Cap´ıtulo 6

Integrales impropias A menudo resulta u ´til poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En este cap´ıtulo desarrollaremos brevemente una teor´ıa adecuada para tratar tales tipos de integrales, que reciben el nombre de integrales impropias, y que conducen a problemas de convergencia similares a los de las series infinitas. De hecho, la convergencia de integrales impropias de funciones de una variable equivale a la convergencia de las series asociadas a estas integrales; ´este es el criterio de la integral. Bastar´a con desarrollar la teor´ıa de integrales impropias para funciones no negativas; una vez establecida para tales funciones la extenderemos f´acilmente a funciones f : A −→ R con valores reales teniendo en cuenta que f = m´ax{f, 0} + m´ın{f, 0}. Se suele denotar f + = m´ax{f, 0}, parte positiva de f , y f − = − m´ın{f, 0} = m´ax{−f, 0}, parte negativa de f , de modo que f = f + − f − , y |f | = f + + f − . De este modo resultar´ R a que Rf es+integrable R + − impropia si y s´olo si f y f lo son, y en este caso A f = A f − A f − . Tambi´en se tendr´a que f es integrable impropia si y s´olo si |f | lo es, es decir, si y s´olo si f es absolutamente integrable. Estudiaremos primero las integrales de funciones positivas y no acotadas definidas sobre recintos que s´ı son acotados. Definici´ on 6.1 Sean A un subconjunto con volumen de Rn , y f : A −→ [0, ∞) una funci´on, posiblemente no acotada. Para cada M > 0 consideremos la funci´on fM : A −→ [0, ∞) definida por fM (x) = m´ın{f (x), M }. Obs´ervese que todas las fM son acotadas en A. Supongamos que cada fM es propiamente integrable sobreRA. N´otese que, si N ≥ M entoncesR 0 ≤ fM ≤ fN ≤ f R y por tanto A fM ≤ A fN , es decir, la funci´on M 7→ A fM es creciente. 51

CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS

52 Entonces definimos

Z

Z f = l´ım

M →∞ A

A

fM

si este l´ımite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia) sobre A. Debe observarse que si f es integrable en A entonces todas las funciones fM = m´ın{f, M } son tambi´en integrables sobre A (ver ejercicio 4.4), y de hecho fM = f para todo M suficientemente grande, de modo que esta definici´on es ciertamente una extensi´on de la definici´on de funci´on integrable. A veces es muy u ´til tener en cuenta el siguiente hecho (llamado criterio de comparaci´ on de integrales): Proposici´ on 6.2 Sean A un subconjunto con volumen de Rn , y f, g : A −→ [0, ∞) dos funciones (posiblemente no acotadas). Supongamos que cada fM es integrable en A, que f ≤ g, y que g es integrable sobre A. Entonces f es tambi´en integrable sobre A, y Z Z f≤ g. A

A

La prueba de esta R proposici´on es trivial teniendo en cuenta que la funci´on M 7→ F (M ) = A fM es mon´otona creciente y que, para una tal funci´on F , existe el l´ımite l´ımM →∞ F (M ) si y s´olo si F est´a acotada superiormente. El siguiente teorema caracteriza la integrabilidad de una funci´on f en un conjunto A mediante la convergencia de las integrales de esa funci´on sobre una sucesi´on de conjuntos compactos Kj que aproximan el conjunto A. Este criterio ser´a particularmente u ´til cuando A sea un abierto de Rn y f : A −→ [0, ∞) sea continua, de modo que f ser´a propiamente integrable sobre cada subconjunto compacto y con volumen de A. Adem´as, este criterio se utilizar´a para establecer la versi´on m´as general del teorema del cambio de variables, que estudiaremos en el siguiente cap´ıtulo. Teorema 6.3 Sea A un conjunto con volumen, y sea f : A −→ [0, ∞) una funci´ on, posiblemente no acotada. Sea (Kj ) una sucesi´ on de subconjuntos compactos y con volumen de A tales que K ⊆ K para todo j, y A = j j+1 S∞ sobre A si y s´ olo si f es integrable sobre j=1 Kj . Entonces, f es integrable R cada Kj y el l´ımite l´ımj→∞ Kj f es finito. Adem´ as, en este caso, Z

Z f = l´ım

A

j→∞ K j

f.

