BLOQUE I: TRIGONOMETRÍA Y TRIÁNGULOS

1 , calcular tg2    y cos(2 ) 3

1.-

Sabiendo que tg  2 y cot g 

2.-

Demostrar razonadamente las fórmulas del seno, coseno y tangente del ángulo mitad

3.-

Demostrar las siguientes igualdades: cos  2     cos  2    a)  tg  sen  2     sen  2            b) cos( )  sen( )   cos( )  sen( )   cos( ) 2 2   2 2  

4.-

Resuelve:   x  a )cos    1  sen  x   2 2  b)     3 cos  x  2   seny  0     sen  2x  y   0 

3 4

Sabiendo que tg 

6.-

Demuestra las siguientes igualdades:

a)

7.-

0  

 2

5.-

sen      sen    

cos      cos    

, tg   

  cot g 

3 4

3      2 , calcular sen     2 2 

b)

sen 2 a a  sen 2   a 2 4 cos 2   2

Resuelve:

a ) sen  2x   2 cos x  2  0 2

2

   seny  sen   x   1 b) 2   cos  2 y  x   1 

8.-

En 1977 los hombres lanzaron al espacio una sonda de investigación planetaria llamada Voyager 2. Después de navegar por el espacio casi dos años, el 9 de Julio de 1979 llegó al sistema de Júpiter. En aquel momento la Voyager 2 estaba a 500 millones de km. de la Tierra, la distancia que separaba Júpiter de la Tierra era de 628’8 millones de km. y el ángulo que formaban las dos direcciones con que se observaban el planeta y la nave espacial desde la Tierra era de 10º. Calcular la distancia que separaba la nave de Júpiter. (Enuncia los teoremas utilizados)

9.-

Rogelio tiene un mapa de carreteras en el que observa los pueblos A, B, C y D como se indica en la figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula cuánto tiempo tardará en ir del pueblo A al pueblo D si va a una velocidad media de 70 km/h.

10.-

a)

Sabiendo que  y  son dos ángulos del tercer cuadrante y que sen  

b)

11.-

3 4 ; tg  , calcular: 5 3

i ) cos   

  ii ) tg   2

iii ) sen2    

  Resolver la ecuación: senx  1  cos   x  6 

Se quiere construir un puente desde A hasta B (ver figura). Para ello se toman las medidas indicadas en la figura: BC=200 m, ángulo ABˆ C  120 º y ángulo BCˆ A  15 º . Calcula, razonadamente, la longitud del puente y la distancia desde A hasta C, enunciando los teoremas utilizados.

BLOQUE II: GEOMETRÍA ANÁLITICA Y CÓNICAS

1.-

d)

  Razonar si los vectores u  3, 2  y v  4, 2  son base de V 2 y en caso afirmativo calcular las  coordenadas del vector w 7, 5  en dicha base  Calcular un vector ortogonal al vector u  3,1 y de módulo 10    Calcular k para que los vectores u  k , 3  y v 1, 2  formen un ángulo de rad 4       Dados los vectores u 6,8  y v  3, 4  , calcular 2 u  3 v  u  v

e)

      Sabiendo que u  3 y que  u  v    u  v   5 , calcular v

a)

b) c)

2.-

3.-

4.-

Dado el triángulo de vértices los puntos A(-3,-3), B(2,-1) y C(0,3) a) Calcular razonadamente sus ángulos b) Calcular razonadamente su ortocentro

 x La recta r   es la mediatriz del segmento AB.  y  1  2  a) Hallar razonadamente las coordenadas del punto B, sabiendo que el punto A es (-1,2) b) Calcula razonadamente los puntos de dicha mediatriz que distan 5 unidades de la recta que pasa por A y B

Dadas las rectas r  a) b)

5.-

x y 3  2 3

y

s  (2  4k ) x  2ky  8  0

Calcular razonadamente el valor de k para que sean paralelas Para k = 2, calcular el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de ambas rectas e indicar lo que es.

