Sigma-´ algebras Objetivos. Definir la noci´on de σ-´algebra y estudiar sus propiedades b´asicas. Definir la noci´on de σ-´algebra generada por un conjunto de conjuntos. Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos. 1. Notaci´ on (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un conjunto. Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos los subconjuntos de X. 2. Definici´ on (σ-´ algebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F ⊂ 2X se llama σ-´algebra sobre X si cumple con las siguientes condiciones: 1. X ∈ F. 2. F es cerrado bajo complementos: si A ∈ F, entonces X \ A ∈ F. 3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y B = entonces B ∈ F.

S

i∈N

Ai ,

3. Propiedades elementales de σ-´ algebras. Sea F una σ-´algebra sobre X. Entonces: 1. ∅ ∈ F. 2. F es cerrada bajo intersecciones numerables: T si Ai ∈ F para todo i ∈ N, entonces i∈N Ai ∈ F. 3. F es cerrada bajo uniones finitas: S si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces m i=1 Ai ∈ F. 4. F es cerrada bajo intersecciones finitas: T si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces m i=1 Ai ∈ F. 5. F es cerrada bajo la operaci´on de diferencia de conjuntos: si A, B ∈ F, entonces A \ B ∈ F.

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Ejemplos de σ-´ algebras 4. Ejemplo de una σ-´ algebra: conjunto potencia. Sea X un conjunto. Entonces 2X es una σ-´algebra sobre X. 5. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde c´omo se demuestran las siguientes proposiciones: Sea (Ak )k∈N una sucesi´on de conjuntos a lo m´as numerables. Entonces la uni´on S en es un conjunto a lo m´as numerable. k∈N Ak tambi´ Sea B un conjunto a lo m´as numerable y sea C ⊂ B. Entonces que C tambi´en es a lo m´as numerable. 6. Ejemplo de una σ-´ algebra: subconjuntos a lo m´ as numerables y sus complementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjunto de todos los subconjuntos finitos o numerables de X:  N := Y ⊂ X : Y es finito o numerable . Denotemos por F al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerables de X y todos subconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables:  F := Y ⊂ X : Y ∈ N ∨ Y c ∈ N . Entonces F es una σ-´algebra. Indicaci´on acerca de la demostraci´on. En la demostraci´on de la propiedad 3 hay que considerar dos casos: 1) Ai ∈ N para todo i ∈ N; 2) Acj ∈ N para alg´ un j ∈ N.

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Sigma-´ algebra generada por un conjunto de conjuntos 7. Proposici´ on (intersecci´ on de un conjunto de σ-´ algebras es una σ-´ algebra). Sea Ψ un conjunto de σ-´algebras sobre X. Denotemos por H a la intersecci´on de las σ-´algebras pertenecientes a Ψ: \  H := A = Y ⊂ X : ∀A ∈ Ψ Y ∈ A . A∈Ψ

Entonces H es una σ-´algebra sobre X. Demostraci´on incompleta. Probemos solamente que H es cerrada bajo uniones numerables. Sea (Bj )j∈N ∈ HN y sea [ C := Bj . j∈N

Para cada j ∈ N tenemos que Bj ∈ H. Por la construcci´on de H esto significa que ∀j ∈ N

∀A ∈ Ψ

Bj ∈ A.

Podemos intercambiar el orden de cuantificadores ∀: ∀A ∈ Ψ

∀j ∈ N

Bj ∈ A.

En otras palabras, para cada A ∈ Ψ la sucesi´on (Bj )j∈N toma valores en A. Como A es una σ-´algebra, esto implica que C ∈ A. Recordando que A ∈ Ψ era arbitraria concluimos que C ∈ H. 8. Proposici´ on (sigma-´ algebra generada por un conjunto de subconjuntos de X X). Sea G ⊂ 2 . Entonces existe una u ´nica σ-´algebra F que contiene G y es m´ınima entre todas las σ-´algebras que contienen G: 1. G ⊂ F. 2. Si H es una σ-´algebra sobre X y G ⊂ H, entonces F ⊂ H. Se dice que F es la σ-´algebra generada por G. Demostraci´on. Denotemos por Ψ al conjunto de todas las σ-´algebras sobre X que contienen a G: Ψ := {A ⊂ 2X : A es una σ-´algebra ∧ G ⊂ A}. Definimos F como la intersecci´on de los elementos de Ψ: \ A. F := ∩Ψ = A∈Ψ

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En otras palabras, F consiste de todos aquellos subconjuntos de X que pertenecen a cualquier σ-´algebra que contiene a G. Por la Proposici´on 7, F es una σ-´algebra sobre X. Si Y ∈ G, entonces Y ∈ A para cualquier A ∈ Ψ y por lo tanto Y ∈ F. Hemos demostrado que F ∈ Ψ. De la definici´on de intersecci´on se sigue que si H ∈ Ψ, entonces F ⊂ H. Por lo tanto, F es el elemento m´ınimo de Ψ. 9. Ejercicio: σ-´ algebra generada por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea G el conjunto de los subconjuntos unipuntuales de X:  G := {t} : t ∈ X . Describa la σ-´algebra F generada por G. Indicaci´on: determine qu´e conjuntos se obtienen de los conjuntos unipuntuales al aplicar las operaciones de σ-´algebra. 10. Definici´ on (σ-´ algebra de Borel de un espacio topol´ ogico). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. La σ-´algebra B generada por la topolog´ıa τ se llama la σ-´algebra de Borel. En esta situaci´on los elementos de B se llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos.

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Generadores de la sigma-´ algebra de Borel del eje real 11. Proposici´ on (la sigma-´ algebra de Borel del eje real est´ a generada por los rayos derechos). La σ-´algebra BR est´a generada por {(a, +∞) : a ∈ R}. Demostraci´on. Denotemos por F a la σ-´algebra generada por G = {(a, +∞) : a ∈ R}.  \ 1 1. [b, +∞) = b − , +∞ ∈ F. n n∈N 2. (a, b) = (a, +∞) \ [b, +∞) ∈ F. 3. Sea A un conjunto abierto en R. Se sabe que A se puede representar como la uni´on de una sucesi´on de intervalos de la forma (an , bn ), donde an , bn ∈ R. Por lo tanto A ∈ F. 4. F es una σ-´algebra que contiene a la topolog´ıa τ de R, y BR es la m´ınima σ-´algebra con esta propiedad. Por lo tanto BR ⊂ F. 5. BR es una σ-´algebra que contiene a G, y F es la m´ınima σ-´algebra con esta propiedad. Por lo tanto F ⊂ BR . 12. Proposici´ on (la sigma-´ algebra de Borel del eje real extendido est´ a generada por los rayos derechos). La σ-´algebra BR est´a generada por {(a, +∞] : a ∈ R}.

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