INGENIERIA EN ELECTRONICA TEORIA DE CONTROL DISEÑO DE CONTROL DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS BASICAS 1 DISEÑO DE CONTROL DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS 3 Introducción 3 Ubicación de Polos 3 Condición necesaria y suficiente para la ubicación de polos 5 Pasos de Diseño para la Ubicación de Polos 8 Fórmula de Ackermann 10 Progama con Matlab 14 Diseño de sistemas del tipo regulador mediante la ubicación de polos 16 Obtención de la matriz de ganancias de retroalimentación del estado K con Matlab 21 Obtención de la respuesta del sistema ante condiciones iniciales 23 Respuesta del sistema del pendulo con Matlab 24 Observadores de Estado 27 Observador de estado de orden completo. 28 Diseño de observadores de estado de orden completo. 30 Enfoque de sustitución directa para obtener la matriz de ganancias del observador de estado Ke. 35 Principio de la Separación 39 Observador de orden minimo 44 Ejemplo de un sistema de control con seguidores 53 Caracteristicas de la respuesta escalon unitario del sistema diseñado, simulación en Matlab 58 Conclusiones 61 Bibliografia 61

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DISEÑO DE CONTROL DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS Introducción El diseño de sistemas de control es un tema muy importante, en la ingeniería en electrónica, pues te permite obtener una ecuación la cual puedes alimentar a un controlador para así manejar todo tipo de implementos, motores, circuitos, etc. Matlab es una herramienta muy versátil al modelar sistemas, aki se emplea para poder ver con mayor facilidad como se comportan estos sistemas de control. El buen diseño de un controlador el cual al final se resume en una sencilla ecuación, asegura el funcionamiento adecuado de aparatos en la industria, en el hogar y en el bolsillo al hacer mas económico poder satisfacer las necesidades de dicho sistema. Dichas técnicas no son nuevas pero son muy empleadas hoy en día por todo tipo científicos en instituciones alrededor del mundo, a continuación se muestran algunas técnicas empleadas para poder hacer un control confiable. Ubicación de Polos En esta sección se presentan los métodos de diseño conocidos como técnica de ubicación, o de asignación de polos, suponiendo que todas las variables de estado están disponibles para la retroalimentación. La técnica comienza con la obtención de los polos de lazo cerrado deseados a partir de la respuesta transitoria y/o requerimientos de la respuesta a la frecuencia tales como la velocidad el factor de amortiguamiento relativo el ancho de banda al igual que los requerimientos en estado estable. Haremos uso extenso del programa MATLAB para el diseño de la matriz de retroalimentación de estado y la simulación del sistema regulador resultante, tanto para el caso de una entrada una salida (SISO como para el caso multivariable en el que tenemos más de una señal de control (MIMO), para modelos continuos en el tiempo, así como para el caso discreto. Finalmente adicionaremos señales de perturbación y de referencia, que asumiremos como conocidas, para diseñar sistemas seguidores que contrarresten el efecto de la perturbación o carga y que sigan a las señales de referencia. También usaremos MATLAB para este propósito. El diseño del controlador o compensador para la ubicación de polos de lazo cerrado, cuando tenemos una sola entrada y una sola salida se fundamenta en elegir al par de polos dominantes de tal manera de obtener un factor de amortiguamiento relativo deseado y una frecuencia natural no amortiguada n. De este modo suponemos que el efecto de los polos dominados es insignificante. Sin embargo al especificar todos los polos de lazo cerrado tenemos un costo asociado porque hacerlo requiere de mediciones exitosas en todas las

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variables de estado, o bien requiere de la implementación de un observador de estado en el sistema. También requerimos que el sistema sea controlable para que los polos se ubiquen en posiciones elegidas de manera arbitraria. A últimas fechas se emplea la técnica de diseño de filtros tipo Butterworth o semejantes para seleccionar la ubicación de los polos de lazo cerrado más robusto, intentando con ello menor esfuerzo de la señal de control y para obtener mayor robustez. Consideremos un sistema de control x = Ax + Bu (1) en donde x = vector de estado (n x 1) u = señal de control (escalar) A = matriz de estado (n x n) B = matriz de control (n x 1) Las matrices A y B son conocidas y constantes. Elegimos la señal de control mediante la retroalimentación lineal del estado: u = −Kx (2) La matriz K de n x 1 se denomina matriz de ganancia de la retroalimentación de estadoy en este capítulo suponemos que la señal de control u no se satura en ningún valor. Sustituyendo la fórmula (2) en (1) resulta x(t) = (A " BK)x(t) (3) La solución para este sistema regulador viene dada por x(t) = e(A " BK) tx(0) (4) En donde x(0) es el estado inicial provocado por alguna perturbación externa que ya no está presente. La estabilidad y la velocidad de la respuesta transitoria dependen de los valores principales de la matriz A − BK. Si elegimos la matriz K de manera adecuada, la matriz A − BK se convierte en una matriz que producirá estabilidad de manera asintótica y será factible lograr que x(t) tienda al origen conforme aumenta el tiempo. Los eigenvalores de la matriz A − BK.se denominan como polos reguladores. Si estos se ubican en el lado izquierdo del plano complejo s entonces x(t) tenderá al origen. El problema de ubicar los polos de lazo cerrado en los lugares deseados constituye el tópico central de este capítulo. Como contraste, para el diseño de modelos discretos deberemos calcular la matriz de retroalimentación para ubicar los polos de lazo cerrado dentro del círculo unitario del plano complejo z, para lograr la estabilidad. En la figura 1(a) se ilustra el sistema dado por (1) y en la figura 1(b) al sistema 3

