Fecha tíc putitícaciVn: 30 »le novitmlire ele I°47

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Revista hispano-americana de Ciencias puras y aplicadas PUBLICACIÓN D E L PATRONATO

D E CIENCIA

S U M A R I O

Triángulos aritméticos ultra pascatinos, por PEDRO A« PIZA Pág. 145 El hombre jósit de Tepexpan, y la estratigrafía del Cuaternario en la Cuenca de México, por HBLMUT DE TKKKA

153

Imágenes microscópicas correspondientes a un electrón iluminado, por M . Risco „ 157 Ensayos sobre algunos medios de cultivo para las bacteriar de ta Jermentación bulanot-acetónica, por A. SÁNCHEZ MARROQUIN y S. HERNÁNDEZ CARRERA

163

Ejecto antibiótico para Rhizobiiim. de una Jmcción orgánica del suelo, por CARLOS CASAS CAMPILLO

,

Sobre algunos alcaloides Iribotuminiscentes, por HÉCTOR CALZADO ,, Valoración rápida de la auinina, por JOSÉ ERDOS Preparación de a'gunor esteres del ácido fenilquinotincarboxilico con et ácido ctorosuljónico, |tor JOSÉ ERDOS y ELXALIO GONZÁLEZ R

Obtención de algunos esteres empleando el ácido clorosuljónico, por JOSÉ ERDOS y EULALIO

„

GONZÁLEZ R

]68

172 174 175 175

Contribución al conocimiento del contenido de ácido pleroilglulámico en alimentos mexicanos, por JESÚS GUZMAN G . , R E N E O. CRAVIOTO B . Y FRANCISCO OE P. MIRANDA

,

176

,,

180

ObservacOes sobre serpenles do Perú, com a descn'pcdo de umi nova especie, por ALCIDES PRADO Y AI.PI.ONSR R. H O C E

N o t i c i a s : Reuniones cientíjicas internacionales... Actividades de ta l'NESCO.— Unión Panamericana.— Suevas revistas.—Crónica de países.—Necrología 181 Mastitis estreptocócica bovina, por CARLOS PERRZ MORENO „ 193 Miscelánea: Secesidad de fomentar la inverfigación cienlíji'ca.—Et ¡nstitulo Internacional de la litlea Amazónica.—Úesarrol/o cie/ttíjt'co del fírasil durante los últimos años,—Suevos melados de Química orgánica. III. O'.ucogenolis is hepática por adrenalina y simpatina en sapos normales e hipojisoprivos. Constitución del ácido nítrico, -ha glucemia varía con ta edad. - Construcción de triángulo.'de Fermal de grados >. 4 y 5. Pesos atómicos. Suevos minerales.—Tratamiento de inválidos de guerra en ta ('. ti. S. S. — Edulcorantes sintéticos.—Mecanismo de la acción del urelano en et tratamiento de las leucemias,—Au esencia de naranjas dulces de ta Guinea Francesa. -Hílido y núctido.—Insecticida útil contra la esauistosomiasís.— Transjormación de vitaminas hidrosolubles en tiposo/ubtes. Eliminación de polvo por medio de vibraciones supersónicas.- El huew seco y los envenenamíenlos por alimentos.—Et Proj. If. A. McSwiney- — Moses (lamberá |99 Libros nuevos „ 215 Revista de revistas „ 227 M É X I C O . D . F.

Volumen VIII

194 7

Números 6-9

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APLICADAS

DIRECTOR C BOLÍVAR PIELTAIN

REDACCIÓN PROF. FRANCISCO GIRAL

PROF. HONORATO oe CASTRO

rv KAS

DIRECTOR FUNDADOR IGNACIO BOLÍVAR URRUTIA (

PROF B F OSORIO TAFALL

CONSEJO DE REDACCIÓN

RACIGALUPO, D H . JUAN. Buenos Aires, Argentina.

Luco. D K . J . V . Santiago de Chile. C U * .

RAMUAREN, D H . CARLOS A. Lima. Perú. BKIARANO, D R . JULIO. .México.

