Cap´ıtulo

9

´ Series numericas

Aquiles alcanzó a la tortuga y se sentó confortablemente sobre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestra carrera?– dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consiste en una serie infinita de distancias? Yo creía que algún necio había demostrado que esto no podía hacerse.

Lewis Carroll

9.1. Conceptos básicos En este capítulo continuamos con el estudio de las sucesiones empezado en el Capítulo 7. La novedad es que ahora vamos a considerar un tipo particular de sucesiones que, sin exagerar, puede afirmarse que son las más útiles del Análisis. Estas sucesiones se llaman series. En lo que sigue vamos a considerar sucesiones de números reales por lo que evitaremos esa innecesaria precisión. 9.1 Definición. Dada una sucesión fan g, podemos formar a partir de ella otra sucesión, fAn g, cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de fan g, es decir: A1 D a1 ; A2 D a1 C a2 ; A3 D a1 C a2 C a3 ; : : : ; An D a1 C a2 C


C an ; : : : o, si te gusta más, A1 Da1 y, para todo n 2 N, AnC1 DAn CanC1 . La sucesión fAn g así definida se llama serie de término general an o serie definida por la sucesión fan g, y la representaremos n X X P ak se llama suma parcial de orden por an o, más sencillamente, an . El número An D n>1

n de la serie

kD1

P

an .

518

Conceptos básicos

519

Debe quedar claro desde ahora que una serie es una sucesión cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de otra sucesión. Ni que decir tiene que, siendo las series sucesiones, los conceptos y resultados vistos para sucesiones conservan su misma significación cuando se aplican a series. En particular, es innecesario volver a definir qué se entiende cuando se dice que una serie es “acotada”, “convergente” o “positivamente divergente”. 1 X P Si una serie an es convergente se usa el símbolo an para representar el límite de la nD1 1 X

serie que suele llamarse suma de la serie. Naturalmente,

an es el número definido por:

nD1

1 X

nD1

an D lKımfAn g D lKım

n!1

n X

ak :

kD1

P Por tanto, la igualdad 1 S quiere decirˇ que para todo " > 0, hay un m" 2 N tal que nD1 an D ˇP n ˇ para todo n > m" se verifica que S ˇ < ". kD1 ak

9.2 Ejemplo (Serie geométrica). Dado un número x, la sucesión f1 C x C x 2 C


C x n g se llama serie geométrica de razón x.˚ Observa que dicha serie se obtiene sumando consecutivamente los términos de la sucesión 1; x; x 2 ; x 3 ; : : : ; x n ; : : : . Es costumbre representar la serie X geométrica de razón x con el símbolo x n . Dicha serie converge si, y sólo si, jxj < 1, en n>0

cuyo caso se verifica que:

1 X

nD0

xn D

1 1

x

:

(9.1)

Todas las afirmaciones hechas se deducen de que si x ¤ 1, se tiene: n X

kD0

xk D 1 C x C x2 C


C xn D

x nC1 D 0 y obtenemos que: n!1 1 x 1 n X X 1 x n D lKım xk D n!1 1 x

1 1

x

x nC1 : 1 x

(9.2)

Si jxj < 1 entonces lKım

nD0

.jxj < 1/:

kD0

Si jxj > 1 o xD 1 entonces la sucesión fx n g no converge; y si xD1 entonces tampoco converge.

Pn

k kD0 1 DnC1

Te recuerdo que ya habíamos estudiado la serie geométrica en el ejemplo 7.5.



9.3 Ejemplo (Serie armónica). La serie de término general 1=n, es decir, la sucesión fHn g n X X1 1 donde Hn D , que simbólicamente representamos por , se llama serie armónica. k n n>1 kD1 Se verifica que la serie armónica diverge positivamente: 1 X 1 D lKım f1 C 1=2 C


C 1=ng D C∞: n!1 n

nD1

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Conceptos básicos

520

En efecto, para todo n 2 N tenemos que n n n wn 1 X1 jwC1 1 X1 jwC1 1 X1 1 1 1 1 dx D dx 6 dx D < 1 C C


C C log n D x x j j 2 n 1 n j D1 j

1

j D1 j

j D1

y por tanto 1 X 1 lKım f1 C 1=2 C


C 1=ng > lKım log n D C∞ ÷ D C∞: n!1 n!1 n nD1

Este resultado es también consecuencia directa de que, según vimos en el ejercicio resuelto 161, la serie armónica es asintóticamente equivalente a la sucesión flog ng: 1 C 1=2 C 1=3 C


C 1=n D 1: n!1 log n lKım

 1/n 1

. 9.4 Ejemplo (Serie armónica alternada). Se llama así la serie de término general ; n X . 1/n 1 es decir, la serie . Se verifica que la serie armónica alternada es convergente y su n n>1

suma es igual a log 2.

1 X . 1/n n

1

nD1

D log 2:

Esto ya ha sido probado en el ejercicio resuelto 161. Pero podemos dar otra prueba más directa. Sustituyendo x por x en la igualdad (9.2), obtenemos la siguiente igualdad válida para todo n 2 N y todo x ¤ 1: 1 D1 1Cx

x C x2

x 3 C


C . 1/n x n C . 1/nC1

Integrando esta igualdad entre 0 y 1 tenemos que: log 2 D 1 D

nC1 X

kD1

1

0

1/k 1 k

w1 x nC1 C . 1/nC1 dx 1Cx 0

De donde ˇ ˇ ˇ ˇlog 2 ˇ

Y deducimos que

nC1 X

kD1

ˇ ˇ ˇ lKım ˇlog 2 n!1 ˇ Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

(9.3)

w x nC1 1 1 C


C . 1/n C . 1/nC1 dx D 4 nC1 1Cx

1 1 C 2 3 .

x nC1 : 1Cx

. 1/k k

nC1 X

kD1

ˇ w1 w1 x nC1 1 ˇ dx 6 x nC1 D : D ˇ ˇ 1Cx nC2

1ˇ

. 1/k k

0

0

ˇ 1 X . 1/n ˇ ˇ D 0 ÷ log 2 D ˇ n

1ˇ

1

:

nD1



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Conceptos básicos

521

El siguiente ejemplo te ayudará a entender el concepto de serie convergente. Vamos a ver que modificando el orden de los términos en una serie convergente podemos obtener otra serie convergente con distinta suma. 9.5 Ejemplo (Reordenando términos en la serie armónica alternada podemos obtener otra serie con distinta suma). Como hemos visto, la serie armónica alternada es la sucesión que se obtiene sumando consecutivamente los términos de la sucesión ( )   . 1/n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D 1; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;:::::: (9.4) n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Vamos a cambiar el orden de los términos en esta sucesión poniendo uno positivo seguido de dos negativos manteniendo sus posiciones relativas. Obtenemos así la sucesión   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;:::::: ; (9.5) 1; 2 4 3 6 8 5 10 12 7 14 16 cuya serie asociada, obtenida sumando consecutivamente sus términos, es la sucesión fSn g dada por: S1 D 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 :::::: 1 1 2 :::::: n  X

S2 D 1 S3 D S4 D S5 D S6 D

:::::: D

S9 D

:::::: D S3n D

j D1

2j

1 4 1 1 C 4 3 1 1 C 4 3 1 1 C 4 3

1 6 1 6

1 8

1 1 C 4 3

1 6

1 1 C 8 5

1

1 1

4j

2

1 4j

1 10

1 12



Tenemos que: 1 1 1 1 C S3nD 1 3 6  2 4 1 1 1 D 1 C 2 4 3 1 1 1 1 1 C C D 2 4 6 8 10  1 1 1 1 1 C C D 2 2 3 4 n 1 X . 1/j 1 D : 2 j

1 1 1 1 1 1 1 C C


C 8  5 10 12  2n 1 4n 2 4n  1 1 1 1 1 1 1 C C


C 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2 1 1 1 C


C 12 2.2n 1/ 4n  1 1 1 1 C


C 5 6 2n 1 2n

1 4n

j D1

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La particularidad del estudio de las series

522

Deducimos que: n

lKım S3n D

n!1

Es claro que lKım fS3n

S3n

1g

X . 1/j 1 lKım 2 n!1 j

1

j D1

D lKım fS3n

S3n

lKım fSn g D

2g

D

1 log 2: 2

D 0 de donde se sigue que:

1 log 2: 2

Es decir, hemos probado que la serie obtenida reordenando los términos de la serie armónica alternada por el criterio de sumar uno positivo seguido de dos negativos, es convergente y su 1 suma es log 2.  2 9.6 Observación (La suma de una serie convergente no es una suma). El ejemplo anterior pone claramente de manifiesto que la suma de una serie convergente no es una suma en el sentido usual de la palabra, es decir, no es una suma algebraica de números. Observa que los conjuntos de números (9.4) y (9.5) son los mismos pero las series correspondientes tienen 1 distinta suma; la primera tiene suma log 2 y la segunda log 2. Si la suma de una serie consis2 tiera en sumar los infinitos términos de una sucesión, entonces el orden en que los sumáramos sería indiferente porque la suma de números tiene la propiedad conmutativa. Debes tener claro, por tanto, que cuando calculas la suma de una serie no estás haciendo una suma infinita sino que estás calculando un límite de una sucesión cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de otra sucesión dada. Insisto: calcular la suma de una serie no es una operación algebraica, no consiste en sumar infinitos términos, es un proceso analítico que supone un límite.

9.1.1. La particularidad del estudio de las series Ahora viene la pregunta del millón: si las series no son nada más que sucesiones, ¿por qué dedicarles una atención especial? La respuesta a esta pregunta es que en el estudio de las series hay una hipótesis implícita que los libros silencian. A saber: se supone que las series son sucesiones demasiado difíciles de estudiar directamente. La característica que distingue el estudio de las series es la siguiente: se trata de deducir propiedades de la serie fAn g D fa1 C a2 C


C ang, a partir del comportamiento de fan g. Es decir, los resultados de la teoría de series dan información sobre la sucesión fAn g haciendo hipótesis sobre la sucesión fan g. ¿Por qué esto es así?, ¿no sería más lógico, puesto que lo que queremos es estudiar la serie fAn g, hacer hipótesis directamente sobre ella? La razón de esta forma de proceder es que, por lo general, no se conoce una expresión de An Da1 Ca2 C


Can que permita hacer su estudio de forma directa; es decir, la suma a1 C a2 C


C an no es posible “realizarla” en la práctica. Por ello, en el estudio de las series se supone implícitamente que la sucesión fan g es el dato que podemos utilizar. Naturalmente, esto hace que el estudio de las series se preste a muchas confusionesP porque, aunque su objetivo es obtener propiedades de la serie fAn g, las hipótesis y la notación an hacen siempre referencia a la sucesión fan g, por lo que puede caerse en el error de creer que lo que se está estudiando es dicha sucesión fan g cuando lo que realmente se estudia es la sucesión fa1P C a2 C


C ang. Un error muy común y que debes evitar es confundir las sucesiones fan g y an : ¡son sucesiones muy diferentes!

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523

Si lo piensas un poco, esta forma de proceder no es del todo nueva. Ya estás acostumbrado a usar la derivada de una función para estudiar propiedades de la función; pues bien, la situación P aquí es parecida: para estudiar la serie an D fa1 C a2 C


C ang (la función) estudiamos la sucesión fan g (la derivada). Un buen ejemplo de esto que digo son los criterios de convergencia que veremos dentro de poco. Otra dificultad adicional en el estudio de las series es la notación tan desafortunada que se 1 X an , la serie (que emplea. En la mayoría de los textos se representa con el mismo símbolo, nD1

es una sucesión) y su suma (que es un límite que no siempre existe). Esto es un disparate: se está confundiendo una sucesión con un número. ¿Es lo mismo la sucesión f1=ng que el número 0 que es su límite? En ninguna parte verás escrita la igualdad disparatada f1=ng D 0 ¿Por qué 1 X 1 X 1 D 1 con que es la sucesión entonces, al tratar con series, se confunde el número 2n 2k nD1 k>1 ( n )   X 1 1 D 1 ? 2n 2k kD1

Quizás esto se debe a que, parece increíble pero es cierto, no hay acuerdo unánime para representar X de forma apropiada la serie de término general an . La notación que estamos usando aquí, an , tiene la ventaja de que es clara y evita las confusiones que estoy comentando, pues n>1

permite distinguir entre la serie y su eventual suma. Tiene el inconveniente de que la mayoría de los autores no la usan (quizás porque la desconocen). Estoy convencido de que las ventajas de esta notación compensan ampliamente este posible inconveniente. Es más, confío en que dicha notación acabe imponiéndose y siendo aceptada universalmente. Pero esto no va a suceder pasado mañana, por eso te advierto de que en los libros encontrarás las usuales notaciones confusas que no distinguen entre la serie (una sucesión) y su posible límite (su suma). Todavía queda una última sorpresa. Estamos de acuerdo en que las series son sucesiones. ¿Muy especiales? En absoluto. Toda sucesión podemos verla, si así nos interesa, como una serie. Pues toda sucesión fan g es la serie definida por la sucesión de sus diferencias, esto es, por la sucesión fdn g dada por: d1 D a1 ; d2 D a2 Es claro que an D

n X

a1 ; d3 D a3

a2 ; : : : ; dnC1 D anC1

an ; : : :

dj . Por tanto, toda sucesión podemos considerarla como una serie. En

j D1

resumen, series y sucesiones son lo mismo: toda serie es una sucesión y toda sucesión puede ser vista como una serie. Lo que distingue a la teoría de series es el punto de vista específico de su estudio, pero sus resultados pueden aplicarse a cualquier sucesión. Creo que con lo dicho ya puedes hacerte una idea correcta de lo que son las series. Insisto en esto porque en los libros encontrarás disparates para todos los gustos. Voy a comentar seguidamente algunos de ellos. Mis comentarios están pensados para hacer reflexionar a los profesores que los lean. 9.7 Observación (Sobre algunas definiciones usuales de serie). En algunos libros se da a siguiente definición. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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524


Definición de serie “aP la Bourbaki”. Una serie es un par de sucesiones fxn g; fSn g donde para todo n 2 N Sn D nkD1 ak . La sucesión fSn g se llama sucesión de sumas parciales de la serie. El problema con esta definición está en las primeras 7 palabras: una serie es un par de sucesiones. Quien lea esta definición pensará que una serie es algo diferente a una sucesión. Si, además, como ocurre con más frecuencia de la deseada, el libro que da esta definición vuelve a enunciar para series – ¡e incluso a demostrar! – algunos de los resultados anteriormente vistos para sucesiones, el desastre ya es total: el lector de ese libro acabará pensando que las series son algo diferente de las sucesiones. Esta definición de serie adolece de la pedantería lamentable de las definiciones “al estilo Bourbaki”. Son definiciones excesivamente formalistas cuya precisión formal las hace confusas e ininteligibles para quien no sabe de qué va la cosa. Con un ejemplo se entiende mejor lo que quiero decir. Tú sabes lo que es la derivada de una función. Sabes que para derivar una función primero tienen que darte la función cuya derivada vas a usar. Por tanto, el concepto de derivada involucra a dos funciones: la función f y la función f 0 . Una definición “al estilo Bourbaki” de derivada sería como sigue: Una derivada es un par de funciones .f; f 0 /, donde f es una función definida en un intervalo I , y para cada punto a 2 I f 0 .a/ es el número definido por f .x/ f .a/ f 0 .a/ D lKım . x!a x a Estarás de acuerdo en que la supuesta mayor precisión formal de esta definición está muy lejos de compensar su mayor dificultad de comprensión. Esto es exactamente lo que se hace en la definición de serie que estamos comentando. Para formar la serie fAn g D fa1 C a2 C


C ang primero tienen que darnos la sucesión fan g. Eso y no otra cosa es lo que significa la expresión “una serie es un par de sucesiones”. Todos sabemos que el Tajo pasa por Toledo pero eso no nos hace decir que Toledo es un par (Tajo,Toledo): : : ¿Me explico? En el extremo opuesto del “estilo Bourbaki” está el “estilo todo vale”. Definición de serie al “estilo todo vale”. Una serie es una suma infinita a1 C a2 C a3 C


C an C


Ya está, eso es todo. Definiciones parecidas a esta se encuentran con frecuencia en libros de autores ingleses o norteamericanos. Se trata de una definición que no define nada e introduce símbolos confusos. Entre el excesivo formalismo y la informalidad absoluta, con notaciones inapropiadas y confusas, la verdad es que la mayoría de los libros que conozco no ayudan a comprender el concepto de serie ni las particularidades de su estudio. P Convenios de notación. Usaremos la notación P an para representar la serie de término general an . Por tanto, una última vez lo repito, an es una sucesión, más concretamente, P an esP la aplicación de N en R que a cada número natural n 2 N hace corresponder el número nkD1 ak .

A pesar de lo dicho, también usaré de vez en cuando la notación fa1 C a2 C


C ang para la serie de término general an . Creo que un uso adecuado de ambas notaciones es la mejor Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Propiedades básicas de las series convergentes

525

forma de ayudarte para que tengas siempre presente que la sucesión que estamos estudiando es P an D fa1 C a2 C


C ang y no fan g.

