• Introducción Magnitud es algo cuantificable, es decir, medible, ponderable (ya en el libro de la Sabiduría se dice: "Tú lo has regulado todo con medida, número y peso", Sab. XI−20). Las magnitudes pueden ser directamente apreciables por nuestros sentidos, como los tamaños y pesos de las cosas, o más indirectas (aceleraciones, energías). Medir implica realizar un experimento de cuantificación, normalmente con un instrumento especial (reloj, balanza, termómetro). Cuando se consigue que la cuantificación sea objetiva (no dependa del observador y todos coincidan en la medida) se llama magnitud física (tiempos, longitudes, masas, temperaturas, aceleraciones, energías). Hay otras magnitudes que no resultan cuantificables universalmente: gustos, sabores, colores, ruidos, texturas, aunque puede existir alguna propiedad física relacionada, como la potencia sonora con el ruido, la longitud de onda de la luz con el color, etc. Medir es relacionar una magnitud con otra u otras (de la misma especie o no) que se consideran patrones universalmente aceptados, estableciendo una comparación de igualdad, de orden y de número. Es decir, el resultado de una medida lleva asociado tres entidades: una magnitud (dimensiones), una unidad (suele indicar también las dimensiones) y una precisión (normalmente entendida como una incertidumbre del 50% en la post−última cifra significativa). Ejemplo: medir, dentro de cierto margen, si dos cuerpos tienen la misma masa o la misma temperatura, medir cual de los dos cuerpos tiene más masa o más temperatura, medir cuánta más masa o más temperatura tiene uno respecto al otro. La incertidumbre es innata a la medida; puede ser disminuida pero nunca anulada. Los patrones básicos se llaman unidades de medida. Para especificar el valor de una magnitud hay que dar la unidad de medida y el número que relaciona ambos valores. De nada sirve decir que la altura de un árbol es de 5 veces no sé qué, que decir que es de no sé cuantos metros. Aunque la relación del valor numérico con la unidad de medida es multiplicativa (p.e. 5 veces un metro), la norma de escritura es separar con un espacio en blanco ambos términos. Por ejemplo, cuando se escribe L=1500 m, que se lee "ele igual a mil quinientos metros" se quiere decir que la longitud denominada L mide aproximadamente 1500 veces más que la longitud del metro patrón, que es lo mismo que decir L=1,5 km (por convenio, no se consideran cifras significativas los ceros finales, excepto si son cifras decimales), y que no tiene sentido si sólo se dice "L=1,5". Incluso si toda la Humanidad llegase a usar exclusivamente un único sistema de unidades sin múltiplos ni submúltiplos, se seguiría indicando la unidad patrón para reconocer el tipo de magnitud física involucrada. Toda relación entre magnitudes físicas (ecuación física) ha de ser dimensionalmente homogénea (no como en el ejemplo de la Tabla 1). Tabla 1. Ejemplo de relación sin sentido físico (la suma total). (tiempo) Mi fecha de nacimiento (año de la era presente) (longitud) Mi altura (cm) (masa) Mi masa (kg) (entidades individuales) Mis hijos TOTAL

1951 170 85 2 2208

La elección de unidades ha sido siempre antropométrica al ser el hombre el sujeto que mide ("El hombre es la medida de todas las cosas", Protágoras, s. V a.C.): el ritmo día/noche, la longitud de un paso, la temperatura del cuerpo humano, etc. En muchos casos la elección fue harto caprichosa; p.e. Luis XIV eligió la longitud de su pie como unidad patrón, Jorge III de Inglaterra eligió en hacia 1770 como unidad de volumen patrón la 1

