UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA DAICS

E.AP. INGENIERÍA CIVIL Nociones de Instrumentación y Equipo en Ing. Civil

2013-II

SEMANA 02 SISTEMAS DE MEDIDAS DE ARCOS, RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ARCOS. LONGITUD DE ARCO.

I.

INTRODUCCIÓN Arco Sección de un círculo que se encuentra entre dos puntos del círculo. Cualesquiera dos puntos en un círculo dividen a ese círculo en dos arcos; al más largo se le llama arco mayor y el más corto es el arco menor.

II.

SISTEMAS DE MEDIDAS DE ARCOS Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a θ que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y θ‘corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia θ’’; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y θ‘’’ corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos y segundos (º ‘ “). Este tipo de medidas está basado en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes: 360º = un giro completo alrededor de una circunferencia 180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia 90º = 1/4 de vuelta 1º = 1/360 de vuelta, etc. Un grado sexagesimal es la medida del ángulo, con vértice en el centro de un círculo, de amplitud igual a la 360ava parte del mismo

Ing. Janet Verónica Saavedra Vera

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Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian. ¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece. El radian, en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes. Long. Arco de circunferencia = [Ángulo en radianes]x[Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2

r = 2 ),

entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29º a partir de esta igualdad, determinamos que: 90º =

/2 radianes

60º =

/3 radianes

45º =

/4 radianes

30º =

/6 radianes

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III.

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RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ARCOS Existen diferentes sistemas de medición de ángulos, de los cuales vamos a considerar los más utilizados: 

Sistema sexagesimal.- Divide la circunferencia en 360º sexagesimales. De esta

forma un ángulo recto tiene un valor de 90º. sus múltiplos son: 1 minuto (1') = 1º/60 1 segundo (1") = 1'/60 

Sistema centesimal.- Divide la circunferencia en 400g centesimales. De esta

forma un ángulo recto mide 100g. Sus submúltiplos son: 1 minuto (1m) = 1g/100 1segundo (1s) = 1m/100 

Radianes.- El radian se define como la magnitud del ángulo central

correspondiente a un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

IV.

LONGITUD DE ARCO La longitud de un arco puede encontrarse de la manera siguiente: Si

es la medida en grados de un arco, ( /360) da el porcentaje del círculo

completo ocupado por el arco. Entonces la longitud del arco es ( /360)(2 r) donde r es el radio del círculo.

Si ө es un ángulo central que mide un radian entonces la longitud del arco subtendido es igual al radio (r). Donde r es la longitud del radio.

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Cuando en ángulo Ө mide 2 radianes, entonces la longitud del arco subtendido mide 2 r.

De manera general si el ángulo mide + radianes entonces la longitud de arco subtendido mide + r.

4.1

Sector Circular Es la región limitada por dos radios y un arco de circunferencia

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4.2

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Longitud de arco Es el arco correspondiente a un ángulo central mediante radianes.

Esta fórmula es válida sólo si α está medido en radianes! 4.3

Área de un sector circular

4.4

Área de un trapecio circular

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V.

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EJERCICIOS 5.1

Hallar la longitud de arco de un sector circular, si el ángulo central mide 120º y el radio 15m.

5.2

En el sector circular se tiene que el ángulo central mide 75º y su radio e s de 12cm. Calcular el área de dicho sector circular.

5.3

De la figura, hallar el radio del sector circular AOB mostrado.

5.4

Convierte a grados la medida del ángulo que en el sistema radial mide 7π/6

5.5

Convierte a radianes el ángulo que en el sistema sexagesimal mide 20º.

5.6

Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en la superficie de la Tierra por un ángulo que mide 1 minuto. El diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.927 millas (terrestres). Determina la cantidad de millas (terrestres) que hay en una milla marítima. Ing. Janet Verónica Saavedra Vera