III. Ecuaciones generales

Problema 3.1 Para el sistema de la figura, utilizando la ecuaci´on de conservaci´ on de masa y suponiendo que el fluido que circula est´ a formado por gases perfectos cuyos pesos moleculares son distintos a la entrada y salida, calcular la velocidad de salida. Soluci´ on: v3 = 10,823 m/s

Problema 3.2 Un chorro de agua de caudal 0,1 m3 /s y velocidad de salida 20 m/s incide sobre el cuerpo de la figura de tal modo que el caudal se divide en dos partes iguales en las direcciones de la figura. Determinar, despreciando las fuerzas m´ asicas, las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el chorro ejerce sobre el cuerpo en los casos siguientes: 1o ) El cuerpo est´ a en reposo. 2o ) El cuerpo se acerca al chorro a una velocidad de 10 m/s. 3o ) El cuerpo se aleja del chorro a una velocidad de 10 m/s. Soluci´ on:   1o ) F 0 = −1292,9~i + 292,89~j N   2o ) F 0 = −2909~i + 659~j N   3o ) F 0 = −323,2~i + 73,22~j N

Problema 3.3 La tuber´ıa acodada de la figura toma fluido a la presi´on p1 y lo expulsa a la presi´ on p2 . La mitad superior de la tuber´ıa est´ a a presi´ on pa y la inferior a p2 , estando ambos ambientes separados por un tabique T . La secci´ on del conducto que cruza el tabique es A. En la entrada la velocidad es v1 , la densidad ρ1 y el ´ area A1 . En la salida la velocidad es v2 y el ´ area A2 . El movimiento es permanente, las condiciones a la entrada y salida son uniformes y se desprecian las fuerzas m´ asicas. Se pide calcular la densidad a la salida ρ2 y la fuerza total que ejerce el fluido tanto exterior como interior sobre el conducto. 3

2

Aplicaci´ on num´erica: ρ1 = 1, 2 kg/m ; v1 = 50 m/s; A1 = 30 cm2 ; p1 = 0, 95 kg/cm ; v2 = 100 m/s; 2 2 A2 = 20 cm2 ; p2 = 0, 8 kg/cm ; A = 25 cm2 ; pa = 1 kg/cm Soluci´ on: ρ2 = 0,9 kg/m3

;

  Fy0 = −23,7~i − 49,0 ~j N

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

1

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.4 Un vertedero descarga sobre un canal horizontal de anchura constante, de tal manera que la corriente llega verticalmente al canal. Se observa que entre el manto de agua y el vertedero, el agua alcanza una altura a. Suponiendo que se pueden aplicar las ecuaciones de la fluidoest´ atica en la pared vertical del vertedero (aguas abajo), se pide: 1o ) Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cara vertical aguas abajo del vertedero. 2o ) Suponiendo que se desprecian las fuerzas de fricci´on entre el fluido y la pared horizontal y que la velocidad del fluido aguas abajo es v0 , calcular (usando la conservaci´on de cantidad de movimiento) la altura h aguas abajo. Aplicaci´ on: a = 2 m ; v0 = 3 m/s. Soluci´ on: 1o ) F1 =

ρga2 2

;

F1 = 19600 N/m

2o ) h =

−v02 ±

√

v04 +g 2 a2 g

;

h = 1,2824 m

Problema 3.5 Se trata de relacionar la fuerza F que ejerce una corriente uniforme sobre un obst´ aculo bidimensional con el defecto de velocidad o sombra que se produce en la parte posterior del mismo. En la figura se representa un modelo simple de la configuraci´ on del campo fluido, aunque desde luego no corresponde a una corriente real. Suponer que el ancho de la estela es δ y que en ella la velocidad es u1 = u − ∆u. Tomar un volumen de control ABCD, suficientemente alejado del cuerpo para que en primera aproximaci´on en toda la superficie del volumen la presi´ on sea la ambiente pa y la velocidad sea aproximadamente u, excepto en la estela. BC a AD son l´ıneas de corriente. Calcular: 1o ) La diferencia entre CD y AD. 2o ) Calcular la fuerza F por unidad de ancho sobre el obst´aculo como funci´on de δ, u, ρ e ∆u. Hacer la 3 aplicaci´ on a δ = 1 m, u = 5 m/s, ρ = 1, 25 kg/m e ∆u = 0, 5 m/s. 3o ) Aguas abajo la estela se ensancha, en un sitio donde el ancho sea 2δ calcular lo que valdr´ıa u1 . Despreciar las fuerzas m´ asicas. Soluci´ on: 1o ) CD − AB = 0,1 m 2o ) Fx0 = 2,81 N/m 3o ) u1 = 4,764 m/s

