TEMA 9.- APLICACIONES

DE LAS DERIVADAS.

TEMA 9.- APLICACIONES

2° BACH(CN)

DE LAS DERIVADAS.

9.1. RECTA TANGENTE.

Recta tanaente a una curva en un Dunto dado Para calcular la recta tangente

a una curva en un punto concreto, xo' tan sólo habrá

que calcular la derivada de la función en el punto (que será la pendiente de la recta tangente) y luego imponer la condición de que la recta pase por el punto.

r:y = mx + n, donde m = f'(xo)

9.2. INFORMACIÓN

y para calcular n hacemos Yo

= f(xo)

EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA.

MONOTONÍA Recordemos que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Si la pendiente

tangente

es creciente

entonces

la función

es positiva

y por tanto

la derivada)

la curva es creciente,

será decreciente.

recta tangente es constante,

(es decir,

Paralelamente,

sabremos

y si la pendiente

si la pendiente

que la recta es negativa,

es cero es porque la

por tanto en ese punto la función no crece ni decrece, habrá un

extremo. Sea} •

Si f' (xo)

•

Si f'(xo/<

•

Si. f'(xo)

y,naJunción derivable en los puntos deliotervalo

f

>() para todo Xo del intervalo, entonces ... es estrictamente ... O para todp>;o

del intervalo, entonces

= O en un punto/del

djremosque

intervalo,

f

entonces

' ,

es estrictamente

en

f(x

Supongamos

o

un

intervalo

+h)-

f(x

h~o-

que

f'(x)

h

f(xo+h) O, h

o

)

f(xo)

que

distinguir

, > O, para que este limite sea positivo,

Igualmente

>0,

tenemos

(a,b) ;

caso, hes negativa, es necesario que f(xo que

r

t.

Xo es candidato a seL·unextrerno,

h~o

laterales: lim

creciente en

es un pul'Ilo'singular.

Demostración: contenido

abierto I:

+h)con

f(xo) el

para los

todo

x

límites

dado que, en este

< O yeso sólo ocurre en el caso de límite

para que este límite sea positivo,

lateral

por

la

derecha:

dado que h es positiva,

es

h~o+

necesario que f(xo

+h) > f(xo)'

todos los puntos del intervalo

De esta forma queda demostrado

quef

es creciente en

(a,b).

De igual forma se demuestra

para los casos en que la función derivada es decreciente.

De esta forma, el estudio de la monotonía de una función se reduce al estudio del signo de su derivada. 1/5 DAVID RIVIER

SANZ

TEMA 9.- APLICACIONES

>-

DE LAS DERIVADAS.

Ejemplo:

f(x)

=

x2

2° BACH(CN)

,

entonces f'(x)

f es decreciente;

Estudiando el signo:

1-00 0

f'(x)=2x

Luego en (- 00,0)

= 2x.

~

f es creciente

en (0,+00)

lo cual cuadra con el dibujo de la parábola f(x)

=

y en x =

O

hay un mínimo;

x2

EXTREMOS, Para calcular los extremos

no es suficiente con que la derivada valga cero en un punto,

esa es una condición necesaria pero no suficiente (de hecho, la derivada de f(x) vale O y no es un extremo).

Para asegurarnos

que es un extremo tendremos

=

x3

en el O

que ver que la

función pasa de crecer a decrecer o al contrario justo en ese punto. Además se debe dar la condición

de que la función sea continua

y derivable

en ese punto.

La manera de calcular

extremos será con la segunda derivada.

9.3. INFORMACIÓN

EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA.

CONCAVIDAD

Y CONVEXIDAD

Con la segunda

derivada

podemos

estudiar

la concavidad

y la convexidad

de una

función, así como sus extremos y los puntos de inflexión (que son los puntos donde la función cambia de ser cóncava a convexa). Sea

f

una funcióndos

• Si f"(xo»O • Si f"(xoJ

veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1:

para todo Xo del intervalo, entonces la funciÓn es convexa 2e = 1 => e = .!. 2

9.6. APLICACIONES

DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

Función constante. Sea f(x)

continua en [a,b] yderivableen

entonces f(x)

(a,b). Si f'(x)=0

para todo xE(a,b),

es constante en [a,b].

Función cred.ente. Sea f(x) entonces

continua en [a,b] y derivable en (a,b). Si f'(x)

f (x)

> O para todo x

E

(a,b),

es creciente en [a, b].

Mínimo relativo. Sea f(x)

entonces f(x)

9.7. OPTIMIZACIÓN

Con mucha económicos, volumen,

en [a,b] y derivable ..en (a,b).

continua

= Oy

f"(xo)

>O

tiene un mínimo en xO' (Igual con máximo relativo)

DE FUNCIONES.

frecuencia,

biológicos,.",

en la vida

de estos problemas,

conocida, sino en encontrar

real,

aparecen

en los que se trata de optimizar

unos beneficios, una población;

La dificultad

Si f'(xo)

problemas

físicos,

una función

geométricos,

(hacer máximo

un

hacer mínimos unos costes o un área, etc ...). normalmente,

no estriba en optimizar

una función

la expresión analítica de la función que debemos optimizar.

