Matemáticas

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Sesión No. 2 Nombre: Polinomios y expresiones racionales

Contextualización Los polinomios son expresiones algebraicas que son las de mayor uso y aplicación en cualquiera de las áreas de las matemáticas, tal es el caso del cálculo diferencial e integral. En esta sesión aprenderemos a identificar y clasificar los polinomios y sus tipos de factorizaciones, también trabajaremos con las expresiones racionales las cuales representan a dos polinomios que se están dividiendo para aprender a simplificarlas. Una de las características principales de los polinomios y de toda expresión algebraica es su grado exponencial, es por esta razón que aprenderemos a identificar y trabajar expresiones algebraicas con Exponentes enteros y calcularemos sus raíces reales.

Extraído de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/polynomial.gif solo para fines educativos.

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Introducción al Tema En matemáticas existen muchas expresiones algebraicas pero las mayormente utilizadas son los polinomios. Los polinomios se forman de n términos, donde cada termino se compone de un coeficiente (número), una variable (letra) y un exponente. Con estas expresiones algebraicas podemos realizar cualquier operación aritmética que necesitemos, así como también podemos factorizar o simplificar con la ayuda de las leyes de los exponentes.

Extraído de: http://2.bp.blogspot.com/-F0wyVZrArRE/TZjBYo8LQmI/AAAAAAAAAAg/gXT5zQUUJZ8/s1600/POLINOMIOS%25286%2529+-+operaciones.jpg solo para fines educativos.

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Explicación Polinomios y factorización Un polinomio es una expresión que se forma con constantes, variables y exponentes, que están combinados a través de las operaciones aritméticas de sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones. Los exponentes solo pueden ser números enteros positivos incluido el 0. No puede tener un número infinito de términos. La siguiente imagen nos ilustra un ejemplo de una expresión polinomial:

Extraído de: http://laprofematematica.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/elemento_polinomio-2.jpg solo para fines educativos.

Las operaciones que se pueden realizar con los polinomios son las mismas operaciones aritméticas que conocemos tales como las suma, resta, multiplicación y división y cada una de ellas se resuelven bajo ciertas características. Suma y resta de polinomios. Realiza la suma de 3x3 – 2x2 + x -5 y 4x3+5x2+8x-12 Primeramente acomodamos nuestros polinomios en suma:

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MATEMÁTICAS. (3x3 – 2x2 + x -5) + (4x3+5x2+8x-12) Eliminando los paréntesis las expresiones nos quedan: 3x3 – 2x2 + x -5+4x3 + 5x2 + 8x - 12 Y ahora juntamos términos semejantes para realizar la operación que entre ellos existe: (3+4)x3 +(-2+5)x2 + (1+8)x +(-5-12) 7x3 + 3x2 + 9x -17

éste es el resultado de la suma de polinomios

Ahora sí utilizamos estos mismos polinomios para restar la solución será: (3x3 – 2x2 + x -5) – (4x3+5x2+8x-12) El signo menos si afecta a todos los términos que están después de él, así que se deberá de afectar este polinomio cambiando cada uno de sus signos en cada término: 3x3 – 2x2 + x -5 - 4x3- 5x2 - 8x+12 Y ahora al juntar términos semejantes nos quedará: (3-4)x3 +(– 2-5)x2 + (1-8)x +(-5+12) -x3 -7x2 -8x+7 éste será nuestro resultado. Multiplicación de polinomios: Realizaremos la multiplicación de los siguientes polinomios: (x+4)(x2+4x+4) para resolver la multiplicación se deberá multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio: x(x2) = x3 exponentes

cuando tenemos términos semejantes multiplicándose se suman los

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MATEMÁTICAS. x(4x)= 4x2 x(4)= 4x y ahora el segundo término por cada t´rrmino del segundo polinomio 4(x2)= 4x2 4(4x)=16x 4(4)= 16 Ahora juntamos términos semejantes: 4x2 + 4x2 = 8x2 4x + 16x = 20x Solamente acomodamos los términos con el mayor grado iniciando la expresión: 8x2 + 20x +16 Para factorizar polinomios hay varios métodos: 1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Ejemplo: factoriza 3x2+x, se tiene de factor común “x” por lo tanto: x(3x+1) es la factorización.

