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2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Tales como,
2X2 – 3X + 4
aX + b
Se obtienen a partir de variables como X, Y y Z, constantes como -2, 3, a, b, c, d y cobinadas utilizando la suma, resta, multiplicación, división y la exponenciación racional. Una variable es una letra que puede representar cualquier nuero en un conjunto dado de números, mientras que una constante representa un numero fijo (o especifico). Los tipos mas simples de expresiones algebraicas solo utilizan la suma, la resta y la multiplicación. Estas expresiones algebraicas se conocen como polinomios. Su forma general es:
donde, , , son constantes. El grado de un polinomio es la potencia mas alta de la variable. Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma aXk, llamados monomios, donde a es una constante y k un numero entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios y asi sucesivamente. Ejemplo: aX + b
Trinomio, grado 2 Binomio, grado 1
Binomio, grado 4
2.1 Suma y resta de polinomios. a)
b)
2.2 Producto de polinomios ! " # " # ! " # " # "! !#
a) (2X + 1) (3X – 5) = $ = % b) 3(X - 1) (4X + 3) = 3 = 3 = & c) = =
d) √ √ √ √ √. √ = / / e) (1+√) (2 - 3√) = 2 - 3√ + 2√ - 3(√)2 = 2 - √ – 3X
f)
* * * * * * * * = * * * * * = * *
2.3 División de polinomios Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. Se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer termino del cociente. Este término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. Se divide el primer termino del resto entre el primer termino del divisor y tendremos el segundo termino del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se
resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer termino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. + + , + + - 4x - 8 4x + 8 a) Dividir
$
!
!
+ 3x – 4 Rta.
! ! entre
! $ ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ ! ! , ! $ ! ! , ! $ ! !
!
! ! ! ,! Rta.
!
b) -./.0.1 + + 2 +, 2 + 2 $ 34513 +, + 2 + 2 + 2 Al ordenar el dividendo tenemos + +, 2 + 2 + 2 $ . Podemos observar que faltan los términos en + $ 2 y en + 2, , dejaremos pues un espacio entre + y +, 2 para el termino + $ 2 y otro espacio entre + 2 y + 2 $ para termino en + 2, y tendremos. + +, 2 + 2 + 2 $ $ , + + 2 + 2 + 2 + $ 2 + 2 + $ 2 +, 2 + 2 + 2, +, 2 + 2 + 2, + 2 $ +, 2 + 2 + 2, + 2 $ 2.4 FACTORIZACION 2.4.1 CASO 1: FACTOR COMUN a)
= a(a + 2)
b) $! $ ! $! ! c) $
=
$
2.4.2 CASO 2: FACTOR COMUN POR AGRUPACION
+, + 2 + 2 + 2 + + 2 2 Rta.
a) Descomponer aX + bX + aY + bY aX + bX + aY + bY = (aX + bX) + (aY + bY) = X(a + b) + Y(a + b) = (a + b)(X + Y) b) Factorar 38 68: 48 8:
38 68: 48 8: 38 68: 48 8: = 38 8 2: 4 8 2: = > ? >
2.4.3 CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales. Así, 2 @ @ es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de @. En efecto: @ @ @ 2 @ @
Del propio modo, 2A 3B 4A 12AB 9B luego 4A 12AB 9B es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer termino son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas. Así, 4 @ 4@ es cuadrado perfecto porque: Raíz cuadrada de ………………………… a
Raíz cuadrada de 4@ ………………………2b
Doble producto de estas raíces: 2 x a x 2b = 4ab, segundo termino La forma de factorar un trinomio cuadrado perfecto, es extraer la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo termino. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.
a) Factorar > >
> > > > > >
b) Descomponer + 2 $+2 Ordenando el trinomio, tenemos: + $+2 2 = + E + 2 + 2
+
2
2.4.4 CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. a) Factorar
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:
es a. multiplicando la suma de estas
b) Descomponer + 2
+ 2 = + 2 + 2 c) Factorar &+ 2 F $ &+ 2 F $
d) Descomponer
%+2 F
La raíz cuadrada de
%+2 F
!
&
es
y la raíz cuadrada de
! ! ! G HG H &
! &
es
!
. Tendremos:
e) Descomponer + + 2
Raiz cuadrada de + +
Raíz cuadrada de + 2 + 2
Multiplico la suma de estas raíces 2A + 2 por la diferencia 2A + 2 y tenemos:
+ + 2 I2A + 2 J I2A + 2 J + + 2 + + 2 + 2 + 2
f)
Factorar + +
+ + I + + JI + + J + + + + +
2.4.5 CASO 5: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Ejemplos: 1. Factorar + + 2 2
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de + es + ; la raíz cuadrada de 2 es 2 ; y el doble producto de estas raíces es 2+ 2 ; luego, este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el 2º termino + 2 se convierta en 2+ 2 , lo cual se consigue sumándole + 2 , pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma cantidad que se suma, + 2 , y tendremos: + + 2 2 + 2
+ 2
+ + 2 2 + 2 = + + 2 2 + 2
(Factorando el trinomio cuadrado perfecto) = + 2 + 2
(Factorando la diferencia de cuadrados) = + 2 +2 + 2 +2 (Ordenando) = + +2 2 + +2 2
2. Descomponer
,
! &!
