Los problemas más comunes de triángulos son aquellos en que, a partir de algunos datos, se quiere hallar las restantes medidas de lados y ángulos. Estos problemas tienen el inconveniente de que la relación entre esos elementos no es algebraica. Al introducir las funciones trigonométricas, la relación entre lado y seno o coseno de un ángulo se hace algebraica. Esta es en esencia la idea de Hipparchus que, de tan simple, pocos se dan cuenta de su genialidad. Hipparchus introduce una sola función, la función cuerda, que es muy parecida a la actual función seno.

( )

l⎞ l = 2R sen ⎛ A cuerda A ⎜2⎟ ⎝ ⎠ Hipparchus de Rodas (Grecia, 190 a.C.–120 a.C.)

Este artificio de cálculo tiene un precio: la necesidad de construir tablas de funciones trigonométricas.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no hubo trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hipparchus construyó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Las primeras tablas construidas por Hipparchus no han sobrevivido al paso del tiempo, pero dieron una solución general a los problemas trigonométricos. Una conclusión de esto es que, antes de Hipparchus, las tablas astronómicas basadas en los métodos geométricos griegos no existían. Esto lo convierte no solo en el fundador de la trigonometría, sino en el que transformó la astronomía griega, de una pura teoría, en una ciencia práctica y predecible. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, por ejemplo entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Actualmente, otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. El significado y notación actual para el seno de un ángulo aparece en el trabajo de un hindú, Aryabhata. En el 500 d.C. dio las primeras tablas para el seno. Estas tablas fueron reproducidas por Brahmagupta en el 628, y detallados métodos para construirlas fueron dados por Bhaskara en 1150. El término trigonometría aparece por primera vez en el título de un libro publicado en 1595 por B. Pitiscus, en Heidelberg, Alemania. Edmund Gunter fue el primero en usar la abreviación sen en 1624, en un dibujo. El primer uso en un libro fue en 1634 por el matemático francés Hérgone.

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GUSTAVO A. DUFFOUR

7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

1. – CONOCIMIENTOS GENERALES 1.1. NOTACIÓN Ángulos l . En algunos casos Se acostumbra a nombrar los ángulos con letras mayúsculas A se usarán letras del alfabeto griego α, β ...

Es común usar el mismo símbolo, generalmente letras del alfabeto griego: α, β, ... para nombrar el ángulo (una porción del plano, concepto básicamente geométrico) y la medida del ángulo, en grados. Así está usado en este capítulo.

C

Lados En todos los casos se refiere a la longitud de los lados, medidos con una unidad apropiada: centímetros, metros ... Se anotarán con letras minúsculas, iguales a la del vértice opuesto. También es común ver otras notaciones.

a

b

A

c

B

Lado c o d(A,B) d significa distancia

MATEMÁTICA DE CUARTO

105

1.2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO El triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos de 90 grados.

C

En un triángulo rectángulo, el lado a se le denomina hipotenusa, y a los otros dos se les llama catetos.

b

a

Serán catetos opuestos o adyacentes con  o C l. respecto a uno de los ángulos B Opuesto significa que está enfrente al ángulo. Adyacente que está al costado del ángulo.

A

c

B

1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS En cursos anteriores ya se ha estudiado y trabajado con este teorema. En todo triángulo rectángulo se cumple que: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2

1.4. DEFINICIONES DE SENO, COSENO Y TANGENTE En el curso anterior han sido dadas las siguientes definiciones en un triángulo rectángulo: d(B,C) Es la distancia del punto B al punto C. La longitud del segmento [BC] C Seno de α:

Coseno de α: es el cociente entre la longitud del cateto adyacente d(A,B), y la longitud de la hipotenusa d(B,C).

α A

es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(A,C), y la longitud de la hipotenusa d(B,C).

B

Tangente de α: es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(A,C), y la longitud del cateto adyacente d(A,B). sen α =

106

d(A,C) d(B,C)

cos α =

d(A,B) d(B,C)

tg α =

d(A,C) sen α = d(A,B) cos α

GUSTAVO A. DUFFOUR

1.5. SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180 grados. l +B  + C l = 180º A

l C

Es un dato muy importante a tener en cuenta en la resolución de problemas.

l A

l B

1.6. USANDO LA CALCULADORA En este tema se hace imprescindible el uso de la calculadora. Tecla necesaria para hallar ángulos. En algunas calculadoras se llama INV. Tecla imprescindible para poner grados y minutos.

Teclas para hallar seno, coseno, tangente.

En las calculadoras científicas de última generación, para hallar cos 35º 17’ se debe digitar:

cos

35

º ’ ’’

17

º ’ ’’

=

Se obtiene por respuesta 0,816305647 En la mayoría de los ejercicios bastará con redondear a tres decimales y quedarse con 0,816 l que cumpla: sen A l = 0.475 Para hallar el ángulo A

SHIFT

sin

0.475

=

SHIFT

º ’ ’’

La calculadora responderá con 28º21’33,66 de los cuales es suficiente tomar grados l = 28º 21’ y minutos como valor para el ángulo buscado A USANDO LA CALCULADORA Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo se encuentra. Modo Modo

D o DEG para trabajar en grados. R o RAD para trabajar en radianes.

Véase en la página 121 la definición de grados y radianes.

El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES.

MATEMÁTICA DE CUARTO

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10 –

PROBLEMAS PROPUESTOS

119)

Desde la esquina de una plaza se observa el punto más alto de una antena con un ángulo de elevación de 36º. Si avanzamos 1000 m hacia ella en línea recta y la volvemos a observar, el ángulo de elevación es de 80º. ¿Qué altura tiene la antena?

Véanse los resultados en la página 203.

ángulo de depresión

ángulo de elevación

120)

Desde un barco se ve la cima de la montaña más alta de una isla bajo un ángulo de elevación de 25º. Luego el barco se mueve hacia la isla 990 m y mide nuevamente el ángulo de elevación: 70º. Hallar la altura de la montaña.

121)

Tres pueblos A, B y C están unidos por caminos rectos y horizontales, d(AB) = 9,5 km d(BC) = 25,3 km y el ángulo entre los caminos AB y BC mide 97º. Calcular d(AC).

122)

Dos fuerzas de 200 kg y 387 kg respectivamente forman entre sí un ángulo de 137º actuando en un mismo punto. Calcular la fuerza resultante.

123)

Tres ciudades A, B y C están unidas por carreteras rectas y horizontales. La distancia de la ciudad A a la B es de 6 km, la distancia de la ciudad B a la C es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto dista la ciudad A de la C?

124)

Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto este se bifurca formando un ángulo de 38º. Cada uno va por su lado; uno camina a 3 km por hora y el otro a 3,5 km por hora. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de media hora?

125)

Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río, y separados entre sí 12 m, se observan el pie P y la copa C de un pino situado en la orilla opuesta. Calcular n = 42º, PBA n = 37º y la altura del pino sabiendo que los ángulos miden PAB n = 50º PAC

126)

La molécula de agua consiste en dos átomos de hidrógeno y un átomo de oxígeno, unidos como en el diagrama. La distancia desde el núcleo del átomo de hidrógeno al átomo de oxígeno es de 9,58×10–

H

H α O

9

cm y el ángulo α = 104º 8’ ¿Cual es la distancia entre los núcleos de los átomos de hidrógeno?

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