retroalimentado dado por (4). Como se enunció antes demostraremos que el cálculo de la matriz de retroalimentación K sólo es posible si el sistema es controlable completamente. Figura 1 a) Proceso en lazo abierto b) Regulador con u = −Kx Condición necesaria y suficiente para la ubicación de polos Considerar al sistema definido por la ecuación (1). Si asumimos que la magnitud de la señal de control u no está restringida y la elegimos mediante u = −Kx el sistema se convierte en un sistema de control de lazo cerrado según se exhibe en la figura 1(b) y la evolución temporal del vector de estado viene dada por (4). Notar que los valores principales de la matriz A − BK (denotados por , ,. . .n) son los polos de lazo cerrado deseados. Ahora probaremos que una condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos es que el sistema posea controlabilidad. Iniciaremos por demostrar que si el sistema no es controlable de estado completo, existen valores principales de A − BK. que no se controlan mediante la retroalimentación de estado. Suponer que el sistema de la ecuación (1) no es controlable de estado completo, de tal modo que el rango de la matriz de controlabilidad es menor que n, o sea rango[ B ! AB !. . .!An−1B] = q < n Esto implica que existen q vectores columna linealmente independientes que denotaremos como f1 , f2 , fq. También definimos n − q vectores adicionales vq+1 vq+2 ,. ..,vn tales que podamos formar la matriz de transformación de similitud P de la siguiente manera: P = [f1 ! f2 !. . .! fq ! vq+1 ! vq+2 !. . . . ! vn ] sea de rango n. En este caso se puede demostrar que donde A11 es de orden q x q y A22 es de orden n−q x n−q. Si ahora definimos K = KP = k M k " Desarrollando la ecuación característica de lazo cerrado en donde Iq es la matriz identidad de orden q e In−q es la matriz identidad de orden n−q. Observamos que los valores principales de A22 no dependen de K. Por lo tanto, si el sistema no es controlable existen valores principales de A que no pueden ubicarse de modo arbitrario. Concluimos que la controlabilidad es una condición necesaria para poder ubicar los polos de lazo cerrado del regulador. Para demostrar la condición de suficiencia es útil transformar la ecuación de estado dada mediante la ecuación (1) mediante la transformación a la forma canónica controlable T 4

mediante T = MW (5) en donde M es la matriz de controlabilidad M = [ B ! AB !. . .!An−1B] (6) y la matriz no singular en donde las ai son los coeficientes del polinomio característico de A Se define un nuevo vector de estadoMediante Si el rango de la matriz de controlabilidad M es n (lo que significa que el sistema es de estado completamente controlable), entonces existe la inversa de la matriz T y la ecuación (1) se convierte en. Donde La ecuación (8) está en la forma canónica controlable. Por tanto, dada una ecuación de estado, la ecuación (1) se transforma a la forma canónica controlable si el sistema es de estado completamente controlable y si el vector de estado x se transforma en el vector de estado "x usando la matriz de transformación T obtenida mediante la ecuación (5) Seleccionemos al conjunto de valores principales deseados como , ,. . .,n. En este caso la ecuación característica deseada se convierte en Escribamos Cuando se usa para controlar al sistema obtenido mediante la ecuación (8), la ecuación del sistema se convierte en: La ecuación característica es Esta ecuación característica es igual a la ecuación característica para el sistema, definido mediante la ecuación (1), cuando u = −Kx se usa como la señal de control. Esto se observa del modo siguiente: dado que la ecuación característica para este sistema es Ahora simplifiquemos la ecuación característica del sistema a la forma canónica controlable. Remitiéndonos a las ecuaciones (9), (10), (12), tenemos que Esta es la ecuación característica para el sistema con una realimentación del estado. Por tanto, debe ser igual a la ecuación (11), que es la ecuación característica deseada. Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s, obtenemos. 5

a1 + = a2 + = ... an + n = n despejando las i en las ecuaciones anteriores y sustituyéndolas en la ecuación (12), obtenemos Por tanto, si el sistema es de estado completamente controlable, todos los valores principales se ubican arbitrariamente seleccionando la matriz K, de acuerdo con la ecuación (14) (Hemos demostrado la condición suficiente). Hemos demostrado así, que la condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de los polos es que el sistema sea de estado completamente controlable. Pasos de Diseño para la Ubicación de Polos Suponer que el sistema se define mediante y que la señal de control se obtiene mediante La matriz de ganancia de realimentación K que obliga a los valores principales de A − BK a ser , , . . . ,n (valores deseados) se determina mediante los pasos siguientes: (si i es un valor principal complejo, su conjugado también debe ser un valor principal de A − BK. ) Paso1: Verificar la condición de controlabilidad para el sistema. Si el sistema es de estado completamente controlable, usar los pasos siguientes. Paso 2: A partir del polinomio característico para la matriz A, determine los valores de a1, a2, . . . , an. Paso 3: Determinar la matriz de transformación T que convierte la ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable. (Si la ecuación del sistema ya está en la forma canónica controlable, entonces T = I.) No es necesario escribir la ecuación de estado en la forma canónica controlable. Aquísólo necesitamos encontrar la matriz T. La matriz de transformación T se obtiene mediante la ecuación (5), o En donde M se obtiene a partir de la ecuación (6) y W se obtiene a partir de la ecuación(7). 6

Paso 4: Usando los valores principales deseados (los polos de lazo cerrado deseados), escribir el polinomio característico que se busca: (s − )(s − ). . .(s − n) = sn + sn−1 + . . . + n−1s + n y determinar los valores de , . . ., n. Paso 5: La matriz de ganancias de realimentación del estado K requerida se determina a partir de la ecuación (14), que puede re escribirse como: Comentarios. Observar que si el sistema es de un orden inferior n < 4, la sustitución directa de la matriz K en el polinomio característico deseado puede ser más simple. Por ejemplo, si n = 3, escribir la matriz de ganancias de realimentación de estado K como Sustituir esta matriz K en el polinomio característico deseado e igualarla con (s − )(s − ).(s − ), o} dado que ambos miembros de esta ecuación característica son polinomios en s, igualando los coeficientes de las potencias iguales de s en ambos miembros, es posible determinar los valores de k1, k2, y k3 . Este método es conveniente si n igual a 2 o 3. (Para n = 4, 5, 6 ... , este método se vuelve muy pesado) Existen otros métodos para el cálculo de la matriz de ganancias de realimentación lineald el estado K. A continuación presentaremos una fórmula muy difundida, conocida como la fórmula de Ackermann para calcular la matriz de ganancias de realimentación del estado K. Fórmula de Ackermann Considerar el sistema obtenido mediante la ecuación (1), que puede reescribirse como: Suponemos que este sistema es de estado completamente controlable. También suponemos que los polos en lazo cerrado deseados están en s = , s = , . . ., s = n. El uso de un control mediante la realimentación del estado u = −Kx modifica la ecuación del sistema a Definamos La ecuación característica deseada es Dado que el teorema de Cayley − Hamilton plantea que A satisface su propia ecuacióncaracterística, tenemos que: Emplearemos la fórmula (16) para obtener la función de Ackermann. Para simplificar la obtención, consideremos el caso en el que n = 3. (Para cualquier entero positivo n, es posible entender con facilidad la obtención siguiente .) Considere las cantidades siguientes: Multiplicando las ecuaciones anteriores, en orden, por , , , (en donde = 1 ), respectivamente, y 7