Dada la recta r  x  2 y  5  0 a) Calcular el simétrico del punto A(-2,1) respecto de r 1 b) Calcular las bisectrices de r y s  y  2 x  2 c) Calcular las ecuaciones de las rectas paralelas a r y que estén a una distancia de del punto P(1,-1)

5 unidades

6.-

Un cuadrado de vértices ABD está inscrito en una circunferencia cuyo centro es el punto O(6,5). Sabiendo que el vértice A es el punto (3,11), calcular razonadamente: a) Calcular la ecuación de dicha circunferencia b) Los otros vértices del cuadrado (Indicación: las diagonales de un cuadrado son perpendiculares)

7.-

Dada la circunferencia C  x 2  y 2  2x  6 y  5  0 a) Calcula su centro y su radio b) Calcula las ecuaciones generales de las rectas tangentes a dicha circunferencia trazadas por los puntos A(-1,4) y B(0,1), así como el ángulo que forman

8.-

a)

Estudiar la posición relativa de las circunferencias: C1  O( 5,3 ) r  1

b)

C2  x 2  y 2  14 x  6 y  49  0

Calcula razonadamente la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto de corte de las  x  2  4 dos circunferencias anteriores y que es tangente a la recta r    y  3  3

9.-

a) b)

c)

10.-

Clasifica las siguientes cónicas y calcula sus elementos: 2x2  3 y  0 ; x2  9 y 2  4 Calcula razonadamente la ecuación de la cónica que tiene un foco en el punto (3,0) y cuya 1 excentricidad es 2 Calcula la ecuación y los elementos de la parábola horizontal que pasa por el punto P(-2,4)

  Dados los vectores u 5,2, v (3,4) : a) Razonar si son o no base de V2 b) Calcular el ángulo que forman c) Calcular razonadamente un vector unitario y paralelo a u d) Calcular razonadamente un vector ortogonal a v y de módulo 3 e)

Calcular:

    2u  v  u v

11.-

Dado el triángulo de vértices los puntos A(1,2), B(3,-1) y C(-2,0), calcular razonadamente: a) Su perímetro y su área b) La ecuación de la mediana que pasa por el vértice B c) El simétrico de A respecto al lado BC

12.-

Dados los puntos A(0,2) y B(-1,1):

13.-

a)

Calcular la ecuación general de la mediatriz del segmento AB

b)

Calcular razonadamente la ecuación general de la circunferencia que pasa por A y B y cuyo x 1 y centro está en la recta s   1  2

a)

Calcular la ecuación de la recta r perpendicular a s  x  2 

b)

Calcular la ecuación y los demás elementos de la elipse en la que un vértice es el punto (10,0) y tiene un foco en el punto (-6,0)

b)

Calcula los elementos de la cónica

y y que pasa por el punto 2 P(0,1/2). Calcular razonadamente la posición relativa de r respecto a la circunferencia en la que los puntos A(5,3) y B(1,7) forman un diámetro.

3 x 2  y 2  12

BLOQUE III: ANÁLISIS

1.-

2.-

3.-

a)

Representa gráficamente las siguientes funciones, indicando su dominio, recorrido y extremos:   1 x x0    2  f ( x)  log 2 x 0  x  2 , g ( x)  x x  2   2 x2  x 

a)

Representa gráficamente, paso a paso y en distintos ejes, las siguientes funciones: f ( x )  2 x  2 ; g( x )  2 log 3  x  3 

a)

Calcular los dominios de las funciones: x2  1 x f(x) 2 ; g( x )  x  4x x2  9

c)

Se sabe que el comportamiento de una población de bacterias sigue la función  3t  2  6t  4  , t  0 P t   2  3t  1 Siendo P el número de bacterias (en miles) y t el tiempo (en días) transcurridos desde su inicio. i) ¿Cuántas bacterias había al principio del estudio? ii) A medida que transcurre el tiempo, ¿hacia qué valor tiende a estabilizarse la población?

