Sistemas Lineales e Invariantes

PRÁCTICA 2 (1 sesión)

Laboratorio de Señales y Comunicaciones

PRÁCTICA 2 Sistemas Lineales e Invariantes 1. Objetivo Los objetivos de esta práctica son: 

Revisar los sistemas lineales e invariantes, conceptos de convolución y filtrado.



Analizar con detalle las operaciones y movimiento de datos asociados con el funcionamiento de un filtro digital.



Poner de manifiesto la relación entre la posición de los polos y los ceros de la función de transferencia de un filtro digital y su respuesta en frecuencia, considerando asimismo la aplicación de dicha relación al diseño de filtros.

haciendo hincapié en los

2. Contenido Teórico La teoría necesaria para desarrollar esta práctica puede encontrarse en los Capítulos 1,2 y 10 del libro: "Signal and Systems (Second Edition)" de A.V. Oppenheim y A.S. Willsky; y en los capítulos 4, 5, 6 y 7 del libro: “Discrete-Time Signal Processing” de A.V. Oppenheim y R.W. Schafer. Su estudio previo es condición indispensable para el correcto aprovechamiento de las horas de laboratorio.

3. Cuestionario previo 1. Sean los sistemas definidos por las relaciones entrada-salida siguientes: Sistema l: y[n] = x[-n] Sistema 2: y[n] = x[n M] (diezmador) Las propiedades básicas que permiten caracterizar el comportamiento de los sistemas discretos son: linealidad, invarianza temporal, causalidad y estabilidad. Analice el cumplimiento de estas propiedades para los dos sistemas. 2. Considere el sistema lineal e invariante con respuesta al impulso finita (FIR) definido por la siguiente ecuación en diferencias: y[n]= x[n] + a x[n-l] + x[n-2] Determine su respuesta al impulso y su respuesta en frecuencia. Calcule el parámetro a para que anule la respuesta del sistema a una frecuencia f0. 3. Considere el sistema de la figura. Determine la salida y[n] cuando la entrada es x[n]= δ[n] y H(Ω) es un filtro paso bajo ideal con frecuencia de corte ωc = π/2. (-1)nz[n] x[n]

H(Ω)

z[n]

(-1)n

y[n]

4. Obtenga y dibuje aproximadamente la convolución de las dos señales siguientes:

5. Obtenga la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia del filtro definido por la siguiente función de transferencia: z −1

, ROC : z > a y ( a < 1) 1 − az −1 6. Obtenga los coeficientes de la siguiente función de transferencia de manera que presente dos polos conjugados de módulo 0.75 y fases 45º y –45º, y un cero doble en el origen:

H (z ) =

B (z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 = A(z ) 1 + a1 z −1 + a2 z − 2

7. Elabore una tabla que relacione las ventajas e inconvenientes de los filtros FIR en comparación con las de los IIR. 8. Demuestre que si la respuesta al impulso de un filtro FIR cumple la siguiente propiedad de simetría:

h[2α − n ] = h[n ] siendo 2α un número entero, el filtro presenta fase lineal.

4. Sistemas Discretos Ejercicio 1. (opcional) Compruebe mediante MATLAB la validez de los resultados obtenidos en el ejercicio 1 del cuestionario. No es necesario que compruebe todas las propiedades, tan solo aquéllas que presenten, a su juicio, alguna dificultad. Ejercicio 2. Considere la señal x[n] y el sistema lineal e invariante (definido por su respuesta al impulso, h[n]) que siguen:

x[n ] = u[n ]− u[n − 5]+ u[n − 10]− u[n − 15] h[n ] = δ [n ]+ 3δ [n − 1]+ δ [n − 2] Determine y[n]=x[n]*h[n] mediante la función conv. Dibuje x[n], h[n] e y[n]; asegúrese de que representa cada señal en los instantes de tiempo correspondientes. Repita el ejercicio utilizando filter y compare ambos procedimientos, Reflexión 1:  ¿qué diferencias encuentra?,  ¿se le ocurre cuál puede ser el motivo de la diferencia? Ejercicio 3. Elija el parámetro a del sistema definido en el ejercicio 2 del cuestionario previo para que la respuesta en frecuencia se anule en f0=5/32. Filtre una señal sinusoidal y variando su frecuencia compruebe que presenta el cero de transmisión deseado. Ejercicio 4. Simule en MATLAB el sistema ilustrado en el ejercicio 3 del cuestionario. Obtenga la salida para diversas entradas y verifique el resultado obtenido en teoría. Para el diseño del filtro paso bajo H(ω) puede emplear la instrucción h=fir1(16,0.5), que devuelve como salida la respuesta al impulso del filtro. Reflexión 2:  ¿Se trata de un sistema lineal e invariante en el tiempo?  ¿Qué aplicaciones le encuentra a dicho sistema?  ¿Qué función desempeña el filtro previo de entrada H(ω)? Ejercicio 5. Abra, utilizando “netscape”, el fichero convol.htm (el profesor le indicará dónde encontrarlo) y compruebe si su solución al ejercicio 4 del cuestionario es correcta. 5. Programación de una sección de segundo orden Ejercicio 6. Dada la función de sistema:

