¿porqué?) hasta chocar con la puntilla. La siguiente etapa es construir las ecuaciones, identificando la información conocida y las incógnitas que resultan, para lograr un número de ecuaciones con igual número de incógnitas. Generalmente, empiezan por aplicar el principio de conservación de la energía entre el punto de partida y el más bajo, luego entre este punto y el punto donde la cuerda queda horizontal y después entre este punto y el punto donde la trayectoria cambia a parabólica. Es conveniente aprovechar para discutir sobre la necesidad de optimizar el trabajo a realizar y las posibilidades de aplicación de los principios y leyes. Las ecuaciones resultantes, de acuerdo a la notación que aparece en la Fig. 1, empleando el programa Mathcad [4], son: Al aplicar conservación de la energía, entre el punto de partida y el punto donde inicia la trayectoria parabólica, considerando como referencia para la energía potencial el punto más bajo (1). La fuerza centrípeta es igual a la componente radial del peso en el momento en que inicia la trayectoria parabólica, Ec. (2). Ecuaciones (3) y (4), para el movimiento uniformemente variado en dirección y (positivo hacia arriba) y para el movimiento uniforme en dirección x (positivo a la derecha) en el trayecto parabólico, con respecto al punto donde se inicia la trayectoria parabólica. El programa da la solución al sistema con la orden , 579

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resulta:

simplificando:

Simulación con Interactive Physics (IP):

¾

¾

¾

Seleccionar la herramienta “Círculo” para dibujar el cuerpo que se ha de colgar como masa pendular. Si se desea ubicar el cuerpo en coordenadas preestablecidas, al señalarlo, aparecen en la parte inferior las coordenadas del centro y su radio, datos que se pueden asignar arbitrariamente. Al seleccionar la herramienta “Soga”, Fig. 2. Simulación por colisión presionando el botón izquierdo del ratón sobre el centro del círculo (llamado por el programa “body[1]”), se observa la cuerda, de la cual en la parte inferior aparecen las coordenadas (x,y) del punto de inicio y finalización, así como su longitud, datos que también se pueden asignar arbitrariamente. Como no parece posible colocar un obstáculo que enrede la cuerda para disminuir su longitud (la segunda puntilla del problema), se puede colocar un segundo péndulo, “body[2]”, en equilibrio, de longitud adecuada (el valor calculado de r), colgado en el punto donde se colocaría la segunda puntilla. En este caso, al picar dos veces sobre uno de los cuerpos (“body[1]” o “body[2]”) aparece el cuadro de “Propiedades”, en el que se debe asignar a cada uno elasticidad 1 y la misma masa, para que siendo el choque completamente elástico, el segundo péndulo continúe con la rapidez que allí tendría el 580

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único péndulo del problema. En el punto donde se cuelga el segundo péndulo, se debe colocar un cuerpo (otro círculo pequeño), para que se observe el choque con la segunda puntilla del problema. ¾ Picando en el menú “Arrancar” puede observar el desarrollo de la simulación y dar lectura a los medidores, o puede ver la simulación cuadro a cuadro con + para avanzar y – para retroceder. ¾ Otra opción para simular el movimiento del péndulo del problema, sería elaborar con la herramienta “Polígono”, un polígono de varios lados (en principio no importa la forma o el número de lados); se pretende que el interior del polígono sirva de ligadura (de superficie para el movimiento del cuerpo), primero de radio Lo y luego de radio r. Para dar la forma de arco circular, se deben calcular, por ejemplo en Excel, las coordenadas de los puntos (x,y) que forman la trayectoria (teniendo en cuenta el radio del cuerpo circular que se piensa colocar), señalar y dar la orden de copiar, para que al seleccionar “Geometría” del menú “Ventanas”, donde dice “Tabla”, se señale “Pegar” y se marque donde dice “Cuerpo curvo”, para que el cuerpo tenga la forma definida por el usuario. En el menú “Propiedades” asignarle valor 0 a “frc estát” y “frc cinét”. Debajo de “densidad” escoger la opción “Cáscara”, garantizando que el Fig. 3. Similación por ligadura cuerpo al moverse en el interior del polígono describa el trayecto circular hasta que, en el problema original la tensión, ahora la normal, sea 0. En el menú “Apariencia” de “Ventanas”, en la opción “Estampado”, seleccionar “no”, para que del polígono se vea su interior. Por último, no olvidar seleccionar el “Ancla” para fijar el polígono que nos sirve de superficie para la trayectoria del cuerpo. ¾ Nuevamente, con la herramienta “Círculo” dibujar un pequeño cuerpo y ubicarlo en el punto de donde partiría el péndulo y otro para fijarlo en la presunta ubicación de la puntilla. Verificar que el cuerpo a moverse se encuentre en la superficie interior del polígono y en “Propiedades”, que el valor de “frc estát”, “frc cinét”, “Vx” y “Vy” sean 0. Si se desea que permanezca diagramada la trayectoria del cuerpo, en el menú “Apariencia” de “Ventanas”, señalar “seguir el centro de masa”. ¾ En el menú “Mundo” se puede seleccionar “Control de la pausa” si se quiere colocar alguna condición para que se detenga automáticamente la simulación. 581

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En cualquiera de los casos, se pueden agregar los medidores que se consideren necesarios para analizar cuidadosamente el fenómeno objeto de estudio, desde los conceptos y leyes de la cinemática, la dinámica y trabajo y energía, como podría ser la fuerza normal (llamada de contacto por el IP), o la tensión de la cuerda según el caso y su relación con la fuerza centrípeta y el movimiento circular, la aplicación de la conservación de la energía o las características del movimiento parabólico, permitiendo una revisión general de la teoría de la Mecánica Clásica.

CONCLUSIONES Enfatizar en el análisis tanto del problema como de la solución desarrollada, así como de los diferentes elementos que puedan surgir en la discusión, ha permitido detectar en los estudiantes falencias en las interpretaciones de leyes y principios, en la aplicación de ciertas relaciones obtenidas para casos particulares, pero que pretenden ser aplicadas en otras situaciones, en ocasiones en forma errónea, pero en general sin la adecuada argumentación. La posibilidad de enfocar la atención desde la problemática de la física, dejando los problemas matemáticos que surjan para ser resueltos con diferentes ayudas (software adecuado), ha permitido a los estudiantes ahorrar tiempo en el trabajo algebraico, empleándolo en la simulación y análisis de los resultados obtenidos; no obstante lo anterior, ha resultado conveniente, exigir en algunos casos a los estudiantes desarrollar en forma manual tales procesos, realizar predicciones, antes de observar la simulación, para evitar mecanizar el trabajo a realizar. REFERENCIAS [1] Interactive Physics ™. Copyright © 1989-1998. Knowledge Revolution. [2] Tipler, P.A. Física. Barcelona. Ed. Reverté. Vol I. 3a. Ed. [3] SERWAY, R. Física. Tomo I. MacGraw Hill. 1996. p. 232. [4] Mathcad 8 Professional. © 1986-1998 by MathSoft, Inc. 582