2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia. Se basa en la siguiente fórmula: Ejemplo: factoriza 4x2 – 25, esta expresión nos muestra que sus dos términos son cuadráticos y entre ellos hay una resta (diferencia), lo cual caracteriza a este tipo de factorización por lo tanto: (2x + 5)(2x – 5) son los factores de nuestra expresión.

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3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio. Se basa en las siguientes fórmulas: y 2

Ejemplo: factorice x – 6x +9, para solucionar este trinomio primero debemos de comprobar que su primer y tercer término tengas raíces cuadradas.

x =x

9 = 3 por lo tanto si es un trinomio

2

y

cuadrado perfecto ahora sólo se acomodan los términos como nos muestra la fórmula: (x – 3)2 Expresiones racionales.

Las expresiones racionales nos representan la división de dos polinomios:

P( x) Q( x)

Con las expresiones racionales podemos simplificar a través de factores los polinomios hasta reducir la expresión a su más mínima forma.

x − 6x + 9 x−3 2

Por ejemplo: Simplifica

x − 6 x + 9 ( x − 3) ( x − 3)( x − 3) = = = x−3 x−3 x−3 x−3 2

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Aquí

como

tenemos

dos

términos iguales al de abajo se elimina uno con el de abajo así que ésta es la expresión que nos queda de la simplificación. Exponentes enteros y raíces reales Los exponentes enteros positivos representan la abreviatura del producto de n factores (xn) a la letra n se le llama exponente y a la “x” se le llama base. Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x. Por ejemplo 32 = 9 y así 3 es la raíz segunda (por lo general llamada raíz cuadrada)

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MATEMÁTICAS. de 9. Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real, por ejemplo los números negativos (-4,-9-16) no tienen raíces reales. La raíz n-ésima principal de x la denotamos como

n

x

Existen algunas leyes de los exponentes que nos ayudan a dar solución a las operaciones con polinomios. Tabla de algunas leyes de los exponentes:

Ejemplos del uso de las leyes de los exponentes: Simplifique: 1. x6x9 = x6+9 = x15 2. w4w8 = w4+8=w12

x2 x6 x8 3. = y 7 y 10 y 17

(x ) (y )

2 5

4.

5 2

x 2 x 5 x10 = 5 x 2 = 10 y y

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Conclusión Los polinomios son las expresiones algebraicas mayormente utilizadas, se manejan como ecuaciones y como funciones para el cálculo diferencial e integral, con estas expresiones podemos realizar cualquier operación aritmética que necesitemos y también podemos factorizarlas para reducir una forma de expresión de tipo polinomial. Las leyes de los exponentes se trabajan siempre que se esté realizando algún proceso u operación con un polinomio. En la siguiente sesión estudiaremos las Ecuaciones cuadráticas otra forma de manejar los polinomios.

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg/250pxEcuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg.png solo para fines educativos.

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Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Videos que ayudan a entender más claramente los polinomios y su factorización: •

Math2me. Conceptos importantes de los polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=K7YOYztqaWY

•

Tareas plus. Suma y resta de polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=TiBL2zfO310

Video de simplificación de expresiones racionales y uso de la factorización: •

AcademiaVazquez. Simplificación de fracciones algebraicas (expresiones racionales).

Recuperado

el

día

07

de

abril

del

2014: https://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY Video de las leyes de los exponentes: •

Math2me. Leyes de los exponentes. Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=6jNWN-o0__Y

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje Con lo aprendido en esta sesión acerca de los polinomios, su factorización resuelve: I.- Factorice: a) 9y2 – 3y b) x2 + 3x -4 c) 16t2 – 25s2 II.- Simplifique y exprese todas las respuestas en términos de exponentes positivos. a) X5 X-4 b) (x15)2 𝑤 2 𝑠3

c) �

𝑦

3

�

3 -4 5

d) 4x y x

Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la plataforma.

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Bibliografía Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.

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