Programe, siguiendo el grafo de la figura, una función MATLAB con el formato: [y, cf]=iir2(b,a,x,ci) donde x e y son los vectores de entrada y salida, b y a son los coeficientes del numerador y denominador de la función de transferencia del filtro, y ci y cf son las condiciones iniciales y finales, respectivamente.

Compruebe que su función es correcta comparando sus resultados con los obtenidos con la función filter para filtrar una señal aleatoria de longitud 20 en dos etapas, cada una de 10 muestras. Utilice, para ello, condiciones iniciales nulas para la primera etapa y para la segunda, las condiciones finales resultantes de la primera. En ambos casos emplee los siguientes vectores de coeficientes: a=[0.9 –0.81]; b=[1 1.5 0.5]; Reflexión 3:  ¿Qué tipo de implementación se utiliza en la función filter de Matlab? (Consulte la ayuda de Matlab)  ¿Son idénticas las condiciones finales obtenidas con dicha implementación y con la suya? ¿Cuál es el motivo? 6. Dominios z y ω: diseño de filtros Ejercicio 7. Obtenga y dibuje las respuestas al impulso y en frecuencia (utilice freqz para obtener esta última) del filtro definido en la cuestión 2, para a=0.5 y para a=0.9. Observe los cambios que se producen. Ensaye también a=1 Reflexión 4:  ¿Qué observa?, ¿en qué frecuencias se sitúan los ceros de este filtro para cada caso?

Ejercicio 8. Obtenga y dibuje las respuestas al impulso y en frecuencia de un sistema como el propuesto en la cuestión 6, para los siguientes casos particulares:     

polos con módulo 0.75 y fases 45º y –45º polos con módulo 0.75 y fases 90º y –90º polos con módulo 0.75 y fases 135º y –135º polos con módulo 0.9 y fases 45º y –45º polos con módulo 0.95º y fases 45º y –45º

Ayúdese de la función poly. Ejercicio 9. Obtenga y dibuje las respuestas al impulso y en frecuencia de un sistema que tenga un solo polo en z=0. Utilice la función unwrap para observar la fase. Añada otro polo en z=0 y observe de nuevo las respuestas al impulso y en frecuencia. Finalmente, sitúe un tercer polo en z=0 Reflexión 5:  ¿Qué concluye acerca del efecto de los polos en el origen? Ejercicio 10. Obtenga y dibuje la respuestas al impulso y en frecuencia de un filtro con tres ceros: en z = -1, z = -j y z = j. Reflexión 6:  ¿De qué tipo de filtro se trata? Ejercicio 11. Diseñe un filtro discreto de Chebychev paso bajo con frecuencia de corte normalizada Ωc= π/2, orden 8 y rizado máximo de 3 dB en la banda de paso (utilice para ello la función cheby1). Dibuje, mediante freqz, el módulo (en dB) y la fase de la respuesta en frecuencia del filtro diseñado. Ejercicio 12. Diseñe un filtro FIR paso bajo de longitud 18 con la misma frecuencia de corte que el anterior mediante la función fir1. Observe las simetrías de la respuesta al impulso. Dibuje, como en caso anterior, la respuesta en frecuencia Reflexión 7:  ¿Tiene fase lineal? Compare las características de este filtro con las del anterior. Ejercicio 13. Compare, utilizando las funciones freqz y zplane, los siguiente filtros paso bajo, todos ellos de orden 8 y frecuencia de corte π/2:  

Butterworth (butter) Chebychev con 3 dB de rizado en la banda de paso (cheby1)

 

Chebychev con atenuación mínima en la banda atenuada de 40 dB (cheby2) Elíptico con 3dB de rizado en la banda de paso y 40 dB de rechazo en la banda atenuada (ellip) Reflexión 8:  Observe cómo se distribuyen en cada caso los polos y los ceros para obtener la respuesta en frecuencia deseada, ¿qué características de los distintos tipos de filtro se pueden atribuir a esta disposición de los polos y ceros?