A veces conviene considerar, por comodidad, series que empiezan en un índice entero X X 1 q 2 Z, usaremos en tal caso la notación an . Por ejemplo, es más cómodo escribir log n n>q n>3 X 1 aunque ambas son la misma serie. que log.n C 2/ n>1

9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes Es importante que te des cuenta de que cambiar P un solo término en la sucesión fan g se traduce en cambiar infinitos términos en la serie an . El siguiente resultado nos dice que si cambiamos un número finito de términos en una sucesión fan g ello no afecta a la posible convergencia de la serie fa1 C a2 C


C ang pero sí afecta a la suma de dicha serie. 9.8 Proposición. Sean fan g y fbn g dos sucesiones y supongamos que hay un número q 2 N tal que para todo n>q C 1 es an D bn . Entonces se verifica que las series fa1 C a2 C


C ang y fb1 C b2 C


C bng o bien convergen ambas o no converge ninguna, y en el primer caso se verifica que: q q 1 1 X X X X an aj D bn bj : nD1

j D1

nD1

j D1

Demostración. Pongamos An D a1 C a2 C


C an , Bn D b1 C b2 C


C bn , ˛ D ˇD

q X

j D1

q X

aj ,

j D1

bj . Las afirmaciones hechas se deducen todas de que para todo n > q C 1 se verifica la

igualdad: n X

ak D A n

kDqC1

˛D

n X

bk D Bn

ˇ

kDqC1

Observa que los números ˛ y ˇ son constantesP fijas. De la igualdad P An C ˛ D Bn C ˇ, válida para todo n > q C 1, deducimos que las series an D fAn g y bn D fBn g ambas convergen o ninguna converge. Cuando hay convergencia tenemos que: lKım fAn

n!1

˛g D lKım fAn g n!1

˛ D lKım fBn n!1

ˇg D lKım fBn g n!1

ˇ:

Lo que prueba la igualdad del enunciado. Consideremos una serie todo n > q C 1. La serie

X

2

an . Dado q 2 N definamos bn D 0 para 1 6 n 6 q, bn D an para

n>1 X

bn se llama serie resto de orden q de la serie

n>1

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X

an . Es usual

n>1

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Propiedades asociativas y conmutativas

526

representar dicha serie resto con la notación

X

an . De la proposición anterior deducimos

n>qC1

que las series

X

an y

n>1

X

an ninguna converge o ambas convergen y, cuando esto ocurre es:

n>qC1 1 X

nD1

an

q X

kD1

ak D

1 X

an :

nDqC1

No lo olvides: para calcular la suma de una serie debes tener siempre presente el índice desde el que se empieza a sumar. El siguiente resultado es importante porque establece una condición necesaria general para la convergencia de una serie. 9.9 P Proposición (Condición necesaria para la convergencia de una serie). Para que la serie an sea convergente es necesario que lKımfan g D 0.

P Demostración. Si la serie an es convergente, entonces lKımfAn g D lKımfAn 1 g D S es un número real. Como para todo n 2 N con n > 2 tenemos que an D An An 1 , deducimos que lKımfan g D lKımfAn g lKımfAn 1 g D S S D 0. 2 P1 Esta condición necesaria no es suficiente: f n1 g ! 0 pero la serie armónica n no es convergente. Se trata de una condición necesaria para la convergencia de una serie, por tanto cuando dicha condición no se cumple la serie no es convergente.  X
1 n X 1 1 X 9.10 Ejemplo. Las series 1 n e n 1 no son ninguna de ellas , n sen , n n n>1 n>1 n>1 convergente porque sus términos generales no convergen a 0:  
1 1 n 1 1 1 ! ; n sen ! 1; n e n 1 ! 1: n e n 

9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas Ya hemos dicho que el límite, L, de una serie convergente, L D lKım fa1 C a2 C


C ang, no es, como a veces se dice, una “suma de los infinitos términos” de la sucesión fan g. ¿Qué sentido tiene eso infinitos términos”? Ninguno, desde luego. Lo que dicho número ˇ de “sumar ˇ Pn ˇ ˇ verifica es que ˇL j D1 aj ˇ se conserva menor que cualquier número " > 0, a partir de un cierto n 2 N en adelante. Si bien, puede ser sugerente la interpretación de L como “la suma de los términos de la sucesión fan g”, no hay que olvidar que esto no es más que una forma de hablar, y que el límite de una serie convergente es, justamente, el límite de una sucesión de sumas y no debe confundirse con una operación algebraica. Por ello cabe preguntarse si las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se conservan para series convergentes. De hecho, ya hemos visto que la propiedad conmutativa no se verifica en general, pues reordenando Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Propiedades asociativas y conmutativas

527

los términos de una serie convergente podemos obtener otra serie con suma distinta. Las cosas van mejor en lo que se refiere a la asociatividad. Precisemos estas ideas. Sea fa1 C a2 C


C ang la serie definida por la sucesión fan g. Dada una aplicación estrictamente creciente  W N ! N, definamos una sucesión fbn g por: b1 D a1 C a2 C


C a .1/ ;

bnC1 D a .n/C1 C


C a .nC1/ .n 2 N/ (9.6) P En bn se ha obtenido asociando términos en la serie P estas condiciones se dice que la serie an . Poniendo An D a1 C a2 C


C an , y Bn Db1 Cb2 C


Cbn , se tiene que Bn DA .n/ , es decir la sucesión fBn g es una sucesión parcial de fAn g. Deducimos el siguiente resultado. 9.11 Proposición. Toda serie obtenida asociando términos en una serie convergente también es convergente y ambas series tienen la misma suma. Es importante advertir que asociando términos en una serie no convergente puede obtenerse una serie convergente. Por ejemplo, la serie definida por la sucesión fan g D f. 1/nC1 g no es convergente, y la serie que se obtiene de ella asociando términos dos a dos, es decir, la serie definida por la sucesión bn D a2n 1 C a2n D 0, es evidentemente convergente. A este respecto tiene interés el siguiente resultado que establece una condición suficiente para que de la convergencia de una serie obtenida asociando términos en otra pueda deducirse la convergencia de esta última. 9.12 Proposición. Sea  W N ! N una aplicación estrictamente creciente, fan g una sucesión P y fbn g la sucesión definida como en (9.6). Supongamos que la serie bn es convergente y que la sucesión ˛n D ja .n/C1 j C ja .n/C2 j C


C ja .nC1/ j P converge a cero. Entonces la serie an es convergente y tiene la misma suma que la serie P bn . Demostración. Para cada n 2 N, n >  .1/, definamos:

.n/ D mKaxfk 2 N W  .k/ 6 ng: Evidentemente, .n/ 6 .n C 1/. Además  ..n// 6 n <  ..n/ C 1/, y para todo p 2 N . .p// D p. Pongamos An D a1 C a2 C


C an , Bn D b1 ˚C b2 C


C bn . Se comprueba fácilmente, usando que  es creciente y no mayorada, que lKım B .n/ D lKımfBn g (observa que ˚ B .n/ es “parecida” a una sucesión parcial de fBn g). Para n >  .1/ tenemos: An D.a1 C


C a .1/ / C


C .a . .n DB .n/ C a . .n//C1 C


C an :

1//C1

C


C a . .n// / C a . .n//C1 C


C an

Por tanto ˇ ˇ ˇAn B .n/ ˇ 6 ja . .n//C1 j C


C jan j 6 ja . .n//C1 j C


C ja . .n/C1/ j D ˛ .n/ ! 0: ˚ De donde se sigue que lKımfAn g D lKım B .n/ D lKımfBn g. 2 Estudiaremos seguidamente las series convergentes para las que se verifica la propiedad conmutativa. Precisaremos estos conceptos. Sea fa1 C a2 C


C ang la serie definida por la Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Propiedades asociativas y conmutativas

528

sucesión fan g. Dada una biyección  W N ! N, definamos una sucesión fbn g por bn D a.n/ . En estas condiciones se dice que la serie fb1 C b2 C


C bng se ha obtenido reordenando términos en la serie fa1 C a2 C


C ang. 9.13 Definición. Se dice que una serie fa1 C a2 C


C ang es conmutativamente convergente si para toda biyección  W N ! N, se verifica que la serie definida por la sucesión fa.n/ g, es decir la serie fa.1/ C a.2/ C


C a.n/g, es convergente. P Observa que, tomando como biyección de N sobre N la identidad, si la serie an es conmutativamente convergente entonces es convergente. En otras palabras, una serie es conmutativamente convergente, cuando es convergente y también son convergentes todas las series que se obtienen de ella por reordenación de sus términos (en cuyo caso se verifica que todas ellas tienen la misma suma). La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente que no es conmutativamente convergente. El siguiente teorema da una sencilla caracterización de las series conmutativamente convergentes. Debes entender lo que afirma el teorema pero no es preciso que leas su demostración. Si acaso, puede ser interesante que leas el comienzo de la demostración de la implicación b/÷a/ porque es muy parecida a la demostración del teorema 8.33. Esto no es casual: hay bastantes analogías entre la convergencia de integrales impropias y de series. 9.14 Teorema. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) La serie fa1 C a2 C


C ang es conmutativamente convergente. b) La serie fja1 j C ja2 j C


C jan jg es convergente. Además, en caso de que se verifiquen a) y b), se tiene que: 1 X

nD1

an D

1 X

a.n/

nD1

cualquiera sea la biyección  W N ! N. Demostración. b/÷a/ Pongamos An D a1 C a2 C


C an , Bn D ja1 j C ja2 j C


C jan j. Supongamos que fja1 j C ja2 j C


C jan jg es convergente. Probaremos en primer lugar que la serie fa1 C a2 C


C ang también es convergente. Dado " > 0, la condición de Cauchy para fBn g nos dice que existe n0 2 N tal que ˇ ˇBq

q X ˇ " ˇ Bp D jak j < ; 2 kDpC1

para todos p; q 2 N tales que q > p>n0 :

(9.7)

Deducimos que para todos p; q 2 N tales que q > p>n0 se verifica que ˇ ˇ Aq

q X ˇ ˇ " ˇ ˇ Ap D apC1 C apC2 C


C aq j 6 jak j < < ": 2 kDpC1

Lo que prueba que la serie fAn g cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente. Pongamos A D lKımfAnˇ g, y sea ˇ W N ! N una biyección. Dado " > 0, sea n0 2 N tal que se verifica (9.7) y además ˇAn0 Aˇ < "=2. Definamos m0 D mKaxfj 2 N W .j / 6 n0 g; Fm D f.k/ W 1 6 k 6 mg:

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Propiedades asociativas y conmutativas

529

Para m > m0 , se verifica que Fm ¥ f1; 2; : : : ; n0 g. Por tanto, el conjunto HDFmnf1; 2; : : : ; n0 g no es vacío. Sea p D mKın.H /, q D mKax.H /. Tenemos entonces que q>p>n0 C 1, y por tanto: ˇX ˇ m ˇ a.j / ˇ j D1

ˇ ˇ X ˇ ˇ ˇ Aˇ Dˇˇ ak k 2F

m ˇX ˇ n0 6ˇˇ ak

kD1

Hemos probado así que

1 X

nD1

ˇ ˇX X ˇ ˇ n0 Aˇˇ D ˇˇ ak C ak kD1

ˇ ˇ Aˇˇ6

k 2H

ˇ q X X ˇ " " " ˇ jak j < C jak j < C D ": Aˇ C 2 2 2 k 2H

kDp

a.n/ D A y por tanto que b/ implica a/.

a/÷b/ Probaremos que si la serie fBn g no es convergente entonces la serie fAn g no es conmutativamente convergente. Supondremos, pues, en lo que sigue que fBn g no es convergente. Tenemos para la serie fAn g dos posibilidades: o bien converge o bien no converge. Evidentemente, si fAn g no converge entonces, con mayor razón, no es conmutativamente convergente. Consideraremos, por tanto, el caso en que fAn g es convergente. Para nuestro propósito es suficiente probar que, en tal caso, hay una biyección  W N ! N tal que la serie fa.1/ C a.2/ C


C a.n/ g es positivamente divergente. Veamos cómo puede justificarse la existencia de dicha biyección. De las hipótesis hechas se deduce que los conjuntos U D fn 2 N W an > 0g, y V D N n U son infinitos. Sean  y biyecciones crecientes de N sobre U y V , respectivamente. Evidentemente, para todo n 2 N, se verifica que: fk 2 N W .k/ 6 ng [ fk 2 N W .k/ 6 ng D fk 2 N W 1 6 k 6 ng por lo que, poniendo Pn D

X

a.k/ ; Qn D

.k/6n

X

a .k/

.k/6n

tenemos que An D Pn C Qn y Bn D Pn Qn , de donde se sigue que ninguna de las sucesiones fPn g y fQn g es convergente y, como son monótonas, deducimos que fPn g diverge positivamente y fQn g diverge negativamente. Lo que sigue es fácil de entender: vamos a ir formando grupos de términos positivos consecutivos de la sucesión fan g y, entre cada dos de tales grupos, vamos a ir poniendo consecutivamente los términos negativos de dicha sucesión. El criterio para ir formando los grupos de términos positivos es que la suma de cada grupo con el término negativo que le sigue sea mayor que 1. Formalmente sería como sigue. Definimos  W N ! N por:  .1/ D mKınfq 2 N W P.q/ C a .1/ > 1g  .k C 1/ D mKınfq 2 N W P.q/ P .k/ C a .kC1/ > 1g para todo k 2 N: Pongamos, por comodidad de notación  .0/ D 0. Nótese que el grupo k-ésimo de términos positivos está formado por a. .k 1/C1/ ; a. .k 1/C1/C1 ; : : : ; a. .k// , y dicho grupo va seguido por el término negativo a .k/ . Pues bien, la biyección  W N ! N , dada por: .j / D .j k/ para  .k/ C k C 1 6 j 6  .k C 1/ C k; k D 0; 1; 2; : : : . .k/ C k/ D a .k/ ; k D 1; 2; : : : Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Propiedades asociativas y conmutativas

530

es tal que la serie fa.1/ C a.2/ C


C a.n/ g es positivamente divergente, pues para n >  .k/ C k tenemos que: n X

a.j / >

 .k/Ck X j D1

j D1

D D

k X

j D1 k X

j D1

a.j / D

a .j / C

k X

a. .j /Cj / C

j D1 k X1  .qC1/Cq X

qD0 j D .q/CqC1 k X1

a .j / C P .k/ D .k 1

j D1

k X1  .qC1/Cq X

qD0 j D .q/CqC1 k X

a.j

q/

P .j C1/

>.1C


C1/ C 1 D k:

D

j D1

a.j / D

a .j / C

X .k/

j D1

a.j / D


P .j / C a .j C1/ C P .1/ C a .1/ 2

La utilidad del teorema que acabamos de probar está clara: para estudiar la convergencia conmutativa de una serie fa1 C a2 C


C ang lo que se hace es estudiar la convergencia de la serie fja1 j C ja2 j C


C jan jg. Es usual utilizar la siguiente terminología. 9.15 Definición. Se dice que la serie fa1 C a2 C


C ang es absolutamente convergente, si la serie fja1 j C ja2 j C


C jan jg es convergente. Debes entender bien esta definición. Que la serie

X

an converge absolutamente quiere

n>1

decir que es convergente la sucesión X jan j D fja1 j C ja2 j C


C jan jg : n>1

Y el teorema anterior afirma, entre otras cosas, que esto implica la convergencia de la sucesión X an D fa1 C a2 C


C an g : n>1

¡Son sucesiones muy diferentes! Naturalmente, si una serie fa1 C a2 C


C an g converge, también converge la sucesión

~ que se obtiene tomando valores absolutos fja1 C a2 C


C an jg; pero esta sucesión no es

igual a fja1 j C ja2 j C


C jan jg. Por eso puede ocurrir que una serie sea convergente pero no sea absolutamente convergente. La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente que no es absolutamente convergente.

Con esta terminología, el teorema 9.14 afirma que la convergencia absoluta es lo mismo que la convergencia conmutativa1 . 1 En

muchos libros a las series que son absolutamente convergentes las llaman también incondicionalmente convergentes y a las series que son convergentes pero no son absolutamente convergentes las llaman también condicionalmente convergentes. En mi opinión esta terminología solamente sirve para confundir un poquito más.

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Ejercicios propuestos

531

9.1.4. Ejercicios propuestos

451. Estudia la convergencia de las series: a)

X

n>1

X 1 1
y b) log 1C . n.nC1/ n n>1

452. Justifica las igualdades:  1  X 1 1 1 1 C D log 2. a) 4k 3 4k 2 4k 1 4k kD1  1  1X 1 log 2 1 b) D . 2 2k 1 2k 2 kD1  1  X 1 1 1 3 c) C D log 2. 4k 3 4k 1 2k 2 kD1

453. Demuestra que si los términos de la serie armónica alternada se permutan de tal modo que a cada grupo de p términos positivos consecutivos le siga un grupo de q términos negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es convergente con suma igual a log 2 C 12 log.p=q/. P 454. Sea fan g una sucesión decreciente de números positivos y supongamos que la serie an es convergente. Prueba que fnan g converge a 0. Sugerencia. Considera A2n

An .

9.1.5. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo! Ejercicio resuelto 223 Estudia la convergencia de las series: a)

X n>1

X 1
1 y b) log 1C . n.nC1/ n n>1

n X

1 .k C 1/ k 1 1 1 1 D D ÷ D1 : k.k C 1/ k.k C 1/ k kC1 k.k C 1/ nC1 kD1   X X 1 1 1 D 1 es convergente ! 1, es decir la serie Luego n.n C 1/ nC1 n.n C 1/ Solución. a)

n>1

n>1

y su suma es igual a 1.     n X 1 k C1 1 b) log 1 C D log D log.k C 1/ log k ÷ log 1 C D log.n C 1/: k k k kD1   X X 1 1 D flog.n C 1/g ! C1, es decir la serie es posiLuego log 1 C n n.n C 1/ n>1

tivamente divergente.