MAUMAOO. DR. ANTONIO DE R. Congo IVI*.,

BF.I.TRAN, PROF. ENRIQUE. México. BERTRÁN DK QUINTANA, INO. ARQ. MIGUEL. México.

MAHOUKZ, DR. M A N U E L . Mexico. MARTINEZ HAKZ. DR. M A N U E L . Mexico.

RON ET, PROF. FEDERICO. México.

MAKTINEZ DUHAN. D R . CARLOS. Guatemala

Rosen GIMPKRA. PROF. PKIIRO. México. RUÑO, DR. WASHINGTON. Montevideo, Uruguay HUSTAMANTK, D « . M I G U E L E . Washington, D. C.

MARTINEZ RISCO. PROF. M A N U E L . Pari», Krancia. MARTINS. PROF. TIIAI.ES. Sao Paulo, Hrasil.

RUTTY, ING. ENRIQUE. RUCHOS Aires. Argentina. RUKSO, DR. FACUNDO. Puerto Rico.

MKLI.O-LEITAO. PROF. C . DE. Rio de Janeiro. Rraiil.

MAUINAVEITIA.

PROF. ANTONIO.

Mexico.

MATAS. DR. RODOLFO. Nueva Orleans. Kstados Uniilos. MIRANDA. PROF. KAUSTINO. Mexico. MIRANDA. DR. FRANCISCO DE P. Mexico. MUNGE, DR. CARLOS. Lima, Perù. MONGES LOPEZ, ING. RICAMIMI. Mexico. MILLERRIED. DR. KEDEHICO K. G . Mexico.

CAHRERA. PROF. ANGEL. Buenos Aires, Argentin». CÁRDENAS, D U . MARTIN. Codi«bamba, Bolivia. C AND EL, PROF. RAFAEL, Toulouse. Krancia. CARINI, PROF. DR. A . Sao Paulo, Brasil. CHAGAS, D R . CARLOS, Río «le Janeiro, Brasil.

M i KII.I.O. PROF. LUIS MARIA. Rogota. Colombia.

CHAVEZ, DR. IGNACIO, México.

NOVELLI. PROF. ARMANDO. I-I Piata. Argentina. O CARRENO, ING. ALFONSO DE LA. Mexico.

COLLAZO, DR. JUAN A , A . Montevideo, Uruguay. CORFESAS, D R . ARMANDO. Paris, Krancia.

ORDONEZ. ING. EZKQUIKL. Mexico. ORIAS. PROF OSCAR. Cordoba. Argentina.

COSTA LIMA, PROF. A . DA. Rio ele Janeiro. Brasil. COSTERO, D R . ISAAC. México.

OROZCO. ING. KFKNANDO. Mexico.

CRUZ-COKK, DR. EDUARDO. Santiago tic Chile, Chile.

OTERO, PRO». AI KIANDHO. Mexico. OZOHIO DE AI.MKIDA. PROF. MIGUEL. Rio de Janeiro, 111 ...il

CIIATRECASAS, PROF. JOSE. Chicago, Estados Unidos.

DKULOFEU, D R . VENANCIO. Buenos Aires. Argentina.

PAHODI. ING. LORENZO R. Ruenos Aires, Argentina. PATINO CAMAHGO, DR. LUIS. Rogota. Colombia.

DOMINGO, D R . PEDRO. 1.a Habana, Cuba. DUPERIER, PROF, ARTURO, landres, Inglaterra.

PELAKZ, PROF. DIONISIO. Mexico. PERHIN. DR. TOMAS G . Mexico,

ESCUDERO. D R . PEDRO. Buenos Aires, Argentina. ESTABLE, DR. C L E M E N T E . Montevideo, Uruguay. KSTEVEZ, DR. CARLOS. Guatemala. Guatemala. KLORKIN. PROF. M A R C E L . I.ieia, Bélgica. KONSECA, DR. KI.AVIO DA. Sao Paulo, Rrnsil. G A L L O , INC. JOAQUÍN. México. GARCÍA, DR. GOOOFREDO. Lima, Perú. GARCÍA RANUS, PROF. Antonio. Colombia. GIRAL, PROF. JOSE. iMéxico. GONZALEZ GUZMAN, D R . JOSE. México. GONZALEZ UF.RREJON, D R . SALVADOR. México. G R A E F , DR. CARLOS, México. GROSS, PROF. BERNHARD. Río de Janeiro, Brasil. GUZMAN BARHON. PROF. E . S. Chicago, Estados Unidos.