2

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

Problema 3.6 Se tiene un tubo como el de la figura de secci´on constante y por el que circula un gas. En la secci´ on de entrada del tubo la presi´on es dos veces la atmosf´erica y en la salida la atmosf´erica, que es tambi´en la ambiente. Se supone que el gas se mantiene en el tubo a la temperatura ambiente Ta , que es por tanto la temperatura a la entrada y la salida. El gas es perfecto y calor´ıficamente perfecto. Tomando como datos la temperatura ambiente pa , la velocidad del gas a la entrada u1 , y las constantes del gas Rg y γ, calcular: 1o ) la velocidad en la salida u2 , 2o ) el calor que recibe el gas a trav´es de las paredes del tubo por unidad de tiempo y 3o ) la fuerza sobre el tubo en magnitud y direcci´on. Suponer propiedades constantes en las secciones de entrada y salida del tubo. Despreciar las fuerzas m´ asicas. Despreciar los esfuerzos viscosos y la conducci´on de calor en las secciones de entrada y salida. No hay adici´ on de calor al gas por radiaci´on ni por reacci´on qu´ımica. Soluci´ on: 1o ) vs = 2ve 3pa Ave3 Ra Ta   2v 2 3o ) F = 1 + Rg Tea pa A~i + 2o ) Q˙ =

4ve2 ~ Rg Ta pa Aj

Problema 3.7 Una bomba est´ a alimentando un dep´ osito como el de la figura del que el agua sale por un orificio. Se supone un estado permanente, esto es, que el nivel de agua en el dep´ osito no var´ıa con el tiempo. La bomba consume una potencia W , con un rendimiento η. El orificio tiene un area de salida As con un coeficiente de descarga ξ. La bomba tiene el ´ mismo nivel a la entrada y a la salida y el agua se supone a la entrada de la bomba a la presi´ on ambiente. Despreciando las energ´ıa cin´eticas a la entrada y salida de la bomba, se pide: 1o ) Calcular el nivel de agua H1 en el dep´osito. Hacer la aplicaci´on al caso: W = 2 kW, η = 0,9, ξ = 0,8, As = 10 cm2 . Se supone que la bomba tiene una curva caracter´ıstica a revoluciones fijas (que es c´omo funciona): H = H0 (1 − Q/Q0 ), que relaciona en cada instante la altura que da la bomba con su caudal. Se pide: 2o ) Estudiar la evoluci´ on del agua en el dep´osito desde que est´a vac´ıo hasta que se alcanza la altura del apartado anterior, en el supuesto de que durante este proceso de llenado el orificio de salida esta cerrado. El ´ area transversal del dep´osito es A. H0 y Q0 son datos. Soluci´ on: 1o ) H1 = 13,9 m   H0 0 2o ) t1 = AH ln Q0 H0 −H1

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

3

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.8 Una corriente bidimensional, gaseosa, uniforme, de presi´on, densidad, temperatura y velocidad p1 , ρ1 , T1 y ~v1 = v1~i respectivamente, incide sobre una cascada de ´ alabes fija que distan entre s´ı una distancia L y sobre los que ejerce en cada uno de ellos una fuerza por unidad de profundidad: F~ = Fx~i + Fy~j. Se pide escribir las ecuaciones que permiten calcular las condiciones de la corriente aguas abajo de la cascada p2 , ρ2 , T2 y ~v2 , cuando dicha corriente se ha uniformizado. Suponer el gas cal´ oricamente perfecto, condiciones estacionarias y los alabes aislados t´ermicamente. ´ Soluci´ on: F

y p2 = p1 + ρ1 v12 − L tan α −
1 2 ; T2 = T1 + 2Cp v1 − v22

Fx L

; ρ2 =

ρ21 v12 L tan α Fy

; v2 =

Fy ρ1 v1 L sen α

Problema 3.9 Desde un embalse cuyo nivel puede suponerse constante, se alimenta de agua a una turbina hidr´aulica a trav´es de una tuber´ıa de 300 mm de di´ ametro, bajo una altura geom´etrica de 20 m tal como se indica en la figura. 1o ) Si para un caudal turbinado de 500 l/s, las p´erdidas por viscosidad en la tuber´ıa equivalen a una altura de 2,5 m (= Φv /G g) determinar la presi´ on manom´etrica y la velocidad a la entrada de la turbina (secci´ on 1). 2o ) Si en la secci´ on 2 del tubo difusor de 600 mm de di´ametro, situado a 1,5 m por debajo de la cota de 2 implantaci´ on de la turbina, la presi´ on manom´etrica es de p2 = −0,306 kg/cm , calcular el salto neto Hn , las p´erdidas hidr´ aulicas en la turbina HL (en el supuesto de considerar un rendimiento hidr´aulico ηh = 0,9 y despreciables las p´erdidas en el difusor) y la potencia intercambiada entre el fluido y el rodete W . 3o ) Obtener la potencia suministrada por la turbina en el supuesto de considerar un rendimiento global de la turbina ηt = 0,85. Soluci´ on: 1o ) p1 − pa = 14,95 mca ; v1 = 7,07 m/s

2o ) Hn = 21,9 m ; Hp = 2,19 m ; W = 96579 W

3o ) W = 91213,5 W

Problema 3.10 Se tiene un tubo de secci´ on constante como el de la figura, por cuya parte central se inyecta un l´ıquido de densidad ρ1 = 2ρ2 , siendo la ρ2 la densidad del otro l´ıquido que circula por el resto de la secci´on del tubo. El fluido en la secci´ on 1 tiene una velocidad v1 = 3v2 , siendo v2 la velocidad en la secci´on 2. La secci´ on de salida del fluido 1 es la mitad de la total del tubo, y por tanto igual a la secci´ on 2. Aguas abajo, en una secci´ on 3, se mezclan los dos fluidos con una velocidad v3 y densidad ρ3 , ambas uniformes. Se pide: 1o ) Suponiendo v3 = 2v2 , calcular la densidad ρ3 aguas abajo.