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n>1

©

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Ejercicios resueltos

532

Ejercicio resuelto 224 Justifica las igualdades: a)

1  X

1

1

C

1

1 4k



4k 3 4k 2 4k 1 kD1  1  1 1 log 2 1X D . b) 2 2k 1 2k 2 kD1  1  X 1 1 3 1 C c) D log 2. 4k 3 4k 1 2k 2

D log 2.

kD1

Solución. a) y b) Sabemos que la serie armónica alternada es convergente y su suma es 1 X . 1/nC1 D log 2. También sabemos que una serie obtenida asociando igual a log 2. n nD1 términos en una serie convergente también es convergente y con la misma suma. Las series en a) y en b) se obtienen de la serie armónica alternada asociando términos de 4 en 4 o de 2 en 2 respectivamente, lo que justifica las igualdades en a) y en b). Finalmente, observa que la serie en c) se obtiene sumando las series en a) y en b). © Ejercicio resuelto 225 Demuestra que si los términos de la serie armónica alternada se permutan de tal modo que a cada grupo de p términos positivos consecutivos le siga un grupo de q términos negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es convergente con suma igual a log 2 C 12 log.p=q/.

n X ˚ . 1/kC1 . Consideremos la sucesión Sn.pCq/ n2N que Solución. Pongamos Sn D k kD1 es precisamente la serie que se obtiene asociando términos de p C q en p C q en la serie del enunciado. Si dicha sucesión es convergente, aplicando la proposición 9.12 (con  .n/ D n.p C q/), se sigue que la serie del enunciado también es convergente y su suma n X 1 es igual a lKım Sn.pCq/ . Llamando, como de costumbre Hn D , y recordando la n!1 k kD1 estrategia 7.33, tenemos que:

Sn.pCq/ D

pn X

kD1

1 2k

1

nq pn X X 1 1 D 2k 2k 1

kD1

kD1

1 Hnq D 2

1 Hnq D 2 1 1 1 1 1 D C ”2pn 1 C log.2pn 1/ ”np log.np/ ”nq log.nq/D 2np 2 2 2 2 1 1 1 1 2np 1 1 2np 1 D C ”2pn 1 ”np ”nq C log C log ! 2np 2 2 2 np 2 nq 1 1 2p 1 p ! log 2 C log D log 2 C log : 2 2 q 2 q

D H2pn

1

1 1 Hnp C 2 2np

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Criterios de convergencia para series de términos positivos

533

9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos P Una serie an tal que an > 0 para todo n 2 N, se dice que es una serie de términos positivos. Observa que una serie de términos positivos es una sucesión creciente por lo que o bien es convergente (cuando está mayorada) o es positivamente divergente. X 9.16 Proposición (Criterio básico de convergencia). Una serie de términos positivos an n>1

es convergente si, y sólo si, está mayorada, es decir, existe un número M > 0 tal que para todo n X n 2 N se verifica que ak 6 M , en cuyo caso su suma viene dada por: kD1

1 X

nD1

an D sup

(

n X

kD1

)

ak W n 2 N :

Una serie de términos positivos que no está mayorada es (positivamente) divergente. X 1 9.17 Ejemplo. La serie es convergente porque para todo n > 2 se verifica: n2 n>1

1 1 0 C1 0 C1 n 1 n 2X n 1 2jX 1 n 1 2jX 1 X X X 1 1 1 A 1 A @ @ 6 D1C 61C D 2 j /2 k2 k2 k .2 j j

kD1

j D1

kD1

D1C

n X1

j D1

2j D1C 22j

j D1

kD2

n X1

j D1

1 D2 2j

1

2n 1

kD2

< 2: 

Si

X

an es una serie de términos positivos, suele escribirse

n>1

1 X

nD1

dicha serie converge.

an < C1 para indicar que

Teniendo en cuenta la proposición 9.8, los criterios que siguen pueden aplicarse para estudiar la convergencia de series cuyos términos son todos positivos a partir de uno de ellos en adelante. X X 9.18 Proposición (Criterio básico de comparación). Sean an y bn dos series de térn>1

n>1

minos positivos. Supongamos que hay 6 bn para todo n > k. Xun número k 2 N tal que an X Entonces se verifica que si la serie bn es convergente, también an es convergente o, n>1

equivalentemente, si la serie

X

n>1

an es divergente también

n>1

X

bn es divergente.

n>1

Demostración. Pongamos An D a1 C a2 C


C an , Bn D b1 C b2 C


C bn . Las hipótesis hechas implican que para todo n > k es An6 Bn C Ak . Deducimos que si fBn g está mayorada también lo está fAn g. 2 Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos

534

1 1 1 es divergente porque es de términos positivos, > y log n log n n n>2 la serie armónica es divergente. X .n C 1/2 La serie log es convergente porque es de términos positivos y: n.n C 2/

9.19 Ejemplos. La serie

X

n>1

  .n C 1/2 1 1 1 n2 C 2n C 1 log D log 1 C 2 < 2; < 2 D log 2 n.n C 2/ n C 2n n C 2n n C 2n n X 1 es convergente. n2    X 1 1 La serie log 1 C es convergente. Para ello usamos la desigualdad (ver n n n>1 (7.5)):   1 1 1 < log 1 C < : nC1 n n

y la serie

De la que se deduce:



1 log 1 C n



1 1 1 D < 2: nC1 n.n C 1/ n X X 9.20 Proposición (Criterio límite de comparación). Sean an y bn dos series de tér1 0< n

<

1 n

n>1

n>1

minos positivos, y supongamos que

lKım a) Si L D C∞ y b) Si L D 0 y

X

an D L 2 RC o [ fC∞g : bn

bn es divergente también

n>1

X

an es divergente.

n>1

bn es convergente también

n>1

c) Si L 2 RC las series

X

X

an es convergente.

n>1

X

an y

n>1

X

bn son ambas convergentes o ambas divergentes.

n>1

En particular, si dos sucesiones positivos, fan g y fbn g son asintóticamente equivaPde números P lentes, las respectivas series, an y bn ambas convergen o ambas divergen.

Demostración. Supongamos que L 2 RC . Sea 0 < ˛ < L < ˇ. Todos los términos de la sucesión fan =bn g, a partir de uno en adelante, están en el intervalo  ˛; ˇ Œ, es decir, existe k 2 N tal que para todo n > k es ˛ < an =bn < ˇ , y, por tanto, ˛ bn < an < ˇ bn . Concluimos, por el criterio de comparación, que la convergencia de una de las series implica la convergencia de la otra. Queda, así, probado el punto c) del enunciado. Los puntos a) y b) se prueban de manera parecida. 2 Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 9.21 Ejemplos. La serie

X

1

en

n>1

fica que e

1 n

1 1 . n

535


1 es divergente porque es de términos positivos y se veri-

  1 X 1 X 1 Por la misma razón las series sen , tg , log 1 C son todas ellas series n n n n>1 n>1 n>1 de términos positivos divergentes, porque sus términos generales son asintóticamente equiva1 lentes al término general de la serie armónica . n ! r X 5 1 1 C 2 1 es convergente porque es de términos positivos, se verifica La serie n n>1 r P 1 1 1 que 5 1 C 2 1  2 y la serie es convergente. n 5n 5n2 X

Observa el parecido de estos criterios con los correspondientes criterios de convergencia para integrales impropias de funciones positivas. El siguiente resultado establece, en un caso particular, una relación aún más estrecha entre ambos tipos de convergencia. 9.22 Proposición (Criterio integral). Sea f W Œ1; C∞Œ! R una función positiva y decreciente. Entonces se verifica que nC1 X

kD2

En consecuencia, la serie gen.

X

f .k/ 6

nC1 w

f .x/ dx 6

n X

f .k/

kD1

1

f .n/ y la integral

n>1

C1 w

f .x/ dx ambas convergen o ambas diver-

1

Demostración. Por ser f decreciente, para todo x 2 Œk; k C 1 es f .k C 1/6 f .x/6 f .k/. Integrando, deducimos que: f .k C 1/ 6

kC1 w

f .x/ dx 6 f .k/:

k

Sumando estas desigualdades desde k D1 hasta k Dn, obtenemos la desigualdad del enunciado. 2

Para poder usar los criterios de comparación, necesitamos conocer ejemplos de series convergentes con las que poder comparar una serie dada. Unas series de términos positivos muy útiles para comparar con otras series son las siguientes. X 1 9.23 Proposición (Series de Riemann). Dado un número real ˛, la serie se llama n˛ n>1

serie de Riemann de exponente ˛. Dicha serie es convergente si, y sólo si, ˛ > 1.

Demostración. Para que se cumpla la condición necesaria de convergencia es preciso que sea ˛ > 0. Supuesto que esto es así, rpodemos aplicar el criterio integral a la función f .x/ D 1=x ˛ C1 y tener en cuenta que la integral 1 x1˛ dx es convergente si, y sólo si, ˛ > 1. 2 Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos

536

  1 1 X log 1 C ˛ convergen si, y sólo si, ˛ > 1 9.24 Ejemplos. Las series arc tg ˛ , n n 1 porque son de términos positivos y su término general es asintóticamente equivalente a ˛ . n X
1 ˇ La serie n e n˛ 1 , donde ˛ y ˇ son números reales, no converge para ningún valor de ˇ si ˛ < 0, porque en tal caso su término general no converge a 0. Si ˛ >0 converge si y sólo si, ˛ ˇ > 1 porque es una serie de términos positivos y su término general es asintóticamente 1 equivalente a ˛ ˇ n X

Si en el criterio límite de comparación hacemos bn D 1=n˛ , obtenemos el siguiente criterio de convergencia. X 9.25 Proposición (Criterio de Prinsheim). Sea an una serie de términos positivos, ˛ un n>1

número real y supongamos que fn˛ an g ! L 2 RC o [ fC∞g. Entonces: i) Si L D C∞ y ˛ 6 1, ii) Si L D 0 y ˛ > 1, iii) Si L 2 RC ,

X

X

an es divergente.

n>1

X

an es convergente.

n>1

an converge si ˛ > 1 y diverge si ˛ 6 1.

n>1

log.an / 1 > ˛, se deduce equivale a ˛ n log n el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series que pueden compararse con series de Riemann. Observando que si an > 0, la desigualdad an 6

9.26 Proposición (Primer criterio logarítmico). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N, y log.an / pongamos Ln D . log n i) Si fLn g ! L , donde L > 1 o L D C1, la serie

X

an es convergente.

n>1

ii) Si fLn g ! L , donde L < 1 o L X D 1, o bien si existe algún k 2 N tal que Ln 6 1 para todo n > k, entonces la serie an es divergente. n>1

 ˛ log n n 9.27 Ejemplo. La serie y ˛ 2 R, es una serie de términos n n>1 positivos (a partir de uno de ellos en adelante) y se tiene que:     ˛ log n ˛ log n n log 1 log 1 log an n n D D˛ ! ˛: ˛ log n log n log n n X

 an donde an D 1

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537

El primer criterio logarítmico nos dice que si ˛ > 1 la serie converge y si ˛ < 1 la serie diverge.    log n n x n Si ˛ D 1 tenemos que an D 1 ! ex , podemos . Recordando que 1 C n n   1 log n n Ð e log n D . Esto lleva a esperar que para n suficientemente grande an D 1 n n conjeturar que nan ! 1. Tenemos que:       log n log n log n C log n D n log 1 C D log.nan / D n log 1 n n n   log n log n log 1 C .log n/2 n n D   2 n log n n log.1 C x/ x 1 D , se sigue que log.nan / ! 0, es decir, 2 P x2 nan ! 1. El criterio de Prinsheim implica que la serie an es divergente. 

Si ahora recuerdas que lKım

x!0

Vamos a estudiar a continuación unas series más generales que las series de Riemann. X 1 se llama serie de Bertrand de expoDados dos números reales ˛ y ˇ, la serie ˛ n .log n/ˇ n>2 nentes ˛ y ˇ X

9.28 Proposición (Series de Bertrand). La serie

n>2

1 n˛ .log n/ˇ

converge si ˛ > 1 cualquiera

sea ˇ, y también si ˛ D 1 y ˇ > 1. En cualquier otro caso es divergente. Demostración. Sabemos que cualesquiera sean  > 0 y  2 R se verifica que: .log n/ D 0: n!1 n lKım

Supongamos que ˛ > 1 y sea  un número verificando que 1 <  < ˛. Podemos escribir: n donde  D ˛

1 .log n/ D n n˛ .log n/ˇ

 y  D ˇ. Deducimos así que lKım n

n!1

1 n˛ .log n/ˇ

El criterio de Prinsheim implica que la serie

X

n>2

D 0:

1 n˛ .log n/ˇ

es convergente.

Si ˛ < 1 un razonamiento parecido muestra que la serie diverge cualquiera sea ˇ. 1 1 > para todo n > 3, y Sea ahora ˛ D 1. Entonces, si ˇ 6 0, tenemos que ˇ n n.log n/ el criterio de comparación implica que la serie es divergente. Sea, pues, ˇ > 0 y pongamos Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos

538

1 para x > 2. La función f es positiva y decreciente en Œ2; C1Œ. Tenemos: x.log x/ˇ 8  ˇt 1  1 ˆ < wt .log x/1 ˇ ˇ2 D .log t/1 ˇ .log 2/1 ˇ ; si ˇ ¤ 1: dx 1 ˇ 1 ˇ D ˇt x.log x/ˇ ˆ : 2 log.log x/ˇ2 D log.log t / log.log 2/; si ˇ D 1:

f .x/ D

r C1 Deducimos que la integral impropia 2 f .x/ dx es convergente si, y solo si, ˇ > 1. El X X 1 criterio integral nos dice que la serie f .n/ D converge si, y sólo si, ˇ > 1. 2 n.log n/ˇ n>2

n>2

9.29 Ejemplo. Se trata de estudiar la convergencia de la serie

X log n! donde r 2 R. En nr

n>1

el ejercicio resuelto 168 hemos visto que log n! es asintóticamente equivalente a n log n. Por X log n tanto, a efectos de convergencia, la serie dada se comporta igual que la serie la cual nr 1 n>1 es una serie de Bertrand con ˇ D 1 y ˛ D r 1. Dicha serie converge si, y sólo si, r 1 > 1, o sea, r > 2.  1 log.nan / > ˇ. Se deduce de aquí equivale a log.log n/ n.log n/ˇ el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series que pueden comparase con una serie de Bertrand de exponente ˛ D 1. Si an > 0, la desigualdad an 6

9.30 Proposición (Segundo criterio logarítmico). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N, y pongamos Ln D

log.nan / . log.log n/

i) Si fLn g ! L , donde L > 1 o L D C1, la serie

X

an es convergente.

n>1

ii) Si fLn g ! L , donde L < 1 o L X D 1, o bien si existe algún k 2 N tal que Ln 6 1 para todo n > k, entonces la serie an es divergente. n>1

Vamos a estudiar a continuación dos criterios de convergencia que se aplican a series que pueden compararse con una serie geométrica. El primero de estos criterios parte de que la serie anC1 D x < 1, esto lleva, geométrica de término general an D x n , donde x > 0, converge si an X en el caso general de una serie términos positivos, an , a considerar el comportamiento de n>1

la sucesión fanC1 =an g.

9.31 Proposición (Criterio del cociente o de D’Alembert (1768)). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N y que anC1 lKım D L 2 RC o [ fC∞g : an Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos a) Si L < 1 la serie

X

539

an es convergente.

n>1

b) Si L > 1 o si L D C∞ o si hay un número k 2 N tal que para todo n>k es X entonces an es divergente y además fan g no converge a 0.

anC1 an >1,

n>1

Demostración. a) Sea  un número tal que L <  < 1. La definición de límite implica que existe n0 2 N tal que para todo n > n0 se verifica que: an C1 an an an 1


0 an0 6 n n0 an0 D n0 n : an 1 an 2 an0  0 X Como 0 <  < 1, la serie n es convergente. Deducimos, en virtud del criterio de compaan D

n>1

ración, que

X

an es convergente.

n>1

b) Si L > 1 entonces, tomando  tal que 1 <  < L y razonando como antes, obtenemos an que para todo n > n0 es an > n0 n . Como  > 1 se sigue que la sucesión fan g diverge  0 X positivamente y, con mayor razón, la serie an diverge positivamente. 2 n>1

X .n!/2 x 2n , donde x es un número real. Es una serie de términos .2n/! n>1 positivos por lo que podemos aplicar el criterio del cociente para estudiar su convergencia. .n!/2 2n x . Tenemos que: Pongamos an D .2n/!

9.32 Ejemplo. Sea la serie

.n C 1/2 .n!/2 .2n/! anC1 D x 2nC2 x an .2n C 2/.2n C 1/.2n/! .n!/2 El criterio del cociente nos dice que si

2n

D

x2 .n C 1/2 x2 ! .2n C 2/.2n C 1/ 4

x2 < 1, es decir, jxj < 2, la serie es convergente; si 4

x2 > 1, es decir, jxj > 2, la serie no es convergente porque fan g no converge a 0. El caso en 4 que x 2 D 4, o sea x D ˙2, se tiene que: 4.n C 1/2 2n C 2 anC1 D D > 1: an .2n C 2/.2n C 1/ 2n C 1 Y concluimos que la serie no converge para x D ˙2.