HoRMAECHE, DR. ESTENIO. Montevideo, Uruguay. HouSSAY. PROF. B. A. Buenos Aires, Argentina.

Pi SURER, DR. AUGUSTO. Caracas. Venezuela. PITTA LUCA. D R . GUSTAVO. La Habana, Cuba. PLANKLI.ES. D R . JUAN. Mosco. U . R. S. S. PRADO. D R . ALCIDES. Sao Paulo, Rrasil. PRAIIOS SUCII. D R . MIGUEL. Montreal. Canada. PIOFGO, DR. KKRNANDO. Mexico. P I C H E AI.VARKZ. DR. JOSE. Mexico. PUKNTE DUANV. DR. NICOLAS. La (Liliana, Cuba. Rio)A L o BIANCO, PROF. ENRIQUE. Mexico. ROYO Y GOMEZ, PROF. JOSE. Rogota, Colombia. Ruiz CASTANKIIA. DR. MAXLMII.IANO. Mexico. SANCIIF.Z ARCAS, ARQ. M A N U E L . Varsovin. Polonia SANUIIEZ MAHROQUIN, PROF. ALFREDO. Mexico. SANDOVAI. VAI.I.ARTA. D R . M A N U E L . SOBEHON, DR. GAI.O. Mexico.

ILI INCAS. ING. RAFAEL. México. IZQUIERDO, D H . |OSE JOAQUÍN. México. KOI'IMSCII, D R . ENRIQUE. Puerto Rico. K o u i t i . DR. PEDRO. L a Habana, CUIMI, I.ASN4ER, DIL EUGENIO P. Montevideo. Uruguay. LENT, D R . HERMAN. Rio de Janeiro, Brasil.

Mexico.

TORRE, D R . CARLOS DE LA. La Habana. Cuba. TRIAS, PROF. ANTONIO. Rogota. Colombia. TOSCANO. ING. RICARDO. Mexico. VAREI.A. DR. GERARDO. Mexico.

VII.I.EI.A, DR. G . Rio de Janeiro, Rrasil.

LIPSCHUTZ. DR. ALEJANDRO. Santiago de Chile. Chile.

ZAPPI, PROF. E . V . Ruenos Aires. Argentina. ZOZAYA. DR. JOSE. Mexico.

PATRONATO D E

CIENCIA

PRESIDENTE INO. EVARISTO ARAIZA VICE-PRESIDENTE LIC. CARLOS PRIETO

TESORERO SR. EDUARDO VILLASEÑOR VOCALES

DR. IGNACIO G O N Z A L E Z G U Z M A N P R O F . C BOLÍVAR PIELTAIN

SR. SANTIAGO G A L A S PROF. FRANCISCO G I R A L

PROF. MANUEL SANCHEZ SARTO PROF. B . F . OSORIO T A F A U .

Mejores papeles de filtro, logrados mediante métodos más avanzados de ensayo y control Los laboratorios S&S en South Lee h a n p e r f e c c i o n a d o nuevos métodos para la evaluación cuan- Popal** titativa de los papeles de filuy^^ffiffi que han demostrado ser de ayuda considerable en la estandarización de sus límites de velocidad y retención. E l n u e v o m é t o d o d e retención señala grados numerados de p r u e b a a nuestros pa:Ics d e f i l t r o , c o n l a m i s m a precisión e n l c a l i d a d e s m u y rápidas q u e e n hojas d e mayor densidad.

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L o s a m p l i o s l i m i t e s de e s t a novísima escala de retención, y l a diversidad de los papeles d e f i l t r o S & S , se r e p r e s e n t a n gráfic a m e n t e e n e l c i l i n d r o d e sedimentación.