agregando los resultados, obtenemos Remitiéndonos a la ecuación (16), tenemos que Asimismo, tenemos que: Sustituyendo las dos ultimas ecuaciones en la ecuación (17), tenemos que Dado que ("A) = 0, obtenemos Puesto que el sistema es de estado completamente controlable, la inversa de la matriz de controlabilidad existe. Premultiplicando ambos miembros de la ecuación (18) por la inversa de la matriz de controlabilidad,1 obtenemos Premultiplicando ambos miembros de esta ecuación por [ 0 0 1 ], obtenemos que puede re escribirse como Esta ultima ecuación produce la matriz de ganancias del estado K deseada. Para un entero positivo arbitrario n, tenemos que La ecuación (19) se conoce como la matriz de ganancias de realimentación del estado K. Comentarios. Es importante señalar que la matriz K no es la única para el sistema determinado, sino que depende de las ubicaciones de los polos en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. Observe que la selección de los pozos en un lazo cerrado deseados, o de la ecuación característica deseada, es un compromiso entre la rapidez de la respuesta del vector de error y la sensibilidad ante perturbaciones y el ruido en la medición. Es decir, si incrementamos la velocidad de respuesta de error, por lo general se incrementan los procesos adversos de las perturbaciones y el ruido en la medición. Si el sistema es de segundo orden, su dinámica (las características de respuesta) se correlacionan precisamente con la ubicación de los pozos en lazo cerrado deseados y los ceros de la planta. Para sistema de orden superior, la ubicación de los polos en lazo cerrado y la dinámica del sistema (las características de respuesta) no se correlacionan fácilmente. Por tanto, al determinar la matriz de ganancias de realimentación del estado K para un sistema determinado, es conveniente analizar mediante simulaciones de computadora las características de respuesta del sistema para varias matrices K diferentes (con base en varías ecuaciones características deseadas distintas) y elegir aquella que ofrezca el mejor desempeño del sistema general. Veamos primero un ejemplo para ilustrar las dos fórmulas para calcular la matriz de realimentación de estado. En este caso los valores principales de A son −1, −2 y +2, por lo que tenemos un caso de inestabilidad de lazo abierto, por lo que la matriz de ganancia deberá proporcionar la estabilidad mediante la realimentación adecuada. 8

Con la fórmula tradicional empezamos con el paso 1, que consiste en calcular la matriz de controlabilidad: Cuyo determinante es diferente de cero por lo que su rango es igual a 3 y se concluye que el sistema es controlable de estado completo por lo que podemos pasar a efectuar los cuatro pasos restantes. Calculamos el determinante de sI − A, y lo igualamos a cero para determinar los valores de las ai . de donde: a1 = 1, a2 = −4 y a3 = −4. Paso 3: Formamos la matriz W para poder calcular la matriz de transformación T Paso 4: Calculamos la ecuación característica deseada: de donde = 10, = 37 y = 78. Paso 5: Calculamos la matriz K Para emplear la fórmula de Ackermann formamos el cuadrado y el cubo de la matriz A: Calculamos ahora (A) como A3 + 10A2 + 37A + 78I Con lo que podemos calcular K mediante: La matriz de lazo cerrado A − BK resulta ser cuyos valores principales son −2 ± 3j y −6. Como es obvio, la matriz de ganancias es la misma por cualquiera de los tres métodos vistos. Progama con Matlab

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Diseño de sistemas del tipo regulador mediante la ubicación de polos Considere el sistema del pendulo invertido de la figura 1, en el que el pendulo se monta sobre un carro controlado con un motor, considerese que solo se maneja en 2 dimensiones. Se desea mantener el pendulo perpendicular ante la presencia de perturbaciones tales como una ráfaga de viento que actua sobre m o una fuerza inesperada aplicada al carro, alfinal de cada proceso se pretende regresar el carro a su posición inicial. Diseñe un sistema de control tal que dadas cualesquiera condiciones iniciales (provocadas por perturbaciones), el pendulo regrese a su posición inicial, en unos 2 segundos son una cvoheficiente de amortiguación de .5, suponga los siguientes valores:

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M=2Kg m=0.1kg l =0.5 m Se supone que la masa esta en la punta de la varilla y que la varilla no tienen masa Se desea diseñar un sistema de control que mantenga el péndulo invertido en una posición vertical para condiciones iniciales determinadas en el grado y una velocidad angular El primer paso es obtener el modelo matemático para el sistema del péndulo invertido. Donde I es es el momento de inercia de la barra del péndulo con respecto a su centro de gravedad, en este caso suponemos que la inercia es 0 y queda así: (19) (20) Estas ecuaciones lineal izadas son: (21) (22) La ecuación 21 se obtubo eliminando de las ecuaciones 19 y 20 la 22 se obtubo eliminando de las ecuaciones 19 y 20, a partir de alli obtenemos la ecuación de transferencia:

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Sustituyendo los valores numericos determinados y considernado que g=9.81 m/seg, tenemos que: La planta tiene dos polos uno sobre el eje real negativo en (s=−4.539) y otro en el eje real positivo (s=4.539). Por tanto, la planta es inestable en lazo abierto. Defina las variables de estado x1,x2,x3,x4 mediante: Considere que el angulo indica la rotacion de la barra del pendulo con respecto al punto P y que x es la ubicación del carro. Consideremos y x como las salidas del sistema , o Asi a partir de 21 y 22 obtenemos: En terminos de ecuaciones de las matrices tenemos que: (23) (24) Estas son una representación enb el espacio de estados del sistema del pendulo invertido. Sustituyendo los valores numericos determinados para M,m,l, tenemos que: Usando estos valores se pueden reescribir como =Ax+Bu Y=Cx En donde ,, Usaremos el esquema de control mediante la retroalimentación del estado U=−Kx Verifiquemos si el sistema es de estado completamente controlable.Dado que el rango de Es 4 , el sistema es de estado completamente controlable La ecuación característica del sistema es Por lo tanto Como deseamos un sistema con un tiempo de asentamiento razonablemente pequeño (2segs) y un amortiguamiento razonable de en el sistema, seleccionamos polos en donde ,,, En este caso u1 y u2 son los dos polos dominantes en lazo cerrado deseados con y los otros dos polos se 12

hallan lejos a la izquierda del par dominante y por ende su efecto es pekeño. Así se cumplen los requerimientos de velocidad y amortiguamiento la ecuación característica se convierte en: En consecuencia , tenemos que Obtenemos la matriz de ganacia de retroalimentación K con la ecuación 13 T=MV Y M y W se obtienen mediante las ecuaciones 5 y 6 respectivamente, Asi, Y por lo tanto T se vueleve De modo que,