capacidad de su orinal (Galón Imperial), enviando como patrón secundario a las colonias americanas el orinal de su mujer (Galón USA); anecdóticamente, las colonias americanas declararon su independencia en 1776 y en 1811 Jorge III fue apartado del trono por enajenación mental. Es muy importante, aunque no imprescindible, que las unidades sean universales en el sentido de que su valor sea independiente de la posible variación de otras magnitudes externas, es decir, que la duración del día sea la misma hoy que ayer, que los pasos sean equidistantes y no varíen de un sujeto a otro, que la temperatura del cuerpo humano no varíe con la edad, ni con el tiempo, ni de un sujeto a otro, que la longitud del metro no varíe con la temperatura, etc. Cuanto más universales son las unidades más sencillas son las relaciones entre ellas en los modelos matemáticos que describen el comportamiento observado de la Naturaleza, las llamadas "Leyes de la Física". Antiguamente se elegían muchas unidades de referencia para medir un mismo tipo de magnitud, una unidad pequeña para valores pequeños, una grande para valores grandes, tratando de que los números que resultan de comparar la magnitud a medir con su unidad sean números sencillos: números de dos o tres cifras y tal vez un decimal o dos. Así, la masa de las piedras preciosas se medía en quilates (no confundir este quilate, que es una semilla de masa 0,2 g de un árbol árabe, con el kilate o fracción másica multiplicada por 24 de oro en una aleación), mientras que las de las cosechas se medían en toneladas. Una segunda opción es adoptar una única unidad y usarla junto a sus múltiplos y submúltiplos: p.e. m, mm, km. Una tercera opción es adoptar una única unidad y tolerar que los números que relacionan la magnitud medida con la unidad no sean sencillos: p.e. que el diámetro de una aguja sea 8,5ððð−5 m (que se lee "ocho coma cinco por diez elevado a menos cinco") y el de la Tierra sea 1,27ððð7 m. En resumen, puede concluirse que: • El uso de más de una unidad casi nunca es bueno (la única excepción puede ser en la medida de tiempos: segundos, minutos, horas, días, meses y años). • El uso de una unidad y de sus múltiplos y submúltiplos es lo mejor en el lenguaje hablado y en los textos descriptivos (micrómetros, milímetros, kilómetros). • El uso exclusivo de la unidad básica es lo mejor en el lenguaje científico en general. En la nomenclatura científica los símbolos usados para las unidades y las variables medidas no son abreviaturas ortográficas sino símbolos (significantes que directamente recuerdan su significado) con sus correspondientes reglas de escritura y pronunciación. En general las variables son letras del alfabeto latino o griego, tal vez con subíndices y rara vez con superíndices, y se escriben en letra cursiva (itálica), mientras que las unidades son letras simples o excepcionalmente parejas y tríadas que siempre se escriben en caracteres rectos. Las normas para la correcta utilización de magnitudes, unidades y símbolos científicos las proponen las asociaciones científicas internacionales (en este caso el Comité Internacional de Pesas y Medidas) y las adoptan las Administraciones de cada país, con el fin de facilitar los intercambios de información y las transacciones materiales (particularmente entre organismos y empresas multinacionales). ¿Para qué necesita el hombre medir? Tal vez la primera necesidad fue medir el tiempo, para planificar citas tribales, labores agrícolas, etc. y con ese fin se estableció un calendario y se adoptó como unidad básica de tiempo el día. Para darse cuenta de la dificultad de los acuerdos universales, baste considerar que todavía hoy, tras varios milenios, hay regiones que siguen calendarios distintos. Después surgiría la necesidad de medir al desarrollarse el comercio, pues había que cuantificar el intercambio de bienes y, salvo en el caso de las cabezas de ganado, debió de presentar grandes dificultades el ponerse de acuerdo sobre la unidad para medir grano (que obviamente no puede ser tan pequeña como el grano mismo) o para medir líquidos (vino, aceites, miel), minerales, alhajas, etc. Parece razonable suponer que al principio se confundirían las medidas de masa con las de volumen, debido a 2