53 En particular, para f = 1, se tiene que v(A) = l´ım v(Kj ). j→∞

Demostraci´ on: En primer lugar probaremos el resultado en el caso particular en que f = 1. Es decir, veremos que para toda sucesi´on (Kj ) de subconjuntos compactos y con volumen de A tales que Kj ⊆ Kj+1 para todo j y A = S∞ j=1 Kj , es v(A) = l´ım v(Kj ). j→∞

A tal fin, para cada B ⊆ Rn definamos ∞ X λ(B) = ´ınf{ v(Si ) | (Si ) recubrimiento de B por rect´angulos abiertos}. i=1

No es dif´ıcil comprobar (ver ejercicios 3.23 y 3.24) que si B tiene volumen entonces λ(B) = v(B), y que, si (Bi ) es S una sucesi´on de conjuntos con volumen que son disjuntos dos a dos y B = ∞ i=1 Bi tiene volumen, entonces v(B) =

∞ X

v(Bi ).

i=1

Ahora, si (Kj ) es una sucesi´on de subconjuntos S∞compactos y con volumen de A tales que Kj ⊆ Kj+1 para todo j, y A = j=1 Kj , definamos B1 = K1 , B2 = K2 \ K1 , y en general, para j ≥ 2, Bj = Kj \ Kj−1 . Es claro que (Bj ) esSuna sucesi´on de conjuntos con volumen que son disjuntos dos a dos yA= ∞ i=1 Bi . Entonces, por el ejercicio 3.24, se tiene que v(A) =

∞ X

v(Bi ).

(3)

i=1

S Pero, como para cada N ∈ N es KN = N i=1 Bj , y los Bj son disjuntos dos a dos, tenemos que N X v(KN ) = v(Bi ). (4) i=1

Entonces, combinando (3) y (4), obtenemos lo que queremos: v(A) = l´ım v(KN ). N →∞

CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS

54

Ahora ya podemos probar el resultado en su forma m´as general. Fijemos una sucesi´on (Kj ) de subconjuntos S compactos y con volumen de A tales que Kj ⊆ Kj+1 para todo j y A = ∞ j=1 Kj . Supongamos primero que f es integrable (impropia) sobre A. Como cada Kj tiene volumen y las funciones fM son todas integrables, entonces las fM 1Kj son integrables. Como adem´as es f 1Kj ≤ f 1A , y f 1A es integrable por hip´otesis, el criterio de comparaci´ R Ron nos dice que f 1Kj es integrable, es decir, f es integrable en Kj , y Kj f ≤ A f , para todo j. Adem´as, como la sucesi´on R R ( Kj f )∞ otona creciente y acotada, existe el l´ımite l´ımj→∞ Kj f . j=1 es mon´ Rec´ıprocamente, supongamos que cada f es integrable sobre Kj y que R existe el l´ımite l´ımj→∞ Kj f = L. Para cada M > 0 y cada j ∈ N, la funci´on fM 1Kj es integrable por hip´otesis, luego su conjunto S de puntos de discontinuidad D(fM 1Kj ) tiene medida cero. Como A = ∞ i=1 Kj , es claro que el conjunto de los puntos de discontinuidad de fM 1A satisface D(fM 1A ) ⊆

∞ [

∞  [  D(fM 1Kj ) ∪ ∂Kj ∪ ∂A,

i=1

i=1

y entonces D(fM 1A ) tiene medida cero (por estar contenido en una uni´on numerable de conjuntos de medida cero), lo que significa que cada fM es propiamente integrable en A. VeamosR que f es integrable sobre A; esto equivale a probar que la funci´on M 7→ A fM est´a acotada. Fijado un M > 0 arbitrario, por un lado tenemos que Z Z fM ≤ f ≤ L. (5) Kj

Kj

Por otra parte, como v(A) = l´ımj→∞ v(Kj ), dado ε > 0, existe j tal que v(A \ Kj ) = v(A) − v(Kj ) ≤

ε , M

y por tanto Z

Z fM −

A

de donde

Z fM ≤ M v(A \ Kj ) ≤ ε,

fM = Kj

A\Kj

Z

Z fM − ε ≤

A

fM .