4

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

2o ) Calcular la diferencia de presiones (p3 − pe ) mediante la aplicaci´on de la ecuaci´on de conservaci´ on de cantidad de movimiento. Suponer despreciables la fuerza del tubo sobre el fluido y las fuerzas m´ asicas. Suponer que en la entrada la presi´on es uniforme p2 = p1 = pe . 3o ) Calcular la temperatura a la salida T3 , suponiendo conocidos, adem´as de los datos anteriores, las temperaturas a la entrada T1 y T2 . Datos: ρ1 = 1000 kg/m3 , v2 = 10 m/s , A = 1, 5 dm2 , pe = 1 atm , T1 = 15 o C , T2 = 20 o C y c = 1 cal/g o C para los dos l´ıquidos. Soluci´ on: 1o )ρ3 = 47 ρ2 = 875 kg/m 3o ) T3 = 71 T2 + 67 T1 +

3

2o )p3 − pe = 5ρ2

2 27 v2 14 c

v22 2

= 125000 N/m

2

= 15, 72 o C

Problema 3.11 Un ´ alabe en reposo deflecta 60◦ un chorro de agua de 50 mm de di´ametro. A causa de la fricci´ on en la superficie del ´alabe, el agua que abandona el alabe ha perdido el 15 % de su energ´ıa cin´etica original. Calcular el caudal ´ de agua necesario para producir una fuerza hidrodin´amica de 2000 N sobre el ´ alabe. Soluci´ on: Q = 0,0638 m3 /s

Problema 3.12 Un turborreactor aspira 70 kg/s de aire y consume 4,5 kg/s de combustible. Los gases de combusti´ on abandonan la tobera del motor a presi´on ambiente y a una velocidad respecto al motor de 1400 m/s. Calcular: 1o ) Fuerza de empuje del motor cuando ´este se est´a probando en el banco de ensayo de un laboratorio. 2o ) Fuerza de empuje cuando el motor se encuentra instalado en un avi´on que vuela a 250 m/s. Soluci´ on: 1o ) F = −104,300 kN

2o ) F = −85,675 N

Problema 3.13 Se tiene un dep´ osito de grandes dimensiones como el indicado en la figura donde la altura del agua es de 7,5 m. En la parte superior hay una c´ amara de aire a una pre2 si´ on manom´etrica de 0,25 kg/cm . En la parte inferior hay un orificio de 1 cm2 de ´ area por el que sale agua con una velocidad de vS = 10 m/s. Suponiendo que la variaci´ on de nivel del agua es lo suficientemente peque˜ na como para que la presi´on en el fondo del dep´ osito se pueda suponer constante, calcular: 1o ) la fuerza que el chorro que sale del dep´osito ejerce sobre ´este y 2o ) la potencia perdida por disipaci´ on viscosa al atravesar el agua el orificio de salida del dep´osito y el incremento de temperatura que sufrir´ıa ´esta.

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

5

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

El chorro que sale del dep´ osito incide sobre un deflector en reposo como el indicado en la figura. Los efectos viscosos se suponen despreciables en la secci´on de entrada [1] y de salida [2] del deflector, pero no en el flujo intermedio donde son importantes. Debido a la disipaci´on viscosa entre la entrada y salida del deflector hay un incremento en la temperatura del agua de una mil´esima de grado cent´ıgrado. 3o ) Despreciando las variaciones de energ´ıa potencial y por tanto las fuerzas m´asicas, calcular la velocidad en la secci´ on de salida [2] del deflector. 4o ) Calcular las componentes de la fuerza sobre el deflector, suponiendo que en la parte exterior del chorro en contacto con el aire la presi´ on es la ambiente. Soluci´ on: 1o ) Fx = −10 N 2o ) Φv = 46 W; ∆T = 0,0115 o C   4o ) F = 5,22~i − 8,28~j kN

3o ) v2 = 9,57 m/s

Problema 3.14 En un banco de ensayo de motores de aviaci´on a presi´on atmosf´erica se est´ a ensayando un motor a reacci´on, en unas condiciones de funcionamiento estacionarias en las que el gasto de combustible inyectado radialmente en la c´amara de combusti´ on, Gc , es del 3 % de gasto de aire que entra al motor, Ge . El poder calor´ıfico del combustible es de 8,5 × 106 cal/kg, su densidad 658 kg/m3 y su calor espec´ıfico de 2200 J/kgK. Si las p´erdidas de calor a trav´es de las paredes del motor son del 2 % del calor total generado, y de acuerdo a las condiciones uniformes de entrada y salida indicadas en la figura, calcular: 1o ) Gastos de entrada Ge de aire, salida Gs de gas, y gasto de combustible inyectado Gc . 2o ) Densidad y temperatura de los gases de salida (su composici´on es aproximadamente la del aire). Soluci´ on: 1o ) Ge = 141,22 kg/s ; Gs = 145, 46 kg/s ; Gc = 4, 326 kg/s 2o ) Ts = 1004,6 K ; ρs = 0,346 kg/m3