El segundo criterio parte de que la serie geométrica de término general an D x n, donde p x > 0, converge si n an D x < 1, esto lleva, en el caso general de una serie de términos X p positivos, an , a considerar el comportamiento de la sucesión f n an g. n>1

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Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral

Criterios de convergencia para series de términos positivos

540

9.33 Proposición (Criterio de la raíz o de Cauchy (1821)). Sea

X

an una serie de términos

n>1

positivos y supongamos que lKım a) Si L < 1 la serie

X

p n

an D L 2 RC o [ fC∞g:

an es convergente.

n>1

b) Si L > 1X o si L D C∞ o o si hay un número k 2 N tal que para todo n>k es entonces an es divergente y además fan g no converge a 0.

p n an >1

n>1

Demostración. a) Sea  un número tal que L <  < 1. La definición de límite implica que p existe n0X 2 N tal que para todo n > n0 es n an 6 , es decir, an 6 n . Puesto que 0 < X < 1, n la serie  es convergente y, en virtud del criterio de comparación, se sigue que an es n>1

n>1

convergente.

b) Si L > 1 entonces, tomando  tal que 1 <  < L y razonando como antes, obtenemos que para todo n > n0 es an > n y, como X  > 1, se sigue que la sucesión fan g diverge positivamente y, con mayor razón, la serie an diverge positivamente. 2 n>1

X n2 1 9.34 Ejemplo. Sea la serie n2 n>1

!2n3

2n

. Como es una serie de términos positivos po-

n2 1 demos estudiar su convergencia usando el criterio de la raíz. Pongamos an D n2 Tenemos que: p n an D

n2 1 n2

!2n2

2

D

Concluimos que la serie es convergente.

n2 1 n2

!2n2

n2 n2

1

!2

!e

2

!2n3

2n

.

< 1: 

anC1 anC1 p 6 1 y lKım D 1, también es lKım n an D 1. En esta situación los criterios an an del cociente y de la raíz no proporcionan información suficiente sobre el comportamiento de X anC1 la serie an . Por ejemplo, para las series de Riemann, an D 1=n˛ , se tiene que lKım D an Cuando

n>1

1 cualquiera sea ˛. Observa que estos criterios solamente pueden proporcionar información sobre la convergencia de series que pueden compararse con una serie geométrica. El siguiente criterio suele aplicarse cuando fallan los anteriores.

9.35 Proposición (Criterio de  Raabe (1832)). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N, y  anC1 . pongamos Rn D n 1 an Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia para series de términos positivos i) Si fRn g ! L, donde L > 1 o L D C∞, la serie

X

541

an es convergente.

n>1

ii) Si fRn g ! L, donde L < 1 oX L D ∞, o bien si existe algún k 2 N tal que Rn 6 1 para todo n > k, entonces la serie an es divergente. n>1

Demostración. i) Las hipótesis hechas implican que existen ˛ > 1 y n0 2 N tales que para todo k > n0 es Rk > ˛. Sea ı D ˛ 1 > 0. Tenemos que: Rk

1 D .k

1/

k

akC1 >ı ak

.k > n0 /;

por lo que
1 .k 1/ak kakC1 .k > n0 /: ı Sumando estas desigualdades desde k D n0 hasta k D n > n0 , obtenemos que: ak 6

n X

ak 6

kDn0

1 .n0 ı


1 nanC1 < .n0 ı

1/an0

1/an0 :

Por el criterio básico de convergencia para series de términos positivos, deducimos que

X

an

n>1

es convergente.

nanC16 0 y resulta que la sucesión fnanC1 g 1 es creciente para n > k, luego nanC1 > kakC1 , es decir, para todo n > k es anC1 > kakC1 n X y, por el criterio de comparación, deducimos que an es divergente. 2

ii) Si Rn6 1 para todo n > k, entonces .n 1/an

n>1

El criterio de Raabe suele aplicarse cuando el criterio del cociente no proporciona informaanC1 ción, es decir, cuando ! 1. En tal caso la sucesión: an     anC1 anC1 1 D n Rn D n 1 an an a

es de la forma vn .un 1/ donde vn D n y un D nC1 an ! 1. Aplicando el criterio de equivalencia logarítmica tenemos que:     an n anC1 n D ! eL lKım Rn D L ” lKım an anC1 con los convenios usuales para los casos en que L D ˙1. 9.36 Proposición (Forma alternativa del criterio Sea an > 0 para todo n 2 N y  de Raabe).  an n anC1 D 1. Pongamos Sn D supongamos que lKım . an anC1 i) Si Sn ! eL con L > 1 o si Sn ! C∞, la serie Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

X

an es convergente.

n>1

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Ejercicios propuestos

542

ii) Si Sn ! eL con L < 1 o si Sn ! 0, la serie

X

an es divergente.

n>1

Los criterios de convergencia que acabamos de estudiar hacen siempreX hipótesis sobre la sucesión fan g para obtener información sobre el comportamiento de la serie an . Ya dijimos n>1

antes que esto es típico del estudio X de las series. Pero no lo olvides: no estamos estudiando la sucesión fan g sino la sucesión an D fa1 C a2 C


C an g. n>1

9.2.1. Ejercicios propuestos

455. Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛ 2 R. a/

X .n!/2 2n

n>1

2

X .n C

d/

g/

alog n

X p j/ .nn

1/˛

a

n>1

Pn

nnC2

j D1

1=j

X

n˛

n>1


3

p n

n>1

Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

X 

n>1

1 1=n

n

X

n>1

i/

X

e

1 log.n C 1/

n

p
n n

log n

1C 1=n2

n>1

n C 1=n

X .2n/! log.n C 1/ q/ log n 26n .n!/6 n>1 n>1    X X 1 1 3 s/ log n sen t/ cos n n

p/

f/

X nlog n h/ .log n/n n>2  X 1 n k/ 1 p n n/

X

n>1

X 1  n n e/ n! a

n>1

n>1

X

c/

n>1

n>1

m/

X .n C 1/n

n>1

1/n

3n n!

n>1

X

b/

n2 C 1 l/ n2 C n C 1 n>1  3 X 1 n o/ n sen n X


n2 

!n˛

n>1

 X n! en 1 r/ nnC˛ n>1 2 X np n 1 u/ log n n>2

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Ejercicios propuestos

543

456. Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛; ˇ 2 R.   X p X p nC1 3 3 1=n2 n/ log 1/I b/ . nC1 a/ .n n n>1 n>1 X  2
4
6


.2n/ ˛ X p p  4 n C 1 4 n alog nI d / c/ 5
7


.2n C 3/ n>1

n>1

X1
e/ e .1 C 1=n/n I n n>1  X  1 1 ˛ g/ n 1C C


C I 2 n

f/

X

nn

 1

˛

n>1

h/

X

˛

n exp

n>1

n>1

ˇ

n X 1

kD1

k

!

457. Estudia la convergencia de las series. 3n n! p 3 n 5
8
11


.5 C 3n/ n>1  X 2
3
4


.n C 2/ 1=2 b) 5
6
7


.n C 5/ n>1 X p p a/.a 3 a/


.a c) .a a)

X

p n a/ .a > 0/

n>1

d)

X

n>1

e)

X

n>1

f)

n! .a > 0; ˛ 2 R/ a.a C 1/.a C 2/


.a C n/n ˛ alog n log.1 C 1=n/ .a > 0/

X p . nC1

p

n>1

g)

n/˛ .log.1 C 1=n//ˇ ; .˛; ˇ 2 R/

X  .1 C ˛/.3 C ˛/.5 C ˛/


.2n

n>1

1 C ˛/ .2 C ˇ/.4 C ˇ/.6 C ˇ/


.2n C ˇ/



; .˛; ˇ;  2 RC /

458. Sea fan g una sucesión creciente de números positivos. Dar condiciones que garanticen X 1 es convergente. que la serie a1 a2 a3


an n>1

459. Dar ejemplos de sucesiones fan g ! 1 y decrecientes tales que la serie sea en un caso convergente y en otro caso divergente. X X 460. Sea an > 0 para todo n 2 N. Prueba que las series an y n>1

n>1

X

n>1

1 a1 a2 a3


an

an ambas convergen 1 C an

o ambas divergen. P 461. Sea an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede decirse de las series P 2 Pp an y an anC1 ?

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Ejercicios resueltos

544

P 462. Sea an una serie de términos positivos convergente. Prueba que la sucesión fzn g dada para todo n 2 N por: zn D

n Y

.1 C ak / D .1 C a1 /.1 C a2 /


.1 C an /

kD1

es convergente. P 463. Sea an una serie de términos positivos convergente. Prueba que para 0 < ˛ < 1 la X a˛ n serie es convergente. n Sugerencia. Utilizar la desigualdad de Hölder (ver ejercicio resuelto 137). X pan P 464. Sea an una serie convergente de términos positivos. Prueba que la serie es n˛ P convergente si ˛ > 1=2. Da un ejemplo de una serie an convergente tal que la serie X pan p sea divergente. n 465. Estudia la convergencia de las sucesiones: a/ xn D

n X 1 p k kD1

p 2 n;

b/ yn D

n X log k k

kD1

.log n/2 : 2

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas.

9.2.2. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

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Ejercicios resueltos

545

Ejercicio resuelto 226 Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛ 2 R. a/

X .n!/2 2n2

n>1

d/

n>1

X

h/

3n n!

X

Pn

a

n>1

1/

j D1

1=j

n/

n>1

X

n˛

n>1


3

q/

X 

n>1

p n n C 1=n log.n C 1/ log n

  3 X log n sen n1 t/ cos 1n n>1

1 1=n

X

X e

1 log.n C 1/

n

p
n n

log n

1C 1=n2

n>1

n>1

X .2n/! 26n .n!/6

n>1

s/

i/

.log n/n  X 1 n k/ 1 p n

˛

n

n>1

n>2

n>1

X

f/

nlog n

X

X

n>1

n>1

alog n

X p j/ .nn

p/

c/

nnC2

X 1  n n e/ n! a

n>1

m/

X .n C 1/n

X .n C 1/n

n>1

g/

b/

n2 C 1 l/ n2 C n C 1 n>1  3 X 1 n o/ n sen n X


n2 

!n˛

n>1

 X n! en 1 r/ nnC˛ n>1 2 X np n 1 u/ log n n>2

Solución. Salvo una excepción, son todas series de términos positivos. Para estudiar su convergencia aplicaremos los criterios que acabamos de estudiar. a/ Pongamos an D

.n!/2 2n2

. Aplicaremos el criterio del cociente: 2

..n C 1/!/2 2n .n C 1/2 1 n2 C 2n C 1 anC1 D D D ! 0: an 2 4n 22nC1 2.nC1/2 .n!/2 La serie es convergente. .n C 1/n b/ Pongamos an D . Apliquemos el criterio del cociente: nnC2    n anC1 .n C 2/nC1 nnC2 n C 2 nC3 n n2 D D D an nC1 n C 1 .n C 2/2 .n C 1/nC3 .n C 1/n  nC3  n 1 1 1 n2 D 1C ! e D 1: 1 2 nC1 n C 1 n C 4n C 4 e

©

anC1 6 1, por tanto el criterio del cociente no proporciona información sobre la an convergencia de esta serie. Cuando esto ocurre igual sucede con el criterio de la raíz. Esto nos indica que la serie no es comparable con una serie geométrica. El criterio de Raabe no parece fácil de aplicar. Podemos intentar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:

Además

log.an / D log n Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

n n log.n C 1/ C .n C 2/ log n n log nC1 D C 2 ! 2 > 1: log n log n

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Ejercicios resueltos

546

P Por tanto la serie es convergente. Este criterio nos dice que la serie an es comparable con una serie de Riemann de exponente ˛ D 2. Que efectivamente  estoesn así es fácil de nC1 comprobar. Si nos fijamos en an y recordamos que la sucesión es creciente y n converge a e, enseguida nos damos cuenta de lo que sigue:   e nC1 n 1 .n C 1/n D 6 an D n nnC2 n2 n2 lo que permite concluir, por el criterio de comparación, que la serie es convergente.

©

9.37 Observación. Antes de empezar a aplicar criterios de convergencia, fíjate bien en la forma que tiene el término general de la serie e intenta relacionarlo con alguna sucesión conocida. 1  n n . Apliquemos el criterio del cociente: n! a     1 a n C 1 nC1  a n nC1 n D Da n! ! : .n C 1/! a n n e

e/ Pongamos an D anC1 an

Deducimos que si 0 < a < e la serie es convergente, si a > e la serie es divergente. Para a D e el criterio no proporciona información. Ni el criterio de Raabe ni el primer criterio logarítmico parecen fáciles de aplicar. Cuando no queda otro recurso hay que intentar aplicar el criterio de comparación. Supuesto que a D e, tenemos que: an D

1 nn 1 1 1 1 1 nn n! D > > : >
n n nC1 1 n! e n! .n C 1/ enC1 5n 1C n nC1

Donde hemos usado que para todo k 2 N es e < 1 C sigue que para todo n 2 N:


1 kC1 D k


kC1 kC1 , k

de donde se

kC1 n  Y n! k 1 > : D n e k C1 .n C 1/n kD1

Concluimos, por comparación con la serie armónica, que la serie es divergente para a D e. ©  log n 1 f / Pongamos an D . Aquí no es apropiado aplicar el criterio del colog.n C 1/ ciente porque no hay factores que se simplifiquen al calcular el cociente de un término al anterior. El criterio de la raíz puede aplicarse, pero no proporciona información sobre p p el carácter de la serie porque, como debes comprobar, n an ! 1 y n an 6 1. Podemos aplicar el primer criterio logarítmico. log.an / D log.log.n C 1// ! C1: log n La serie es convergente. Deducimos que se trata de una serie que converge más rápidamente que cualquier serie de Riemann y menos rápidamente que cualquier serie geométrica. © Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

h/ Pongamos an D

547 nlog n . Es apropiado aplicar el criterio de la raíz. .log n/n .log n/2

log n

p e n n n n an D D ! 0: log n log n

©

La serie es convergente.


k
n2 i/ Pongamos an D e 1C 1=n2 . Observa que como 1 C k1 < e para todo k 2 N, se tiene que an > 0. Los criterios del cociente, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos no parecen apropiados para estudiar esta serie. Cuando esto sucede hay que intentar aplicar un criterio de comparación. Si recuerdas el límite, que hemos visto varias veces: 1

e .1 C x/ x e D ; x 2 x!0 lKım

se deduce que si fxn g ! 0 se verifica la equivalencia asintótica e .1 C xn /1=xn  2e xn . Por tanto:
n2 e 1 an D e 1C 1=n2  ; 2 n2 y deducimos que la serie converge por el criterio límite de comparación. También podemos usar el criterio básico de comparación usando que para todo k 2 N se verifica que
kC1 e < 1 C k1 . Con ello se tiene: an D e

 2  2 2  2  1 n e 1 n C1 1 n 1 n 1 1C 2 < 2: < 1C 2 1C 2 D 1C 2 2 n n n n n n

©

p j / Pongamos an D . n n 1/˛ . Trata de aplicar algunos criterios de convergencia. Las series que cuesta más trabajo estudiar son aquellas en las que los criterios del cociente, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos no sirven para estudiar su convergencia, ya sea porque los límites que hay que calcular son difíciles o porque dichos criterios no proporcionan información. Cuando esto ocurre hay que aplicar un criterio de comparación. En nuestro caso tenemos que:   log n p log n ˛ log n n n ÷an  : n 1De 1 n n

Deducimos que la serie converge si, y sólo si, ˛ > 1. © !n˛ ˛   n n2 C 1 n l/ Pongamos an D . Después de pensarlo un D 1 n2 C n C 1 n2 C n C 1 poco, parece apropiado usar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:   n˛ n n˛ 1 log.an / n˛ n D log 1  :  log n log n log n n2 C n C 1 log n n2 C n C 1 Por tanto: lKım

n!1

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log.an / D log n



C1; 0;

si ˛ > 1I si ˛ < 1: Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos

548

La serie converge si ˛ > 1 y no converge si ˛ < 1. Para ˛ D 1 se tiene que fan g ! por tanto la serie no converge porque su término general no converge a 0.

1 y e

©

Pn

j D1 1=j

m/ Pongamos an D a . Es evidente que si a > 1 se tiene que an > 1 y, por tanto, la serie no es convergente porque fan g no converge a 0. Podemos aplicar el criterio del cociente. 1 anC1 D a nC1 ! 1: an Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Intentemos el criterio de Raabe.   log a
1
anC1 log a Rn D n 1 ! log a: D n 1 a nC1 D n e nC1 1  n an nC1 Deducimos que si log a > 1, es decir, a < 1e la serie converge, y si decir, a > 1e la serie no converge. En el caso en que a D 1e se tiene que: Rn D n 1

e

1 nC1




61”e

1 nC1

>1

log a < 1, es

 nC1 1 1 ” e6 1 C : n n 1

Esta última desigualdad es cierta porque para todo k 2 N es e < 1C k1


kC1

< 1C k1

También podemos hacer este ejercicio recordando la estrategia 7.33 con lo que: an D a

Pn

j D1

1=j

p an Dn n n

!
! log 1C n12 1 ˛ 1C 2 1  n exp n n

r n

.

D a”n Clog n D a”n alog n  a” alog n :

También puede aplicarse el primer criterio logarítmico. p p
n/ Pongamos an D n˛ n n C 1=n n n . Tenemos que: ˛


kC2

© !