(6)

Kj

Combinando (5) y (6) tenemos que Z fM − ε ≤ L. A

(7)

55 Ahora, haciendo tender ε a cero en (7), obtenemos que Z fM ≤ L,

(8)

A

R y esto vale para todo M > 0. R Por tanto, la funci´on M 7→ A fM est´a acotada, f es integrable sobre A, y A f ≤ L. Adem´as, como para todo j es Z Z f≤ f ≤ L, Kj

y L = l´ımj→∞

R Kj

A

f , se deduce que Z

f = L. 2

A

Ejemplo 6.4 Sea A = [0, 1]×[0, 1]. Usar el teorema anterior para demostrar −1/2 es integrable impropia sobre A, y calcular que R la funci´on f (x, y) = (xy) A f. Ahora pasamos a estudiar el caso de una funci´on f ≥ 0, posiblemente no acotada, definida en un subconjunto A no acotado de Rn . Para cada r > 0, denotemos por Cr = [−r, r] × ... × [−r, r] el cubo de centro el origen y lados de longitud 2r; n´otese que Cr = B∞ (0, r), donde B∞ (0, r) es la bola de centro 0 y radio r para la norma del supremo, kxk∞ = supi |xi |. Definici´ on 6.5 Sean A un subconjunto no acotado de Rn , y f : A −→ [0, ∞) una funci´on que es integrable (quiz´as impropia) en cada cubo Cr de radio r > 0. Diremos que f es integrable (impropia) sobre A si existe el l´ımite Z Z l´ım f = l´ım f, r→∞ C r

y en este caso se define

R

Af

r→∞ A∩C r

como el valor de dicho l´ımite.

El siguiente resultado caracteriza la integrabilidad de una funci´on f mediante la convergencia de las integrales de f sobre sucesiones de conjuntos con volumen que sean cada vez m´ as grandes. Teorema 6.6 Sean A un subconjunto no acotado de Rn , y f : A −→ [0, ∞) una funci´ on que es integrable (quiz´ as impropia) en C ∩ A para todo cubo n C ⊆ R . Sea (Bk ) una sucesi´ on cualquiera de conjuntos acotados y con volumen tales que:

CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS

56

(i) Bk ⊆ Bk+1 para todo k, y (ii) para todo cubo C, existe k ∈ N tal que C ⊆ Bk . Entonces, f es integrable (impropia) sobre A si y s´ olo si l´ımk→∞ finito. Adem´ as, en este caso, Z Z f. f = l´ım

R A∩Bk

f es

k→∞ A∩Bk

A

Demostraci´ on: Supongamos primero que f es integrable. Para cualquier sucesi´on (Bk ) que satisfaga las condiciones del enunciado, si Ca ⊆ Bk ⊆ Cb , como f ≥ 0, se tiene que Z Z Z Z f≤ f≤ f≤ f. (1) Ca

Bk

Cb

A

R R Ahora, dado ε > 0, como l´ımr→∞ Cr f = A f , existe M > 0 tal que, si r ≥ M entonces Z Z f −ε≤ f. (2) A

Cr

Entonces, eligiendo a, b ≥ M y k0 ∈ N suficientemente grandes para que Ca ⊆ Bk0 ⊆ Cb , combinando (1) y (2), tenemos que Z Z Z Z f −ε≤ f≤ f≤ f A

Bk0

Bk

A

R R para todo k ≥ k0 . Esto prueba que existe l´ımk→∞ Bk = A f . R Rec´ıprocamente, supongamos que l´ımk→∞ Bk es finito para una sucesi´on (Bk ) con las propiedades del enunciado. Por (i), y puesto que f ≥R0, es R claro que la sucesi´on Bk f es mon´otona creciente. Sea α = l´ımk→∞ Bk f . R Claramente, Bk f ≤ α para todo k. Pero, por (ii), para cada r > 0 existe k tal que Cr ⊆ Bk , y por tanto Z Z f≤ f ≤ α. Cr

