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7) Prisma octagonal.

Al iniciar la clase, el profesor coloca las ligas del geospacio, ante todos los alumnos, o solicita que algunos de ellos lo hagan, mientras él los dirige. Ya formado el prisma octagonal, muestra el geospacio a todos y lo hace circular entre ellos, o aún mejor, dispone de varios geospacios y ligas y los reparte al grupo para que trabajen en equipos. Muestra el geospacio a los alumnos de forma que miren la base octagonal del prisma y pregunta si observan alguna característica especial del octágono. Si ningún alumno hace algún comentario, el profesor pregunta si están mirando los lados del octágono. ¿Son de igual medida un lado cualquiera y el lado contiguo? Algún alumno observará que los lados en diagonal son mayores que los lados verticales y horizontales. A continuación se pregunta; ¿Cuánto mide el lado más corto? Al lado corto lo llamaremos l1 Los alumnos observarán que l1 mide 2 unidades. Luego se pregunta: ¿Cuánto mide l2 ?

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Los alumnos, si tienen previamente el conocimiento del teorema de Pitágoras, podrán contestar; si no lo hacen, se hace un dibujo en el pizarrón y luego se aísla el triángulo isósceles en otro dibujo para que se les facilite le visualización de lo que queremos. l1 l2

l2

l1

l1

l2

2u 2u

l2

l2 l1

Se pide a alguien que calcule l2 l2 =

(2u ) 2 + (2u ) 2 = 4u 2 + 4u 2 = 8u 2 = 4 × 2u 2 = 4 2u 2 = 2 2 u ≈ 2.83 u

Ya calculado l2 ≈ 2.83 u, les preguntamos si ya observaron que l1 es diferente de l2. ¿Entonces, qué tipo de octágono tenemos? El alumno deberá captar que el octágono es irregular porque no miden lo mismo todos los lados. A continuación se pregunta: ¿Cuál es la fórmula para obtener el área de un octágono regular? La fórmula es A =

Pa 2

El perímetro de un octágono ¿cómo se calcularía?: P = 8 × l Entonces se sustituye el perímetro en el área y se obtiene:

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A=

8la = 4la 2

¿Puede aplicarse esta fórmula al octágono que tenemos en el geospacio? Si el octágono del geospacio tiene lados de diferente medida, se trata de un octágono irregular y no se puede aplicar la fórmula anterior. ¿De qué manera podríamos calcular el área de este octágono irregular? Si no hay ideas de los alumnos, se les sugiere que observen el triángulo formado en una esquina de la cara del geospacio, y se les pregunta cómo calcularían el área de dicho triángulo.

A=

bh 2u × 2u = = 2 u2 2 2

Vuelve a preguntarse cómo calcularían el área del octágono y tal vez a un alumno se le ocurra triangular toda la cara del geospacio e ir sumando las áreas de todos los triángulos que pertenecen al octágono.

Cada cuadrado tiene 2 unidades por lado, por lo que tiene un área de 4 u2. Como hay 5 cuadrados, se tiene un área de 20 u2. Al formar triángulos, que son la mitad de un cuadrado, cada triángulo tendrá 2 u2; como son 4 triángulos, entonces se tienen 8 u2, y el área total es de 28 u2. Se señala que esa es una posible opción y se pregunta si hay una estrategia alternativa más eficaz o más rápida. A algún alumno se le ocurrirá que puede calcular el área de un triángulo y, como los triángulos de las cuatro esquinas son iguales, tienen igual área, el área

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calculada se multiplica por 4 y se tiene el área de los 4 triángulos, que se restará al área total de la cara cuadrangular del geospacio para así obtener el área del octágono irregular. Área de un triángulo: 2 u2 Área de los 4 triángulos de las esquinas: 4 × 2 u2 = 8 u2 Área del cuadrado: l2 = (6 u)2 = 36 u2 Área del cuadrado menos área de los 4 triángulos: 36 u2 – 8 u2 = 28 u2 Ya teniendo el área del octágono, se pregunta cómo puede calcularse el volumen del prisma octagonal. V = AbH = (28 u2)(6 u)= 168 u3 Para comprobar que el volumen del prisma octagonal es correcto, pueden calcularse los volúmenes de los cuatro prismas triangulares formados fuera del prisma octagonal (en las aristas del geoespacio). La siguiente figura muestra uno de los prismas.