˛

1 n

log 1C n12 n

Por el criterio límite de comparación la serie converge si, y sólo si, ˛ ˛ < 2.   3 1 n o/ Pongamos an D n sen . Aplicaremos el criterio de la raíz. n p n

3<




 n˛

3

1, esto es,

©

 2  1 n : an D n sen n

Se trata de una indeterminación del tipo 11 . Aplicamos el criterio de equivalencia logarítmica:   sen 1n n1 1 1 2 n n sen 1 D ! 1 n 6 3 n

porque, como debe saber, lKım

x!0

convergente. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

sen x x D x3

1 p . Luego n an ! e 6

1 6

< 1 y la serie es

©

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:

Ejercicios resueltos

549


3 .2n/! p/ Pongamos an D 6n . Aplicaremos el criterio del cociente porque hay muchos 2 .n!/6 factores que se van a simplificar.
3 .2n C 2/! .2n C 1/3 26n .n!/6 anC1 .2n C 1/3 .2n C 2/3 D ! 1: D 6nC6 D
an 2 ..n C 1/!/6 .2n/! 3 26 .n C 1/6 8.n C 1/3 Como este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie, aplicaremos el criterio de Raabe. ! 3 .2n C 1/3 12n3 C 18n2 C 7n ! > 1: Rn D n 1 D 2 8.n C 1/3 8n3 C 24n2 C 24n C 8

©

La serie converge. r / Pongamos an D

n! en nnC˛

. Apliquemos el criterio del cociente.

 n  ˛ n anC1 n De ! 1: an nC1 nC1 Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemos el criterio de Raabe en su forma alternativa.
n !n    2   1 C n1 an n 1 n C 1 n C˛ n n C 1 ˛n D D n anC1 e n e n 

nC1 Tenemos que n

˛ n

1 C n1 e

! e˛ . La sucesión zn D

11 , por tanto fzn g ! eL donde L es el límite de: !
n
n 1 C n1 1 1 C 1n 1 D n 1 e e n Por tanto:



an anC1

n

! e˛

1 2

e


n !n

es una indeterminación

!

1 : 2

:

La serie converge si ˛ 12 > 1, esto es ˛ > 23 y no converge para ˛ < 23 . Para ˛ D 3=2 la serie no converge; de hecho se verifica que: nC 23 !  n 61 Rn D n 1 e nC1 pero esta desigualdad no parece que sea fácil de probar. ©   s/ Pongamos an D log n sen n1 . Después de pensarlo un poco te darás cuenta de que hay que aplicar un criterio de comparación. Tenemos que: ! sen n1 an D log : 1 n

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Ejercicios resueltos

550

Observa que an < 0 porque para x > 0 es sen x < x. Esto lleva a considerar la función: sen x : f .x/ D log x Para x ! 0 tenemos las siguientes equivalencias asintóticas: f .x/ 

sen x x

1D

sen x x

x



1 2 x : 6

Deducimos que:   1 1 1 :  an D f n 6 n2 Por el criterio límite Pde comparación se sigue que la serie gente y, por tanto, an es convergente.

P . an / D

P

an es conver-

©

Ejercicio resuelto 227 Estudia la convergencia de las siguientes series donde ˛; ˇ 2 R.   X X p p nC1 3 3 1=n2 n/ log . nC1 a/ .n 1/I b/ n n>1 n>1 ! n X  2
4
6


.2n/ ˛ X X 1 c/ d/ n˛ exp ˇ 5
7


.2n C 3/ k n>1

n>1

Solución. a/ Pongamos an D n1=n

2

kD1

1. Tenemos que:

log n : n2 Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.   p p b/ Pongamos an D . 3 n C 1 3 n/ log nC1 . Tenemos que: n an D e

an D

p 3

n

r

1 1C n

log n n2

!

1



1 1 log 1 C n



1

 n3

1 1 1 1 : D 2 3n 3 n 53

Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.  ˛ 2
4
6


.2n/ c/ Pongamos an D 5
7


.2nC3/ . Aplicaremos el criterio del cociente. anC1 D an



2
4
6


.2n/.2n C 2/ 5
7


.2n C 3/.2n C 5/

˛ 

5
7


.2n C 3/ 2
4
6


.2n/

˛

D



2n C 2 2n C 5

˛

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemos el criterio de Raabe en su forma alternativa.     an n 3 2n C 5 ˛ n D ! e2˛ : anC1 2n C 2 Por tanto, si 23 ˛ > 1, o sea, ˛ > 32 la serie converge, y si 32 ˛ < 1, o sea, ˛ < 32 la serie no converge. Para ˛ D 32 la serie no converge, pero este caso requiere un estudio específico que no vamos a hacer. Vamos a hacer este ejercicio con otro tipo de técnica que resulta muy conveniente para series cuyo término general es parecido al de la serie que nos ocupa. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

551

9.38 Estrategia. Consideremos una serie del tipo

X

.cn /˛ donde cn D

n>1

p1 p2


pn y q1 q2


qn

pj ; qj son números enteros positivos. Además qn es de la forma qn D pn C k donde k es un entero positivo fijo. En el ejemplo que nos ocupa es pn D 2n y qn D 2n C 3 D pn C 3. Observa que para que fcn g ! 0 es necesario que ˛ > 0. Una estrategia bastante buena para estudiar estas series consiste en acotar directamente cn usando la desigualdad (válida por ser pn < qn ): pn pn C k qn < D : qn qn C k qn C k Para que esta estrategia pueda aplicarse se necesita también que podamos relacionar con facilidad qn C k con pn . Lo usual es que se tenga una relación del tipo qn C k D pnCk . En nuestro ejemplo es qn C 3 D 2n C 6 D 2.n C 3/ D pnC3 . Supuesto que esto es así, tenemos que: qn pn < : qn pnCk En nuestro ejemplo es: 2n C 3 2n < : 2n C 3 2n C 6

(9.8)

Una vez dada la idea general, por comodidad, vamos a seguir con nuestro ejemplo. Usando la desigualdad (9.8) para n D 1; 2; : : : , tenemos que: 2
4


.2n/ 24 2n 5 7 2n C 3 D


<


D 5
7


.2n C 3/ 57 2n C 3 8 10 2n C 6 2
4
6 1 5
7


.2n C 3/ : D D 8
10


.2n/.2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ cn

cn D

Observa que, aplicando la desigualdad (9.8) a los factores que forman cn , obtenemos una 1 desigualdad que relaciona cn con ; ésta es la idea en la que se basa esta estrategia. De cn la desigualdad anterior deducimos que: cn2 <

48 .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/

Supuesto que ˛ > 0 (condición necesaria para la convergencia) se sigue que:   ˛2 48 cn˛ < .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ Teniendo en cuenta que: 

48 .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/

 ˛2

˛

 62

1 3

n2˛

;

deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente 3 3 2 2 ˛ que si 2 ˛ > 1, o sea, ˛ > 3 la serie es convergente. Esto ya lo sabíamos por el estudio hecho previamente. La novedad viene ahora. Se puede repetir el mismo proceso anterior para acotar cn por abajo, o sea, para minorar cn . La idea es la misma. Si has entendido lo anterior lo que sigue debe estar claro. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

552

Usaremos ahora la desigualdad: 2n 3 2n > 2n C 3 2n

(9.9)

Usando esta desigualdad para n D 2; 3; : : : , tenemos que: 246 8 2n 2 2n 2
4
6
8


.2n 2/.2n/ D


> 5
7
9
11


.2n C 1/.2n C 3/ 5 7 9 11 2n C 1 2n C 3 2n 5 2n 3 2135


D > 5468 2n 2 2n 6 2 5
7


.2n 3/.2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ D D 5 .2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ 2
4
6


.2n/ 1 1 12 : D 5 .2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ cn

cn D

De donde, al igual que antes, se sigue que: cn˛

>



12 5 .2n

1 1/.2n C 1/.2n C 3/

 ˛2





12 5

 ˛2

1 3

n2˛

:

Deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente 3 3 2 2 2 ˛ que si 2 ˛ > 1, o sea, ˛ > 3 (en particular para ˛ D 3 ) la serie no es convergente. © ! n X 1 ˛ . Tenemos que: d / Pongamos an D n exp ˇ k kD1

anC1 D an



nC1 n

˛

e

ˇ nC1

! 1:

Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.   n˛  n an n n D eˇ nC1 ! e ˛ eˇ D eˇ anC1 nC1

˛

:

Por tanto, si ˇ ˛ > 1 la serie converge y si ˇ ˛ < 1 la serie no converge. El caso en que ˇ ˛ D 1 no queda resuelto con este criterio. Otra forma de proceder es aplicando la estrategia 7.33. Tenemos que: ! n X 1 ˛ an Dn exp ˇ Dn˛ e ˇ log n ˇ”n Dn˛ e ˇ log n e ˇ”n  eˇ” n˛ n k kD1

Por el criterio límite de comparación, la serie converge si, y sólo si, ˇ

ˇ

Deˇ”

˛ > 1.

1 nˇ ˛

©

Ejercicio resuelto 228 Estudia la convergencia de las series. 3n n! p 3 n 5
8
11


.5 C 3n/ n>1 X p p a/.a 3 a/


.a b) .a a)

X

p n a/ .a > 0/

n>1

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:

Ejercicios resueltos

553

Solución. a) Pongamos an D

X

n>1

p 3

3n n! . Tenemos que: n 5
8
11


.5 C 3n/

3nC1 .n C 1/! anC1 D p 3 an n C 1 5
8
11


.5 C 3n/.5 C 3.n C 1//  31  3n C 3 n ! 1: D nC1 3n C 8

p 3 n 5
8
11


.5 C 3n/ D 3n n!

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa. 

an anC1

n

D



nC1 n

La serie converge. b) Pongamos an D .a

 n3 

3n C 8 3n C 3

p a/.a

n

n  n  1 5 1 3 5 D 1C ! e 3 e 3 D e2 : 1C n 3n C 3

p 3 a/


.a

anC1 Da an

p n

a/. Tenemos que:

p a!a

nC1

1:

Por tanto, si a 1 < 1, o sea, 0 < a < 2, la serie converge; y si a 1 < 1 o sea a > 2 la serie no converge. Para el caso en que a D 2 el criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Aplicaremos el criterio de Raabe.   p
anC1 nC1 2 1 ! log 2 < 1: n 1 Dn an

©

La serie no converge.

Ejercicio resuelto 229 Sea fan g una sucesión creciente de números positivos. Dar condicioX 1 nes que garanticen que la serie es convergente. a1 a2 a3


an n>1

1 . Si fan g no está mayorada, como es creciente a1 a2 a3


an se tiene que fan g ! C1. Por tanto, hay un número k 2 N tal que para todo n > k se verifica que an > 2. Deducimos que para n > k se verifica que: Solución. Pongamos xn D

a1 a2


ak

1 2k D a1 a2


ak 1 ak akC1


an

1 1 1 1 1 D M 6 M : k 2n 2k 2n k 1 2 ak akC1


an

2k que es una constante independiente de n. a1 a2 a3


ak 1 Concluimos que la serie es convergente por comparación con la serie geométrica de razón 1=2. Donde hemos puesto M D

Si fan g está mayorada, como es creciente se tiene que fan g ! L donde L > 0. Si L > 1, podemos tomar un número  tal que 1 <  < L, con lo que podemos asegurar que hay algún k 2 N tal que an >  para n > k. Podemos ahora repetir el razonamiento anterior con 2 sustituido por  y concluimos que la serie converge por comparación con Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

554

la serie geométrica de razón 1=. Si 0 < L 6 1, entonces como 0 < an 6 L, se tiene que 0 < an 6 1 para todo n 2 N, lo que implica que xn > 1 por tanto fxn g no converge a 0, lo que implica que la serie no converge. También puede aplicarse el criterio del cociente. xnC1 1 1 D ! xn anC1 L 1 donde fan g ! L 2 RC [ fC1g. Por lo que si L > 1 o si L D C1, se tiene que L 1.

Ejercicio resuelto 230 Dar ejemplos de sucesiones fan g ! 1 y decrecientes tales que la X 1 sea en un caso convergente y en otro caso divergente. serie a1 a2 a3


an n>1

Solución. La sucesión an D 1 C

1 n

D

a1 a2 : : : an D

nC1 n

decrece y converge a 1. Tenemos que:

2
3
4


.n C 1/ D n C 1: 1
2
3


n

La correspondiente serie es divergente. La sucesión an D 31=n es decreciente y converge a 1. Tenemos que: 1 xn D D a1 a2 a3


an

 PjnD1 j1 1 : 3

Esta serie es convergente porque aplicando el criterio de Raabe obtenemos: r !   1 xnC1 nC1 1 Dn 1 ! log D log 3 > 1: n 1 xn 3 3 Ejercicio resuelto 231 Sea an >0 para todo n 2 N. Prueba que las series

X

n>1

an y

X

n>1

an 1 C an

ambas convergen o ambas divergen. an . Como 1 C an > 1, la desigualdad bn 6 an prueba que Solución. Pongamos bn D 1 C an P P si la serie P an es convergente también es convergente la serie bn . Recíprocamente, si la serie bn es convergente entonces debe ser fbn g ! 0, por lo que hay algún k 2 N tal que para todo n > k es bn < 21 , esto es, 2an < 1 C an por lo que an < 1. Lo que 2an D 2bn . implica que a2n < an , y obtenemos que a2n C an < 2an de donde an < 1P C an De esta desigualdad se sigue, por el criterio de comparación, que la serie an también es convergente. © P an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede Ejercicio resuelto 232 Sea P 2 Pp decirse de las series an y an anC1 ? Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

555

Solución. Como fan g ! 0, hay un número k 2 N tal que para todo n > k es 0 < an < 1, lo quePimplica que 0 < a2n < an y deducimos, por el criterio de comparación, que la serie a2n es convergente. Como 1 p an anC1 6 .a2n C a2nC1 /; 2

Pp an anC1 es convergense sigue, también por el criterio de comparación, que la serie te. © P Ejercicio resuelto 233 Sea an una serie convergente de términos positivos. Prueba que la p X an P serie es convergente si ˛ > 1=2. Da un ejemplo de una serie an convergente ˛ n X pan p sea divergente. tal que la serie n 1 p Solución. Recuerda la desigualdad ab 6 12 .a2 C b 2 /. Sustituye a por an y b por ˛ y n resulta que: p an 1 1 1 : 6 an C ˛ n 2 2 n2˛ P 1 P Como 2˛ > 1 la serie es convergente. Como an es convergente por hipóten2˛ P pan sis, de la desigualdad anterior se sigue, por el criterio de comparación, que n˛ es convergente. P P 1 1 La serie es convergente pero es divergente. © 2 n.log n/ n.log n/

Ejercicio resuelto 234 Estudia la convergencia de las sucesiones: a/ xn D

n X 1 p k kD1

p 2 n;

b/ yn D

n X log k k

kD1

.log n/2 : 2

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas. Solución. a) Tenemos que: xnC1

p p 1 2 1 2 nC1C2 nD p p D xn D p p nC1 nC1 nC nC1 p p n nC1 1 Dp p Dp p : p p n C 1. n C n C 1/ n C 1. n C n C 1/2

p1 p  Puesto que p nC1. nC nC1/2 tanto, la sucesión:

x1 C es convergente.

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1 n3=2 n X

kD1

la serie .xkC1

P

p

p1 p nC1. nC nC1/2

es convergente. Por

xk / D xnC1

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Criterios de convergencia no absoluta

556


b) Usando que log.n C 1/ D log n.1 C n1 / D log n C log.1 C n1 /, tenemos que:

.log.n C 1//2 .log n/2 log.n C 1/ C D nC1 2 2  
2 log n C log 1 C n1 .log n/2 log.n C 1/ C D D nC1 2 2   1
1 1
2 log.n C 1/ C log n log 1 C log 1 C D C D nC1 n 2 n
  log 1 C n1 log n 1 1
2 D C log 1 C D nC1 nC1 2 n
    log 1 C n1 1 1
2 1 1
C : log 1 C D log n log 1 C n nC1 nC1 2 n

1 X log 1 C 1 log 1C n n 1 Como  n12 , la serie  n.nC1/ es convergente. También nC1 nC1 n>1   X
2 1
2 porque log 1 C n1  n12 . Usando la es convergente la serie log 1 C n n>1 desigualdad que ya debes saber de memoria: 1 1
1 < log 1 C < ; nC1 n n se sigue que: 1 1 1
< ; 0 < log 1 C n nC1 n.n C 1/   X 1 1
es convergente. Conde donde se deduce que la serie log n log 1 C n nC1 n>1 P cluimos que la serie .yn ynC1 / es convergente por ser suma de tres series convergentes. Por tanto, la sucesión: yn

ynC1 D

y1

n X

.yk

kD1

ykC1 / D ynC1

es convergente.