Bk

As´ı, la funci´on Z F (r) =

f Cr

es creciente y est´ R a acotada superiormente por α, y por consiguiente existe l´ımr→∞ F (r) = A f , es decir, f es integrable (impropia) sobre A. 2

57 Ejemplo 6.7 Calcular la integral R2 : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1}.

R

−(x2 +y 2 ) dxdy, A xye

donde A = {(x, y) ∈

En el caso de funciones de una variable, recordemos el criterio de la integral, que establece la equivalencia entre convergencia de integrales impropias y de series de n´ umeros reales. Teorema 6.8 Sea fR : [1, ∞) −→ [0, ∞) una funci´ on decreciente. Entonces P ∞ la integral impropia 1 f converge si y s´ olo si la serie ∞ f (n) converge. n=1 Igual que antes, es f´acil probar un criterio de comparaci´ on para esta definici´on m´as general de integral impropia: Proposici´ on 6.9 Sean A un subconjunto no acotado de Rn , y f, g : A −→ [0, ∞) dos funciones que son integrables (quiz´ as impropias) sobre cada cubo C ⊆ Rn . Supongamos que f ≤ g y que g es integrable (impropia) sobre A. Entonces f es tambi´en integrable (impropia) sobre A, y Z Z f≤ g. A

A

Por u ´ltimo, consideremos el caso m´as general posible de integral impropia: la de una funci´on f no acotada, definida sobre un subconjunto no acotado A de Rn , y que toma valores tanto positivos como negativos. Recordemos que la parte positiva de f es f + = m´ax{f, 0}, y que f − = − m´ın{f, 0} = m´ax{−f, 0} es la parte negativa de f ; es obvio que f = f + − f − , y |f | = f + + f − . Definici´ on 6.10 Sea A un subconjunto de Rn . Se dice que f : A −→ R es integrable (impropia) si las funciones f + y f − son ambas integrables R (impropias), y en este caso se define A f como Z Z Z + f= f − f −. A

A

A

N´otese que, como |f | = f + + f − , y f + ≤ |f | ≥ f − , esto equivale a pedir que |f | sea integrable. Por eso a veces tambi´en se dice que f es absolutamente integrable. Para terminar, observaremos que casi todas las propiedades de la integral estudiadas en el cap´ıtulo 4 se extienden sin dificultad al caso de integrales impropias. Por ejemplo, el teorema 4.1 sigue siendo cierto en el caso de funciones integrables impropias (se invita al lector a justificar esta afirmaci´on).

CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS

58

Sin embargo, hay otras propiedades de las funciones propiamente integrables que no se extienden al caso de integrales impropias; por ejemplo, el producto de funciones propiamente integrables es integrable, pero no es as´ı cuando se habla de integrales impropias (ver el ejercicio 6.24).

Problemas 6.11 Sea A = [0, 1]×[0, 1] ⊂ RR2 . Estudiar la integrabilidad de las siguientes funciones sobre A, calculando A f cuando sea posible. (a) f (x, y) =

√1 xy

(b) f (x, y) = √ (c) f (x, y) =

1 |x−y|

x+y x2 +2xy+y 2

6.12 Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia Z x dxdy, A y donde A es la regi´on del plano acotada por x = 1, x = y, x = 2y. 6.13 Sea A una regi´on no acotada del plano que puede describirse como A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x < ∞, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, donde ϕ, ψ : [a, ∞) −→ R son funciones continuas tales que ϕ ≤ ψ. Sea f una funci´on continua y no negativa sobre A. Utilizar el teorema de Fubini y los resultados de este cap´ıtulo para probar que Z

Z

∞ Z ψ(x)

f (x, y)dxdy = A

f (x, y)dydx. a

ϕ(x)

Formular enunciados an´alogos para otro tipo de regiones no acotadas del plano R2 y del espacio R3 . 6.14 Calcular la integral x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1}.