a)

Calcula los siguientes límites: i ) lim x2

b)

4.-

x2  x  2 x2  4x  4

ii ) lim x 0

x9 3 x2  x

 e x 1  Calcula los límites de la función f  x    2 x 2  5 x  3  x 1 

x  1 x  1

en -1, + y -

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones (indicando los tipos de discontinuidades que tengan):

 x5 x  1  x2  2  3x  3 a) f ( x)   1  x  1  x 1  x 3 x 1  

 3x  3  2 b) f  x    x  3 x  2  5

x 1 x 1

5.-

6.-

Indica razonadamente (dibujando si es preciso) si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: x a) El dominio de la función f ( x )  2 es   1,1 x 1 3 b) La función f ( x )   x  1 tiene un punto de inflexión en el (0,1) c)

La función f ( x)  x 2  4 x tiene dos mínimos absolutos

d)

El recorrido de la función f ( x)  sen  2 x  es  2, 2

e)

La función f ( x )  Lnx  2 tiene una asíntota vertical en x = 2

Representa gráficamente la siguiente función e indica sus propiedades  2 x 1 x  1  2 f ( x )   x  2 x  3 1  x  4   log x x4 4  Calcula además, a la vista de la gráfica, sus límites en –1, 4, + y en -

7.-

Calcula los siguientes límites: a ) lim

5 x3  1

3 x  2 x2  x d ) lim 2 x 1 x  2 x  1 x 

2

x2  x  6 x 2 x3  8

b) lim

e) lim 2

1



c) lim 2 x  4 x 2  x x 



x

x 0

8.-

Estudiar la continuidad de la función, indicando sus tipos de discontinuidades:  x3  x 2  4 x  1  x  2  f ( x)   x 2  3 1  x  1   1 x x 1  1  x

9.-

Calcula razonadamente el valor de p para que la función  px  2 x  1  f ( x)   x  1 x 1  x 2  x sea continua en todo su dominio

10.-

Calcular, aplicando la definición, la derivada de ¿Qué significa el número obtenido?

f ( x )  2 x  6 en x = 5

11.-

Calcula las siguientes derivadas:

a) f ( x)  arctg

x  senx x  senx

b) f ( x)   5 x  3  Ln 1  x 2  3

c) f ( x)  tg 32 x   e 2 x  x  

x e) f ( x)  12.-

3

 x   log 4  x3 

3 cos  3 x 2  x  1 2

f ) f ( x)  x 3  Ln 1  3 x 2  

x  5 1  3x 4

2 1  arcsen  2 x  1

a)

Representa gráficamente las siguientes funciones indicando sus dominios, recorridos y extremos:   3x x 1  2 2 i ) f ( x)  4 x  16 x  7 ii ) f ( x)   x  4 x  3 1  x  2  2  x2 x 

b)

Calcula los siguientes límites:

i ) lim x 3

13.-

d ) f ( x) 

a)

4x  3  3 2 x  2x  3

ii ) lim

x 

4x2 1

x6   x iii ) lim   2  x2 x  2 x 4 

x 2  2  3x

 x3  2 x  1 x 1  x  1  f ( x)   x 2  3x  5 1  x  2   x3  5 x  7  x2  x 3

Estudiar la continuidad de la función

y calcular sus límites en + y en -

b)

 x 2  3x  1  3  f  x   x2  k 

Calcular el valor de k para que la función

x2 x2

sea continua en x = 2. Si fuera k = 1, ¿qué tipo de discontinuidad tendría?

14.-

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a) f ( x) 

1 2x ( x  3x 2 )4 3

25 x 1  cos x d ) f ( x)  Ln  2  3 x 

b) f ( x)

1  tg  2 x  1 x  tg  x

2



e) f ( x )  arctg  x 3  sen  2 x  

c) f ( x)  e  x  arcsen( x 2  x )