©

9.3. Criterios de convergencia no absoluta Los criterios de convergencia para series de términos positivos se aplican, obvio es decirlo, para estudiar la convergencia absoluta de cualquier serie. Pero, ¿qué hacer cuando una serie no es absolutamente convergente? Naturalmente, podemos intentar comprobar si la serie verifica la condición de Cauchy, pero este procedimiento con frecuencia es difícil. Pues bien, los criterios que vamos a estudiar a continuación proporcionan información sobre la convergencia no absoluta. Probaremos, en primer lugar, una igualdad de la que se deducen con facilidad dichos criterios. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Criterios de convergencia no absoluta

557

9.39 Proposición (Suma por partes (Abel, 1826)). Dadas dos sucesiones fan g y fbn g, ponp X gamos Ap D aj . Se verifica entonces, para todo n 2 N, que: j D1

n X

ak bk D

kD1

n X

Ak .bk

kD1

bkC1 / C An bnC1

(9.10)

Demostración. Pongamos, por comodidad de notación, A0 D 0, con lo que para todo k 2 N se verifica que ak D Ak Ak 1. Tenemos que: n X

ak bk

kD1

n X

D

kD1 n X

.Ak

D

Ak bk

D

Ak .bk

kD1 n X

Ak

1 /bk

n X

D

n X

Ak bk

kD1

n X

Ak

kD2

1 bk D

Ak bkC1 C An bnC1 D

kD1

kD1

bkC1 / C An bnC1 :

2

9.40 Teorema (Criterio general de Dirichlet). Sean fan g , fbn g dos sucesiones, y pongamos n X ak . Supongamos que: An D kD1

ˇ ˇ i) Existe un número M > 0 tal que para todo n 2 N es ˇAn ˇ 6 M . X jbn bnC1 j es convergente. ii) La serie n>1

iii) fbn g ! 0. X

Se verifica entonces que la serie

an bn es convergente.

n>1

ˇ ˇˇ Demostración. Puesto que ˇAn ˇˇbn X comparación que la serie An .bn n>1

gente, es decir, la sucesión

n X

Ak .bk

ˇ ˇ bnC1 ˇ 6 M ˇbn bnC1 j , deducimos, por el criterio de bnC1 / converge absolutamente y, por tanto, es converbkC1 / es convergente. Como, además, la sucesión

kD1

˚

An bnC1 converge a cero por ser producto de una sucesión acotada por otra convergente a X an bn es convergente. 2 cero, deducimos, en virtud de la igualdad (9.10), que la serie n>1

9.41 Teorema (Criterio general de Abel). Sean fan g y fbn g dos sucesiones y supongamos que: X i) La serie an es convergente. n>1

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Criterios de convergencia no absoluta ii) La serie

X

jbn

558

bnC1 j es convergente.

n>1

Se verifica entonces que la serie

X

an bn es convergente.

n>1

Demostración. La hipótesis i) nos dice que la sucesión An D

n X

an es convergente; en parti-

kD1

cular está acotada, por lo que, al igual que antes, se deduce que la sucesión

n X

Ak .bk

bkC1 /

kD1

es convergente. Además, ii) implica que la serie

X

.bn

bnC1 / es convergente,y como dicha

n>1

serie es la sucesión

n ˚X



bj C1 / D fb1

.bj

j D1

bnC1 g , obtenemos que fbn g es convergente.

˚ Resulta así que la sucesión An bnC1 converge por ser producto de sucesiones convergentes X y, en virtud de la igualdad (9.10), deducimos que la serie an bn es convergente. 2 n>1

9.42 Proposición. SiX la sucesión fbn g es monótona y acotada, entonces se verifica que es convergente la serie jbn bnC1 j. n>1

Demostración. En efecto, basta tener en cuenta que 8 n X ˆ ˆ ˆ .bj bj C1 / D b1 bnC1 ; si fbn g es decreciente; ˆ ˆ n < X j D1 jbj bj C1 j D n X ˆ ˆ ˆ j D1 .bj C1 bj / D bnC1 b1 ; si fbn g es creciente. ˆ ˆ : j D1

2

La proposición anterior permite particularizar los criterios de Dirichlet y de Abel de la forma que sigue. 9.43 Corolario (Criterio particular de Dirichlet). Sean fan g, fbn g dos sucesiones, y pongan X mos An D an . Supongamos que: kD1

ˇ ˇ i) Existe un número M > 0 tal que para todo n 2 N es ˇAn ˇ 6 M .

ii) fbn g es monótona y fbn g ! 0. Se verifica entonces que la serie

X

an bn es convergente.

n>1

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Criterios de convergencia no absoluta

559

9.44 Corolario (Criterio particular de Abel). Sean fan g, fbn g dos sucesiones y supongamos que: P i) La serie an es convergente. ii) fbn g es monótona y acotada. X Se verifica entonces que la serie an bn es convergente. n>1

Hay un caso todavía más particular del criterio de Dirichlet que se aplica a series alternaX nC1 das, es decir, a series del tipo . 1/ xn donde xn > 0 para todo n 2 N. Este criterio es n>1

debido a Leibniz, y aunque puede deducirse fácilmente del corolario 9.43, merece la pena dar una prueba directa del mismo porque así obtenemos una fácil acotación del error que se comete al aproximar la suma de una serie alternada por una suma parcial de la serie.

9.45 Proposición (Criterio de Leibniz para series alternadas). Supongamos P que la sucesión fan g es decreciente y convergente a cero. Entonces la serie alternada n>1 . 1/nC1 an es P P nC1 a , entonces para todo convergente. Además, si An D nkD1 . 1/kC1 ak y S D 1 n nD1 . 1/ n 2 N se verifica que jS An j 6 anC1 . Demostración. Es inmediato comprobar que la sucesión fA2n 1g es decreciente y fA2n g es creciente. Como A2 6 A2n 6 A2n 1 6 A1 , deducimos que ambas sucesiones convergen. Además, como A2n 1 A2n D a2n ! 0, concluimos que An converge. P nC1 a D lKımfA g. Puesto que Sea S D 1 n n nD1 . 1/ S D lKımfA2n

1g

D KınffA2n

1

W n 2 Ng D lKımfA2n g D supfA2n W n 2 Ng;

se verifica que A2n 6 S 6 A2nC1 , de donde: 06S En consecuencia jS

A2n 6 a2nC1 ;

y

An j 6 anC1 para todo n 2 N.

a2n 6 S

A2n

16

0:

(9.11) 2

Teniendo en cuenta la proposición 9.8, el criterio de Leibniz prueba que las series de la P forma . 1/nC1 an donde fan g ! 0 y la sucesión fan g es monótona a partir de un cierto término en adelante, son convergentes (aunque la acotación del error antes obtenida ya no tiene por qué ser válida). Observa que P los criterios de Dirichlet y de Abel pueden, en principio, ser aplicados a una serie cualquiera, xn , pues sólo tenemos que expresar xn de la forma xn D an bn , lo que, evidentemente, puede hacerse de muchas maneras; pero es imprescindible elegir apropiadamente an y bn para que pueda aplicarse con éxito alguno de dichos criterios. 9.46 Estrategia (Estrategia P para estudiar la convergencia de una serie). Para estudiar la convergencia de una serie zn numérica lo primero que debes hacer es P estudiar la convergencia absoluta, es decir la convergencia de la serie de términos positivos jzn j, P para lo que se aplican los criterios de convergencia para series de términos positivos. Si la serie jzn j converP ge entonces, en virtud del teorema 9.14, P sabemos que la serie zn también converge (y todas sus reordenaciones). Cuando la serie jzn j no converge se aplican P los criterios de Dirichlet o de Abel para estudiar directamente la convergencia de la serie zn . Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios propuestos

560

9.3.1. Ejercicios propuestos

466. Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de las siguientes series. a/

X

. 1/nC1

n>1

log.n C 2/ nC2

b/

. 1/n . 1/ c/ n n>1   X . 1/n e/ log 1 C n n>1   X nC1 nC1 1 n log g/ . 1/ n X

nC1 2 C

n>1

X

n>1

d/

X

.

n>1

f/

X

.

n>1

h/

X

1 ; .˛ 2 R/ n ˛ C . 1/n p n 1/nC1 n C 100   1
3
5


.2n 1/ ˛ 1/nC1 ; .˛ 2 R/ 2
4
6


2n .log n/r 1/nC1 ; .r; s 2 RC / ns

. 1/n

.

n>1

467. Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de la serie    X 1 n 1 nC1 ˛ . 1/ n log : n n n>2

468. Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de la serie X 1 . 1/nC1 n˛ .e n 1/: n>1

Sugerencia. Prueba que la función f W RC ! R dada para todo x > 0 por: f .x/ D

ex 1 x˛

es creciente siempre que ˛ < 1.

9.3.2. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo! Ejercicio resuelto 235 Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de las siguientes series.   X X . 1/n 1 ; .˛ 2 R/ b/ log 1 C a/ . 1/n ˛ n C . 1/n n n>1 n>1     ˛ X X 1
3
5


.2n 1/ nC1 c/ . 1/nC1 ; .˛ 2 R/ d / . 1/nC1 1 n log 2
4
6


2n n n>1

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n>1

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Ejercicios resueltos

561

1 . Si ˛ 6 0 entonces fan g no converge a 0 y la n˛ C . 1/n serie no converge. Supondremos en lo que sigue que ˛ > 0. Tenemos que:

Solución. a) Pongamos an D

an D

n˛

1 1  ˛ n C . 1/ n

Deducimos que si ˛ > 1 la serie converge absolutamente. Consideremos que 0 < ˛ 6 1. Pongamos: . 1/n 1 1 D C bn ÷bn D ˛ ˛ ˛ n ˛ n C . 1/ n n .n C . 1/n / P . 1/n Por el criterio de Leibniz, la serie convergente (˛ > 0). Como 0 < bn  n12˛ , n˛ es P por el criterio límite de comparación, la serie bn es convergente si, y sólo si, ˛ > 1=2. X n Concluimos que la serie . 1/ n˛ C.1 1/n converge si ˛ > 1=2. En resumen, la serie . 1/n

n>1

converge absolutamente si ˛ > 1 y converge no absolutamente si 1=2 < ˛ 6 1. La serie no converge para ˛ 6 1=2. ©   n . 1/ . Observa que an D . 1/n xn donde xn D jan j. b) Pongamos an D log 1 C n Probemos que x2nC16x2n6x2n 1 , de donde se sigue que fxn g decrece a 0. Usaremos la desigualdad (que tú debes comprobar), válida para 0 < x < 1, log.1 x/ 6 x. Tenemos: ˇ  ˇ     ˇ ˇ 1 1 1 1 1 ˇ D log 1 x2n 1 D ˇˇlog 1 > > > log 1C D x2n 2n 1 ˇ 2n 1 2n 1 2n 2n

Luego x2n < x2n 1 para n > 2. Por otra parte:         1 1 2n 2n C 1 x2nC1 D log 1C D log Dlog Dlog 1C Dx2n 2n C 1 2n C 1 2n 2n P Concluimos, por el criterio de Leibniz, que la serie an es convergente. Puesto que: ˇ  ˇ ˇ . 1/n ˇˇ 1 jan j D ˇˇlog 1 C ˇ n n

©

la serie no es absolutamente convergente.



˛

1
3
5


.2n 1/ . Si 2
4
6


2n ˛ 6 0 entonces fan g no converge a 0 y la serie no es convergente. Supondremos en lo que sigue que ˛ > 0. Tenemos que:   anC1 2n C 1 ˛ D ! 1: an 2n C 2 c) Estudiaremos primero la convergencia absoluta. Sea an D

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia absoluta de la serie. Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.     ˛ n  ˛ 1 2n C 2 ˛ n an n D D 1C ! e2 : anC1 2n C 1 2n C 1 Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

562

Por tanto, si ˛2 > 1, o sea ˛ > 2 la serie converge absolutamente; si ˛2 < 1, o sea ˛ < 2 la serie no converge absolutamente. El caso en que ˛ D 2 requiere un estudio particular (ver más adelante). Nos queda por estudiar lo que ocurre si 0 < ˛ 6 2. Observa que para ˛ > 0 es evidente que la sucesión fan g es decreciente. Lo no es evidente es que P que nC1 converja a 0. Para aplicar el criterio de Leibniz a la serie . 1/ an hay que probar que fan g ! 0. Esto puedes hacerlo comprobando que la sucesión log.an / ! 1. Esto es fácil y te lo dejo para que lo hagas tú. Yo voy a seguir otro camino. Aplicando la 1
3
5


.2n 1/ se obtiene fácilmente que: estrategia 9.38 a la sucesión xn D 2
4
6


2n 1 1 1 1 ÷ < a < p < xn < p n 2 n 2n˛=2 .2n C 1/˛=2 2n C 1 Desigualdad que implica que fan g ! 0 para todo ˛ > 0. Además esta desigualdad nos 1 lo que implica que la serie no converge absolutamente dice que para ˛ D 2 es an > 2n para ˛ D 2. En resumen: hay convergencia absoluta para ˛ > 2 y hay convergencia no absoluta para 0 < ˛ 6 2. Ejercicio resuelto 236 Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de la serie    X 1 n 1 nC1 ˛ . 1/ n log : n n n>2

Solución. Pongamos zn D . 1/nC1 n˛ vergencia absoluta. Tenemos que: x



1 n

log



n 1 n



. Estudiaremos primero la con-

x/

1 1 D ÷f .x/  x 2 2 2
P y por tanto jzn j D n˛ f 1n  2n21 ˛ . Por tanto, la serie zn converge absolutamente si, y sólo si, 2 ˛ > 1, o sea, P ˛ < 1. Si 2 ˛ 6 0, o sea ˛ > 2, entonces fzn g no converge a 0 y por tanto la serie zn no es convergente. Queda por ver lo que ocurre cuando 1 6 ˛ < 2. Para dichos valores de ˛ se tiene que fzn g ! 0. Probaremos que fzn g es decreciente. Pongamos f .x/ D x ˛ . x log.1 x// donde 0 < x < 1. Observa que zn D . 1/nC1 f .1=n/. Tenemos que: lKım

x!0

f 0 .x/ D

log.1 x2

x ˛C1 C ˛x ˛ 1 x

1

. x

log.1

x//;

recordando que x log.1 x/ > 0 para 0 < x < 1, se sigue que f 0 .x/ > 0 para 0
< x <
1. Por tanto f es estrictamente creciente enP 0; 1 y, en particular, es 1 1 f nC1 < f n . El criterio de Leibniz nos dice que la serie zn es convergente para 1 6 ˛ < 2. ©

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

563

9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular su suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma exacta. Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para sumar series, sino en comprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas. X Series geométricas. Las series de la forma ˛x n donde ˛ 2 R y jxj < 1, cuya suma viene n>0

dada por

1 X

nD0

˛x n D

˛

1

x

.

Series aritmético - geométricas. Son series de la forma

X

p.n/x n donde p es una función

n>0

polinómica de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estas series convergen absolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj > 1 pues entonces fp.n/x n g es una sucesión no acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y pongamos: 1 n X X SD p.k/x k D lKım p.k/x k kD0

n!1

kD0


Definamos las diferencias de primer orden de p, que notaremos,  p , como el polinomio 1
dado para todo k 2 N por 1 p .k/ D p.k C 1/ p.k/. Observa que 1 p es un polinomio de grado m 1. Tenemos: ! n n X X S xS D .1 x/S D lKım p.k/x k p.k/x kC1 D n!1

D lKım

n!1

n X1

kD0

kD0




p.k C 1/

p.k/ x

P1




kD0

kC1

C p.0/

p.n/x

nC1

!

D p.0/ C x

1 X

kD0


1 p .k/x k :

Pongamos S1 D kD0 1 p .k/x k . La igualdad anterior nos dice que .1 x/S Dp.0/CxS1 . X Este procedimiento puede volver a aplicarse a la serie 1 p/.k/x k . De la misma forma

k>0

P k obtenemos ahora .1 x/S1 D 1 p/.0/ C xS2 , donde S2 D 1 kD0 2 p .k/x y 2 p son las diferencias de segundo orden de p definidas para todo k 2 N por:


2 p .k/ D 1 p .k C 1/ 1 p .k/:
Observa que 2 p es un polinomio de grado m 2.

Repitiendo este proceso m veces llegaremos a obtener finalmente Sm D

1 X

kD0


m p .k/x k D

˛ 1

x


porque
las diferencias de orden m, .m p , de un polinomio de grado m son constantes, .m p .k/ D ˛ para todo k 2 N. Conocido Sm calculamos Sm 1 a partir de la igualdad

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

564


.1 x/Sm 1 D m 1 p .0/ C xSm. A partir de Sm 1 podemos calcular Sm 2 , etcétera, hasta llegar a obtener finalmente el valor de S . P Series hipergeométricas. Consideremos una serie an de términos positivos tal que para todo n 2 N es: ˛n C ˇ anC1 D ; .˛ > 0; ˇ; 2 R/: an ˛n C Escribiendo esta igualdad para n D k en la forma: ˛kakC1 C akC1 D ˛kak C ˇak y sumando desde k D 1 hasta k D n se obtiene:

Donde Sn D

n X

kD1

˛nanC1 C .anC1 C Sn

a1 / D ˛Sn C ˇSn :

(9.12)

ak . Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKımfSn g, se

deduce de la igualdad anterior que la sucesión fnanC1 g también converge y necesariamente su límite debe ser cero (si fuera nanC1 !  > 0 se tendría que an  n lo que implicaría que la serie diverge). Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si > ˛ C ˇ y diverge si < ˛ C ˇ. También diverge si D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la igualdad 9.12 que:

a1 ˛ nanC1 C anC1 a1 D 0 ÷ anC1 D ˛n C

y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.

Supuesto que, > ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 9.12 deducimos que:

a1

S a1 D ˛S C ˇS ÷ S D :

˛ ˇ X P .n/ Q.n/ donde P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series tienen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D C1 o que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado del denominador es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando esta condición se cumple y, además, las raíces del polinomio Q son todas reales y simples es posible P .x/ en fracciones simples, calcular la suma de la serie descomponiendo la función racional Q.x/ Se tendrá una descomposición de la forma:

Series cuyo término general es una función racional. Se trata de series de la forma

A1 A2 Am P .x/ D C C


C Q.x/ x ˛1 x ˛2 x ˛m donde ˛1 ; ˛2 ; : : : ; ˛m son las raíces de Q. Sustituyendo en la igualdad anterior xDk y sumando desde k D 1 hasta k D n resulta:  n n  X P .k/ X A2 Am A1 D C C


C Q.k/ k ˛1 k ˛2 k ˛m kD1

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kD1

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565

Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta que finalmente nos quede una X A son divergentes sucesión que sea convergente. Observa que las series de la forma n ˛ (por comparación con la serie armónica) pero la suma de todas las que hay en el paréntesis anterior tiene que ser, en las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coeficientes Ak sean unos positivos y otros negativos y que las raíces ˛k sean números enteros, de manera que se produzcan cancelaciones que finalmente permitan calcular la suma de la serie. Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie armónica alternada. La estrategia 7.33 es muy útil para los cálculos en este tipo de ejercicio. P Series de diferencias o telescópicas. Se llaman así las series an cuyo término general puede escribirse en la forma an D bnC1 bn . Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad n X

kD1

ak D bnC1

b1 ;

la serie converge si, y sólo si, la sucesión fbn g converge, en cuyo caso

1 X

nD1

an D lKımfbn g

b1 .