R

−(x2 +y 2 ) dxdy, A xye

donde A = {(x, y) ∈ R2 :

59 6.15 Usar el problema 6.13 para integrar e−xy de dos maneras sobre la regi´on x ≥ 0, 1 ≤ y ≤ 2. Concluir que Z ∞ −x e − e−2x dx = log 2. x 0 6.16 Probar que la integral

R

R2

e−x

2 −y 2

dxdy converge.

6.17 Sea A un abierto con volumen de Rn . Probar que existe una sucesi´on (Kj ) de conjuntos compactos con volumen tales que Kj ⊆ Kj+1 para todo S∞ on: los Kj pueden ser uniones finitas de cubos j, y A = j=1 Kj . Indicaci´ cada vez m´as peque˜ nos y m´as numerosos. A continuaci´on consideramos algunos ejemplos de integrales impropias de funciones de una variable que luego, en alianza con el criterio de comparaci´on, ser´an muy u ´tiles para decidir la convergencia o divergencia de integrales impropias de funciones de varias variables. De momento no hemos visto m´as que unos pocos ejemplos de integrales m´ ultiples impropias. La raz´on es que, para tratar estos ejemplos, adem´as de los teoremas 6.3 y 6.6 y del teorema de Fubini, se necesita (o cuando menos es extremadamente u ´til) el teorema del cambio de variables. En la secci´on de problemas del pr´oximo cap´ıtulo veremos m´as ejemplos de integrales impropias de funciones de varias variables. 6.18 Probar que

R∞ 1

xp dx converge si p < −1 y diverge si p ≥ −1.

6.19 Por el contrario, 6.20 Demostrar que converge si p < −1. 6.21 Sin embargo, 6.22 Probar que

0

0

R∞ 1

R1

R1

R1

0

xp dx converge si p > −1 y diverge si p ≤ −1.

xp e−x dx converge para todo p ∈ R, y

R1 0

xp e−x dx

xp e1/x dx diverge para todo p ∈ R.

log xdx converge, mientras que

R∞ 1

dx log x

diverge.

6.23 Reformular y demostrar el teorema 4.1 para el caso de integrales impropias. R1 R1 √ 6.24 Sean f (x) = g(x) = 1/ x. Probar que 0 f y 0 g convergen, y sin R1 embargo 0 f g diverge.

60

CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS

6.25 Sea f : [a, ∞) −→ R. Se dice que la integral impropia cionalmente convergente si existe el l´ımite Z l´ım

b→∞ a

b

Z

R∞ a

f es condi-

∞

f.

f= a

Si f ≥ 0, es obvio que esta integral existe si y s´olo f es absolutamente integrable, luego esta definici´on de integral impropia equivale a la dada m´as arriba en el caso de funciones positivas. Sin embargo, estas dos definiciones de integral impropia en no coinciden en general: si f (x) =

sen x x

R∞ entonces 1 f es condicionalmente convergente (puede integrarse por partes para ver esto), pero no absolutamente convergente (encu´entrese una serie diR∞ vergente de n´ umeros reales que minore a 1 |f |). Poner ejemplos de situaciones an´alogas en el caso de integrales de funciones no acotadas definidas sobre intervalos acotados. 6.26 Establecer por qu´e las siguientes integrales son impropias y determinar si son convergentes o divergentes. Calcular el valor de las que se pueda. Z 1 Z 2 Z 2 1 x √ (1) log x dx (2) dx (3) dx x log x x−1 0 1 1 Z 1 Z ∞ Z ∞ 1 √ dx (4) x log x dx (5) e−x dx (6) ex 0 0 0 Z ∞ Z ∞ Z 1 log x 1 1 √ dx (7) dx (8) dx (9) 2 x x(log x) 1 − x2 2 2 −1 Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 1 −x √ (10) e dx (11) dx (12) dx 2 x x(x + 4) −∞ 0 0 Z ∞ −x2 Z 1 Z ∞ e 1 sin x √ (13) dx (14) dx (15) dx. 1 + x2 x−1 1 0 x log x 0