la escasa gama de densidades de los líquidos y los sólidos. (Incluso hoy día se confunden las de masa y peso debido a las pequeñísimas variaciones de la gravedad local.) Casi al mismo tiempo debió de surgir la necesidad de medir longitudes para la utilización de troncos y tallado de piedras en la construcción, para la agrimensura (p.e. el Nilo borraba las lindes en su desbordamiento anual), para la compraventa de telas, manufactura de vestimenta, etc. Aun así las distancias largas se medían en unidades de tiempo: en días de viaje a pie o a caballo. Otras medidas que hoy pueden parecer ancestrales, como la de temperatura o la de energía, sólo se han cuantificado en nuestros días (es decir, hace apenas dos o tres siglos), y todavía siguen sin universalizarse. Las unidades de tiempo a lo largo de la historia han permanecido con escasa variación: el día, el mes lunar, el año solar, la hora, el minuto `primo' y el `minuto' segundo, todos se desarrollaron a partir de ciclos naturales casi−periódicos y sus divisiones sexagesimales de la tradición astronómica babilónica (m. 5 a.C.), ligando dichos periodos a similares graduaciones angulares. El sistema de numeración sexagesimal parece elegido por su facilidad de partición entera, pues resulta el más efectivo respecto al mínimo común múltiplo de los primeros números naturales: mcm(1,2)=2, mcm(1,2,3)=6, mcm(1,2,3,4)=12, mcm(1,2,3,4,5)=60, mcm(1,2,3,4,5,6)=60, mcm(1,2,3,4,5,6,7)= 420). Tanto arraigo tienen las unidades naturales de tiempo que la adopción de un sistema métrico, con relojes que sólo marquen segundos, kilosegundos y megasegundos (que con una modificación adecuada se podría hacer coincidir con el día solar medio), no han prosperado nunca, ni aun en la fiebre de la metrificación en Francia en que estuvo legalmente en vigor durante 12 años esta hora métrica. El problema no sólo era el de desechar todos los mecanismos de relojería existentes (el calendario con semanas de 10 días y meses poéticos no implicaba más que cambios de papel), sino el del cambio de mentalidad y de tradiciones. Las unidades de longitud a lo largo de la historia son tal vez las que presentan mayor variedad. Los valores que se dan a continuación son orientativos, pues variaban de una región a otra y de una época a otra. Empezaron siendo antropomórficas, y ya en el mundo greco−romano se usaban el dígito=2 cm, la palma=7,5 cm, el pie=30 cm, el codo o cúbito=0,5 m, el paso(doble)=1,5 m, el estadio=185 m, y la milla o mille−passus=1500 m. Medievales son: la vara o yarda=1/2 braza, la braza=1,8 m y la legua=5 km. Modernamente se adoptaron unidades astronómicas como en la medida del tiempo: el metro (diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre), la unidad astronómica=0,15ððð12, el parsec=31ððð15 m). Las unidades de masa a lo largo de la historia también presentan gran variedad. Lo primero a señalar es que hasta época tan reciente como 1901, no se distinguía claramente entre las magnitudes de masa y de peso. Las unidades más pequeñas provenían de la Botánica: un grano=65 mg, un quilate(semilla de árbol)=0,2 g. La más usada en la antigüedad desde los tiempos de los romanos fue la libra, que en España ha perdurado hasta mediados del s. XX. Aunque en España era una libra=360 g, en Latinoamérica por influencia sajona era una libra=pound=454 g). También es de los tiempos de los romanos la onza (onza=uncia=1/12) y que venía a ser una onza=30 g. Las unidades de temperatura (el nombre oficial en el S.I. es de "temperatura termodinámica"; ¿existe otra?) también han sido muy dispares desde que Galileo introdujo el primer termómetro rudimentario (en realidad un termo−baroscopio). Aunque resulte sorprendente, ya a finales del s. XVII el meteorólogo francés G. Amontons (1663−1705), dedujo que para un gas a V=cte se verificaba p=aT+b, sugiriendo que se adoptara una escala termométrica T'=(aT+b)c tal que p=cT' (y hasta llegó a dar valores numéricos: Thielo=51 `amontones' y Teb=73 `amontones', es decir 1 `amonton'ð 5 kélvines). En 1714 Fahrenheit construyó el primer termómetro de precisión, de mercurio con capilar sellado, tomando como puntos de referencia el de máximo frío de una disolución salina y el del calor del cuerpo humano, con 96 divisiones (fruto de sus múltiples subdivisiones de la vieja escala florentina de 12 grados).