Otra* Calidad».

589,Cnta Azul 590

¡55?;

t'.i'.'.'.'i

SVIMW

L a representación gráfica r e p r o d u c i d a a l m a r g e n i l u s t r a l o s límites generales d e retención d e l o s p a p e l e s de filtro analíticos S & S . P a r a m á s detalles, particularmente e n e l c a m p o d e l a química analítica, r o g a mos c o n s u l t a r l a s " T a b l a s d e R e f e r e n c i a S & S p a r a F i l t r a c i o n e s e n M é t o d o s de Análisis Q u í m i c o s " .

6

0

2

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I » » c 2 „ « Cr i si a lo i Finí 60

60

E s t e método preciso de medir nos permite producir nuestras numerosas calidades de p a p e l a especificaciones d e f i n i d a s .

reproduciendo las propiedades físicas idénticas de cada c a l i d a d todas las veces

-80 —

40"

58?, Cinto Biotica 589, Colo V'arda cj « Cnstale» GruatottV; 20 589, Cima Negra 589-1 H

- 5 9 7 * 497

-598

- 6 0 4 & 404 ¿Precipitado»

-410

G R A D O RELATIVO DE RETENCIÓN DE LOS PAPELES DE FILTRO ANALÍTICOS S & S

L a uniformidad excelente de los papeles de filtro analíticos S&S. que se obtiene y mantiene por nuestros métodos superiores de ensayo, los hace particularmente valiosos en su aplicación a procedimientos analíticos] estandarizados. Muchos de los laboratorios químicos más importantes han estandarizado sus análisis de rutina con los papeles de filtro S&S, con la más alta satisfacción e, incidentalmente, a costo más bajo.

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R e v i s t a m e n s u a l de divulgación

M E X I C O

M O N T E S

MEXICO,

CIENCIA

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INVESTIGACIÓN científica

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A r g e n t i n a p a r a e l P r o g r e s o de l a s C i e n c i a s

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EDUARDO

BRAUN

MENENDEZ, VENANCIO

DEULOFEU,

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A V E N I D A R O Q U E S A E N Z P E Ñ A 555 4o. PISO. ADMINISTRACIÓN

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CIENCIA REVISTA

HISPAN

O-AMERICANA

DE

CIENCIAS

PURAS

Y

APLICADAS

DIRECTOR FUNDADOR PROF. IGNACIO BOLÍVAR URRUTIA • PROF PROF. HONORATO DE CASTRO V O L . N U M 8 .

V I I I

DIRECTOR C . BOLÍVAR PIELTAIN

PROF

REDACCIÓN; FRANCISCO GIRAL

PROF

B F . OSORIO TAFALL

PUBLICACIÓN MENSUAL DEL

M É X I C O ,

PATRONATO DE CIENCIA

6-9

D .

F .

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PUBLICADO CON LA AYUDA ECONÓMICA DE LA COMISIÓN IMPULSORA V COORDINADORA DE LA INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA DE MÉXICO REGISTRADA COMO ARTICULO OE 2A. CLASE. EN LA ADMINISTRACIÓN DE CORREOS DE MÉXICO. D. F.. CON FECHA 24 DE OCTUBRE DE 1948

La Ciencia T R I Á N G U L O S

moderna

A R I T M É T I C O S

U L T R A

P A S C A L I N O S

por PEDRO A .

1

PIZÁ

San Juan. Puerto Rico. I>os coeficientes b i n o m i o s fueron o b j e t o d e l a

m e r o q u e e n e l l a aparece.

