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Capítulo 6

REDES LINEALES Se desea definir redes lineales y estudiar sus propiedades. Luego se desarrollará el método de análisis por superposición para redes lineales; y dos importantes casos particulares de este método: Los teoremas de Thévenin y Norton. Una red lineal está formada por la interconexión de componentes elementales lineales. Entonces una red lineal queda descrita por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El número de ecuaciones es igual al número de componentes dinámicas, esto si existe un árbol que contenga a todos los condensadores y fuentes independientes de tensión, y que las cuerdas contengan a todos los inductores y fuentes de corriente. De la definición de linealidad podremos demostrar qué modelos matemáticos pueden emplearse para representar componentes lineales. Veremos que los condensadores, resistencias e inductores son componentes lineales. Una red no-lineal es aquella que no es lineal. Un número importante de redes útiles son nolineales. Las redes lineales son un caso particular de sistemas lineales, que se estudia como asignatura aparte. Comenzamos el estudio observando redes con una excitación y una respuesta; luego, redes con dos excitaciones y, finalmente, el caso general de n excitaciones.

6.1 Redes con una excitación y una respuesta En la Figura 6.1 se tiene una red que posee sólo una fuente independiente, que se considera la excitación. De todas las variables de la red se escoge el voltaje en la resistencia R3 como la respuesta.

Ejemplo 6.1. Sea la siguiente red:

Leopoldo Silva Bijit

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Teoría de Redes Eléctricas

i1 i2

R1

R3

R2

e(t)

i3 r(t)

Figura 6.1. Red con una excitación. De todas las variables observables se escogió arbitrariamente una. En el caso de la Figura 6.1, se eligió r, el voltaje en R3. La corriente i1 resulta, mediante equivalencias: (6.1)

e R2 R3 R2 R3

i1 R1 La corriente i3, por divisor de corriente:

i3

(6.2)

R2

i1

R2

R3

Finalmente:

r (t ) i3 R3

R2 R2 R3

( R1R2

R3 R1 )

e(t )

(6.3)

Si el coeficiente, formado por las resistencias, se denomina g, resulta:

r (t )

(6.4)

g e(t )

La relación (6.4) la podemos simbolizar, empleando notación de sistemas, según se muestra en la Figura 6.2.

e(t)

S

r(t)

Figura 6.2. Símbolo de sistema. Leopoldo Silva Bijit

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Capítulo 6. Redes lineales

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El símbolo relaciona el estímulo, excitación o causa, con la reacción, respuesta o efecto. La relación entre ambas es la red R. Se anota: (6.5) S : r(e) Es decir, la red S está definida por una relación. En el caso del ejemplo: (6.6)

r (e) ge

6.2. Linealidad para redes con una excitación La red descrita por el sistema: S: r(e) es lineal si y solamente si cumple las propiedades de homogeneidad, o proporcionalidad, y superposición. Una red es homogénea si al aplicar una proporción de un estímulo conocido, la respuesta también varía en esa proporción. Es decir, si se conoce que:

e(t)

S

r(t)

Figura 6.3. Causa – efecto. Entonces se cumple, por homogeneidad que:

k e(t)

S

k r(t)

Figura 6.4. Homogeneidad. Como k es una constante, la forma de e y ke son proporcionales; también r y kr tienen formas proporcionales. Una red tiene la propiedad de superposición, si al aplicar la suma de dos estímulos, en general diferentes, la respuesta es la suma de las respuestas a cada uno de los estímulos. Es decir, si se tiene que: Leopoldo Silva Bijit

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Teoría de Redes Eléctricas

e1(t)

S

r1(t)

e2(t)

S

r2(t)

Figura 6.5. Respuestas a estímulos diferentes. Entonces se cumple que:

S

e1(t)+e2(t)

r1(t)+r2(t)

Figura 6.6. Superposición. Combinando las definiciones anteriores, y si se tienen las relaciones de la Figura 6.5, se dice que S es lineal, si y solamente si:

S

ae1(t) + be2(t)

ar1(t) + br2(t)

Figura 6.7. Linealidad. Donde a y b son constantes. Debe notarse que sólo existe una excitación. Por lo tanto, (e1 + e2) se interpreta como un generador cuya forma de onda es la suma de las formas de ondas de e1 y e2. De la Figura 6.7, puede obtenerse la Figura 6.6, si a y b son iguales a uno. También puede obtenerse la Figura 6.4 si a es cero o bien si b es cero.