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En 1726 Réaumur construyó un termómetro de menor precisión, con una mezcla de agua y etanol, pero fue el primero en elegir como puntos de referencia el del hielo y el vapor, dividiendo en 80 grados para que cada grado correspondiese a un 1% de dilatación del fluido termométrico. En 1741 Celsius construyó un termómetro con 100 divisiones entre el punto de hielo y el de vapor, pero con la escala invertida; muchos seguidores del `termómetro sueco' le dieron la vuelta a la escala (el primero parece que fue el francés Christin en 1743). En la CGPM−9−1948 a la escala `centígrada' se le puso el nombre de Celsius (nótese que ºC puede pensarse que se refiere a centígrado, Celsius e incluso Christin, pero debe pronunciarse como grados Celsius, o simplemente grados en el lenguaje coloquial). En la CGPM−13−1967 se sustituyó la "escala kelvin" (definida a partir de la Celsius "centígrada") por la unidad de temperatura llamada kelvin (ya no más grado kelvin), de símbolo K (ya no más "ºK"). Las unidades angulares apenas han cambiado desde hace milenios, usándose los grados, minutos y segundos sexagesimales babilónicos. En el s. ? se introdujo el radián. Con la decimalización imperante en la Revolución Francesa se introdujo el grado centesimal, llamando un "grad" a la centésima parte de un ángulo recto (con ello se hicieron los cálculos geodésicos del metro y se siguió usando en Francia). El astrónomo inglés Fred Hoyle sugirió en su libro "Astronomy"−1962 usar como medida de ángulos la vuelta=360º=2ð rad, la milivuelta y la microvuelta. Las unidades de energía y de potencia han sufrido una evolución caótica durante los 2 o 3 siglos en que se viene utilizando. La primera unidad fue el caballo (horsepower) introducida por J. Watt a finales del s. XVIII para promocionar su máquina de vapor (él calculó que los caballos de las minas tiraban con una fuerza equivalente al peso de unos 80 kg y a un 1 m/s; 80ð 9.8ð 1ð 745.7 W). Fue Siemens en 1882 quien propuso como unidad el vatio. En resumen, el origen del S.I. puede situarse en 1791, durante la Revolución Francesa (iniciada en 1789 y finalizada con el golpe de estado de Napoleón en 1799), año en que la Asamblea Nacional encargó a la Academia de Ciencias que pusiera orden en los pesos y medidas. Participaron Lagrange, Monge, Laplace, Talleyrand,, presididos por el astrónomo−cartógrafo−marino Borda y siendo Lavoisier el secretario. En 1791 la Asamblea Constituyente aceptó la propuesta del sistema "métrico". Desde 1791 hasta 1799 trabajó la expedición geodésica (Borda, Delambre y Méchain) para medir los 10º de arco del meridiano de París desde Dunquerque a Barcelona (ambas a nivel del mar). En 1799 se convocó una reunión internacional, la Conferencia del Metro a la que sólo acudieron representantes de 8 países (estado revolucionario), y ese mismo año se aprobó la ley en Francia. Luego Napoleón no le hizo mucho caso (aunque sus conquistas ayudaron a extender el sistema métrico por toda Europa), pero a partir de 1837 se llegó a penalizar el uso de las unidades antiguas. • EVOLUCIÓN DE LOS SITEMAS DE MEDIDA PRIMERAS SOCIEDADES SEDENTARIAS La armonización de las medidas es un proceso que no ha parado desde que el hombre existe. Los primitivos sistemas de unidades se orientaron hacia la definición de unas cantidades de referencia, simples e impuestas por el desarrollo de dicha sociedad. UNIDAD DE MEDIDA: PIE Mientras las grandes distancias se definían por el número de días o lunas que debían pasar antes de alcanzar el objetivo, las primeras unidades de medida de longitud para espacios más cortos poseían un origen 4

antropomórfico, el hombre ponía como referencia su propio cuerpo y medía el mundo que le rodeaba en dedos, palmos, pulgadas, pies, pasos, codos, etc. Con dichas unidades construían su sociedad y mantenían unas transacciones comerciales. Las primeras sociedades sedentarias construían sus casas, sus templos y obras públicas basándose en sistemas de medida establecidos por los personajes más influyentes. CULTURA EGIPCIA En el antiguo Egipto (aprox. 3er milenio a.C.) el sistema utilizado era en base decimal, pero, contrariamente a las civilizaciones antes citadas, desconocían la notación de posición, lo que obligaba a repetir los símbolos tantas veces como resultaba preciso para representar la cifra. En la cultura egipcia también se emplearon múltiplos y submúltiplos pero no se hizo de forma sistemática en las diferentes magnitudes. Así, de la unidad de longitud, el codo (auna faraónica o cúbito egipcio) definido como la longitud del antebrazo del faraón, derivaban múltiplos decimales como la vara (100 codos), y submúltiplos sexagesimales como el palmo (6ª parte del codo). Los egipcios utilizaban dos codos: el codo real o codo grande (0,525 m), y el codo pequeño (0,450 m). Dichas unidades las esculpieron en piedra (hasta 1500 a.C.) y en madera (entre 1500 − 700 a.C.), practicándoles un filo biselado. Unidad de medida: Auna CULTURA GRIEGA Y ROMANA En el período que se extiende desde el siglo V a.C. hasta el siglo III d.C. se caracteriza por importantes acontecimientos políticos en los pueblos mediterráneos que influyeron decisivamente en su desarrollo cultural, económico y social. La Ciencia Helénica no se desarrollo de igual forma en todas las disciplinas. Los griegos consiguieron avances importantes en medicina, matemática e historia natural pero no prestaron igual atención a la física a excepción de la astronomía y geografía matemática que tuvo gran desarrollo en Alejandría durante el período helenístico. Los griegos utilizaron también atributos del cuerpo humano para medir, El estadio griego equivalía a 100 pasos dobles (aprox. 600 pies). Durante la dominación romana, éstos impulsaron de forma muy notable la construcción y las obras públicas, sentando, además, las bases de la ciencia jurídica, pero la matemática y las ciencias naturales continuaron siendo patrimonio griego durante el imperio romano. Alrededor de Alejandría cuyo museo y biblioteca constituyeron el foco emisor de los conocimientos científicos. Los romanos utilizaron como unidad de longitud el codo romano (cubitus o ulna), equivalente a 0,4436 m, si bien la concatenación de medidas se hacía mediante yuxtaposición de cifras ya que no existía la notación de posición en dichas cifras. Nuestras cifras actuales representando los números dígitos, se derivan de las cifras árabes, que, a su vez, ya fueron diferenciadas, como tales símbolos, en India en los primeros siglos de la era cristiana La utilización de notación esencialmente decimal y de posición, con las cifras indias, se puede fijar a 5