E n t e n d e r e m o s que s i l a

tabulación t r i a n g u l a r de B l a s P a s c a l , conociéndose

c e l d a está v a c a n t e , el número q u e le corresponde

su t a b l a c o m o e l Triángulo Aritmético sobre el

es cero.

c u a l escribió P a s c a l u n t r a t a d o clá-sico. También

O b s e r v e m o s q u e e n l a T a b l a I la d i a g o n a l des-

J a c q u e s B e r n o u l l i . e n s u famosa o b r a p o s t u m a " A r s

cendente q u e e m p i e z a en l a c e l d a [2/1] y que en

C o n j e c t a n d i " , tabuló los coeficientes b i n o m i o s en

general l l a m a r e m o s l a diagonal

formación r e c t a n g u l a r q u e llamó " T a b u l a C o m b i -

l a serie de.celdas .

n a t o r i a " , m e d i a n t e c u y o e s t u d i o estableció l a teo-

!2/l|, |3/2|, 14/31.

ría de las c o m b i n a c i o n e s q u e se debe a B e r n o u l l i ' . E x i s t a u n i n t e r e s a n t e a s p e c t o número-teórico

básica, f o r m a d a p o r

|(c + l)/e|,

c o n t i e n e t o d o s los números enteros desde e l 1 a l c.

d e l triángulo aritmético que a p a r e n t e m e n t e escapó

L a l e y d e formación d e l a T a b l a I (que t a m -

a la observación t a n t o d e P a s c a l c o m o d e B e r n o u -

bién será l a q u e r i j a e n las sucesivas) y q u e l l a m a -

lli y q u e v a m o s a d a r a c o n o c e r e n este t r a b a j o . L o

r e m o s l a Regla de Pascal,

liaremos c o m o p a s o i n i c i a l e n l a presentación de

!n/e| - [(n-D/cl + I(»-l)/(c-l)|.

u n a f a m i l i a i n f i n i t a d e triángulos aritméticos d e ln cual e l de P a s c a l es el p r i m e r o y se refiere a los m i -

O b s e r v e m o s , a s i m i s m o , q u e tronío c o n s e c u e n -

meros enteros, m i e n t r a s q u e los s u c e s i v o s , q u e podrían l l a m a r s e triángulos aritméticos ultra

válida p a r a n > 1 es

c i a d e esta regla tle P a s c a l , l a s u m a de los c núme-

Pasen-

ros q u e aparecen en c u a l q u i e r d i a g o n a l d e s c e n d e n -

linos, se refieren r e s p e c t i v a m e n t e a los c u a d r a d o s ,

te q u e comience e n l a c e l d a [n/1] y q u e t e r m i n e e n

a los cubos, a l o s b i c u a d r a d o s , e t c . , en l a f o r m a

l a c e l d a l ( e + n - l ) / c ) l , es s i e m p r e i g u a l a l número

que más a d e l a n t e e x p l i c a r e m o s .

que o c u p a l a c e l d a [ ( c + n ) / c j .

E m p e c e m o s c o n l a tabulación d e los coeficien-

T a m b i é n es c o n s e c u e n c i a d e l a regla d e P a s c a l tes b i n o m i o s según l a T a b l a I. E n ésta y e n las que l a s u m a d e l o s números q u e a p a r e c e n eií c u a l sucesivas t a b l a s d e o r d e n s u p e r i o r que l a s i g u e n , q u i e r c o l u m n a c h a s t a i n c l u i r ef d e l a c e l d a [n/c], i d e n t i f i c a r e m o s l a c e l d a c o r r e s p o n d i e n t e a la fila n

y a l a c o l u m n a c p o r medio de la conveniente notación a r b i t r a r i a

es i g u a l a l numeró q u e o c u p a l a c e l d a ((t-f-1)/ («+«]. H e c h a s estas o b s e r v a c i o n e s p r e l i m i n a r e s pode-

(n/e¡.

m o s a h o r a a f i r m a r q u e en l a T a b l a I c a d a c e l d a ((c-f-2)/c) c o n t i e n e la suma

no solamente p a r a i n d i c a r s u posición c o o r d e n a d a

d e todos los números

e n l a t a b l a , sino también p a r a representar a l nú- enteros d e l 1 a l c i n c l u s i v e , lo que i n d i c a r e m o s c o n l a notación .. VétM Source Bnok of Mathcmatica, editado por David ic - 2Mei - I c Eugcnc Smith, páf¡s. 68 y 273. 1