La matriz de ganancias de retroalimentación desada K se convierte en: La señal de control u se obtienen mediante: Obtención de la matriz de ganancias de retroalimentación del estado K con Matlab Este programa determina la matriz de ganancias de retroalimentación del estado K=[k1 k2 k3 k4] usando la formula de Ackerman Obtención de la respuesta del sistema ante condiciones iniciales Para poder saber la respuesta del sistema usamos simulaciones matematicas, 13

para eso obtenemos primero las ecuaciones de estado. Y la ecuación de control Cuando la ecuación de control se ssutituye en la ecuación de estado obtenemos Que cuando se sustituyen los valores numericos, se obtienen mediante La ecuación del estado del sistema se obtienen mediante la ecuación 25. Suponga que las condiciones iniciales se obtienen a partir de: Rescribimos la ecuación 25 como En donde Definimos el vector de valores iniciales Asi la respuesta se obtiene despejando de las siguientes ecuaciones En donde Respuesta del sistema del pendulo con Matlab A continuacio se muestra el programa de Matlab que generara la respuesta del sistema obtenido mediante la ecuación 25 ante las condiciones iniciales especificadas por la ecuación 26. Observe que el programa de Matlab que se muestra usamos las siguientes notaciones;

=AA, =BB y asi para C y D Observadores de Estado En el capítulo en que se presentó un enfoque de ubicación de polos para el diseño de sistemas de control, supusimos que todas las variables de estado estaban disponibles para su realimentación. Sin embargo, en la práctica, no todas las variables están disponibles para su realimentación. Entonces, necesitamos estimar las variables de estado que no están disponibles. Es importante señalar que debemos evitar diferenciar una variable de estado para generar otra.. La diferenciación de una señal siempre decrementa la relación señal a ruido, porque este último, por lo general fluctúa más rápido que la señal de comando. En ocasiones, la relación señal a ruido se decrementa varias veces mediante un proceso único de diferenciación. Existen métodos para estimar las variables de estado que no se miden sin un proceso de diferenciación. La estimación de semejantes variables de estado por lo general se denomina observación. Un dispositivo (o un programa de computadora) que estima u observa las variables de estado se llama observador de estado o simplemente observador. Si el observador de estado capta todas las variables del sistema, sin importar si algunas están disponibles para una medición directa, se denomina observador de estado de orden completo. Hay ocasiones en las que un observador tal no es necesario, en las que solo se requiere de la observación de variables de estado que no se miden, pero no de aquellas que también se miden directamente. Por ejemplo, 14

dado que las variables de salida son observables y se relacionan en forma lineal con las variables de estado, no necesitamos observar todas las variables de estado, sino sólo las n − m variables de estado, en donde n es la dimensión del vector de estado y m es la dimensión del vector de salida. Un observador que estima menos de n variables de estado, en donde n es la dimensión del vector de estado, se denomina observador de estado de orden reducido o, simplemente, observador de orden reducido. Si el observador de estado de orden reducido tiene el orden mínimo posible, se denomina observador de estado de orden mínimo, u observador de orden mínimo. En esta sección analizaremos el observador de estado de orden completo y el observador de estado de orden mínimo. Observador de estado. Un observador de estado estima las variables de estado con base en las mediciones de las variables de salida y de control. Aquí tiene una función importante el concepto de observabilidad analizado en capítulos anteriores. Como veremos más adelante, los observadores de estado pueden diseñarse si y sólo si satisface la condición de observabilidad. En los análisis siguientes de los observadores de estado, usaremos la notación ~x para designar el vector de estado observado. En muchos casos prácticos el vector de estado observado ~x se usa en la realimentación del estado para generar el vector de control deseado. Considere el sistema definido mediante Suponga que el estado x se aproxima mediante el estado ~ x del modelo dinámico que representa al observador de estado. Observe que el observador de estado tiene y y u como entradas y ~ x como salida. El ultimo término del segundo miembro de esta ecuación modelo, ecuación (3), es un termino de corrección que contiene la diferencia entre la salida y medida y la salida C ~ x estimada. La matriz Ke funciona como una matriz de ponderación . El término de corrección vigila el estado ~x . Ante la presencia de una discrepancia entre las matrices A y B usadas en este modelo y las del sistema real, la adición del término de corrección ayuda a reducir los efectos producidos por la diferencia entre el modelo dinámico y el sistema real. La siguiente figura muestra el diagrama a bloques del sistema y el observador de estado de orden completo. A continuación analizaremos los detalles del observador de estado para el cual la dinámica se caracteriza mediante matrices A y B y mediante el término de corrección adicional, que contiene la diferencia entre la salida medida y la salida estimada. En el análisis actual, suponemos que las matrices A y B usadas en el modelo son iguales a las del sistema real. Observador de estado de orden completo. El orden del observador de estado que se analizara aquí es igual al del sistema. Suponga que el sistema se define mediante las ecuaciones (1) y (2) y que el modelo del observador se define mediante la ecuación (3). Para obtener la ecuación de error del observador, restamos la ecuación (3) de la ecuación (1). Definamos la diferencia entre x y ~x como el vector de error e 15

Así, la ecuación (4) se convierte en

A partir de la ecuación (5) vemos que el comportamiento dinámico del vector de error se determina mediante los valores principales de la matriz A − KeC . Si la matriz A − KeC es estable, el vector de error convergerá a cero para cualquier vector de error inicial e(0). Es decir que ~x (t) convergerá a x(t) sin considerar los valores de x(0) y ~x (0). Si se eligen los valores principales de la matriz A − KeC en tal forma que el comportamiento dinámico del vector de error sea asintóticamente estable y suficientemente rápido, cualquier vector de error tenderá a cero (el origen) con una velocidad adecuada. Si el sistema es completamente observable se demuestra que es posible seleccionar una matriz Ke tal que A − KeC tenga valores principales arbitrariamente deseados. Es decir se determina la matriz de ganancia del observador Ke para producir la matriz deseada A − KeC . Analizaremos esto a continuación. PROBLEMA DUAL El problema de diseñar un observador de orden completo se convierte en determinar la matriz de ganancias del observador Ke tal que la dinámica de error definida mediante la ecuación (5) sea asintóticamente estable con una velocidad de respuesta suficiente. (La estabilidad asintótica y la velocidad de respuesta de la dinámica de error se determinan mediante los valores principales de la matriz A − KeC ). Por tanto, el diseño del observador de orden completo se convierte en determinar un Ke apropiado tal que A − KeC tenga los valores principales deseados. Por ello, aquí el problema se convierte en el mismo que en el caso de ubicación de polos analizado en el tema anterior. Considerar el sistema definido mediante

Al diseñar el observador de estado de orden completo resolvemos el problema dual, es decir, solucionamos el problema de ubicación de polos para el sistema dual.