principios del siglo VII de nuestra era. La herencia europea del imperio romano fue muy lentamente sustituida por las cifras árabes. El declive a partir del siglo III y posterior caída del imperio romano en Occidente, dio lugar a un confusionismo en la utilización de las unidades básicas de pesas y medidas. MESOPOTAMIA Es en esta región donde aparece por primera vez una administración política, militar y religiosa para administrar estas nuevas estructuras complejas que son las ciudades. Es en Mesopotamia, precisamente en Uruk, alrededor de 3100 a.C., que la escritura, hizo su aparición por primera vez en el mundo, escritura pictográfica en un primer tiempo, "dibujando" los elementos del mundo real. Con el desarrollo de las regiones, la escritura cuneiforme hará también su aparición. Un gran avance en la escritura cuneiforme de los sumerios supone la introducción para los números de la notación de posición, que simplificó enormemente los cálculos. Uno de los primeros vestigios de una unidad de longitud es el de una estatuilla Caldea que se encuentra en el museo del Louvre (representa al Príncipe sumerio Gudea de la ciudad de Lagash, denominada El arquitecto) que data de 2130 a.C. En dicha estatuilla se hace presente una regla graduada En Mesopotamia, sumerios y babilonios, emplearon sistemas sexagesimales y decimales. Las principales unidades en Babilonia eran el codo (longitud aprox. 50 cm), el qa (volumen = 144ª parte del codo cúbico aprox. 840 cm3) y la mina (peso de volumen de agua de la 240ª parte del codo cúbico aporx. 50 N). Un sistema completo de unidades, múltiplos y submúltiplos que, como se aprecia, tiene su base fundamentada en la unidad de longitud (codo). EDAD MEDIA A finales del siglo VIII, Carlomagno (reinado 771 − 814) trató de unificar medidas. Estableció un patrón de longitud de unos 325 mm (pie del rey), pero esta tentativa desapareció con su imperio. A las unidades romanas se añadieron las de los bárbaros, los pueblos nórdicos dejaron su legado alcanzándose tal diversidad de medidas que resultaba frecuente encontrar unidades específicas, sin relación entre ellas en una misma población. En el Reino Unido las medidas de longitud, datadas, se remontan a una muy antigua, el codo nórdico (aprox. 26,6 pulgadas, algo superior a los pies actuales), probablemente derivado de los patrones de Mesopotamia y Egipto. También se empleó el pie nórdico (aprox. 13,2 pulgadas), de origen indú, a partir de la llegada de los sajones en el año 410. A partir del siglo XI, coincidiendo con el apogeo de la influencia islámica, se inicia en Europa una etapa de progreso técnico que se mantiene durante toda la edad media y que fundamenta los cimientos para el resurgir tecnológico que vendría con el renacimiento. Los árabes dejaron en España significativos adelantos relacionados fundamentalmente con la navegación y la astronomía (el astrolabio plano, el astrolabio esférico o la azafea son ejemplos de instrumentos utilizados para determinar la latitud). En los "Libros del saber de astronomía", redactados durante e reinado de Alfonso X el Sabio (1252 − 1284) , se estudian gran parte de estos instrumentos de la época. RENACIMIENTO El desarrollo de la sociedad en los siglos XV y XVI ve el nacimiento de ciudades muy importantes e 6

