LECCIÓN

CONDENSADA

9.1

Series aritméticas

En esta lección ● ●

aprenderás terminología y notación asociada con series descubrirás una fórmula para la suma parcial de una serie aritmética

Una serie es la suma indicada de los términos de una secuencia. Por ejemplo, considera la secuencia: u1  4 un  un1  2 donde n  2 La suma de los términos de esta secuencia es la serie: u1  u2  u3  u4  …

ó

4  6  8  10  …

La suma de los primeros n términos en una serie se representa por Sn. Por ejemplo: S6  u1  u2  u3  u4  u5  u6  4  6  8  10  12  14  54 La suma de cualquier número finito, o limitado, de términos se llama suma 6

parcial de la serie. Las notaciones S6 y u1  u2  u3  u4  u5  u6.

un son formas cortas de escribir  n1

Para hallar la suma de los enteros de 1 a 100, podrías sumar los términos uno por uno. Puedes usar tecnología y una fórmula recursiva para hacer esto rápidamente. Primero, escribe una definición recursiva para la secuencia de enteros positivos. Secuencia: u1  1 un  un1  1 donde n  2 Después, escribe la definición para la serie relacionada. Recuerda que la suma de los primeros 100 términos es la suma de los primeros 99 términos más el término número 100. Serie: S1  1 Sn  Sn1  un donde n  2 La tabla muestra cada término en la secuencia y la secuencia de sumas parciales. Los puntos en la gráfica representan las sumas parciales de S1 a S100. Puedes usar la tabla o la gráfica para hallar que S100, la suma de los enteros de 1 a 100, es 5050.

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CHAPTER 9

137

Lección 9.1 • Series aritméticas (continuación) En la investigación encontrarás una fórmula para hallar una suma parcial de una serie aritmética, sin tener que encontrar todos los términos y sumar.

Investigación: Fórmula de la serie aritmética Resuelve los Pasos 1 y 2 de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, completa el resto de la investigación. Después compara tus resultados con los siguientes. La longitud del primer paso es 4, la del segundo es 7, y así sucesivamente hasta el último paso, que mide 16. Paso 1

Secuencia: 4, 7, 10, 13, 16 Suma de la serie: 4  7  10  13  16  50 Las dimensiones del rectángulo son 20 unidades por 5 unidades. Observa que el área es 100 unidades cuadradas, el doble del valor de la suma de la serie.

Paso 2

Deslizar u1 u2 u3 u4 u5

Pasos 3 y 4 Usa la secuencia 2, 4, 6, 8. Entonces u1  2, d  2. Observa que la serie relacionada es 2  4  6  8  20. La siguiente figura muestra dos copias de una figura escalonada que representa la secuencia. Las dimensiones del rectángulo son 10 unidades por 4 unidades, dando como resultado un área de 40 unidades cuadradas. Deslizar u1 u2 u3 u4

El área del rectángulo es el resultado de n · u1  u4. La longitud del rectángulo es igual a la suma del primer y el último término de la secuencia, u1  u4, y la altura del rectángulo es igual a n, el número de términos en la secuencia. n · u1  un La suma parcial, Sn, de una seria aritmética es Sn  _________ . Es un 2 medio del área del rectángulo.

Paso 5

Usa la fórmula de la investigación para verificar que la suma de los enteros de 1 a 100 es 5050. Después lee el ejemplo en tu libro y el texto que le sigue.

138

CHAPTER 9

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LECCIÓN

CONDENSADA

9.2

Serie geométrica infinita

En esta lección aprenderás que algunas series geométricas infinitas convergen a un valor a largo plazo, o suma ● descubrirás una fórmula para hallar la suma de una serie geométrica convergente En la Lección 9.1, hallaste las sumas parciales de series aritméticas. Si comienzas a sumar los términos de una secuencia aritmética, aumentará la magnitud de la suma parcial. Esto finalmente sucederá aun si los términos son pequeños, como por ejemplo 0.001, 0.002, 0.003, y así sucesivamente. Éste no siempre es el caso en una serie geométrica. ●

Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. Por ejemplo, considera la secuencia geométrica: 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , … 2 4 8 16 32 64 128 Esta serie tiene una razón constante de 12, por lo tanto los términos son cada vez más pequeños. Puedes sumar los términos para crear una serie geométrica. Éstas son algunas de las sumas parciales: 1 1 3 S2  2  4  4

1 1 1 7 S3  2  4  8  8

1 1 1 15 1  S4  2  4  8  1 6  16

127  Si sigues hallando sumas parciales, obtendrás 3312 , 6634 ,  128 , y así sucesivamente. Aunque las sumas parciales son cada vez más grandes, siempre son menores que 1. Parece que, si sumas un número infinito de términos, el resultado no será infinito.

Una serie geométrica infinita es una serie geométrica con un número infinito de términos. Una serie convergente es una serie para la cual la secuencia de sumas parciales se aproxima a un valor a largo plazo, a medida que aumenta el número de términos. Este valor a largo plazo es la suma de la serie. La serie 12  14  18  1 1     … es una serie convergente con un valor a largo plazo, o suma, de 1. 16 32 Analiza el Ejemplo A en tu libro.

Investigación: Fórmula de la serie geométrica infinita Analiza la investigación por tu cuenta antes de leer las siguientes soluciones. 0.04 1 __ El primer término, u1, es 0.4. La razón, r, es ___ 0.4  10 , ó 0.1. El multiplicador y r son recíprocos. Puedes usar cualquier potencia de diez como multiplicador. Paso 2 Sea S  0.4444 … . Entonces 0.1S  0.0444 … . Resta S y 0.1S y después resuelve para S.

Paso 1

S  0.4444 … 0.1S  0.0444 … 0.9S  0.4 0.4 , ó __ 4 S  ___ 0.9 9 4. Este método también obtuvo S  __ 9 (continúa)

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CHAPTER 9

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Lección 9.2 • Serie geométrica infinita (continuación) El primer término, u1, es 0.9. La razón, r, es 0.1. Sea S  0.9999 … y 0.1S  0.0999 … . Resta S y 0.1S y después resuelve para S.

Paso 3

S  0.9999 … 0.1S  0.0999 … 0.9S  0.9 S1 El primer término, u1, es 0.27. La razón común, r, es 0.01. Sea S  0.272727 … y 0.01S  0.002727 … . Resta y después resuelve para S.

Paso 4

S  0.272727 … 0.01S  0.002727 … 0.99S  0.27 27  ___ 3 0.27  ___ S  ____ 0.99 99 11 Paso 5 Si S  u1  r · u1  r2 · u1  r3 · u1  …, entonces r · S  r · (u1  r · u1  r2 · u1  r3 · u1  …), ó r · u1  r2 · u1  r3 · u1  … . Resta y resuelve para S. S  u1  r · u1  r2 · u1  r3 · u1  … r · S  r · u  r2 · u  r3 · u  … 1

1

1

S  rS  u1

Resta.

S · (1  r)  u1 Factoriza. u 1 S  _____ Divide ambos lados por (1  r). 1r Paso 6 Las sumas parciales de una secuencia geométrica convergirán en un único número S cuando r esté entre 1 y 1, o cuando u1  0.

Lee el Ejemplo B en tu libro, que usa una gráfica de sumas parciales para hallar la suma de una serie. Lee el ejemplo atentamente y asegúrate de que entiendes el método. Después lee el recuadro que sigue al ejemplo, que resume la fórmula para hallar la suma de una serie geométrica infinita convergente. Observa que una serie geométrica converge solamente si⏐r⏐  1 ó u1  0. Analiza el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo.