Suponiendo que la señal de control v es Si el sistema dual es de estado completamente controlable, la matriz de ganancias de estado K, se determina de tal modo que la matriz AT − CTK produzca un conjunto de los valores principales deseados. Si , , . . .n , son los valores principales de la matriz del observador de estado, tomando los mismos i que los valores principales deseados de la matriz de ganancias de 16

realimentación del estado del sistema dual, obtenemos

Considerando que los valores principales de AT − CTK y los de A − KT C son iguales, tenemos que comparando el polinomio característico øsI − (A − KeC) ø para el sistema observador (consultar la ecuación (5) ), encontramos que Ke y KT se relacionan mediante Ke = KT Por tanto, usando la matriz K determinada mediante el método de ubicación de polos en el sistema dual, la matriz de ganancias del observador Ke para el sistema original se determina a partir de la relación Ke = KT Condición necesaria y suficiente para la observación del estado. Como ya se analizó,una condición necesaria y suficiente para la matriz de ganancias del observador Ke para losvalores característicos de A − KeC es que el dual del sistema original

sea de estado completamente controlable. La condición de controlabilidad completa para este sistema dual es que el rango de sea n. Esta es la condición para el sistema de observabilidad completa del sistema original definido mediante las ecuaciones (1) y (2). Esto significa que una condición necesaria y suficiente para la observación del estado del sistema definido mediante las ecuaciones (1) y (2) es que el sistema sea completamente observable. A continuación presentaremos el enfoque directo, (en lugar del enfoque del problema dual) para la solución del problema del diseño de un observador de estado. Más adelante usaremos el enfoque del problema dual a fin de obtener la formula de Ackermann para la determinación de la matriz de ganancias del observador Ke.. Diseño de observadores de estado de orden completo. Considere el sistema definido mediante

Suponemos que el sistema es completamente observable. Además suponemos que la configuración del estado que es la misma que de la figura 1.

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Al diseñar el observador de estado de orden completo, es conveniente transformar ecuaciones del sistema obtenidas mediante las ecuaciones (6) y(7) a la forma canónica observable. Como se presento antes, esto se hace del modo siguiente: defina una matriz de transformación Q mediante En donde O es la matriz de observabilidad Y W se define mediante la ecuación definida como: en donde a1, a2 ,... , an−1, son coeficientes de la ecuación característica de la ecuación de estado original obtenida mediante la ecuación (6): (Dado que suponemos que el sistema es completamente observable, existe la inversa de la matriz WO.) Defina un nuevo vector de estado j (vector de dimensión n) mediante s = Q (10) Así las ecuaciones (6) y (7) se convierten en en donde

Las ecuaciones (11) a (12) están en la forma canónica observable. Por tanto, dada una ecuación de estado y una ecuación de salida, ambas pueden transformarse a la ecuación canónica observable si el sistema es completamente observable y si el vector de estado original x se transforma en un nuevo vector de estado mediante la transformación obtenida a partir de la ecuación (10). Observe que si la matriz A ya está en la forma canónica observable, entonces Q = I.

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Como se planteo antes, elegimos que la dinámica del observador de estado se obtenga mediante

Ahora defina Sustituyendo la ecuación (17) dentro de la ecuación (16), tenemos que Restando la ecuación (18) de la ecuación (11), obtenemos Defina

Así la ecuación (19) se convierte en Requerimos que la dinámica del error sea asintóticamente estable y que (t) llegue a cero con una velocidad adecuada. El método para determinar la matriz Ke es elegir primero los polos del observador deseados (los valores principales de A − KeC ) y a continuación calcular la matriz Ke para que produzca los polos deseados del observador. Considerando que Q−1 = (WO) tenemos que Donde dado que Q−1 Ke es un vector de dimensión n, escribamos A continuación, remitiéndonos a la ecuación (15) tenemos que La ecuación característica [sI − Q−1 (A − KeC)Q]= 0 se convierte en O bien

observe que cada una de las n n−1 ,. . . , se asocian con sólo uno de los coeficientes de la ecuación característica. Suponga que la ecuación característica deseada para la dinámica del error es (Observar que los valores principales i determinan que tan rápido converge el estado observado al estado real de la planta) Comparando los coeficientes de los términos con potencias iguales de s en las ecuaciones (22) y (23), obtenemos A partir de lo cual conseguimos que

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Así, a partir de la ecuación (21) tenemos que Por tanto, La ecuación (24) especifica la matriz de ganancias del observador de estado comple o Ke necesaria. Como se indicó antes la ecuación (24) también se obtiene a partir de la ecuación para calcular la matriz de realimentación para ubicar polos del sistema dual. Es decir, considerando el problema de ubicación de polos de lazo cerrado para el sistema dual y obteniendo la matriz de ganancias de realimentación del estado K para dicho sistema dual. En este caso la matriz de ganancias del observador de estado Ke se obtiene mediante KT Una vez seleccionados los valores principales deseados ( o la ecuación característica deseada) se diseña el observador de estado de orden completo, siempre y cuando el sistema sea completamente observable. Los valores principales deseados de la ecuación característica deben de elegirse de modo que el observador de estado responda al menos de tres a cinco veces más rápido que el sistema en lazo cerrado. Como se dijo antes, la ecuación del observador de estado de orden completo es: Observar que, hasta aquí hemos supuesto que las matrices A y B del observador son exactamente iguales a las de la planta real. En la práctica, esto no podría ser cierto. Entonces, la dinámica del error no se obtendría mediante la ecuación (20), esto significa que el error podría no tender a cero. Por tanto, debemos intentar desarrollar un modelo matemático preciso a fin de que el observador haga el error aceptablemente pequeño. Enfoque de sustitución directa para obtener la matriz de ganancias del observador de estado Ke. Al igual que en el caso de la ubicación de polos, si el sistema es de orden inferior, puede ser más sencilla la sustitución directa de la matriz Ke dentro del polinomio característico deseado. Por ejemplo, si x es un vector de dimensión 3, escriba la matriz de ganancia del estado Ke como