2u 2u

6u

6u

2u Volumen del prisma triangular: VPT = AbH Para calcular el área de la base del prisma triangular, se tiene:

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Ab =

bh 2u × 2u = = 2 u2 2 2

Se observa que la altura del prisma triangular es la misma que la del prisma octagonal: H=6u Se sustituyen los valores en la fórmula para calcular el volumen del prisma triangular: VPT = 2 u2 x 6 u = 12 u3 La suma de los volúmenes de los cuatro prismas triangulares es: 4 VPT = 4 x 12 u3 = 48 u3 El volumen del geoespacio es la suma del volumen del prisma octagonal más el volumen de los cuatro prismas triangulares. Volumen del geoespacio: VG = VPO + 4VPT = 168 u3 + 48 u3 = 216 u3 El volumen del geoespacio es el volumen de un cubo de 6 u de arista: VG = a3 = (6 u)3 = 216 u3 De esta forma se comprueba que los cálculos son correctos. Se pide a los alumnos calcular el área lateral del prisma octagonal. Se señala, si es posible con dibujos en el pizarrón, o simplemente mostrando el geospacio, que las caras de éste son rectangulares (igual que las de todo el prisma). El área de un rectángulo es igual a base por altura o a largo por ancho. Hay dos tipos de rectángulos, el de l1 y el de l2 Para l1, el rectángulo tiene un área de 2 u × 6 u = 12 u2 El largo del rectángulo es 6 u, que es la altura o arista del geospacio, que es

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cúbico. Para l2, el área es 2.83 u × 6 u = 16.97 u2 Hay 4 rectángulos de ancho igual a l1 y el área de los 4 rectángulos es 4 x 12 u = 48 u2 2

El área de los 4 rectángulos de ancho igual a l2 es: 4 x 16.97 u2 = 67.88 u2 La suma de las áreas de los 8 rectángulos es: 48 u2 + 67.88 u2 = 115.88 u2 y ésta es el área lateral.

El área del octágono es 28 u2, el área de las 2 bases será 2 × 28 u2 = 56 u2. Entonces el área total del prisma octagonal es la suma del área lateral más el área de las dos bases: AT = 115.88 u2 + 56 u2 = l71.88 u2 También se calcularán algunas relaciones entre los volúmenes de las figuras:

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Relación entre el volumen del prisma octagonal y el volumen del geoespacio: R1 =

VPO 168u 3 7u 3 ≈ 0.77 = = VG 216u 3 9u 3

Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del geoespacio: R2 =

VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0.055 = = VG 216u 3 18u 3

Relación entre el volumen del prisma triangular y el volumen del prisma octagonal: R3 =

VPT 12u 3 1u 3 ≈ 0.071428571 = = VPO 168u 3 14u 3

Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del prisma octagonal: 4VPT 48u 3 2u 3 ≈ 0.285714285 R4 = = = VPO 168u 3 7u 3 Relación entre el volumen de los cuatro prismas triangulares y el volumen del geoespacio: R5 =

4VPT 48u 3 2u 3 ≈ 0.22 = = VG 216u 3 9u 3

Se sugieren otras actividades: Formar diversos prismas, como triangulares (figuras 1, 2, 3, 4) o pentagonales (figuras 5 y 6). Desarrollar similarmente estas actividades como se hizo con el prisma octagonal. Fig. 1

Fig. 2

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Fig. 3

Fig. 5

Fig. 4

Fig. 6