SISTEMA COORDENADO

Consideremos (fig. 3) una recta X´X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, y sea 0 un punto fijo sobre esta línea. Tomemos una longitud conveniente como unidad de medida; si A es un punto de X´X distinto de 0 y situado a su derecha, la longitud OA puede considerarse como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera de X´X situado a la derecha de 0 y tal que el segmento dirigido OP , de longitud positiva , contiene x veces a la unidad adoptada de longitud, entonces diremos que el punto P corresponde al número positivo x. Análogamente, si P´ es un punto cualquiera de X´X situado a la izquierda de 0 y tal que el segmento dirigido OP´ tenga una longitud negativa de x´ unidades, entonces diremos que el punto P´ corresponde al número negativo x´ . De esta manera, cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X´X. Y recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X´X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de 0. De acuerdo con esto, hemos construido un esquema por medio del cual se establece una correspondencia biunívoca entre puntos de una recta y los números reales. Tal esquema se llama un sistema coordenado. En el caso particular considerado, como todos los puntos están sobre la misma recta, el sistema se llama sistema unidimensional o sistema coordenado lineal. Refiriéndonos a la figura 3, la recta X'X se llama eje y el punto 0 es el origen del sistema coordenado lineal. El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se representa por (x) . Evidentemente, de acuerdo con las convenciones adoptadas, el origen 0 tiene por coordenada (0) y el punto A tiene por coordenada ( 1 ) . El punto P con su coordenada (x) es la representaci6n geométrica o gráfica del número real x, y la coordenada (x) es la

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representación analítica del punto P. Ordinariamente escribiremos el punto P y su coordenada juntos, tal como sigue: P ( x ) . Es importante hacer notar que la correspondencia establecida por el sistema coordenado lineal es única. Es decir, a cada número corresponde uno y solamente un punto sobre el eje, y a cada punto del eje corresponde uno y solamente un número real. Teorema. En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos dados se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del origen de l a coordenada del extremo. Ejemplo: Halla la longitud entre P1(5) y P2(-3) Las longitudes de los segmentos dirigidos son: P1P2 = -3-5 = -8 P2P1 = 5-(-3) = 8 DEFINICIÓN: La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia por d podemos escribir: d  P1P2  x 2  x1 , O también, d  P2P1  x1  x 2

Entonces, para cualquiera de los dos segmentos dirigidos, la distancia está dada por: d  8  8  8

Sistema coordenado en el plano. En un sistema coordenado lineal, cuyos puntos están restringidos a estar sobre una recta, el eje , es evidente que estamos extremadamente limitados en nuestra investigaci6n analítica de propiedades geométricas . Para extender la utilidad del método analítico, consideraremos ahora un sistema coordenado en el cual un punto puede moverse en todas direcciones manteniéndose siempre en un plano. Este se llama sistema coordenado-bidimensional o plano, y es el sistema coordenado usado en la Geometría analítica plana. Sistema coordenado rectangular Dadas las coordenadas (x,y), x  y , quedan determinados dos puntos, uno de coordenadas (x , y) y otro de coordenadas (y , x) que son diferentes . De aquí que sea importante escribir las coordenadas en su propio orden, escribiendo la abscisa en el primer lugar y la ordenada en el segundo. Por esta razón un par de coordenadas en el plano se llama un par ordenado de números reales.

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El sisterna coordenado rectangular en el plano establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par ordenado de números reales GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Dos problemas fundamentales de la Geometría analítica. En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos problemas fundamentales de la Geometría analítica. I. Dada una ecuación interpretarla geométricamente, es decir, construir la grafica correspondiente. II. Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir hs puntos de la misma, determinar su ecuación. Con estos procedimientos, se construyen: Recta

Parábola

Elipse

x2 a2



y2 b2

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1

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Hiperbola

Circunferencia

Sistema de coordenadas polares En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar; el punto fijo se llama polo. Sea (figura 109) la recta horizontal OA el eje polar y el punto 0 el polo. Sea P un (Fig. 109) punto cualquiera en el plano coordenado. Tracemos el segmento OP y designemos su longitud por r. Llamemos  al ángulo AOP. Evidentemente, la posición del punto P con relación al eje polar y al polo es determinada cuando se conocen r y .

Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; en particular, r se llama radio vector y  ángulo polar, ángulo veclorial o argumenlo de P. FACULTAD DE EDUCACIÓN

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Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se escriben (r ,  ) . La línea recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a 90º. El 6ngulo polar  se mide considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir , partiendo del eje polar hacia el radio vector ; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo . Algunos autores, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los valores reales. Seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y después se toma el radio vector en la prolongaci6n del lado final. Así, un punto P´, de coordenadas (- r ,  ) , se localiza como se indica en la figura 109. Es evidente que un par de coordenadas polares (r, ) determina uno y solamente un punto en el plano coordenado. El reciproco, en cambio, no es verdadero, porque un punto P determinado por las coordenadas (r, ) esta también determinada por cualquiera de los pares de coordenadas representadas por (r ,  + 2n), en donde  está dado en radianes y n es un entero cualquiera. El punto P puede determinarse también por cualquiera de los pares de coordenadas representados por (- r ,  + n) , en donde n es un entero impar cualquiera. Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par de números reales, esta correspondencia no es única en el sistema polar, porque un punto puede estar representado por uno cualquiera de un número infinito de pares de coordenadas polares. Es esta carencia de reciprocidad única en el sistema polar la que nos conduce, en algunos casos, a resultados que difieren de los obtenidos en el sistema rectangular. Para la mayor parte de nuestros propósitos, un par de coordenadas polares es suficiente para cualquier punto en el plano. Como nuestra capacidad de selección en este respecto es ilimitada , convendremos, a menos que se especifique lo contrario, en tomar el radio vector r de un punto particular como positivo y su ángulo polar  comprendido entre cero y el ángulo positivo más pequeño menor que 360°, de manera que la variación de los valores de  está dada por

0o    360o A tal par lo llamaremos par principal de coordenadas polares del punto. El ángulo polar puede expresarse en grados o radianes, pero el lector debe observar que los ángulos expresados en radianes vienen dados por números abstractos. Así,   un ángulo polar de significa 2 2 radianes, o sea, 90" . FACULTAD DE EDUCACIÓN

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El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas concurrentes. Las circunferencias tienen su centro común en el polo, y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño tomado como unidad de medida. Todas las rectas pasan por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales. Un ejemplo de este papel está representado en la figura 110 en donde se han trazado los puntos

Las coordenadas del polo 0 pueden representarse por (0, ), en donde  es un ángulo cualquiera. Coordenadas polares a rectangulares y viceversa.

Ejemplos: 1. Dadas las coordenadas cartesianas del punto P ( 1 , coordenadas polares del mismo.

3 ) , determinar las

2. Dada la ecuación polar r ( 3 - 2 cos  ) = 2 . Obtener la ecuación cartesiana de la curva

3. Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: 3 x + 4 y + 1 = 0 .

EJERCICIOS

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