Sustituya esta matriz Ke en el polinomio característico deseado: ecuación, determinamos los valores de ke1, ke2, ke3. Este enfoque es conveniente si n = 1, 2 o 3, en donde n es la dimensión del vector de estado x. (Aunque se use este enfoque cuando n = 4, 5, 6, ..., los cálculos implícitos se vuelven muy tediosos.) Otra manera de determinar la matriz de ganancias del observador de estado Ke es usar la fórmula de Ackermann. Los detalles se presentan a continuación. Fórmula de Ackermann. Considere el sistema definido mediante En secciones anteriores se ha obtenido la formula de Ackermann para la ubicación de polos para el sistema 20

definido mediante la ecuación (26). El resultado se puede escribir como: Para el dual del sistema definido mediante las ecuaciones (26) y (27), la fórmula de Ackermann anterior para la ubicación de polos se modifica a Como se menciono antes, la matriz de ganancias del observador del estado Ke se obtiene mediante KT, en donde K se obtiene de la ecuación (28), por lo tanto. en donde (s) es el polinomio característico deseado para el observador de estado, o en donde , , ..., n, son los valores característicos deseados. La ecuación (29) se denomina fórmula de Ackermann para la determinación de la matriz de ganancias del observador Ke. Veamos un ejemplo del uso de la fórmula de Ackermann con MATLAB Principio de la Separación

El principio de la separación establece que el diseño del observador y de la realimentación son independientes y que, por lo tanto, podemos diseñar primero cualquiera de ellos. La figura 2 ilustra la manera en que se combinan observador y controlador para formar un regulador.

21

La figura 3 exhibe el diagrama a bloques del regulador que combina observador de estado completo y matriz de ganancias K. Veamos un ejemplo para ilustrar el principio de la separación. Considerar el diseño de un sistema regulador para la planta siguiente La ecuación característica para el sistema viene dada por Suponer que utilizamos el método para la colocación de valores principales para el diseño del sistema y que los polos de lazo cerrado para este regulador están en −2 ± 3j, por lo que el polinomio característico deseado viene dado por s2 + 4s + 9. La matriz de ganancias de realimentación lineal del estado K para este caso se obtiene mediante. Usando esta matriz de ganancias de realimentación del estado K, la señal de control se obtiene mediante Suponer que usamos el control mediante la realimentación del estado observado en lugar del control mediante la realimentación del estado real, o

en donde optamos porque los valores principales de la matriz del observador sean

Obtendremos la matriz de ganancias del observador Ke y dibujaremos el diagrama de bloques para el sistema de control mediante la realimentación del estado observado. A continuación se obtendrá la función de transferencia U(s)/−Y(s) para el observador−controlador y dibujaremos un diagrama a bloques del sistema. Al final se ofrece la respuesta en tiempo del regulador a partir de las condiciones iniciales, proponiendo estimados iniciales equivocados. El polinomio característico deseado para el observador es (s − )(s − ) = (s + 4 − 5j)(s + 4 + 5j) = s2 + 8s + 41 = s2 + s + Por lo tanto + = 8, = 41. Para determinar la matriz de ganancias del observador Ke, usamos la ecuación (24) en donde

22

es la matriz de observabilidad y Por lo tanto La ecuación del observador se obtiene mediante la ecuación (25) Dado que El diagrama de bloques del sistema con una realimentación del estado observado se aprecia en la figura. Remitiéndonos a la ecuación (ft), la función de transferencia del controlador−observador es La figura muestra un diagrama de bloques del sistema. La diná mica del sistema de control mediante la realimentación del estado observado recién diseñado se describe mediante las ecuaciones siguientes: Para la planta

Para el observador

23

El sistema, como un todo, es de cuarto orden. La ecuación característica para el mismo es

La ecuación característica también se obtiene a partir del diagrama de bloques para el sistema de la figura 5. Dado que la función de transferencia de lazo cerrado es

La ecuación característica es = s4 + 12s3 + 86s2 + 268s + 533 = 0 Las figuras 6 y 7 exhiben la respuesta del regulador a condiciones iniciales cuando el estimado de las variables de estado no coincide con el valor real de las mismas. Observador de orden minimo Los observadores analizados hasta ahora se diseñan para reconstruir todas las variable de estado. En la práctica, algunas de dichas variables de estado se miden con precisión, por lo que no es necesario incluirlas en el diseño del observador. Si asumimos que el vector de estado es de dimensión n y que el vector de salidas es de dimensión m, y dado que las m variables de salida son una combinación lineal de m vairables de estado, podemos calcular m variables de estado invirtiendo una matriz, por lo que sólo debemos incluir a n − m de las variables de estado en el observador. Tal observador de orden (n − m) se le conoce como observador de orden mínimo. La figura 8 muestra el diagrama de bloques de un sistema con un observador de orden mínimo. 24

Sin embargo, es importante considerar que si la medición de las variables de salida contienen ruido significativo y es relativamente inexacta, el uso del observador de orden completo puede ocasionar un mejor desempeño del sistema. Para ofrecer la idea básica del observador de orden mínimo, sin complejidades matemáticas innecesarias, presentaremos el caso en el que la salida es un escalar (esto es, m = 1) y obtendremos la ecuación de estado para el observador de orden mínimo. Considerar el sistema en donde el vector de estado x se divide en dos partes xa (un escalar) y xb (un vector de orden n−1). Aquí la variable de estado xa es igual a la salida y, y por tanto, se mide directamente y xb es la parte que no se puede medir del vector de estado. De esta manera, el estado dividido y las ecuaciones de salida se vuelven A partir de la ecuación (31), la ecuación para la parte medida del estado se vuelve o bien

Los términos del primer miembro de la ecuación (33) se pueden medir. La ecuación (33) funciona como la ecuación de salida. Al diseñar la ecuación de orden mínimo, consideramos que el primer miembro de la ecuación (33) contiene cantidades conocidas. Por tanto la ecuación (33) relaciona las cantidades medibles y no medibles del estado. A partir de la ecuación (31), la ecuación de la parte no medida del estado se vuelve