La raíz cuadrada de es 2 ; la raíz cuadrada de &! es 3! y el doble del producto de estas raíces es ! ; luego, este trinomio no es cuadrado perfecto porque su 2º termino es , ! y para que se cuadrado perfecto debe ser ! . Para que , ! se convierta en restamos ! y tendremos:
,
! &!
! le sumamos
! y para que el trinomio no varié le
!
!
! &!
!
(Factorando el trinomio cuadrado perfecto) =
(Factorando la diferencia de cuadrados) = (Ordenando) =
3. factorar
! !
! &!
!
!
!
! !
! !
! !
!
La raíz cuadrada de es ; la de ! es ! . Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta que su segundo termino sea ! . Entonces, igual que en los casos anteriores, a la expresión ! le sumamos y restamos ! y tendremos:
!
!
! !
!
!
=
=
=
! !
!
!
! !
! !
2.4.6 CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA + !+ "
!
! !
! !
Trinomios de la forma + !+ " son trinomios como: + +
> >
Que cumplen las condiciones siguientes: El coeficiente del primer termino es 1. El primer termino es una letra cualquiera elevada al cuadrado
2 ,2
El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el 1º y 2º términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. Ejemplos: 1. Factorar + + .
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raíz cuadrada de A o sea x: + + K I +
+
J
En el primer binomio después de x se pone signo + porque el segundo termino de trinomio es +5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de + 6 y se tiene que + por + da + o sea: + + K I +
+
J
Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego: + + I + + J
2. Factorar + %+ Tenemos:
+ %+ K I +
+
J
En el primer binomio se pone – porque – %+ tiene signo -. En el segundo binomio se pone – porque multiplicando el signo de – %+ por el signo de se tiene que: - por + da -.
Ahora, como en los binomios teneos signos iguales buscaos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Estos números son 3 y 4, luego: + %+ + +
3. Factorar + +
Tenemos: + %+
+
+
Ahora como en los binomios tenemos signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 12. Estos números son 7 y 2. El mayor 7, se escribe en el primer binomio y se tendrá: + %+ + % +
El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomios que siendo de la forma A @A M difieren algo de los estudiados anteriormente. 4. Factorar + + $
El primer termino de cada factor binomio será la raíz cuadrada de + o sea + . + + $ + +
Buscamos dos números cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 50. Estos números son 10 y 5. Tendremos: + + $ + $+
2.4.7 CASO 7: TRINOMIO DE LA FORMA + !+ "
Son trinomios de esta forma: 2A 11A 5, 3 7 6, 10: : 2, 78 238 6 Ejemplos: 1. Factorar + %+
Multipliquemos por el coeficiente de + que es 6 y dejando indicando el producto por 7x se tiene: 36A 6 7A 18
Pero 36A 6A y 6(7x) = 7(6x) luego podemos escribir: 6A 7 6A 18
Descomponiendo este trinomio, 1er termino de cada factor será la raíz cuadrada de 6A o sea 6x = (6x - )(6x+ ). Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18, son 9 y 2. Tendremos: (6x – 9)(6x + 2). Como al principio multiplicaos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir por 6, para no alterar el trinomio, y tendremos:
RST RS R
pero como ninguno de los binomios es
divisible por 6, descomponemos 6 en 2 x 3 y dividiendo (6x - 9) en 3 y (6x + 2) entre 2 se tendrá: + & + + +
Luego:
+ %+ + +
2. Factorar $+ %+
Multiplicando el trinomio por 20, tendremos: 20A 7 20A 120
Descomponiendo este trinomio tenemos: 20A 15 20A 8 .
Para cancelar la multiplicación por 20, tenemos que dividir por 20, pero como ninguno de los binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en 5 x 4 y dividiendo el factor 20A 15 entre 5 y 20A 8 entre 4 tenemos: $+ $+ , + +
Luego
$+ %+ + +
2.4.8
CASO 8: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
@ U U 3 @ 3 @ @ @ U U 3 @ 3 @ @ Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones: 1. Tener cuatro términos 2. Que el primero y el ultimo termino sean cubos perfectos. 3. Que el 2º termino sea mas o menos el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer termino multiplicado por la raíz cubica del ultimo termino. 4. Que el 3er. Termino sea mas el triplo de la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo. Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cubicas de su primero y ultimo termino, y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces. Ejemplos: 1) Hallar si ,+ + + es el cubo de un binomio. Veamos si cumple las condiciones expuestas antes:
La expresión tiene cuatro términos. La raíz cubica de ,+ + la raíz cubica de 1 es 1 3 2A 1 12A , VWXY:Z[ \W]8^:[ 3 2A 1 6A, \W]MW] \W]8^:[
Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de 2A 1 , o de otro modo, 2A 1 es la raíz cubica de la expresión. ,+ + + +
2.4.9 CASO 9: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Sabemos que:
_` a` _a
@ @ y
_` a` _a
@ @
Y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:
! ! ! !