independientes entre sí que, en combinación con la necesidad de un intercambio comercial entre ellas exigió sistemas de pesar y medir concretas. Los gremios habían alcanzado por entonces un protagonismo en la vida económica de las ciudades de Europa. Estas asociaciones gremiales agrupaban a los artesanos en oficios y artes, dándoles poder en la vida social al tener prerrogativas como la fijación de precios o admisión de nuevos miembros. Los instrumentos de medida estaban en poder de estos gremios pero los innumerables sistemas de medida seguían complicando las transacciones comerciales. El renacimiento no solo fue un renacer de las artes, de las letras o las costumbres sino que también fue un renacer en lo científico. Mientras en las artes se miraba con otros ojos la antigüedad para realzarla en los más bellos estilos, en lo científico se ponían las bases. Y a partir del siglo XVI, diversos científicos y pensadores formularon propuestas para la unificación de un sistema de unidades, basado en patrones naturales y universales, con el objeto de abandonar definitivamente los instrumentos y patrones en uso a los que atribuían un marcado carácter específico, localista y efímero. Representaciones numéricas en distintas civilizaciones 1 2 3 5 10 20 21 50 100 500 1000 10000 SISTEMA INTERNACIONAL La existencia de gran número de diversas unidades, creaba dificultades en las relaciones internacionales de comercio, en el intercambio de resultados de investigaciones científicas, etc. Como consecuencia los científicos de diversos países intentaron establecer unidades comunes, válidas en todos ellos. Durante la Revolución Francesa se creó el Sistema Métrico Decimal que, según sus autores, debería servir "en todos los tiempos, para todos los pueblos, para todos los países". Su característica principal es que las distintas unidades de una misma magnitud se relacionan entre sí como exponentes enteros de diez. Desde mediados del siglo XIX, el sistema métrico comenzó a difundirse ampliamente, fue legalizado en todos los países y constituye la base de las unidades que sirven para la medición de diversas magnitudes en la Física, en otras ciencias y en la ingeniería. Algunos estudiantes recuerdan haber oído a sus padres o abuelos acerca de las unidades propias de su lugar de origen, pero no suelen conocer su definición. Mediante algunos ejemplos ilustrativos se puede poner de manifiesto la necesidad de disponer de unidades de medida que tengan un ámbito de aplicación lo más grande posible. Los estudiantes deberán conocer las propiedades que caracterizan a las unidades, cuales son las magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional de Unidades, y cómo se obtiene la unidad de una magnitud derivada dada su definición. El objetivo básico de esta parte del capítulo es la de dar a conocer o recordar las unidades de medida y escribirlas correctamente. En el artículo primero del Real Decreto 1317/1989 de 27 de octubre del Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, se señala que el Sistema Legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea A pesar de haber transcurrido 25 años desde su instrumentación, este sistema no ha tenido hasta la fecha una 7

difusión comparable a la del Sistema Métrico Decimal en sus tiempos. Sin embargo su importancia es parangonable a aquél, en su capacidad de marcar un nuevo hito histórico en la evolución técnica e intelectual del hombre. La 11a Conferencia General de Pesas y Medidas, en sus sesiones de octubre de 1960 celebradas en París, cuna del Sistema Métrico Decimal, estableció definitivamente el Sistema Internacional de Medidas (S.I.), basado en 6 unidades fundamentales −metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela−, perfeccionado y completado posteriormente en las 12a, 13a y 14a Conferencias, agregándose en 1971 la séptima unidad fundamental, el mole, que mide la cantidad de materia. Para una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidad fundamental de magnitudes de un sistema, sea especificada y reproducible con la mayor precisión posible. El modo ideal de definir una unidad es en términos referidos a algún fenómeno natural constante e invariable de reproducción viable, por ejemplo, una longitud de onda de una fuente de luz monocromática. Pueden elegirse arbitrariamente las unidades para cada magnitud, en la medida en que estén vinculadas por relaciones matemáticas a las unidades base, las que deben estar definidas unívocamente. Limitando la cantidad de unidades base, se logra considerable simplicidad en el sistema. Las unidades base son llamadas "primarias" y todas las demás "derivadas" o "secundarias". Un sistema de unidades configurado con estas características, se define como un "sistema coherente". DEFINICIONES DE UNIDADES BÁSICAS DEL S.I Magnitud Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Unidad de longitud: metro (m) Unidad de masa Unidad de tiempo

Unidad de intensidad de corriente eléctrica Unidad de temperatura termodinámica

Nombre Metro Kilogramo Segundo Ampere Kelvin Mol Candela

Símbolo m kg s A K mol cd

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2.10−7 newton por metro de longitud. El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. 8

Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T − T0 donde T0 = 273,15 K por definición. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Unidad de cantidad de sustancia

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Unidad de intensidad luminosa

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES SUPLEMENTARIAS DEL S.I. Magnitud

Nombre

Símbolo

Ángulo plano Ángulo sólido

Radián Estereorradián

Rad Sr

Unidad de ángulo plano

Unidad de ángulo sólido

Expresión en unidades SI básicas mm−1= 1 m2m−2= 1

El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.

Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton metro al joule. DEFINICIONES DE UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. Magnitud Superficie Volumen

Nombre metro cuadrado metro cúbico

Símbolo m2 m3 9

Velocidad Aceleración Número de ondas Masa en volumen Velocidad angular Aceleración angular

metro por segundo metro por segundo cuadrado metro a la potencia menos uno kilogramo por metro cúbico radián por segundo radián por segundo cuadrado

m/s m/s2 m−1 kg/m3 rad/s rad/s2

Un metro por segundo (m/s o m s−1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s−2) es la aceleración Unidad de aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s. Un metro a la potencia menos uno (m−1) es el número de ondas de Unidad de número de ondas una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro. Un radian por segundo (rad/s o rad s−1) es la velocidad de un Unidad de velocidad angular cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián. Un radian por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s−2) es la Unidad de aceleración aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación angular uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo. Unidad de velocidad

DEFINICIONES DE UNIDADES DERIVADES CON NOMBRES Y SIMBOLOS ESPECIALES DEL S.I.