Problema 3.15 La tuber´ıa de la figura descarga a trav´es de una tobera, inclinada 45◦ respecto a la horizontal, un chorro de agua con una velocidad de 25 m/s. El di´ ametro de entrada a la tobera es de 20 cm y el de salida de 10 cm. El man´ ometro colocado a la 2 entrada de la tobera indica una pe = 6 kg/cm . El chorro de agua alimenta un canal de 0,12 m de anchura donde se establece un flujo estacionario controlado aguas abajo por una compuerta. La profundidad del agua en el canal aguas arriba de la compuerta es h2 = 3,5 m y aguas abajo h3 = 0,3 m. Considerar despreciable el rozamiento del agua con las paredes del canal, que en las secciones 1, 2 y 3 la distribuci´on de presiones es la correspondiente a la hidrost´atica, que las velocidades v2 y v3 son uniformes y que el chorro entra en contacto con la superficie libre con la misma velocidad, direcci´on y tama˜ no que sale de la tobera. Calcular: 1o ) Fuerza ejercida sobre la compuerta.

6

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

2o ) Valor de h1 . 3o ) Fuerza total sobre la tobera. 4o ) Potencia disipada en la tobera y en la compuerta. Soluci´ on: 1o ) F = 6171,76 N 3,263 kW

2o ) h1 = 2,55 m

3o ) F = 14791,0 N

4o ) ΦTob = 88,727 kW ; ΦComp =

Problema 3.16 El funcionamiento de una h´elice de barco puede idealizarse en la forma que se indica en la figura. El agua que atraviesa la h´elice est´a separada del resto por una superficie de corriente axilsim´etrica. Lejos de la h´elice aguas arriba, en la secci´ on 1 el agua sin perturbar tiene una velocidad v1 = 3 m/s y una presi´ on de p1 = 1,2 atm. A medida que nos movemos aguas abajo el agua se acelera hasta que suficientemente lejos aguas abajo de la h´elice, en la secci´ on 4, la presi´ on es de p4 = 1,2 atm y la velocidad es v4 = 9 m/s, superior a la del fluido sin perturbar. Suponer: funcionamiento de la h´elice estacionario, nula la resultante de las fuerzas de presi´on sobre el volumen de control y despreciables las fuerzas viscosas y las de gravedad. Se pide: 1o ) Sabiendo que A1 = 3 m2 , calcular el ´area de salida A4 . 2o ) Calcular la fuerza del agua sobre la h´elice indicando su sentido. 3o ) Calcular la energ´ıa comunicada por la h´elice al fluido. 4o ) Determinar el incremento de presi´ on entre las secciones 2 inmediatamente anterior y 3 posterior a la h´elice y el di´ ametro de la misma. Soluci´ on: 1o ) A4 = 1 m2

2o ) Fx = −54000 N

3o ) W = 324 kW

2

4o ) ∆p = 36000 N/m , D = 1,38 m

Problema 3.17 Por un canal de 3 m de anchura circula un caudal de agua Q. La profundidad de la corriente en la secci´ on 1 es de 9 cm. Aguas abajo de esta secci´on el fondo del canal se eleva 6 cm tal como se indica en la figura y la superficie libre del agua se eleva en 9 cm. Suponiendo que la velocidad de la corriente es uniforme en las secciones 1 y 2, y despreciando los efectos viscosos, calcular: 1o ) Caudal de agua Q. 2o ) Fuerza horizontal del agua sobre el elemento AB del fondo del canal 3o ) Repetir el apartado anterior, sin despreciar la viscosidad y sabiendo que las p´erdidas de energ´ıa mec´ anica por fricci´ on con el fondo del canal entre las secciones 1 y 2 son un 20 % de la energ´ıa en 1. Soluci´ on: 1o ) Q = 0,5 m3 /s

2o ) Fx = 180,2 N

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

3o ) Fx = 156,22 N

7

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.18 La figura muestra un conducto donde se mezclan dos corrientes de aire. La corriente superior (1) tiene una velocidad v1 = 100 m/s, una temperatura T1 = 10o C, una presi´ on manom´etrica de p1 = 2 bar y un ´ area A1 = 0,5 m2 ; la corriente inferior (2) tiene una v2 = 100 m/s, una temperatura T2 = 20o C, una presi´ on manom´etrica de p2 = 3 bar y un ´ area A2 = 0,5 m2 . Calcular la presi´ on p3 . Sabiendo que la presi´ on en una secci´ on 4, muy aguas abajo (L34  L13 ), p4 = 1,5 bar y que la temperatura T3 = T4 , calcular la fuerza F del tubo sobre el fluido en el tramo 3-4 y el calor que hay que comunicar o extraer del fluido en ese tramo de tubo. Soluci´ on: 1o ) p3 = 253461 Pa

