ESTA©^STICA ESPAÑOLA Núms. 112-113, 1986, p^gs. 45 a 58

Sobre la utilización de la matriz inversa de Leontief en economías abiertas por FERNANDO DEL CASTILLO CUERVO-ARANGO, J 4SE MARIA MARTI N EZ GAL6ETE Instituto Vasco de Estadistica

RESUMEN El objetivo de este articulo consiste en demostrar la imposibilidad de utilizar la matriz inversa de Leontief, basada en coeficientes técnicos, en el momento en que exista comercio interindustrial con el exterior (resto del mundo). Los coeficientes útiles en el análisis son en realidad los internos o las aproximaciones a los totales a partir de depurar la matriz ^ie coeficientes técnicos de importaciones complementarias. Por todo ello la estabilidad en el tiempo y en el espacio del modelo sufre menoscabo, lo que le debilita como instrumento en proyecciones, simulaciones o análisis de impactos. Yalabras clave: M odelo Input-Output, Estabilidad de los coeficientes, Análisis de impactos, Formulación del modelo, Importaciones complernentarias, Multiplicadores. En los cincuenta años que lleva funcionando el rnodelo de Leontief en la ciencia económica, muchas han sido las críticas efectuadas asi como las mejoras introducidas, aunque esencialmente el modelo apenas haya variado del dehnido en 1^41. Las ventajas principales del método consisten en su sencillez y sus posibilidades emplricas, que a su vez se tornan en sus mayores inconvenientes.

E.STADtSTICA ESP'A!'`1ULA

Continuamente se ha cuestionado tanto la validez de los supuestos como la representatividad del sistema. Si bien las constantes aplicaciones en todos los campos, durante ya muchos años, dan fe de su papel de herramienta de trabajo fundamental para el economista actual. En esencia la cuestión es muy simple. EI métado de Leontief es una potente ayuda al análisis económico, especialmente si se necesita un modelb sectorial rnuy desagregado, pero todo usuario deb^e conocer suficientemente sus limitacianes si intenta obtener a partir de él conclusiones válidas. A menudo se observa que hay economistas que pretenden sacar más partido al método del que en realidad puede ofrecer, cayendo en la tentación de convertirlo en panacea en los estudios interindustriales. No se trata aqui de entrar en la crítica de las múltiples supuestos de partida, su proporcionalidad y linealidad, las distorsiones que se derivan de la agregación o de la valoración, o en los problemas y deficiencias que se constatan a la hora de elaborar una tabla input-output, base estadistica del modelo. Tan sólo se va a centrar este articulo en los peligros que se corre al utilizar la matriz inversa elaborada a base de los coe^cientes tecnológicos para estudias tales como los de interrelaciones, impactos, multiplicadores, simulaciones y demás clásicas explotaciones input-out put.

1.

EL MODELO EN ECONOMIAS CERRADAS

Es el modelo al que en realidad se acude para explicar el método. Al tratarsé de economías cerradas se supone que no existe comercio exterior, lo cual nunca es exacto a no ser que se ref era a la economía mundial, y tiene sobre todo una intencionalidad pedagógica, De esta forma, partiendo de una tabla input-output se llega a las siguientes identidades por filas y rama a rama: xi l +x12 +... +xin +DF'1 = X 1 x21 +x2^+..,+x2„+DF2=Xz

............................ .. x„^ +x„2+...+x„„+DF„=X„

cuyas notaciones son las usuales (*). De^niendo el coeficiente técnico como se hace normalmente, es decir,

* A veces la c^emanda final, aquí denatada como D^', se suele representar por Y A1 final del artículo se detallan las n^taciones utilizacias.

SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LA MATR12 INVERSA DE LEO[YTIEF EN ECONOMIAS ABIERTAS

47

una fracción constante y estrictamente proporcional de la producción de la rama productiva. se tiene que: x;; X

a`'

(2)

^ y sustituyendo en (1): ai^ X i+c^12 X2+...+a1„ Xn+DFi =X 1 X 2 -i- ...-i- C12 n X n + D F^= X 2

Q 2 1 .X 1 -i- CI 2 2 s

s

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Q^1

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e

•

(3)

X 1+Q^Z X^2+...+Clnn X^+'^.Fn"xn

que en forma matricial resulta: AJ^+DF=X

(4)

despejando el vector de producciones X: (I ---A)X --DF

(5)

X = (I - A) ^ 1 DF

(6}

La ecuación (6) es la relación fundamental del modelo input-output en su versión estática, según la cual la producción de cada rama productiva depende de un nivel determinado de la demanda final.

2.

EL MODEL+O EN ECONOMIAS ABIERTAS

La consideración del comercio exterior introduce en el modelo las importaciones, al igual que las exportaciones, aunque su papel es más marginal, Según estb, la tabla input-output resultante hace aparecer una parte de las importaciones en la matriz interindustrial por tratarse de productos intermedios necesarios para la actividad productiva que se desarrolla en ese país o región, y el resto de las irnportaciones, que forzosamente serán bienes finales, así como las exportaciones en la matriz de demanda flnal. Generalmente la tabla suele separar los flujos en filas distintas según sean internos o importaciones. En deflnitiva, cualquier tabla input-output no es más que la superposición de dos tablas, una con claro contenido interno y la otra externo, dando por adición una tabla de recursos totales. De aquí que se pueden elaborar identidades contables del modelo para, por ejemplo, dos sistemas distintos: el interno y el total.

aH 2.1.

