Rudimentos 12: Espacios Vectoriales Profesor Ricardo Santander Este capitulo esta destinado a buscar una representaci´on natural y eficiente de la informaci´on, a trav´es de ”relaciones te´oricas, lease combinaciones lineales” e ”implementaciones pr´acticas, lease representaci´on matricial y resoluci´on de ecuaciones.” Para ello ser´a necesario: Construir un ambiente suficientemente amplio, donde se puedan modelar situaciones pr´acticas, desarrollar t´ecnicas que permitan controlar r´apida y eficientemente una gran cantidad de informaci´on y mostrar la equivalencia entre el ambiente te´orico y pr´actico.

1. Definici´ on de Espacios Vectorial Demos una mirada a nuestra evoluci´on al momento de manipular la informaci´on. (1) Ya observamos que para cada (n ∈ N), existen u ´ nicos n´ umeros naturales a0 , a1 , a2 , . . . , as tales que n = as 10s + as−1 10s−1 + · · · + a1 101 + a0 100 ;

(0 ≤ j ≤ s); (0 ≤ aj ≤ 9)

Y estos n´ umeros son los que identifican un´ıvocamente al n´ umero n. (2) Bas´andonos en esta idea definimos informalmente a los polinomios, es decir p(x) ∈ R[x] ⇐⇒ p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + as xs Y en este caso son los coeficientes los que diferencian a un polinomio de otro. (3) Si consideramos u = (x, y) ∈ R2 entonces sabemos que (R2 , +) es un grupo abeliano y que (a) (x, y) = (x, 0) + (0, y) (b) Y si adem´as permitimos una ponderaci´on externa que generalice el hecho  (x, y) + (x, y) = 2(x, y)  ∧ =⇒ 2(x, y) = (2x, 2y)  (x, y) + (x, y) = (2x, 2y)

entonces obtenemos que

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

1

2

Eje y Plano R

2

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) •

(0, 0)

Eje x

Figura 1 : Plano Cartesiano (4) Otro caso que podemos representar con las licencias que da la heur´ıstica es el siguiente: 

a11 a12 a21 a22



= a11





1 0 0 0

+ a12



0 1 0 0



+ a21



0 0 1 0



+ a22



0 0 0 1



(5) Intentando generalizar a´ un m´as el formato de nuestros n´ umeros. Supongamos que necesitamos conectar dos lugares inaccesibles, como lo muestra la funci´on.

f (x) = Cuyo gr´afico es de la forma:

  −1 : si − π < x < 0   1

: si

0