EJEMPLO

Halla la suma de la serie infinita: 

130(0.84)n1  n1 

Solución

u1 En este caso, r  0.84 y u1  130. Usando la fórmula S  ____ 1r,

130 S 1  0.84  812.5

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LECCIÓN

Sumas parciales de series geométricas

CONDENSADA

9.3 En esta lección ●

descubrirás una fórmula para sumas parciales de series geométricas

En la Lección 9.2, hallaste las sumas infinitas de series geométricas convergentes. En esta lección hallarás las sumas parciales de series geométricas. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar una gráfica o tabla de calculadora para hallar las sumas parciales de una serie geométrica. Lee el ejemplo atentamente. En la Lección 9.1, descubriste una fórmula para las sumas parciales de las series aritméticas. En esta investigación, hallarás una fórmula para las sumas parciales de las series geométricas.

Investigación: Fórmula de series geométricas Analiza la investigación en tu libro. Después verifica tus resultados con los siguientes. La secuencia se define por u1  180 y un  0.65 ⭈ un1. Las primeras diez alturas y sumas parciales se muestran en las siguientes tablas.

Paso 1

Paso 2

A continuación se muestra la gráfica de dispersión de datos:

u

180 180 1 ______ ___ El valor a largo plazo L se obtiene por ____ 1  r  1  0.65  0.35 . Para hallar los valores de a y b, sustituye las coordena das de los puntos (1, 180) y (2, 297) en 180 n Sn  ___ 0.35  ab para obtener el sistema: 180  ab ⎧ 180  ____ ⎪ 0.35 ⎨ 180  ab 2 ⎪ 297  ____ ⎩ 0.35 180 180 ___ 2 Puedes volver a escribir estas ecuaciones como ab  ___ 0.35  180 y ab  0.35  297. 180 ___

0.35  297  0.65. Dividiendo la segunda ecuación por la primera, se obtiene b  _______ 180 ___ 0.35  180

180 Sustituyendo b por 0.65 en la primera ecuación, se obtiene 0.65a  ___ 0.35  180. 0.65 ___ 180 1 1 1 ___ ___ ___ Por lo tanto a  180___ 0.35  1 ⭈ 0.65  180  0.35  0.65   0.35 . Entonces, la

180 180 ___ n ecuación es Sn  ___ 0.35  0.35 (0.65) , o como una función exponencial, 180 180 ___ x y  ___ 0.35  0.35 (0.65) .

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(continúa) CHAPTER 9

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Lección 9.3 • Sumas parciales de series geométricas (continuación) u

u

1 1 ____ n La ecuación en el Paso 2 se puede volver a escribir como Sn  ____ 1r  1r r . u1 u1 Sn   _____ 1  r n Elimina _____ .   1  r 1r u11  r n Sn  __________ Vuelve a escribir la ecuación. 1r Paso 4 Sn  u1  u1 r  u1 r 2  …  u1 r n1

Paso 3

r Sn  u1 r  u1 r2  …  u1 r n1  u1 r n Sn  r Sn  u1  u1 r n, ó u11  r n Sn(1  r)  u11  r n u11  r n Sn  __________ 1r Paso 5 Para la pelota que rebota, S10 se obtiene así: 1801  0.6510 S10  ______________  507.362 1  0.65 Esto se puede verificar en la tabla de la calculadora. Para la secuencia geométrica 2, 6, 18, 54, y así sucesivamente, u1  2 y r  3. 21  310 S10  __________  59,048 13

Ahora tienes una fórmula explícita para hallar una suma parcial de cualquier serie geométrica. Sólo necesitas conocer el primer término, la razón común y el número de términos. Para practicar el uso de la fórmula, resuelve los Ejemplos B y C en tu libro. Después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Halla cada suma parcial. 11

a.

9(2.75)n1  n1

b. 1024  768  576  …  136.6875 

Solución

a. u1  9 y r  2.75. Usa la fórmula para la suma parcial S11. 91  2.7511 u11  r 11   S11  (1  r)  1  2.75  349,830.5303 b. El primer término, u1, es 1024. Cada término es tres cuartos del término anterior, por lo tanto r  0.75. Ingresa u1  1024 y un  0.75un1 en tu calculadora y crea una tabla. El último término dado, 136.6875, es u8. Por lo tanto necesitas hallar S8. Usando la fórmula, 10241  0.758 u11  r 8   3685.9375  S8   (1  r) 1  0.75

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CHAPTER 9

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