6.3. Modelos básicos de componentes lineales 6.3.1. Recta que no pasa por el origen Sea un sistema descrito por: Leopoldo Silva Bijit

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Capítulo 6. Redes lineales

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S :r

(6.7)

ae b

Donde a y b son constantes. Se desea determinar si el sistema S es lineal. Sean: r1(e1) y r2(e2) los pares estímulo-respuesta conocidos. O sea, se cumplen:

r1 r2

(6.8)

ae1 b ae2 b

De la definición (6.7) si se aplica una excitación e1

(6.9)

e2 , tendremos una respuesta que

llamaremos rs (e1 e2 ) ; es decir, se cumple:

rs

a (e1 e2 ) b

(6.10)

El sistema cumple superposición si y sólo si:

rs

r1 r2

(6.11)

Si se reemplaza (6.8) y (6.9) en (6.10), se logra:

rs

r1 r2 b

(6.12)

Lo que demuestra que S es lineal sólo si b=0. Es decir, una recta que pasa por el origen. Para el sistema dado en (6.7) se define la respuesta a un estímulo proporcional, como rh (ke) . Es decir, se cumple:

rh

a (ke) b

(6.13)

El sistema S cumple homogeneidad si:

rh

kr

(6.14)

Eliminando e, mediante (6.7) en (6.13) se logra:

rh

kr b(1 k )

La relación (6.15) muestra que se cumple (6.14), homogeneidad, si y sólo sí: b=0. Leopoldo Silva Bijit

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(6.15)

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Teoría de Redes Eléctricas Entonces el sistema S : r

ae b es no lineal.

También podemos aseverar que el sistema S : r

ae es lineal.

Una resistencia es un sistema lineal, que relaciona la causa i, con la respuesta v, mediante la relación de equilibrio: v Ri , con R constante.

6.3.2. La respuesta es la derivada de la excitación Sea un sistema S, descrito por:

de dt

(6.16)

de1 dt de2 dt

(6.17)

r Se definen:

r1 r2

(6.18)

Sea rs la respuesta a la suma de los estímulos, de la definición de S en (6.16), se cumple que:

d (e1 e2 ) dt

rs

(6.19)

Reemplazando (6.17) y (6.18) en (6.19) se logra:

rs

r1 r2

(6.20)

Por lo tanto, S definido en (6.16) cumple superposición. Se tiene, aplicando la definición de S en (6.16), que:

rh

d (ke) dt

(6.21)

Como el operador derivada es un operador lineal, se tiene a partir de (6.21) que:

rh

k

de dt

Empleando (6.16) en (6.21), se cumple que:

Leopoldo Silva Bijit

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(6.22)

Capítulo 6. Redes lineales

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rh

(6.23)

kr

Entonces de (6.21) y (6.23) se tiene que S es homogéneo. Y, como se cumple homogeneidad (6.23) y superposición (6.20), el sistema (6.16) será lineal. Vemos entonces que si L y C son constantes, el inductor y condensador serán componentes lineales, ya que relacionan la corriente y el voltaje en ellas con una relación similar a la (6.16).

6.3.3. Red de primer orden Sea una red S, descrita por el sistema:

S :a

(6.24)

dr br e dt

El modelo matemático en (6.24) es una ecuación diferencial ordinaria, lineal y de coeficientes constantes. Puede decirse que S es una red de primer orden. En las Figuras 6.8 y 6.9 se muestran dos redes que cumplen la relación (6.24):

e

r

1/b

a

Figura 6.8. Red RC. Para la red de la Figura 6.8, aplicando LCK, se obtiene:

e

r dr a 1/ b dt

Que es equivalente a la relación (6.24) En la siguiente red:

Leopoldo Silva Bijit

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(6.25)

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Teoría de Redes Eléctricas

r(t) b a

e(t)

Figura 6.9. Red RL. Aplicando LVK, se obtiene:

e a

dr br dt

(6.26)

Puede comprobarse, aplicando un desarrollo similar al de los puntos 6.3.1 y 6.3.2, que una red de primer orden es lineal; y también que el sistema descrito en (6.27) es no lineal.

e a

dr b r c dt

(6.27)

6.3.4. Componente cuadrática Sea un sistema S descrito por una relación cuadrática:

S : r e2

(6.28)

r1 e12 r2 e22

(6.29)

Se definen: (6.30)

De (6.28) para la suma de las excitaciones se tendrá la respuesta:

rs

(e1 e2 )2

(6.31)

Reemplazando (6.29) y (6.30) en (6.31) resulta:

rs

r1 r2 2e1e2

(6.32)

Por lo tanto, no cumple superposición. Es no lineal. Además por la definición (6.28) se tiene que la respuesta a un estímulo proporcional es:

rh Leopoldo Silva Bijit

(ke)2

k 2 e2

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(6.33)

Capítulo 6. Redes lineales

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Reemplazando (6.28) en (6.33), se logra:

rh

k 2r

(6.34)

rh

kr

(6.35)

Y no se cumple que:

Por lo tanto, no cumple homogeneidad, y (6.28) es no lineal. La no linealidad cuadrática es muy útil en la generación de nuevas frecuencias. Si la excitación es de tipo sinusoidal: e(t ) Se tendrá una respuesta:

r (t ) e2 (t )

sen( t )

sen2 ( t )

1 cos(2 t ) 2

Se aprecia que la respuesta contiene una señal que tiene el doble de la frecuencia de la señal de entrada. Este tipo de componente se emplea en sistemas de comunicaciones para generar nuevas frecuencias.

6.4.

Algunas redes no lineales

Veremos algunos ejemplos de sistemas no lineales, para mostrar que una gran cantidad de dispositivos útiles pertenecen a esta categoría.

6.4.1. Amplificador lineal con saturación Del punto 6.3.1. se puede asegurar que la red, cuya característica es la de la Figura 6.10, es no lineal.

r R -E E

e

-R Figura 6.10. Red con saturación. Sin embargo, si –E