2o ) F = −84441,5 N

3o ) Q = 2,039 × 106 W

Problema 3.19 El estanque solar de la figura que tiene un fondo cuadrado de 25 m y una profundidad de 3,5 m, se encuentra lleno de agua salada hasta una altura de 3 m. La densidad del agua 3 salada varia linealmente desde 1000 kg/m en la superficie 3 hasta 1003 kg/m en el fondo del estanque. 1o ) Calcular la fuerza que act´ ua sobre la compuerta cuadrada AB de 2 m de lado indicada en la figura. 2o ) Calcular la variaci´ on de nivel del estaque un d´ıa de tormenta, suponiendo: que llueve verticalmente, que las gotas de lluvia que caen con una velocidad de 0,5 m/s, son esf´ericas de di´ametro 3 mm y que 3 la concentraci´ on de gotas es de 40000 gotas/m . Soluci´ on: F = 78565,02 N

dh dt

= 2,83 × 10−4 m/s

Problema 3.20 La aeronave de la figura tiene una masa de 3000 kg y se mantiene a una altura del suelo fija mediante dos propulsores id´enticos que funcionan de manera estacionaria. Se sabe que en la secci´on 2 la presi´ on es igual a la atmosf´erica, que el rendimiento de los propulsores es la unidad y que el calor intercambiado con el fluido es despreciable. Las condiciones de presi´ on y temperatura ambiente son pa = 1 atm y Ta = 15◦ C. 1o ) Calcular para una altura dada, la velocidad de salida v2 y la potencia cedida al fluido. 2o ) Repetir el apartado anterior cuando la aeronave asciende con una velocidad de 50 m/s. Soluci´ on: 1o ) v2 = 93,03 m/s, W = 752,640 kW

8

2o ) w2 = 129,18 m/s, W = 1,726 MW

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

Problema 3.21 Un dep´ osito prism´ atico de base cuadrada de lado L = 1 m con3 tiene un l´ıquido de elevada viscosidad y de densidad 1100 kg/m . La pared derecha del dep´ osito es una compuerta articulada en su arista inferior que se mantiene en equilibrio por la acci´on de un chorro circular horizontal de agua, ver figura. Se pide: 1o ) Suponiendo el dep´ osito fijo al suelo y que el nivel del l´ıquido en el mismo es de H = 1 m, calcular a que altura h del suelo tendr´ıa que incidir un chorro de di´ ametro d = 15 cm y velocidad v = 20 m/s, para que el ´ angulo de equilibrio sea α = 15◦ . 2o ) Suponiendo que el dep´ osito puede deslizar sin fricci´on sobre la superficie del suelo, que su masa es de 1200 kg y que contiene en su interior 1 m3 de l´ıquido, calcular cual tendr´ıa que ser la velocidad de un chorro de agua, de di´ ametro d = 15 cm y h = 0,9 m, para que en el instante en el que el dep´ osito alcance una velocidad de u = 2 m/s la compuerta estuviera en equilibrio vertical (α = 0◦ ). Suponer que la masa del agua procedente del chorro en la zona pr´oxima a la compuerta es despreciable frente a la del dep´ osito. Soluci´ on: 1o ) h = 0,2723 m

2o ) v = 13,45 m/s

Problema 3.22 El dep´ osito de la figura de 1 metro de anchura est´a dividido en dos. Presenta un lado abierto mientras que el otro est´a cerrado, aunque las dos zonas est´ an comunicadas por su parte inferior. Inicialmente el volumen de agua es de 2 m3 y el nivel en los dos dep´ositos es id´entico. S´ ubitamente, 2 se somete al dep´ osito a una aceleraci´ on constante a = 4,9 m/s hacia la derecha. 1o ) Determinar la fuerza ejercida sobre la pared intermedia que separa los dos dep´ ositos. A continuaci´ on el dep´ osito deja de acelerarse y sobre la parte abierta llueve verticalmente durante tres minutos a una velocidad v = 1 m/s, si 3 la densidad de la lluvia es 400000 gotas/m y cada gota tiene un di´ametro de 5 mm. 2o ) Determinar la cantidad de agua ca´ıda, la variaci´on temporal de nivel en cada uno de los lados del dep´ osito y la posici´on final de las dos superficies libres. Consid´erense los procesos isotermos con T = 20o C. Soluci´ on: 1o ) F = 4077,9 N o

2 ) M = 4712,4 kg ;

dH1 dt

=

ρg ρw v

 1−

1

2+ ρ

p2 w g(h−H2 )

 ;

dH2 dt

=

ρg ρw v



1

2+ ρ

p2 w g(h−H2 )