! ! ! !
La formula (1) nos dice que: REGLA 1: la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º la suma de sus raíces cubicas, 2º el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. La formula (2) nos dice que: REGLA 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1º la diferencia de sus raíces cubicas. 2º el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplos: 1) Factorar
La raíz cubica de es X, la raíz cubica de 1 es 1. Según la regla 1: 2) Factorar
La raíz cubica de
,
,
, la de 8 es 2, según la regla 2:
2.4.10 CASO 10: SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES I. II.
?
!? bc #dedcd!fb ghi ! cdb?#h ? g i h d>g i.
?
!? bc #dedcd!fb ghi ! cdb?#h ? d>g i.
III.
?
IV.
?
!? bc #dedcd!fb ghi ! cdb?#h ? g i. !? ?j?" bc #dedcd!fb ghi ! .
Ejemplos: 1) Factorar > ?
Dividiendo entre > ? los signos del cociente son alternativamente + y -. > ? > > ? > ? >? ? >?
2.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCION ALGEBRAICA es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. Así,
_ a
es una
fracción algebraica porque es el cociente indicado la expresión a (dividiendo) entre la expresión b (divisor). La expresión algebraica entera es la que no tiene denominador literal. Así, a, X + Y, m – n,
U
@ son expresiones enteras. Una expresión entera puede considerarse como una
fracción de denominador 1. Así,
_ ;
l
m
La expresión algebraica mixta es la que consta de parte entera y parte fraccionaria. Así,
a
B A
U S _
son expresiones mixtas.
2.5.1 SUMA Y RESTA DE FRACIONES ALGEBRAICAS La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra función cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el mismo de las fracciones dadas. Ejemplos:
1)
+
+
+
+ +
Para sumar fracciones algebraicas con distinto denominador se reducen a común denominador y se procede igual en el caso anterior. A2 3A A2 3A A 1 A 1 A 1 A 1 A1
A2 3A A 1 A 1 A 1 A 1 A 1
A 2 I3A A 1 J A 2 I3A 3AJ + + A 1 A 1 A 1 A 1 + +
+ + +
2) Simplificar
Hallamos el común denominador, factorizando los denominadores, tenemos: 3A 3 3 A 1 2A 2 2 A 1
A 1 A 1 A 1 El común denominador es: 6(x+1)(x-1) Dividiendo el denominador común entre cada denominador, o lo que es lo mismo, entre la descomposición de cada denominador, y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tendremos: + + + + + + + + + + % + + + +
_
_
_R
3) Simplificar _ n _ _R _ o_R Hallamos el denominador común:
4 2 2
6 3 2
5 6 3 2
Común denominador es: 2 2 3
Dividiendo el denominador común 2 2 3 entre la descomposición de cada denominador, y multiplicando los cocientes por cada numerador respectivos, tendremos: 1 3 2 2 6
1
2
6 2 2 3
4 6 5 6
4 3 4 4 8 12 2 2 3
&
4) De
!
ibcE i
! !
El denominador común es !. Dividiendo cociente por el numerador respectivo, tenemos:
! entre cada termino y multiplicando cada
2@ 4 @ 3 2 @ 2@ ! 3 6 @ 6 @ !
2.5.3 PRODUCTO Y POTENCIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS El producto de fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y denominador es el producto de los denominadores. Ejemplos: A 2 A 3A A 2 A 3A . A 3 A 4 A 3 A 4
A 2 A A 3 + A 3 A 2 A 2 +
La potencia de una fracción es la fracción que se obtiene al multiplicar por si misma la fracción dad tantas veces como indica el exponente.
2.5.4 COCIENTE O DIVISION DE FRACCIONES Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por la inversa de la segunda, o bien, se multiplican los términos en cruz. Ejemplo: + & + + & + + & + p + & + + +
+ + + + + + +
2.5.5 SIMPLIFICACION DE UNA FRACCION COMPUESTA Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador y denominador de la fracción compleja. Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el resultado que se obtenga en el denominador. Ejemplo:
1)
Simplificar
+ 2 + 2
AB A 1 B B A AB 1B A
2)
qr
r
AB A + + 2 . B AB 2 + 2
s
s 1 r
s . r s
s s
2 s s 1 2 s s 1 . .
s s
s s
2 s s s 2 s s s s s
r r
3)
+ / + + t / +
Solución 1: + / + + / + / + + . + + / + / + /
Solución 2: factorizando
+ + + +
+ +
+
+
+
u
+
+ + v
+ /
2.5.6 RACIONALIZACION DEL NUMERADOR Ejemplo 1:
√
√
√ √
√
√
.
√
√ √
Ejemplo 2: √ r √ r √ r . r r √ r
√ r
r √ r r
r √ r
r
r √ r
√ r