Series relacionadas con la exponencial. Sea x 2 R un número real distinto de 0, fijo en lo que sigue y sea n 2 N. Aplicando el teorema de Taylor 6.41 a la función exponencial con a D 0, tenemos que hay algún punto c comprendido entre 0 y x tal que: ex D1 C La serie

n X ec 1 k x C x nC1 : k! .n C 1/!

kD1

X xn es absolutamente convergente porque, poniendo an D n!

jxjn , n!

tenemos:

n>0

jxj anC1 D ! 0: an nC1  n jxj En particular, se verifica que lKım D 0. Como 0 < jcj < jxj, tenemos que: n!1 n! ˇ ˇ ˇ ˇ n ˇ ˇ c ˇ jxjnC1 ˇ x X 1 k ˇ ˇˇ e nC1 ˇ x ˇDˇ x ; 6 ejxj ˇe ˇ ˇ k! ˇ .n C 1/! .n C 1/! kD0

de donde deducimos que:

ˇ ˇ ˇ lKım ˇex n!1 ˇ

ˇ 1 n X X 1 k ˇˇ xn x ˇ D 0 ” ex D : k! ˇ n!

kD0

nD0

Como x ¤ 0 es un número real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta para x D 0, hemos probado que para todo número real x se verifica la igualdad: ( ) 1 2 3 n n X x x x x x D lKım 1 C C C C


C (9.13) ex D n!1 n! 1! 2! 3! n! nD0

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

566

En particular, para x D 1, resulta que: eD

  1 X 1 1 1 1 1 D lKım 1 C C C C


C : n! n!1 1! 2! 3! n!

(9.14)

nD0

Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la forma

X p.n/ donde p n!

n>0

es una función polinómica de grado m > 1. Dichas series son (absolutamente) convergentes como se comprueba fácilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamos el polinomio p.x/ en la forma: p.x/ D a0 C a1 x C a2 x.x

1/ C a3 x.x

2/ C


C am x.x

1/.x

1/.x

2/


.x

m C 1/:

Los números ak pueden calcularse fácilmente: a0 D p.0/; a1 D p.1/

a0 ; 2a2 D p.2/

a0

2a1 ; : : :

Con ello tenemos que: 0 1 m 1 X X X aj n.n p.n/ @ a0 C D n! n! nD0

nD0

D a0 e C D a0 e C D a0 e C

m X

j D1 m X

j D1 m X

j D1

j D1

1 X aj n.n

nD0

0

1 X aj n.n @

0 @

nDj

1 X

nDj

aj

.n

1/


.n n! 1/


.n n! 1/


.n n! 1

1

D

!

D

j C 1/ A j C 1/

1

j C 1/ A

D

m 1 X X aj A D a0 e C j /! n! j D1

nD0

!

D

D .a0 C a1 C a2 C


C am / e :

Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desde n D 0 hay que hacer los ajustes necesarios. X p.n/ El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo x n. n! n>0

De la igualdad (9.14) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, para todo n 2 N tenemos que: 01

j/

n>1

m/

n2

X

e/

3n

X n2 3n n>1 X

g/

n 2n

b/

1 p p .n C 1/ n C n n C 1 n>1 X 2n 1 X

.1 C 2n /.1 C 2n

n>1

1/

X n2 C 5n C 7 .n C 2/! n>1 X n3 n C 1 k/ . 1/n 3n n! n>0 X 1 n/ n.n C 1/.n C 2/ h/

1 C 3n C 2

. 1/n

n>2

n2 n 3n

n>1

n>1

Sugerencias. f) cos x sen y D 2 tg.x=2/.

1 2

sen.x C y/

X 1 nC2 2n n.n C 1/ n>1 X 1 3 f/ sen n cos n 2 2 n>1 X x x i/ 2n 1 tg2 n tg n 1 2 2 n>1 X 2n C 1 l/ . 1/nC1 n.n C 1/ n>1 X 3n C 2 o/ n.n C 1/.n C 2/

c/

sen.x


y/ . i) tg x 1


tg2 .x=2/ D

9.4.2. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo! Ejercicio resuelto 237 Calcula la suma de las siguientes series. a/

X

n>1

d/

X

n>1

1 4n3

n

2n 1 .1 C 2n /.1 C 2n

1/

X

1

p .n C 1/ n C n n C 1 n>1 X n3 n C 1 e/ . 1/n 3n n! b/

n>0

p

X 1 nC2 2n n.n C 1/ n>1 X n2 n f/ . 1/n 3n c/

n>2

Solución. a) Haremos la descomposición en fracciones simples de la función racional 1 . Tenemos que 4x 3 x D x.4x 2 1/ D x.2x C 1/.2x 1/. El denominador 3 4x x Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Ejercicios resueltos

568

tiene tres raíces reales simples. Escribamos: 1 4x 3

x

D

B C A C C : x 2x C 1 2x 1

Fácilmente se obtiene A D 1, B D C D 1. Por tanto: 1 D 4k 3 k

1 1 1 C C : k 2k C 1 2k 1

Observa que cuando sumemos nos van a quedar expresiones que podremos relacionar con la serie armónica alternada porPlo que conviene sumar desde k D 1 hasta k D 2n. Como ya es usual ponemos Hn D nkD1 k1 y usaremos la estrategia 7.33 que ya debes conocer. 2n X

kD1

1 4k 3

D 1C D 1C

k

n n 2n 2n X X X X 1 1 1 1 C C C D 2k 2k C 1 2k C 1 2k 1

D

2nC1 X

kD1

1/kC1

.

k

kD1

2nC1 X kD1

kD1

kDnC1



C 2 H4nC1

Luego

1 C log 2 C log 2 D 2 log 2 1 X

nD1

1 4n3

 1 1 H2nC1 C Hn C D 2 2n C 1

 . 1/kC1 C 2 log.4n C 1/ C ”4nC1 k log.2n C 1/

!

1 H2n 2

kDnC1

n

D 2 log 2

1:

1 .log.2n/ C ”2n / 2  1 1 ! ”2nC1 C .log.n/ C ”n / C 2 2n C 1

©

1.

b) Basta observar que: p
p p .n C 1/ n C n n C 1 .n C 1/ n

De donde se obtiene fácilmente que:

p
n n C 1 D n.n C 1/:

p n p D p n .n C 1/ n C n n C 1 1

p

nC1 : nC1

Deducimos que: n X

kD1

1

p D1 p .k C 1/ k C k k C 1

p 1 X 1 nC1 ÷ p D 1: p nC1 .n C 1/ n C n n C 1 nD1

1 nC2 . Tenemos que: 2n n.n C 1/   1 k C2 1 2 1 1 ak D k D k D k 1 k kC1 2 k.k C 1/ 2 2 k

c) Pongamos an D

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1 : C 1/

2k .k

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Ejercicios resueltos

569

Deducimos que: n X

kD1

1

X 1 nC2 1 ÷ D 1: 2n .n C 1/ 2n n.n C 1/

ak D 1

nD1

d) Tenemos que: 2k 1 .1 C 2k /.1 C 2k

1/

D

1 C 2k 1 2k 1 1 D k k 1 .1 C 2 /.1 C 2 / 1 C 2k

1 : 1 C 2k

1

Deducimos que: n X

kD1

2k 1 .1 C 2k /.1 C 2k

e) Es una serie de la forma

X 1 2n 1 ÷ 1 C 2n .1 C 2n /.1 C 2n

X p.n/

nC1 y x D

1/

n!

n>0

n3

1

1 2

D

nD1

x n donde p.n/ D n3

n C 1 D a0 C a1 n C a2 n.n

1/ C a3 n.n

1/.n

1 D : 2

1/

1 3.

Pongamos:

2/:

Haciendo n D 0 se obtiene a0 D 1; haciendo n D 1 se obtiene a1 D 0; haciendo n D 2 se obtiene a2 D 3 y haciendo n D 2 se obtiene a3 D 1. Por tanto:  n 1 1 n C 1 X 1 C 3n.n 1/ C n.n 1/.n 2/ D D . 1/ n 3 n! n! 3 nD0 nD0  n  n 2  n 1 1 1 X X 1 1 1 X 1 1 1 1 1 D C n! 3 3 .n 2/! 3 27 .n 3/! 3 nD0 nD2 nD3   1 1 1 35 1 De 3 1C e 3: D 3 27 27 1 X

3 nn

3

D

p.n/x n donde p.n/ D n2 n y x D 31 . Se trata, pues, de  n 1 X 1 2 . Tenemos que: una serie aritmético-geométrica. Pongamos S D .n n/ 3 f) Es una serie de la forma

P

nD2

S

1

X 1 SD .n2 3 D

nD2 1 X

nD1

n/

.n C 1/ 1

 2

1 3

n

1 X

2

n/

1 3

nC1

.n

nD2

.n C 1/






2 X C .n C 1/2 .n C 1/ 9 nD2  n 1 1 1X 2 2n : D C 9 3 3 D

.n2



1 3

nC1

1 X




n/

1 3

nC1

.n





2

nD2

n/

D 1 3

nC1

D

D

nD2

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Expresión de un número real en base b

Pongamos S1 D

1 X

2n

nD2



S

1 3

n

570

. Hemos probado que:

2 1 1 1 SD C S1 ÷ S D 3 9 3 6

1 S1 : 4

Calcularemos ahora S1 . Tenemos que: S1

1

X 1 S1 D 2n 3 D

nD2 1 X

nD1

4 D 9 4 D 9 Deducimos que S1 D

7 24



1 3

1 X

n

2.n C 1/



2n

nD2 nC1

1 3

1 1X 2.n C 1/ 3

1 3

nD2

1 6

nC1

1 X

2n

nD2


2n

2 1 7 D : 3 12 18

y, por tanto, S D





1 4 S1

1 3

D

D



n

1 3

nC1

4 D 9

D

 1  2X 1 n D 3 3 nD2

©

3 32 .

9.5. Expresión de un número real en base b El primer ejemplo de sucesión que vimos en el capítulo 7 fue la expresión decimal de 2=3 que ahora podemos expresar con la notación que usamos para series: n

1

kD1

nD1

X 6 X 6 2 D D lKım : k 3 n!1 10n 10 Seguramente sabes que los números racionales pueden expresarse en forma decimal y que dicha expresión decimal o bien es finita o hay un grupo de cifras, el período, que se repite indefinidamente. También sabes que los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no periódica. En lo que sigue vamos a precisar el significado de estas afirmaciones y a justificarlas. Para ayudarte a entender lo que sigue, vamos a empezar recordando el algoritmo de la división de números enteros. Para ello vamos a usar la función “parte entera”. Recuerda que si x es un número real, representamos por E.x/ el único número entero tal que E.x/6x < E.x/C1. El número E.x/ se llama parte entera de x. Una consecuencia directa de la definición de E.x/, que usaremos en lo que sigue, es la siguiente: xDˇCr

donde

ˇ 2 Z y 0 6 r < 1 ÷ ˇ D E.x/:

(9.15)

Además, es claro que si p es un número entero se tiene que E.x C p/ D E.x/ C p.

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Expresión de un número real en base b

571

Con ayuda de la función “parte entera” podemos expresar el algoritmo de la división de enteros como sigue. Sean p, q números enteros con q > 0. Pongamos c D E.p=q/. Entonces tenemos que: p c 6 < c C 1 ” 0 6 p cq < q: q Poniendo ahora r D p cq, tenemos que p D cq C r donde c y r son números enteros y 0 6 r 6 q 1. Este es el algoritmo de la división de enteros conocido como “algoritmo de Euclides”. Sean p; q números enteros positivos con p < q y consideremos el número racional x D pq 2 Œ0; 1Œ. Veamos el proceso que se sigue para obtener la expresión decimal de x D pq . 06

Dividimos 10p entre q y obtenemos un cociente c1 D E. 10p q / y un resto r1 . Como 10p q

< 10, se verifica que 0 6 c1 6 9 y, claro está, 0 6 r1 6 q 1. En resumen:   10p ; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q 1: 10p D c1 q C r1 ; c1 D E q

Que podemos escribir equivalentemente: p c1 r1 D C ; q 10 10q

0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q

1:

(9.16)

1 Ahora dividimos 10r1 entre q y obtenemos un cociente c2 D E. 10r q / y un resto r2 . Como

06

10r1 q

< 10, se verifica que 0 6 c2 6 9 y, claro está, 0 6 r2 6 q 10r1 D c2 q C r2 ;

1. En resumen:

0 6 c2 6 9; 0 6 r2 6 q

1:

Igualdad que podemos escribir equivalentemente: c2 r1 r2 D 2C 2 : 10q 10 10 q Sustituyendo esta igualdad en (9.16), tenemos: p r2 c1 c2 D C 2C 2 : q 10 10 10 q

(9.17)

Conviene expresar c2 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que 100 pq D 10c1 C c2 C rq2 . Poniendo x D pq y teniendo en cuenta 9.15, deducimos que: ! 2 E.10x/ 2 E.10 x/ c2 D E.100x/ 10c1 D 10 : (9.18) 10 102 2 El tercer paso sería como sigue. Dividimos 10r2 entre q y obtenemos un cociente c3 D E. 10r q /

2 y un resto r3 . Como 0 6 10r q < 10, se verifica que 0 6 c3 6 9 y, claro está, 0 6 r3 6 q resumen: 10r2 D c3 q C r3 ; 0 6 c3 6 9; 0 6 r3 6 q 1:

1. En

Igualdad que podemos escribir equivalentemente: r2 c3 r3 D 3C 3 : 2 10 q 10 10 q Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Expresión de un número real en base b

572

Sustituyendo esta igualdad en (9.17), tenemos: c1 c2 c3 r3 p D C 2C 3C 3 : q 10 10 10 10 q Conviene expresar c3 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que 103 pq D 102 c1 C 10c2 C c3 C rq3 . Poniendo x D pq , teniendo en cuenta en cuenta 9.15 y que 10c1 C c2 D E.100x/, deducimos que: ! ! 3 3 10c1 C c2 E.102 x/ 3 E.10 x/ 3 2 3 E.10 x/ D10 : c3 DE.10 x/ 10 c1 10c2 D10 103 102 103 102 Este proceso puede proseguirse obteniendo los sucesivos dígitos c1 ; c2 ; : : : ; cn ; : : : de la expresión decimal de x D pq los cuales viene dados por: ! n x/ nC1 x/ E.10 E.10 ; n D 1; 2; : : : c1 D E.10x/; cnC1 D 10nC1 10n 10nC1 Y se verifica que: xD

c1 c2 rn cn C 2 C


C n C n ; 10 10 10 q 10

0 6 ck 6 9; 0 6 rn 6 q

1

donde rn es el resto de la n-ésima división por q. De la igualdad anterior, se deduce que: ˇ ˇ n 1 ˇ X X ck ˇˇ 1 cn rn ˇ x < ÷ x D : D ˇ ˇ ˇ 10n 10n 10k ˇ 10n q nD1

kD1

Observemos que en este proceso los restos que se van obteniendo en las sucesivas divisiones son números enteros que están comprendidos entre 0 y q 1 por lo que caben dos posibilidades:  Si uno de estos restos es igual a 0, digamos rm D 0 (1 < m 6 q 1), el proceso termina aquí porque todos los cocientes ck que le siguen son 0 y se obtiene una expresión decimal finita que se escribe en la forma: m X ck xD D 0; c1 c2 : : : cm 10k kD1

Observa que para que esto ocurra es condición necesaria y suficiente que haya algún m 2 N tal que 10m x sea un entero, lo que sucede si, y sólo si, x puede escribirse de la forma x D 10pm .

Una expresión decimal finita puede escribirse también como una expresión decimal con infinitos 9, pues: m 1 m X X X1 ck ck 9 cm 1 xD C : D C m k k 10 10n 10 10 kD1

kD1

nDmC1

 Si ninguno de ellos es cero, entonces como máximo en un total de q divisiones deben repetirse. Si el primer resto que se repite es rj , digamos rj D rj Ck (1 6 j < j C k 6 q 1), entonces cj D cj Ck y el grupo de cocientes cj ; cj C1 ; cj C2 ; : : : ; cj Ck 1 se repite indefinidamente dando lugar a una expresión decimal periódica que se escribe en la forma: x D 0; c1 c2 : : : cj Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

b

1 cj cj C1 cj C2 cj Ck 1 :

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573

Finalmente, si x D m E.x// n es cualquier número racional, podemos escribir x D E.x/ C .x donde z D x E.x/ es un número racional que está en Œ0; 1Œ. La expresión decimal de x se obtiene escribiendo el entero E.x/ seguido de una coma y de la expresión decimal de z. El proceso anterior puede hacerse de la misma forma para números reales y sustituyendo el número 10 por cualquier entero positivo b > 1. 9.47 Teorema. Sea b > 1 un número entero y sea x 2 Œ0; 1Œ un número real. Para cada n 2 N definamos:
E.b n x/ ; c1 D E.bx/; cnC1 D b nC1 ˛nC1 ˛n : ˛n D n b Se verifica que: a) fcn g es una sucesión de números enteros tales que 0 6 cn 6 b b) El conjunto fn 2 N W cn ¤ b 1 X cn . c) x D bn

1.

