Simplificación de radicales

Raiz Cuadrada El opuesto de cuadrar es tomar la raiz cuadrada de un número. Un número b es una raiz cuadrada de otro número a, si b2 = a.

9  3 porque 32  9

64  8 porque 8  64 2

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2

Raiz Cuadrada Principal La raiz cuadrada principal (positiva) se denota

a La raiz cuadrada negativa se denota

 a  9  3 es la raiz cuadrada negativa de 9 Martin-Gay, Developmental Mathematics

3

Raiz Cuadrada Principal NOTA:

9

NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que

a existe en los reales si a > 0.

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4

Ejemplos 49  7

25 5  16 4

 4  2

 0.25   0.5

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5

Cuadrados perfectos La raiz cuadrada de un radicando que es un cuadrado perfecto se simplifica a un número racional (números que se pueden escribir como el cociente de dos enteros.). Los primeros 11 cuadrados perfectos son : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y sus raíces cuadradas son : 0  0, 1  1, 4  2, 9  3 16  4, 36  6,

49  7, 64  8,

25  5,

81  9

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6

Cuadrados perfectos Raíces cuadradas de radicandos que NO son cuadrados perfectos ( 2 , 7 , 10 , etc ) son números irracionales.

Podemos conseguir una aproximación decimal a éstos radicales, si el ejercicio lo pide. Su valor exacta solo se puede representar en forma de radical.

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7

Raíces cúbicas La raiz cúbica de un número real a es 3

a  b si y solo si b  a 3

Nota: Para las raíces cúbicas, NO se restringe el valor del radicando a valores 3 positivos. porque 33 = 27 27  3 3

 64  4

porque (-4)3 = -64

3

 125  5

porque (-5)3 = -125

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8

Raiz enésima En general,podemos determinar otras raíces. La raiz enésima se define como: n

a  b, si y solo si b  a n

Si el índice, n, es par, la raiz NO es un número real cuando a es negativa. Si el índice, n, es impar, la raiz es SIEMPRE un número real no importa el signo de a. Martin-Gay, Developmental Mathematics

9

Raiz enésima - ejemplos  32  2

porque (-2)5 = -32

4

256  4

porque (4)4 = 256

6

729  3

porque (3)6 = 729

5

5

32 2  243 3

2 5 porque ( ) 3

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=

32 243

10

Ejercicios: Simplificar las siguientes expresiones: 4

81 

3

 1000 

.01  3

1  8 4  9 Martin-Gay, Developmental Mathematics

11

Propiedad #1: Si

n

a  Ry

n

b  R entonces, n

n

a a n b b

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Ejemplos: a)

b)

25

3

3

2 16

d) 4 81 16

3





3

4 5

 3

8  1000 3

c)

16

16  25

8

1000



2  16

4

81

4

16



3

2 1  10 5 1 1  8 2

3 2

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13

Simplificación de radicales Al simplificar radicales pueden surgir varias situaciones: Raíces racionales Ráices irracionales

3

Raíces de números compuestos que tienen algún factor con una raiz perfecta

121 = 11

2

8=2 2

−0.125 = −0.5

10

27 = 3 3

4

90 = 2 10

5

32 = 2

3

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14

Propiedad #2:

Si

n

a R n

y n

b R

entonces,

a b  a  b n

n

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15

Cuadrados perfectos

Cubos perfectos

12 = 1

112 =

121

13

=

1

22 = 4

122 =

144

23

=

8

32 = 9

132 =

169

33

=

27

42 = 16

142 =

196

43

=

64

52 = 25

152 =

225

53

=

125

62 = 36

162 =

256

63

=

216

72 = 49

172 =

289

73

343

82 = 64

182 =

324

83

512

92 = 81

192 =

361

93

729

102 = 100

202 =

400

103

1000

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16

Simplificación de radicales Si un número compuesto NO es un cuadrado perfecto pero tiene un factor que es cuadrado perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede simplificar usando la propiedad anterior. Ejemplo: Simplificar 27 Solución: Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que 27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior 27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3 Martin-Gay, Developmental Mathematics

17

Simplificación de radicales Ejemplo: Simplificar 90 Solución: Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que 90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior = 9 ∙ 10 = 9 10 = 3 10 Ejemplo: Simplificar 200 Solución: Como 200 = 100 ∙ 2 podemos decir que 200 = 100 ∙ 2 y por la propiedad anterior 200 = 100 ∙ 2 = 100 2 = 10 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics

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Simplificación de radicales Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si un número compuesto tiene un factor exponencial, con potencia igual al índice del radical entonces su raiz enésima se puede simplificar usando la propiedad #1 anterior. 3

Ejemplo: Simplificar 250 Solución: Como 250 = 125 ∙ 2 y 125 = 53 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 3 3 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2 3 3 3 3 = 5 2=5 2 Martin-Gay, Developmental Mathematics

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Simplificación de radicales 3

Ejemplo: Simplificar 32 Solución: Como 32 = 8 ∙ 4 y 8 = 23 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 3 3 32 = 8 ∙ 4 = 23 ∙ 4 3 3 3 3 = 2 4=2 4 3 Ejemplo: Simplificar 375 Solución: Como 375 = 125 ∙ 3 y 125 = 53 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 3 3 375 = 125 ∙ 3 = 53 ∙ 3 3 3 3 3 = 5 3=5 3 Martin-Gay, Developmental Mathematics

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Práctica (a )

40 

b 

5  16

(c)

(d )

15 3

(e)

4  10  2 10

No tiene un factor cuadrado perfecto, por lo tanto no simplifica más-.

16  3

5 5  4 16

3

3  64

8 2  3 3

3

8 3 2  2 3 2

3 3 3  4 64 Martin-Gay, Developmental Mathematics

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Práctica Expresar cada radical en su forma más simple.

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