 ; H1 = 5,4264m ; H2 =

1,2859m

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

9

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.23 En un canal con perfiles de velocidad uniformes se ha formado un resalto hidr´ aulico que se caracteriza por ser un proceso disipativo en el que se produce una p´erdida de energ´ıa mec´ anica. Tomando medidas en el mismo se ha comprobado que la altura h1 del agua antes del resalto es de 1 metro, y que a consecuencia de la disipaci´ on viscosa el agua a trav´es del resalto sufre un incremento de temperatura de 0,001o C. Suponiendo que la presi´ on en el l´ıquido es aproximadamente la hidrost´ atica y que la fricci´ on del fluido con las paredes es despreciable, determinar: 1o ) Caudal por unidad de longitud que circula por el canal. 2o ) Altura y velocidad del agua del canal en la secci´on 2. 3o ) Aguas abajo del resalto se coloca una barrera m´ovil cuya funci´on es la limpieza del canal. Esta barrera se mueve hacia aguas abajo a una velocidad de v = 2 m/s. Determinar la fuerza necesaria para mover la barrera. Suponer que debido a la barrera la profundidad del agua aguas abajo es h3 = 3 m. Soluci´ on: 2

1o ) q = 6,9 ms

2o ) h2 = 2,65 m ,

v2 = 2,6 ms

3o ) F = 9588 N

Problema 3.24 Un cuerpo con forma de cuarto de toro con centro en A y de secci´ on transversal cuadrada est´ a sumergido en una soluci´ on salina en la que la densidad var´ıa lineal3 mente desde ρ = 1 gr/cm en la superficie libre hasta 3 ρ = 1,1 gr/cm a 50 cm de profundidad. Dicha soluci´on ejerce una fuerza hidrost´ atica sobre las caras del cuerpo produciendo un momento total sobre el punto A. Dicho momento se equilibra con el producido por la fuerza de un chorro que golpea sobre un deflector como indica la figura. La manguera por la que sale el chorro se mueve hacia la placa con una velocidad u = 1m/s. Cuando el dep´osito est´a vac´ıo y no existe chorro todo el sistema mec´ anico est´ a en equilibrio. 1o ) Calcular el momento respecto de A producido por el l´ıquido del dep´osito sobre el cuerpo. 2o ) Debido a la disipaci´ on viscosa en el deflector, entre la entrada y la salida de ´este, se pierde un 5 % de la energ´ıa cin´etica de entrada. Calcular el caudal de agua que sale por la manguera para que equilibre el momento del apartado anterior. La manguera tiene una secci´on de 50 cm2 . Suponer que la fuerza del chorro se aplica en el punto B. Soluci´ on: 1o ) M = 5,3 Nm (Sentido horario)

10

2o ) Q = 6,68 l/s

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

Problema 3.25 Un dep´ osito de anchura 1 m tiene en su lado izquierdo una pared que bascula sin rozamiento respecto del punto A. Para mantenerla con un ´ angulo de inclinaci´on θ = 30o respecto de la horizontal, se emplea un chorro de agua situado a una altura h = 3 m, el cual se deflecta en la direcci´ on de la pared. Determinar: 1o ) La velocidad del chorro si el nivel de agua en el dep´ osito es h0 = 5 m. 2o ) Fuerza aplicada en el punto B. Soluci´ on: 1o ) v = 82,49 m/s 2o ) FB = 36470,86 N

Problema 3.26 Una piscina de agua salada tiene un fondo rectangular de 20 × 10 m y una profundidad de 4,5 m. Est´ a llena de agua hasta los 4 m. Sabiendo 3 que la densidad del agua salada var´ıa linealmente desde 1000 kg/m en 3 la superficie libre hasta 1004 kg/m en el fondo de la piscina. Se pide: 1o ) Hallar la fuerza que act´ ua sobre la pared frontal sumergida de 10 m de ancho. 2o ) Calcular la variaci´ on del nivel de la piscina suponiendo que llueve verticalmente, que las gotas caen con 3 una velocidad de 0,5 m/s, son esferas de di´ametro 2 mm y que su concentraci´on es de 45000 gotas/m . 3o ) Calcular la fuerza que la lluvia ejerce sobre la superficie de la piscina. Soluci´ on: 1o ) F = 785045, 33 N 2o ) h = 4 + 9,4 × 10−5 · t 3o ) F = −9,425 N

Problema 3.27 La bomba que alimenta una fuente est´a instalada en un contenedor impermeable G. Dicha bomba alimenta cuatro tuber´ıas de las cuales salen chorros de agua. La parte superior del contenedor se encuentra abierta. El nivel de agua en la fuente es constante. Si el di´ametro interno de cada una de las cuatro tuber´ıas es 75 mm, ¿Cu´al es la fuerza vertical total ejercida sobre los soportes del contenedor? Suponiendo flujo ideal en el interior de las tuber´ıas, ¿Cu´al es la potencia consumida por la bomba si el rendimiento global es del 90 %? Soluci´ on: 1o ) Ftotal = −2603,77 N ˙ = 19,2 kW 2o ) W

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

11

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.28 Al fin de crear un flujo de bajo n´ umero de Reynolds dentro de una tuber´ıa, se propone el experimento de la figura. La tuber´ıa est´a dentro de un dep´ osito suficientemente grande en el que un ventilador crea una depresi´ on que succiona flujo del exterior. Calcular la potencia requerida por el ventilador, cuyo rendimiento es del 70 %, si el n´ umero de Reynolds en el interior de la tuber´ıa es de 2.000. Soluci´ on: o ˙ 1 ) W = 3,23 × 10−2 W