Para

resolver este tipo de problemas tendremos que: 1. Aprender

la técnica

de hallar

los extremos

de una función

que viene dada

mediante su expresión analítica. 2. Ejercitarse

en expresar analíticamente

funciones que se describen mediante

un

enunciado. 4/5 DAVID RIVIER

SANZ

TEMA 9.- APLICACIONES

DE LAS DERIVADAS.

2° BACH(CN)

Para el punto 1: a) Si f(x)

es derivable en [a,b], los máximos y los mínimos estarán entre los puntos

singulares y los extremos del intervalo. •

Resolver la ecuación f' (xo) =

•

Seleccionar las raíces XI'X2'X3'

•

Calcular f( a), j(xl

), ... , j(b),

Por tanto, el procedimiento

a seguir será:

O .

que estén entre a y b .

•.•

con estos valore veremos

cuál es el máximo o el

mínimo. b) Si existe algún punto de [a,b] en el que j(x) calculamos

el valor de la función

no sea derivable,

en ese punto,

pero si continua,

ya que en ese punto se puede

alcanzar el máximo o el mínimo. c) Si

no

f(x)

es

comportamiento

continua

en

algún

punto

de la función en las cercanías de

Xo

de

[a,b],

estudiaremos

el

xo'

Para el punto 2, sólo la práctica hará que seáis capaces de plantear cualquier problema.

~ Ejemplo:

Con una pieza cuadrada de 36 cm de lado queremos realizar una caja (sin

tapa). Calcula las dimensiones de la caja para que el volumen se máximo. El volumen de una caja viene dado por:

V = ÁreaBase x Altura En nuestro caso la base es un cuadrado de lado 36 - 2x , y la altura es x. Por tanto:

V = (36 - 2x), x, maximizar

¡X

luego

la

función

que

tenemos

que

..... ;rr · ·· ·· [.·.·

o de la que buscamos el máximo es:

f(x)=(36-2x).x simplificada

que

desarrollando

36

36 -2x nos

queda

más

como j(x) = 36x - 2X2 .

A la hora de buscar el máximo

tendremos

que tener en

....... !"

'

:

.

cuenta que el dominio de la función es (0,18). Calculamos la derivada:

f'(x) = 36 -4x

f'(x) = 36 -4x = O x = 9 (que pertenece al dominio). Calculamos

la segunda

derivada:

f"(x)

= -4

< O siempre, en particular

para x = 9,

luego es un máximo de la función. Calculamos absoluto):

j(0),j(9)

y f(18)

(para comprobar

qué en x = 9 se alcanza el máximo

j(O) = O, f(9) = 162 y j(18) = O.

Por tanto las dimensión es son: 18 cm de lado de la base y 9 cm de alto.

9cm

5/5 DAVID RIVIER

SANZ

é :rE!( e le'

o So

•

-

Área máxima En un jardín con forma de semicírculo de radio 10m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.

Tomamos como origen de coordenadas centro de la circunferencia.

~P(x.')

~

x

i

1,

.¡,

la

P(x, y) es un punto de la circunferencia.

'.

El área del parterre es: S =

·1

lO

Como el punto x2 +

y~

P pertenece

y 2 = 100 -7 Y

a la circunferencia,

debe verificar que:

5(x)

=

2x--l100 -

x2

?

5'(x)

x = 5-fi

En

x

5-fi,

<

Y

2(100 - 2x-). , = 0----i 100 - x-? ' S (x) ---

=

hay, efectivamente,

5/(x)

<

2:>..y

= "./100 - x2

Así pues, hay que maximizar

Calculamos

el

un máximo,

.

X =

5-fi

x

-5-fi

=

ya que

(no vale)

5'(x) >

°

si

si x> 5-fi.

O

del parterre serán 1O-fi m y 5-fi m, y su área máxima

Las dimensiones será 100 m2

2 Pn,,:;biema de tiempo mínimo Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabielzdo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible .

p

Llamamos x a la distancia de la caseta al punto P al que debe llegar a nado.

B

6-x

Tiene que recorrer:

3km

AP = .,,¡x2 + 9 a 3 km/h t+. PE = 6 - x a5 km/h

y

A

El tiempo empleado .

-ix2+96-x + -3 5

t'( x) =

O

-7 10x -

6

,

-7

t(x) = ---

x2 +

.,,¡

t(x)

9 = O

2x-----

-- 1 6-ix2 + 9 5

= -

-7 5x

= 3"'¡ Xl + 9

x -7

Comprobamos

25x2 = 9(x1 que:

+

9) -7 16x2 = 81

t/(x) > O

2,25

es:

-7 = 9/4 = 2,25 km = -9/4 (no vale)