14»

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1

10

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120

210

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210

120

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10

1

1

s i e n d o el símbolo 2"' i n t e r p r e t a d o c o m o s u m a ción n e g a t i v a o sea substracción. E s t o es, e l i n t e r v a l o o diferencia

i(c + 3)/e| - x s c.

q u e existe e n t r e c y e l número

q u e l e precede e n l a d i a g o n a l básica q u e es ( c - 1 ) . P o r l o t a n t o [e/e) - l ' U - c -

D e l mismo modo ((e + 4)/c) - S I Z c

(11)

1

L u e g o l a c e l d a [ ( c + 3 ) / c ] c o n t i e n e la suma de

(e-1) - 1.

H a b i e n d o definido lógica y s a t i s f a c t o r i a m e n t e

l(c + 5)/c) - S S Z I e.

l a sumación " c e r o " y l a sumación " m e n o s u n o "

P a r a e v i t a r t a n t a repetición d e l s i g n o d e s u m a 2, a d o p t a r e m o s l a c o n v e n i e n t e notación a r -

de c, p o d e m o s a h o r a a f i r m a r s i n reservas q u e c a d a c e l d a o c u p a d a d e l a T a b l a I es u n a sumación rada d e las números enteros.

bitraria

ite-

E s t a es l a p r o p i e d a d

no t r i v i a l p o r c i e r t o , q u e c r e e m o s escapó a l a o b I(e + 4)/e] - V e,

\(c + 5)/c) - 2« e,

servación d e P a s c a l y d e B e r n o u l l i y a l a q u e a l u d i m o s en el s e g u n d o párrafo d e este t r a b a j o .

a p l i c a n d o a l s i g n o d e mimación 2 l a s cifras s u p e riores

(8)

(7)

(1)

las sumas d e t o d o s los enteros d e l 1 a l c, esto es

rian

I

(5)

(3)

4

A h o r a b i e n , ¿existen a c a s o o t r a s t a b l a s s i m i l a -

3 y 4 r e s p e c t i v a m e n t e ( c o m o s i se t r a t a r a

res e n propiedades y en e s t r u c t u r a numérica, q u e

de e x p o n e n t e s ) , p a r a i n d i c a r l a t e r c e r a y l a c u a r t a sumación iterada

se refieran s u c e s i v a m e n t e a l o s c u a d r a d o s , a l o s

d e c.

c u b o s , a los b i c u a d r a d o s , a l a s q u i n t a s p o t e n c i a s ,

E n general p o d r e m o s u s a r l a fórmula

etc., d e l m i s m o m o d o q u e según h e m o s v i s t o l a

l(e + l +.)/c| -

T a b l a I se refiere a l a s s u m a c i o n e s i t e r a d a s d e los

fe,

enteros a p o t e n c i a u n o ?

p a r a i n d i c a r q u e esa c e l d a c o n t i e n e la suma de las sumas de las sumas {esta ¡rase repelida

s veces) d e

t o d o s los números e n t e r o s d e l 1 a l c i n c l u s i v e .

sino q u e también p u e d e n generarse r e c u r r e n t e -

3i e n e s t a fórmula general h a c e m o s s = 0, t e n dremos

E s e l o b j e t o de este artículo m o s t r a r q u e n o s o l a m e n t e e x i s t e n tales t a b l a s d e o r d e n s u p e r i o r ,

. •

m e n t e en número i n f i n i t o p o r m e d i o d e un. p r o c e d i m i e n t o empírico q u e hemos, d e s a r r o l l a d o a l efect o . E n el e s t u d i o q u e sigue l a T a W a H se: referirá

[(¿ +

l W - í * C - ( ! , -

i n t e r p r e t a n d o - e l símbolo 2

;

o

:

para indicar " n a d a

s u m a d o n i r e s t a d o " d e c. Más a u n , s i hacemos 8 = - 1 tendremos fefcl - S - ' e - 1,

a los c u a d r a d o s , l a I I I a los c u b o s , l a I V a l o s b i c u a d r a d o s , y e n general l a T a b l a T a l a s í-simas p o t e n c i a s d e l o s números e n t e r o s , s i n limitación e n el v a l o r

finito

i n t e g r a l d e l e x p o n e n t e l.