1g es infinito.

nD1

Además, si fan g es otra sucesión de números enteros tales que 0 6 an 6 b

1 y xD

entonces existe un m 2 N tal que:

1 X an , bn

nD1

i) cj D aj para 1 6 j < m. ii) cm

1 D am .

iii) cn D 0 y an D b

1 para todo n > m C 1.

Demostración. Tenemos que: b n ˛n D E.b n x/ 6 b n x < E.b n x/ C 1 D b n ˛n C 1 ÷ ˛n 6 x < ˛n C

1 ; bn

de donde se sigue que f˛n g ! x. Por otra parte bE.b n x/ 6 b nC1 x, por lo que bE.b n x/ 6 E.b nC1 x/. Y deducimos que ˛n 6˛nC1 y, en consecuencia, 06cnC1 para todo n 2 N. Es claro, por su definición, que cn es un número entero y que, al ser 06 x < 1 es 06 c1 DE.bx/6 p 1. Además: cnC1 D E.b nC1 x/ bE.b n x/ < b nC1 x b.b n x 1/ D b: ckC1 Por tanto 0 6 cnC1 6 b 1. Sumando las igualdades kC1 D ˛kC1 ˛k desde k D 1 hasta b c1 k D n 1 y teniendo en cuenta que ˛1 D , obtenemos: b ˛n D

1 n X X cn ck ÷ x D lKımfrn g D : bn bk nD1

kD1

Hemos probado a) y c). Para probar lo afirmado en el punto b), observemos que para todo k 2 N se verifica que: 1 k X X b 1 1 cj C : ˛k C k D j b bj b j D1

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j DkC1

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Expresión de un número real en base b

574

1 , deducimos que no puede ocurrir que cj D b bk lo que implica que el conjunto fn 2 N W cn ¤ b 1g es infinito. Puesto que x < ˛k C

1 para todo j > k C 1,

˚ Sea fan g una sucesión en las condiciones del enunciado. Definamos mDmKın j 2 N W aj ¤ cj . Por la definición de m es claro que se verifica i). Para probar ii) pongamos: 1 1 1 1 X X X X cm cm cm 1 aj cj cj b 1 am 6 D D C < C D m C m: m j j m j m j b b b b b b b b b j Dm

j Dm

j DmC1

j DmC1

Luego am < cm C 1 y, al ser números enteros, deberá ser am 6 cm ; pero como son distintos tenemos que am < cm y, por ser enteros, am C 1 6 cm . Por otra parte: 1 1 1 X X X am am aj cm 1 cj b 1 D 6 D m C m: 6 C j j j m m b b b b b b b j Dm

j Dm

(9.19)

j DmC1

Luego cm 6 am C 1. Resulta así que am D cm 1. Finalmente, el punto iii) se deduce como consecuencia de que en (9.19) todo son igualdades. 2 9.48 Definición. Sea b un número entero mayor que 1, b > 1, y sea x 2 R con 0 6 x < 1. Sea 1 X cn fcn g una sucesión de números enteros tales que 06 cn 6 b 1 para todo n 2 N y x D . En bn nD1

1 X cn simbólicamente en la forma estas condiciones convenimos en escribir la igualdad x D bn nD1

x D 0; c1 c2 c3 : : : cn : : :.b Dicha igualdad se llama desarrollo de x en base b o expresión b-ádica del número x. Cuando b D 2 tenemos la expresión binaria de x, si b D 3 dicha expresión se llama ternaria, y se llama expresión decimal cuando b D 10. 9.49 Observaciones. Del teorema 9.47 se deducen las siguientes afirmaciones.  Todo número x 2 R con 0 6 x < 1 tiene al menos una expresión b-ádica y, como mucho, dos expresiones b-ádicas distintas.  Un número x 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresiones b-ádicas distintas si, y sólo si, x es un número q racional de la forma x D n . b Cuando un número x 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresiones b-ádicas distintas entonces en una de ellas todos los términos, a partir de uno en adelante, son iguales a 0, es decir, es de la forma: x D 0; c1 c2 : : : ck 00 : : : 0 : : :.b : Que suele escribirse omitiendo los ceros consecutivos en la forma: x D 0; c1 c2 : : : ck .b ; y se dice que x tiene una expresión b-ádica finita. La otra expresión b-ádica de x es: x D 0; c1 c2 : : : ck Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

1 .ck

1/.b

1/.b

1/ : : : .b

1/ : : :.b : Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral

Series de números complejos

575

 La expresión b-ádica de un número x 2 Œ0; 1Œ queda determinada de forma única si se exige alguna de las condiciones: a) Hay infinitas cifras en la expresión b-ádica que son distintas de b

1.

b) Hay infinitas cifras en la expresión b-ádica que son distintas de 0.  Finalmente, si x es cualquier número real, podemos escribir x D E.x/ C .x E.x// donde z D x E.x/ es un número real que está en Œ0; 1Œ. La expresión de x en base b se obtiene escribiendo el entero E.x/ en base b seguido de una coma y de la expresión de z en base b.

9.6. Series de números complejos P Una serie de números complejos es una sucesión zn D fz1 C z2 C


C zng obtenida sumando consecutivamente los términos de una sucesión de números complejos fzn g. Para series de números complejos se emplean las mismas terminología y notaciones que para series de números reales. El límite de una serie de números complejos se llama “suma” de la serie y es un número complejo que se representa por: ( n ) 1 X X zn D lKım zk nD1

n!1

kD1

Naturalmente, todo lo visto para sucesiones de números complejos permanece válido con el mismo significado para series de números complejos. En particular, poniendo zn D xn C iyn donde xn D Re.zn /, yn D Im.zn /, tenemos que: n X

kD1

zk D

n X

kD1

xk C i

n X

yk ;

kD1

P P P y la serie zn converge si, y sólo si, convergen las series de números reales xn y yn , en cuyo caso se verifica que: 1 1 1 X X X zk D xk C i yk : kD1

kD1

kD1

Por tanto, estudiar una serie de números complejos equivale a estudiar dos series de números reales. Aunque esta estrategia no siempre es factible porque a veces no es fácil calcular Re.zn / e Im.zn /. P Se dice que una serie Pde números complejos zn es absolutamente convergente cuando la serie de los módulos jzn j es convergente. Teniendo en cuenta las desigualdades: mKax fjxn j; jyn jg 6 jzn j 6 jxn j C jyn j; P se deduce enseguida que la serie zn es absolutamente convergente si, y sólo si, las series P P xn y yn son absolutamente convergentes.

Naturalmente, para estudiar la convergencia absoluta P de una serie de números complejos lo que hacemos es aplicar a la serie de los módulos jzn j los criterios de convergencia para series de términos positivos.

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Ejercicios propuestos

576

Los criterios generales de Dirichlet y de Abel (teoremas 9.40 y 9.41) permanecen válidos sin cambio alguno para series de números complejos. Los criterios particulares de X Dirichlet an bn , y de Abel (teorema 9.43 y 9.44) pueden aplicarse igualmente a series de la forma donde fan g es una sucesión de números complejos y fbn g es una sucesión de números reales que satisfacen las hipótesis de dichos criterios. Los resultados obtenidos para la serie geométrica permanecen igualmente válidos para series geométricas de números complejos.

9.6.1. Ejercicios propuestos

470. Estudia la convergencia de las series: i)

X

n>0

iii)

1 .1 C i/n

X cos n C i sen n n2

ii) iv)

n>1

X cos n C i sen n n n>1 X cos  C i sen  n

n

n

n>1 p !n X .2 C i/n 1 X 1 1Ci 3 v) p vi) .1 C 2i/n n 2 n n>1 n>1  X X   .3 C 4i/n viii) vii) cos 2 C i sen 2 2i.4 C 3i/n C 7 n n n>0

n>1

471. Sea  2 R con jj < 1 y # 2 R. Calcula los límites:

1 X

n cos.n #/ y

nD0

1 X

n sen.n #/.

nD0

Sugerencia. Llama A a la primera suma y B a la segunda. Calcula A C iB. X  tal que para todo 472. Prueba que si la serie zn converge y hay un número 0 < ˛ < 2 n>1

n 2 N se verifica que jarg.zn /j < ˛, entonces dicha serie converge absolutamente. X X zn y zn2 son convergentes y que Re.zn / > 0 para todo n 2 N. 473. Supón que las series n>1

Prueba que

X

jzn

n>1

j2

n>1

es convergente.

9.6.2. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

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Ejercicios resueltos

577

Ejercicio resuelto 238 Estudia la convergencia de las series: 1 .1 C i/n n>0 X cos  C i sen  n n iv) n i)

X

n>1

ii) v)

X cos n C i sen n n n>1 X .2 C i/n 1

n>1

.1 C 2i/n n

iii) vi)

X cos n C i sen n n2 n>1 X .3 C 4i/n

n>0

2i.4 C 3i/n C 7

ˇ ˇ ˇ ˇ   ˇ ˇ ˇ 1 ˇn 1 1 n ˇ ˇ ˇ ˇ Solución. i) ˇ D D p . La serie es absolutamente convergente. .1 C i/n ˇ ˇ 1 C i ˇ 2 1 . © Observa que se trata de una serie geométrica de razón z D 1Ci ˇ ˇ ˇ cos n C i sen n ˇ ˇ D 1 . La serie no es absolutamente convergente. Para estudiar la ii) ˇˇ ˇ n n convergencia no absoluta aplicaremos el criterio particular de Dirichlet (corolario 9.43). Pongamos bn D 1n y an Dcos nCi sen nDei n . Tenemos que fbn g es monótona y converge a 0. Además: ˇ n ˇ ˇ n ˇ ˇ n ˇ ˇ ˇ ˇX ˇ ˇX ˇ ˇX
ˇ ˇˇ ei.nC1/ ei ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ik ˇ i kˇ ak ˇ D ˇ e ˇDˇ e ˇDˇ ˇ ˇD ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ei 1 ˇ kD1 kD1 kD1 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ i.nC1/ ˇ ˇ ei ˇ ˇei.nC1/ ˇ C ˇei ˇ ˇe 2 ˇ ˇ ˇ ˇ 6 D ˇ i ˇ: D ˇei 1ˇ ˇei 1ˇ ˇe 1ˇ

2 Puesto que ˇ i ˇ es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet ˇe 1ˇ nos dice que la serie es convergente. © ˇ ˇ ˇ cos n C i sen n ˇ ˇ D 1 . La serie es absolutamente convergente. © iii) ˇˇ ˇ n2 2 n X cos  n iv) La serie de las partes reales, es una serie de términos positivos divergente n n>1

cos n 1  . Luego la serie no converge. © porque n n ˇ ˇ ˇ .2 C i/n 1 ˇ j2 C ijn 1 1 ˇD v) ˇˇ D . La serie no converge absolutamente.Para estudiar la .1 C 2i/n n ˇ j1 C 2ijn n n convergencia no absoluta   podemos aplicar el criterio particular de Dirichlet. Pongamos bn D

1 n

n 2Ci . Tenemos 1C2i 2Ci 1C2i , tenemos que:

y an D

que fbn g es monótona y converge a 0. Además,

poniendo w D ˇ n ˇ ˇ n ˇ ˇ ˇ ˇX ˇ ˇX ˇ ˇ w nC1 w ˇ ˇˇw nC1 w ˇˇ jwjnC1 C jwj 2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ kˇ ak ˇ D ˇ w ˇDˇ 6 D : ˇ ˇD ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ w 1 ˇ jw 1j jw 1j jw 1j kD1

kD1

2 es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet nos jw 1j dice que la serie es convergente.

Como

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Cálculo elemental de

r C1 0

sen x x

dx y de

P1

1 nD1 n2

578

Observa que el criterio X particular de Dirichlet implica que las serie de números complejos de la forma z n bn donde fbn g es una sucesión de números reales monótona y n>1

convergente a 0 y z es un número complejo de módulo 1 y distinto de 1, (z ¤ 1; jzj D 1), son convergentes. Naturalmente si jzj < 1 tales series convergen absolutamente. ©

vi) Es fácil comprobar que el término general de la serie no converge a cero y, por tanto, la serie no es convergente. ©

Ejercicio resuelto 239 Sea  2 R con jj < 1 y # 2 R. Calcula los límites: 1 X

1 X

n cos.n#/ y

nD0

n sen.n#/.

nD0

Sugerencia. Llama A a la primera suma y B a la segunda. Calcula A C iB.

Solución. Observa que por ser jj < 1 las dos series son absolutamente convergentes. Tenemos que: A C iB D D

1 X

nD0

1
X
n n cos.n#/ C i sen.n#/ D  ei# D nD0

1 D  ei#

1

1  e i# 1  cos #  sen # D Ci : 2 2 1C 2 cos # 1C 2 cos # 1 C 2 2 cos #

Deducimos que: AD

1 X

1  cos # ;  cos.n#/ D 1 C 2 2 cos # n

nD0

9.7. Cálculo elemental de

r C1 sen x 0

x

BD

1 X

nD0

n sen.n#/ D

dx y de

 sen # : 1 C 2 2 cos #

P1

1 nD1 n2

Necesitaremos el siguiente resultado que es un caso muy particular del llamado lema de Riemann – Lebesgue. Probaremos que si f es una función con derivada continua en Œa; b entonces se verifica que: lKım

t !C1

wb a

f .x/ sen.tx/ dx D lKım

t !C1

wb a

f .x/ cos.tx/ dx D 0

(9.20)

En las hipótesis hechas, la prueba es inmediata porque basta integrar por partes: ˇxDb wb wb ˇ 1 1 0 f 0 .x/ cos.tx/ dx f .x/ sen.tx/ dxDŒu.x/Df .x/; v .x/Dsen.tx/D f .x/ cos.tx/ˇˇ C t t xDa a a

Como jcos.u/j 6 1 cualquiera sea u 2 R se sigue que: ˇ ˇ ˇwb ˇ wb ˇ ˇ
ˇ f .x/ sen.tx/ dx ˇ 6 1 jf .a/j C jf .b/j C 1 jf 0 .x/j dx D K ˇ ˇ t t a t ˇa ˇ Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Cálculo elemental de

r C1 0

sen x x

dx y de

P1

1 nD1 n2

579

rb donde K D jf .a/j C jf .b/j C a jf 0 .x/j dx es una constante. De esta desigualdad se sigue que wb wb lKım f .x/ sen.tx/ dx D 0. Análogamente se prueba que lKım f .x/ cos.tx/ dx D 0. t !C1

t !C1

a

a

Haciendo ahora en la igualdad 2 sen x cos y D sen.x C y/ sen.y x/ y D 2kx se obtiene:

2 sen x cos.2kx/ D sen .2k C 1/x sen .2k 1/x :

Sumando estas igualdades desde k D 1 hasta k D n resulta: n X

2 sen x

kD1

cos.2kx/ D sen .2n C 1/x




sen x

de donde, dividiendo por sen x ¤ 0, se sigue que:
n X sen .2n C 1/x D2 cos.2kx/ C 1: sen x

(9.21)

kD1

Deducimos que: 

w2 sen .2n C 1/x
 dx D sen x 2 0

1 1 para x ¤ 0 y f .0/ D 0 tiene x sen x derivada continua en Œ0; =2, podemos usar el resultado probado al principio para deducir que: Como la función f W Œ0; =2 ! R dada por f .x/ D 

lKım

n!1

w2  1

1 sen x

x

0




sen .2n C 1/x dx D 0:

Y, teniendo en cuenta la igualdad antes obtenida, concluimos que 

w2 sen .2n C 1/x
 dx D : lKım n!1 x 2 0

Y, haciendo un sencillo cambio de variable obtenemos que: 

w2 sen .2n C 1/x
dx D Œ.2n C 1/x D u D x 0

.2nC1/ 2

w 0

 sen u du D : u 2

r C1sen x

dx es convergente como hemos visto en el ejerciwt sen x cio resuelto 193, es decir, existe el límite lKım dx . Por tanto, por la conocida caract !C1 x 0 terización de los límites funcionales, para toda sucesión fan g ! C1 se tiene que:

Por otra parte la integral impropia

C1 w 0

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0

x

a

wn sen x sen x dx D lKım dx : n!1 x x 0

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Cálculo elemental de

r C1 0

sen x x

dx y de

P1

1 nD1 n2

580

Haciendo an D .2n C 1/ 2 concluimos que: C1 w 0

sen x dx D lKım n!1 x

Calcularemos ahora la suma de la serie

.2nC1/ 2

w 0

 sen u du D : u 2

X 1 . Sustituyamos en la igualdad 9.21 x por n2

n>1

x=2 para obtener:


n X sen .2n C 1/ x2 D2 cos.kx/ C 1: sen.x=2/ kD1

Multiplicando esta igualdad por x.x w 0

x.x

2/ y teniendo en cuenta que: 2/ cos.kx/ dx D

2 k2

como se comprueba fácilmente integrando por partes dos veces, obtenemos: n w x.x 2/ w X x
1 sen .2n C 1/ dx D 4 C x.x sen.x=2/ 2 k2 kD1

0

0

n X 1 2/ dx D 4 k2 kD1

2 3 : 3

2/ para x ¤ 0, f .0/ D 4 tiene Como la función f W Œ0;  ! R dada por f .x/ D x.x sen.x=2/ derivada continua en Œ0; , podemos aplicar el resultado visto al principio de esta sección para deducir que: w x.x 2/ x
sen .2n C 1/ dx D 0: lKım n!1 sen.x=2/ 2 0

Lo que, teniendo en cuenta la igualdad anterior, implica que: 1 X 1 2 D : 6 n2

nD1

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