Problema 3.29 Un recipiente cil´ındrico descarga un l´ıquido a trav´es de un orificio circular de longitud L = 0,4 m y di´ ametro d = 0,06 m practicado en el fondo. El recipiente tiene un di´ ametro interior D = 3 m. La profundidad inicial del l´ıquido es de h0 = 2,5 m. Al recipiente cil´ındrico llega un caudal Q constante del mismo l´ıquido desde un dep´osito de grandes dimensiones. Al cabo de cierto tiempo la profundidad del l´ıquido se estabiliza en h0 /2. 1o ) Calcula el caudal Q. 2o ) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la profundidad de h0 /2. 3o ) Verifica las hip´ otesis realizadas. Datos: ρ = 7,1 × 103 kg/m

3

y

µ = 1,5 × 10−3 kg/ms

Problema 3.30 En el pueblo de Pi˜ nel de Abajo hay un abrevadero como el de la figura (secci´ on de perfil). El caudal del chorro es constante e igual a 0,2 l/s. El dep´ osito donde cae el chorro es un paralelep´ıpedo de dimensiones 0,8 × 0,5 × 1 m. El di´ ametro del tubo en forma de U invertida es 10 mm. 1o ) Suponiendo que en el instante inicial el dep´osito est´a vac´ıo, describe el funcionamiento de la fuente a lo largo del tiempo. ¿Para qu´e sirve el tubo en U ? osito est´ a completamente vac´ıo, calcula la 2o ) Si en t = 0, el dep´ altura h del agua en los instantes t = 1250 s y t = 8000 s. 3o ) Un vecino, no contento con el funcionamiento de dicha fuente (porque sus ovejas no pueden beber agua tranquilamente) hace un peque˜ no taladro en el punto A de la figura. ¿C´omo modifica esto el funcionamiento de la fuente? Calcular la altura h de agua en los mismos instantes anteriores. 4o ) Comprobar las hip´ otesis realizadas Soluci´ on: 2o ) h(t = 1250 s) = 0,5 m h(t = 8000 s) = 0,41 m 3o ) h = 0,8 m ; siempre

12

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

Problema 3.31 En la figura se muestra el esquema de un secador de pelo. El aire es aspirado de la atm´ osfera a una temperatura de 20o C. En primer lugar atraviesa un filtro en el que se originan unas p´erdidas de energ´ıa de 3,25 W. A continuaci´ on atraviesa un ventilador que consume una potencia de 7,5 W con un rendimiento del 80 %. Seguidamente el aire se calienta al circular a trav´es de una resistencia el´ectrica. El secador est´ a trabajando acoplado con un difusor, tal y como se muestra en la figura. El aire abandona el difusor a una temperatura de 60o C. Las p´erdidas de energ´ıa son despreciables en la resistencia y en el difusor. Suponiendo flujo incompresible: 1o ) Determinar el caudal de aire que suministra el secador 2o ) Calcular la potencia calor´ıfica suministrada por la resistencia 3o ) Justificar la hip´ otesis de flujo incompresible 4o ) Evaluar la fuerza que soporta el anclaje del difusor con el secador para evitar que este u ´ltimo se separe. Soluci´ on: 2o ) Q˙ = 1957,34 W

1o ) Q = 0,057 m3 /s

3o ) M = 0,08  0,3

3o ) Fx = −0,4755 N

Problema 3.32 El agua del dep´ osito 1 de ´ area Ad y grandes dimensiones, descarga sin p´erdidas a trav´es del orificio de ´area A. En el instante inicial, el nivel del agua es H01 . 1o ) Determina la evoluci´ on temporal del nivel de agua en el dep´ osito 1. El chorro impacta sobre una placa plana que cubre un orificio con la misma ´ area A en un segundo dep´osito cuyo nivel de l´ıquido es H2 (Figura a). 2o ) Encuentra el nivel m´ınimo de l´ıquido del dep´osito 1, H1 , para el cual la fuerza del chorro equilibra la placa evitando la salida de agua del dep´ osito 2. En el caso en el que el chorro impacta sobre un elemento deflector que invierte completamente el sentido del flujo sin modificar la velocidad tal y como se muestra en la figura b. 3o ) Calcula el m´ınimo nivel de l´ıquido del dep´osito 1, H1 , para el cual la fuerza del chorro equilibra el deflector evitando la salida del l´ıquido del dep´ osito 2. En el caso de que el chorro impacta sobre un elemento deflector c´onico, como se muestra en la figura c, sin modificar la velocidad. 4o ) Calcula el semi´ angulo de cono para que la fuerza del chorro sobre el deflector evite la salida de l´ıquido del dep´osito 2, cuando ambos niveles coinciden, H1 = H2 . Soluci´ on: √ √ o 1 ) H = H01 −

A Ad

pg 2

−L

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

2o ) H1 = H2 /2

3o ) H1 = H2 /4

4o ) θ/2 = 60o

13

Ingenier´ıa Fluidomec´ anica (Mar. 2014)