Considerando que los términos Abaxa + Bbu son cantidades conocidas, la ecuación (34) describe la dinámica de la parte no medida del estado. A continuación presentaremos un método para diseñar un observador de orden mínimo. El procedimiento de diseño se simplifica si utilizamos la técnica de diseño desarrollada para el observador de estado de orden completo. Comparemos la ecuación de estado para el observador de orden completo con la del observador de orden mínimo. La ecuación de estado para el observador de orden completo es

25

y la ecuación de estado para el observador de orden mínimo es y la ecuación de salida para el observador de orden completo es y la ecuación de salida para el observador de orden mínimo es

El diseño del observador de orden mínimo se realiza del modo siguiente: primero considere que la ecuación del observador para el observador de orden completo se obtuvo a partir de la ecuación (25), la cual repetimos aquí: Así, haciendo las sustituciones de la tabla (1) en la ecuación (35), obtenemos:

en donde la matriz de ganancias del observador de estado Ke es una matriz de (n−1) x 1. En la ecuación (36) notamos que para calcular el estimado de xb necesitamos la derivada de xa . Ello no es fácil y, por lo tanto, requerimos alterar la ecuación (36). Re escribamos la ecuación (36) de la siguiente manera. Tomando en cuenta que y = xa. Si definimos La ecuación (39), en combinación con la ecuación (38), define al observador de orden mínimo. Ahora obtendremos la ecuación para el error de estimación. Si usamos la ecuación (33), la ecuación (36) se modifica a Restando la ecuación (40) de la ecuación (34), resulta definamos el error como Se deduce que e es un vector de orden n−1 y (42) es la dinámica del error para el observador de orden mínimo. La estabilidad del error se elige como según convenga siguiendo el método desarrollado para el observador de orden completo si, y sólo si, el rango de la matriz es de rango n −1. La ecuación característica para el observador de orden mínimo se obtiene a partir de la ecuación (42) del modo siguiente en donde , , . . , n−1 son los polos deseados del observador de orden mínimo. La

26

matriz de ganancias del observador K se determina eligiendo primero los polos deseados para el observador [ubicando las raíces de la ecuación (43) en los lugares adecuados del plano complejo] y después usando el procedimiento desarrollado para el observador de orden completo con las modificaciones de la tabla 1. Por ejemplo, para usar la fórmula para calcular la matriz Ke obtenida mediante la ecuación (24), ésta se debe modificar a donde Ke es una matriz de (n−1) x 1 y 1 , 2 , "1" " " a a K an son los coeficientes de la ecuación característica de Abb . y

Así mismo, se puede emplear la fórmula de Ackermann obtenida mediante la ecuación (29), modificándola a en donde Veamos ahora un ejemplo en el que se combina un observador de orden mínimo con realimentación de estado. Considerar que tenemos el sistema

Donde

Se desean polos de lazo cerrado en −4 ± 6j y en −8. Se asume que se puede medir con precisión y que por lo tanto no se necesita estimarse la variable de estado x ( la cual es igual a y). Diseñaremos un observador de orden mínimo (El observador de orden mínimo es de segundo orden). Suponer que los valores principales deseados para el observador de orden mínimo son ,2 = −6 ± 8j Remitiéndonos a la ecuación (43) la ecuación característica para el observador de orden mínimo es A continuación usaremos la fórmula de Ackermann obtenida mediante la ecuación (45)

27

Recordando las ecuaciones (38) y (39) la ecuación para el observador de orden mínimo se obtiene mediante

28

29

La figura es un diagrama a bloques que exhibe la configuración del sistema realimentado a partir del estado observado, usando el observador mínimo.

Ejemplo de un sistema de control con seguidores Se desea mantener el péndulo perpendicular ante la presencia de perturbaciones tales como una ráfaga de viento que actúa sobre m o una fuerza inesperada aplicada al carro, al final de cada proceso se pretende regresar el carro a su posición inicial. Diseñe un sistema de control tal que dadas cualesquiera condiciones iniciales (provocadas por perturbaciones), el péndulo regrese a su posición inicial, en unos 2 segundos son una coeficiente de amortiguación de .5, suponga los siguientes valores: Suponemos que el angulo del pendulo y la velosidad angular son pequeños, por lo que y

30

Remitiéndonos a la sección anterior sabemos que son las ecuaciones del sistema

31

(21) (22) Cuando se sustituyen los valores umericos obtenemos que (30)

(31) Y definimos las variables de estado x1,x2,x3.x4, como Asi con las ecuaciones 30 y 31 y la figura 1 considerando la posicion del carro x coo la salida del sistema, obtenemos las ecuaciones para el sistema del modo siguiente: (32) (33) (34) (35) donde ,, Para el sistema de seguimiento de tipo 1, tenemos la ecuación de error del estado obtenida mediante la ecuación (36) En donde , Y la señal de control se obtienen a partir de la ecuación Donde Determinamos la matriz de ganancias de retroalimentación necesaria mediante la tecnica de ubicación de polos. Debemos examinar el rangop de la matriz P, en donde La matriz P se obtienen mediante El rango de la matriz es 5 por lo tanto es controlable, y vuscamos la ecuación caracteristica para el sistema con la ecuación 36 Por tanto 32

Para obtener una velocidad y amortiguamiento razonables en la respuesta del sistema 4−5 seg. y sobrepaso del 15%−16% en sobrepaso del carro seccionamos los polos de lazo cerrado deseados en en donde Son polos posibles, pueden elegirse otros, la ecuación característica se convierte en El siguiente paso es obtener la matriz de transformación T de la ecuación 4 En donde M y W salen de las ecuaciones 5 y 6 respectivamente Entonces La inversa de T es Remitiendonos a la ecuación 13 K se obtiene Por lo tanto obtenemos que Caracteristicas de la respuesta escalon unitario del sistema diseñado, simulación en Matlab Una ves diseñado el sistema la respuesta del sistema se obtiene de la siguente manera con Matlab Con la matriz de ganancias k y la constante integral k1 alimentamos el programa como se dice a continuación: %−− Introducir las matrices A=[0 1 0 0; 20.601 0 0 0; 0 0 0 1; −0.4905 0 0 0]; B=[0;−1;0;0.5]; C=[0 0 1 0]; D=[0]; K=[−157.6337 −35.3733 −56.0652 −36.7466]; Kl=−50.9684; AA=[A−B*K B*Kl;−C 0]; BB=[0;0;0;0;1]; CC=[C 0]; DD=[0]; %−−Comandos t=0:0.02:6; %tiempo de inicio,incremento y finla de simulación [y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD,1,t); Plot(t,x); 33