Magnitud Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad carga eléctrica Potencial eléctrico fuerza electromotriz Resistencia eléctrica Capacidad eléctrica Flujo magnético Inducción magnética Inductancia

Expresión en Nombre Símbolo otras unidades SI hertz Hz newton N pascal Pa N m−2

Expresión en unidades SI básicas s−1 m kg s−2 m−1 kg s−2

joule

J

Nm

m2 kg s−2

watt

W

J s−1

m2 kg s−3

coulomb C

sA

volt

V

W A−1

m2 kg s−3 A−1

ohm farad weber tesla henry

ð F Wb T H

V A−1 C V−1 Vs Wb m2 Wb A−1

m2 kg s−3 A−2 m−2 kg−1 s4 A2 m2 kg s−2 A−1 kg s−2 A1 m2 kg s−2 A−2

Unidad de frecuencia 10

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo. Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una Unidad de fuerza masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado. Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una Unidad de presión superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton. Unidad de energía, trabajo, Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo cantidad de calor punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza. Unidad de potencia, flujo Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía radiante igual a 1 joule por segundo. Unidad de cantidad de Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 electricidad, carga eléctrica segundo por una corriente de intensidad 1 ampere. Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre Unidad de potencial dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de eléctrico, fuerza intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre electromotriz estos puntos es igual a 1 watt. Un ohm (ð) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt Unidad de resistencia aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una eléctrica corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre Unidad de capacidad sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, eléctrica cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb. Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de Unidad de flujo magnético una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme. Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida Unidad de inducción normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a magnética través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber. Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la Unidad de inductancia corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo. DEFINICIONES DE UNIDADES DERIVADAS DEL S.I. EXPRESADAS A PARTIR DE LAS QUE TIENEN NOMBRES ESPECIALES

Magnitud

Nombre

Símbolo

Viscosidad dinámica

pascal segundo

Pa s

Entropía

joule por kelvin

J/K

Capacidad térmica másica Conductividad térmica

joule por kilogramo kelvin J(kg K) watt por metro kelvin W(m K)

Expresión en unidades SI básicas m−1 kg s−1 m2 kg s−2 K−1 m2 s−2 K−1 m kg s−3 K−1 11

Intensidad del campo eléctrico volt por metro

V/m

m kg s−3 A−1

Un pascal segundo (Pa s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie Unidad de viscosidad plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza dinámica retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia. Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de Unidad de entropía calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible. Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo Unidad de capacidad térmica de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de másica una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin. Un watt por metro kelvin (W m/K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de Unidad de conductividad 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro térmica cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt. Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un Unidad de intensidad del campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton campo eléctrico sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb. OTRAS UNIDADES DEL S.I. Magnitud Ángulo plano

Tiempo

Nombre Vuelta Grado minuto de ángulo segundo de ángulo Minuto Hora Día

Símbolo º ' " min h d

Relación 1 vuelta= 2 ð rad (ð/180) rad (ð /10800) rad (ð /648000) rad 60 s 3600 s 86400 s

UNIDADES OBTENIDAS EXPERIMENTALMENTE QUE PERTENECEN AL S.I. Magnitud Masa Energía

Nombre unidad de masa atómica Electronvolt

Símbolo u EV

Valor en unidades SI 1,6605402 10−27 kg 1,60217733 10−19 J

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES 12

Factor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Prefijo Exa Penta Tera Giga mega kilo hecto deca

Símbolo E P T G M K H Da

Factor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Prefijo deci centi mili micro nano pico femto atto