C o n s t r u y a m o s , m e d i a n t e aplicación r e p e t i d a de l a r e g l a d e P a s c a l , u n s e g u n d o triángulo a r i t 146

CIENCIA T A B L A

n -

II

1

C "* (1)

(2)

(1)

1

2

(2)

I

3

2

(3)

1

4

5

2

(4)

1

5

9

7

2

6

14

16

9

2

(6)

7

20

30

25

11

2

(7)

8

27

50

55

36

13

2

(8)

9

35

77

105

91

49

15

2

(9)

10

44

112

182

196

140

64

17

2

(10)

11

54

156

294

378

336

204

81

19

2

(11)

12

65

210

450

672

714

540

285

100

21

'

(5)

(3)

(4)

(5)

j

(6)

(7)

j

(8)

(9)

(10)

(ID

(12)

-

2

mético c u y a p r i m e r a fila esté c o m p u e s t a p o r los

P o r lo t a n t o , p o d e m o s también a f i r m a r e n a n a -

números 1 y 2. E s o b v i o q u e p a r a generar c u a l -

logía c o n el caso a n t e r i o r , q u e c a d a c e l d a o c u p a d a

q u i e r triángulo aritmético d e l t i p o d e l de P a s c a l ,

de l a T a b l a I I c o n t i e n e u n a sumación i t e r a d a de

bastará c o n c o n o c e r l o s números q u e c o m p o n e n

los números c u a d r a d o s .

s u p r i m e r a fila, q u e l l a m a r e m o s los

generadores,

E s t e a u t o r h a h e c h o u n extenso e s t u d i o de l o s

y a q u e los q u e c o m p o n e n l a s e g u n d a fila se d e r i v a n de los de l a p r i m e r a , l o s de l a t e r c e r a de l a s e g u n d a , y así s u c e s i v a m e n t e .

números c o n t e n i d o s e n l a T a b l a I I y h a h a l l a d o e n ellos p r o p i e d a d e s interesantísimas, a u n más i n teresantes q u e las de los coeficientes b i n o m i o s q u e

C o n los generadores 1 y 2 e n l a s celdas [1/1] y

p e r t e n e c e n a l a T a b l a I. P e r o , e n este e s t u d i o n o

[1/2) obtenemos n u e s t r a T a b l a I I , c u y a d i a g o n a l

nos p r o p o n e m o s más q u e p r e s e n t a r las t a b l a s de

básica está a h o r a c o m p u e s t a p o r los números c u a -

o r d e n s u p e r i o r a l a t a b l a de P a s c a l y n o e n t r a r e -

d r a d o s 1, 4, 9 , 16, 2 5 , . . . , < ? .

m o s a escudriñar los números q u e c o n t i e n e n , pues

D e n u e v o p o d e m o s a p l i c a r l a fórmula general

resultaría u n t r a b a j o d e m a s i a d o extenso p a r a e s t a p r i m e r a ocasión.

de sumación i t e r a d a

B a s t e p o r a h o r a d e c i r q u e así

c o m o l a T a b l a I c o n t i e n e e n s u s filas s u c e s i v a s l o s l(c + 1 + «)/«! - 2 ' c \

coeficientes d e l b i n o m i o d e N e w t o n , l a T a b l a I I

q u e equivaldrá a h o r a a la suma de las sumas de las sumas (esta frase repelida

s veces) d e t o d a s los nú-

meros c u a d r a d o s desde el 1 h a s t a el c? i n c l u s i v e ,

c o n t i e n e e n sus d i a g o n a l e s ascendentes los coefic i e n t e s de l a fórmula d e K u m m e r e n l a q u e a " 4 - y " se e x p r e s a c o m o función de x, de y, y de (x+y).* C o n el uso de l o s generadores 1, 6, 6 e n p r i m e -

esto es, l a s - i m a sumación i t e r a d a de