Problema 3.33 Un dep´ osito D1 de secci´ on cuadrada de 1 m de lado est´ a lleno de agua hasta un altura H0 = 10 m y descarga a trav´es de un tubo T1 de secci´ on circular, longitud L = 5 m, di´ ametro D = 0,01 m y p´erdida de carga por disipaci´ on viscosa equivalente al 20 % de la energ´ıa cin´etica en (1). El l´ıquido que sale por (2) es deflectado por una placa gu´ıa ABC en reposo, que divide el caudal incidente en dos partes iguales. Como consecuencia de los efectos disipativos, el flujo saliente desviado por la placa ABC posee una energ´ıa cin´etica un 10 % menor que la que pose´ıa el flujo en la secci´ on (2). Determinar, despreciando las fuerzas m´asicas alrededor de la placa ABC y suponiendo flujos uniformes en todas las secciones: 1o ) La velocidad del flujo en la secci´ on (2). 2o ) La fuerza realizada por el flujo sobre la placa ABC 3o ) El tiempo que tarda en vaciarse la mitad del dep´osito Soluci´ on: 1o ) v2 = 12,79 m/s

2o ) F~ = (12,82~i + 0~j) N

3o ) t = 5830 s

Problema 3.34 Dado el siguiente campo de velocidades ~v = 2t~i − 2x2 t~j determinar: 1o ) La ecuaci´ on de la trayectoria de la part´ıcula fluida que en t = 0 s est´ a en el punto de coordenadas (x0 , y0 ). 2o ) La ecuaci´ on de la l´ınea de corriente que en t = 1 s pasa por el punto de coordenadas (x1 , y1 ). 3o ) Comprobar que se verifica la ecuaci´ on de conservaci´on de la masa en forma integral para el volumen de control de la figura. El volumen de control es no deformable y se mueve con velocidad constante ~v = v0~i Soluci´ on:

Problema 3.35 Una tobera de longitud L = 10 cm, di´ ametro de entrada De = 50 cm, salida DS = 10 cm y 10 kg de masa, genera un chorro vertical ascendente de agua que se supone evoluciona idealmente en aire en reposo. La presi´ on que mide el man´ ometro es de Pm = 500000 Pa, estim´ andose la energ´ıa disipada en la tobera del 10 % de la energ´ıa cin´etica en la salida. La tobera est´ a sujeta al extremo de la tuber´ıa con 6 tornillos. 1o ) Calcular la fuerza que debe soportar cada tornillo. 2o ) Calcular la altura m´ axima que alcanzar´ a el chorro. 3o ) Si este chorro se hace incidir de forma axilsim´etrica sobre un deflector circular de di´ametro Df = 50cm, masa 200kg y ´ angulo de deflexi´ on θ = 20o C, ¿A qu´e altura Z0 permanecer´a suspendido el deflector?

14

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

III. Ecuaciones generales

Soluci´ on: 1o ) F = −15 202 N

2o ) h = 46, 37 m

3o ) z0 = 38, 30 m

Problema 3.36 Un turbomotor se encuentra colocado en un t´ unel de viento como indica la figura, aspirando aire por la superficie (1). Las distribuciones de velocidad en las secciones (1) y (2) son uniformes, siendo el gasto de combustible introducido lateralmente el 3 % del flujo m´ asico de aire introducido en el turbomotor. Las p´erdidas por conducci´ on se corresponden con el 2 % del calor generado por la combusti´ on. Asumiendo que la composici´ on de los gases de salida es aproximadamente la del aire, calcule: 1o ) Los gastos m´ asicos en (1), (2) y el gasto m´asico de combustible 2o ) La fuerza ejercida por el turbomotor sobre el soporte de fijaci´on 3o ) El poder calor´ıfico del combustible Datos: Constante de los gases para el aire 287,68 Jkg−1 K−1 ; di´ametro del inyector de combustible 2 cm; area de la superficie (1) 0,15 m2 ´ Soluci´ on: 1o ) G1 = 24, 44 kg/s ; G2 = 25, 17 kg/s

2o ) F = −13 764, 58 N

3o ) 4Hc = 3, 06 × 107 J/kg

Problema 3.37 Un dep´ osito con forma de cono circular de altura H = 0,5 m est´ a abierto a la atm´ osfera e inicialmente lleno de agua hasta el borde. A partir de un determinado instante se inicia el vaciado del dep´ osito a trav´es de un orificio situado en su fondo, siendo el caudal de salida constante Q = 50 litros/h. 1o ) Calcular el tiempo que tardar´ıa en alcanzarse un nivel de agua H/2. 2o ) Calcular el tiempo que tardar´ıa en alcanzarse un nivel de agua H/2 si llueve con una intensidad de 2 litros de agua por hora y metro cuadrado (qlluvia = 2,0 l · h−1 m−2 ). 3o ) Plantear la ecuaci´ on diferencial que permitir´ıa calcular la evoluci´on del nivel de agua en el dep´ osito en un d´ıa soleado si la tasa de evaporaci´on es de 0.5 litros por hora y metro cuadrado de superficie libre de agua (qevap. = 0,5 l · h−1 m−2 ). Soluci´ on: 1o ) t = 6,87 h

2o ) t = 7,587 h

UVa - Dpto. I.E.F. - Mec´ anica de Fluidos

2 3o ) 3πh2 dh dt + Qs + 3πh qevap. = 0

15