grid title(`curvas de respuesta x1,x2,x3,x4,x5 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x1,x2,x3,x4,x5') text(1.3,0.04,'x1') text(1.5,−.34,'x2') text(1.5,0.44,'x3') text(2.33,0.26,'x4') text(1.2,1.3,'x5') %−− ahora las curvas de x contra t x1=[1 0 0 0 0 ]*x'; x2=[0 1 0 0 0 ]*x'; x3=[0 0 1 0 0 ]*x'; x4=[0 0 0 1 0 ]*x'; x5=[0 0 0 0 1 ]*x'; subplot(3,2,1); plot(t,x1); grid title(` x1 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x1') subplot(3,2,2); plot(t,x2); grid title(` x2 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x2) subplot(3,2,3);

34

plot(t,x3); grid title(` x3 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x3) subplot(3,2,4); plot(t,x4); grid title(` x4 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x4) subplot(3,2,5); plot(t,x5); grid title(` x5 contra t') xlabel(`tseg') ylabel(`x5) Conclusiones La obtención de los modelos matemáticas de sistemas es una tarea complicada y larga, pero es una manera muy eficiente de crear soluciones a problemas de cualquier tipo. Matlab es una herramienta muy poderosa, que nos permite ahorrar tiempo, y visualizar de mejor manera el comportamiento de los sistemas, además permite aventajar trabajo facilitando cálculos muy complejos como lo son las operaciones con matrices, al innovar en este tipo de situaciones es muy útil no solo para los matemáticos, si no también para la electrónica, Química, Biología, estadística, etcétera. Bibliografia 1 Ogata, Katsuhiko Ingeniería de Control Moderna, Prentice−Hall, 3ra. Edición 1998. Capítulo 12. d 2 A = [1 −1 0, 3 −1 −1,

35

7 1 −4 ] B = [0, −2, 7] C = [20 0 0] D = 0; %Polos de lazo cerrado deseados Pc = [−4+5j, −4−5j, −8] echo on %Cálculo de la matriz de ganancia K = acker(A, B, Pc) sys1 = ss(A−B*K, 0*B, C, D); %modelo continuo en el tiempo %Define la variable tiempo t = 0:0.02:1.6; %Se fijan las condiciones iniciales x0 = [−2 1 2]'; %Respuesta a las CI [Y, T, X] = initial(sys1, x0, t); subplot(2,1,1) plot(t,X) title('Respuesta a las CI del regulador con realimentación lineal de estado') xlabel('tiempo en segundos') ylabel('x1, x2 y x3') grid on

36

%Reconstruye la señal de control u = −X*K'; subplot(2,1,2) plot(t,u) %title('Respuesta del regulador con realimentación lineal de estado') xlabel('tiempo en segundos') ylabel('señal de control u') grid on % Uso del comando acker y el concepto de sistema dual para un sistema continuo A = [−2 5; 0 1]; % matriz de estado B = [0; 4]; C = [−1 1]; Po = [−4;−6]; % Polos del observador en −4 y −6 Ke = acker(A',C',Po)' % Calcula ganancia para ubicación del sistema dual −26.5000 −17.5000 Ao = A − Ke*C; Bo = [Ke B]; eig(Ao) % calcula eigenvalores del observador −6 −4 %−−Diseño de un sistema de control de pendulo invertido %−− este programa determina la matriz de ganancias del estado %−−K=[k1,k2,k2,k4] usando la formula de Ackerman %−−Introducir las matrices A,B,C y D A=[ 0 1 0 0; 20.601 0 0 0;

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0 0 0 1; −0.4905 0 0 0]; B=[0;−1;0;0.5]; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[0;0]; %−−Desina la matriz de de controlibilidad M y verifique su rango M=[ B A*B A^ 2*B A^ 3*B]; Rank(M) ans=4 % −−Dado ke el rango de M es 4 el sistrema es controlable, y es posible la ubicación arbitraria %−−de polos %−−Introduzca el polinomio caracteristico deseado, que se obtiene %−−definiendo la matriz J siguiente e introducioendop poly(J) J=[−2+2*sqrt(3)*i 0 0 0; 0 −2−2*sqrt(3)*i 0 0; 0 0 −10 0; 0 0 0 −10]; JJ=poly(J) JJ= 1.0e+003* 0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.600 %−− introduzca el polinomio caracteristica Phi Phi polyvalm(poly(J),A); %−−La matriz de ganancias de retroalimentacion del estado K se determina a %−−partir de K=[ 0 0 0 1]*(inv(M))*Phi K=

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−298.1504 −60.6972 −163.0989 −73.3945 %−−Respuesta a condiciones iniciales %−−Este programa obtiene la respuesta inicial del sistema %−−Introduzca las matrices A, B y K para obtener AA A=[ 0 1 0 0; 20.601 0 0 0; 0 0 0 1; −0.4905 0 0 0]; B=[0;−1;0;0.5]; K=[−298.1504 −60.6972 −163.0989 −73.3945]; AA=A−B*K; %−−Introduzca la matriz de las condiciones iniciales BB BB=[0.1;0;0;0]; [x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB); x1=[ 1 0 0 0]*x'; x2=[ 0 1 0 0]*x'; x3=[ 0 0 1 0]*x'; x4=[ 0 0 0 1]*x'; %−−Grafique las curvas de respuesta x1 contra t, x2 contra t, x3 contra t y x4 contra t en %−−un diagrama subplot (2,2,1); plot(t,x1);grid title(`x1(Theta) contra t') xlabel(`t segs') ylabel(`x1=Theta') subplot (2,2,2); plot(t,x2);grid

39

title(`x2(punto Theta) contra t') xlabel(`t segs') ylabel(`x2=punto Theta') subplot (2,2,3); plot(t,x3);grid title(`x3(desplazamiento de carro) contra t') xlabel(`t segs') ylabel(`x3=desplazamiento de carro') subplot (2,2,4); plot(t,x4);grid title(`x4(velocidad del carro) contra t') xlabel(`t segs') ylabel(`x4=velocidad del carro)

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