Símbolo d c m u n p f

OTRAS DEFINICIONES A LAS UNIDADES BÁSICAS DEL S.I. Magnitud física Unidad Símbolo Definición de la unidad 1.650.763,73 longitudes de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los Longitud Metro m niveles 2p10 y 5d5 del átomo del krypton−86. Masa del prototipo internacional, que se encuentra Masa Kilogramo Kg en Sèvres, cerca de París a cargo del Comité Internacional de Pesas y Medidas. La duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los Tiempo Segundo s dos niveles hiperfinos del estado natural del átomo de cesium−133. La magnitud de la corriente que fluye en dos conductores paralelos, distanciados un metro entre Corriente Ampere A sí, en el vacío, que produce una fuerza entre ambos eléctrica conductores (a causa de sus campos magnéticos) de 2 x 10 −7 N/m. La fracción 1/273,16 de la temperatura Temperatura Kelvin K termodinámica del punto triple del agua. La intensidad luminosa, en dirección perpendicular, de una superficie de 1/600.000 m2 de un cuerpo Intensidad Candela cd negro a la temperatura de congelamiento del platino luminosa (2,042ºK), bajo una presión de 101,325 N/m2. La cantidad de substancia de un sistema que contiene un número de entidades elementales igual Cantidad de Mole mol substancia al número de átomos que hay en 0,012 Kg de carbono−12. SINONIMOS ENTRE UNIDADES: Litro: nombre especial que puede darse al decímetro cúbico en tanto cuanto no exprese resultados de medidas de volumen de alta precisión. Grados Celsius: puede utilizarse para expresar un intervalo de temperatura. Los intervalos entre grados Kelvin y Celsius son idénticos, pero mientras el 0 Kelvin es el cero absoluto, 0 grados Celsius es la temperatura de fusión del hielo. USO ESCRITO DE SIMBOLOS Y PREFIJOS: 13

Cuando se añade un prefijo a una unidad se considera unido a dicha unidad, formando un nuevo símbolo de la unidad, que puede elevarse a potencias positivas o negativas y puede combinarse con otros símbolos de unidades para formar unidades compuestas. Cuando una combinación prefijo−símbolo está elevada a una potencia positiva (o negativa), deben considerarse como una única unidad y no como entes separados. Las unidades primarias se separan entre sí Ej:

N m (newton metro) kW h (kilowatt hora)

Los prefijos se colocan junto a las unidades Ej:

MN (meganewton) kJ (kilojoule)

Escritura correcta

Incorrecto

L = 0,12 m

L = 0,12 m L = 0,12m L = 0,12 m. L = 0'12 m L = 0.12 m L = .12 m.

L igual a 0,12 metros

L = 0,12 metros

L = 6380 km

L = 6380 Km L = 6380 KM

L = 6 380 km

L = 6.380 km

ð = 0,55 ð m

ð = 0,55 ð

V = 10 cm3

V = 10 cc

m = 0,123 kg

m = 0,123 kgr

Incorrección la L no es cursiva. Se pronuncia L igual a 0,12 metros falta un espacio entre el número y la unidad sobra el punto la coma decimal debe ir abajo sólo se usará el punto como separador decimal en la escritura en inglés ni en inglés se debe olvidar el cero no debe mezclarse la simbología el múltiplo es k minúscula siempre el múltiplo es k minúscula siempre, y la unidad, el metro, m puede inducir a grave error usar separadores de miles para facilitar la lectura debe escribirse y pronunciarse micrómetro y no "micra" cc no es símbolo ni abreviatura de centímetro cúbico. Aunque pueda ponerse también V = 10 ml, no es aconsejable el símbolo para la unidad de masa es kg y,

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T = 310,5 K

T = 37,5 ºC

Q = 4200 J ð E = mcð T ð E = (1/2)mv2

excepcionalmente, pueden usarse el gramo, g, y sus submúltiplos el símbolo para la unidad de temperatura es T = 310,5 ºK K y se lee kelvin (no debe decirse ni escribirse grado kelvin) el símbolo para la escala Celsius (no debe decirse T = 37,5º C centígrada) es ºC y se separa con un espacio del número la única unidad de Q = 1 Cal energía legal es el julio no se pueden mezclar ð E= mð 4200ð ð T magnitudes (valorð unidad) con valores aunque mal, significaría ð E = 1/2mv2 ð E = 1/(2mv2)

Prefijos para los múltiplos y submúltiplos de las unidades del S.I. Nombre yota zeta exa peta tera giga mega kilo mili micro nano pico fempto atto zecto yocto

Símbolo Y Z E P T G M K M µ N P F A Y Z

Valor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 10ð3 10ð6 10ð9 10ð12 10ð15 10ð18 10ð21 10ð24

Referencias • Klein, H.A., "The science of measurement. A hystorical survey", Dover, 1974. • Norma UNE 5−100−87, AENOR, 1987. • Evolución del S.I. en USA, http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/1793/history.html

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4. Universal Constants, http://physics.nist.gov/PhysRefData/codata86/codata86.html • The Metric System, http://www.uffda.com/~bink/metric.html • The International System of Units, http://www.npl.co.uk/npl/reference/si_units.html • Time, calendar and clock, http://imartinez.etsin.upm.es/ot1/Time1.htm • http://www.secinet.com/secinews/r1/ • http://imartinez.etsin.upm.es/ot1/index.htm • http://www.construir.com/Econsult/C/Consulta/RENISON/document/sistemas.htm#*

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