ESTADfSTiCA E5PAÑC^LA

Mclúelv intE^rnc^

Surge de la consideración exclusiva de las relaciones internas de la economía sin tener en cuenta las importaciones. Las exportaciones se incluyen ya que se trata de producción interna no utilizada en el interior, por lo que se contabiliza en la demanda final sin considerar la naturaleza de los bienes exp^ortados (bienes finales o intermedios). De este modo, sumando para cada rama por filas en la tabla input-output interna resulta: ^c ;^ +x 12-+-...+x ñ +DF^=X ^ .x ^^"1 +x ^^'^+...+x ^„+DF ^v=X2 x ^,;, +xñz-^-...+_Y „+DFn-Xn

(7)

Para seguir desarrollando el modelo ya no es posible utilizar el coeficiente técnico, definido en (2^, puesto que los imputs relevantes son los nacionales (x ^; ). Por tanto se necesita definir un nuevo coeficiente de naturaleza interior que ligue la producción con las necesidades de inputs intermedios internos: X N ^ ^ - -----

X^ Es evidente que este coeficiente ya no tiene un carácter tecnológico, con lo que su estabilidad sufre menoscabo. Como se puede observar: X;^

u^j-

XN+^Cl^

X ^

N

U ^^ + mi^

(9)

C1^^U^j-i'1'ttj

Para considerar estable este coeficiente interno, además de aceptar todos los supuestos del modelo, que permite 1a estabilidad de1 coeficiente técnico, es necesario suponer también estable la relación de inputs importados sobre producción. Aceptando esta nueva restricción, el modelo se desarrolla de manera similar a1 caso cerrado. Sustituyendo u N en las identidades de (7). u ^^`1 X 1-^- tx ^2 X 2-^- ... -^- u í^n X„+ D F^= X 1 u^, X,+u^2 X2 +...+u^„X„ +DF^= X 2 ... ....... ..................... .. ... Llñl X 1 +C1^2X2^ ...+uñ X„+DFñ=X„

(10}

SOB^tE LA U77L1ZACIÓN DE i.A MATRIZ [NVERSA DE LEONTT£F EN ECUNOMÍAS ABIERTAS

49

que en forma matricial A"X+DF^^'=X X=(1-- A"' )^ ^ D F^^'

Es decir, el modelo interno hace depender la producción del nivel de demanda final de origen interno o nacional a través de unos parámetros que resultan de invertir la matriz (1-- A"), matriz que sólo contabiliza valores nacionales. La utilización de este modelo en estudios ex-post estructurales na ofrece demasiados problemas ya que muestra una relación que se ha dado efectivamente en la realidad. La única restricción es que los aspectos que mide son internos; pero incluso puede también incorporar estudio^ sobre los efectos al exterior mediante el análisis de los requerimientos de importaciones por unidad de demanda flna1. Naturalmente, todos estos estudios son parciales pues nada dicen sobre los efectos multiplicadores que se crean en el exterior debido a las importaciones realizadas. Es más problemático utilizar este modelo para estudios de impacto, simulaciones, o cualquier otro análisis ex-ante o que suponga algún tipo de proyección y por tanto requiera estabilidad en sus coeficientes. Suponer que se van a mantener estables las relaciones de inputs importados sobre producción es una hipótesis excesivamente fuerte y un estudio de esta naturaleza sólo permitiría ligeras aproximaciones que habria que tomar con reservas. Igualrnente hay que señalar que la demanda final que considera el modelo es la interna, por lo que cualquier simulación necesitaría estimar previamente qué parte de la demanda fínal debe importarse.

Con todo, el modelo interno, a pesar de sus limitaciones, resulta el ade` cuado para analizar la estructura interna de una economía, es decir, para descubrir el entramado de flujos existentes entre sus sectores productivos y, por tanto, es aplicable en estudios de tipologías sectoriales, jerarquización, complejos industriales o niveles de interdependencia globales de la economía. Sin embargo, no es aconsejable para otros tipos de análisis.

2.2.

E1 modelí^ bc^sado en vulores totules

En este caso se consideran los flujos completos intersectoriales, ya provengan del interior o bien sean importados. Así pues, los equilibrios contables por filas se refieren al total del output o empleos, es decir, la producción más las importaciones de productos equivalentes.

SU

ESTAD^STiCA ESPAÑULA

Su desarrallo formal seria el siguiente: x^, +x1z+...+ x,,,+DF, =X, +M, xZl + x22+...+x2„+DF2=X 2+M2

................................ .. x„, +xñ2+...+X„„+DF„ =X„+M„ En este sistema sí es posible utilizar el coeficiente técnico verdadero a^; . Introduciéndole en (12}: Q, 1 X í+'C1,2 X Z+...+U,„X„=X 1+M1 U2i X 1 -}-UZ2X2+-...+aZnX„^X^+M2 ......................................... CI„, X 1+U„^Xz+...+GI^„^n=r^n+.M„

que en forma matricial resulta: AX+DF=X+11r1

(^4)

(1-- A) X -= DF - M

(15)

X = (1- A) - ' ( DF' - M)

(16)

En este caso el sistema relaciona el nivel de producción con la demanda hnal neta de importaciones totales tanto intermedias como hnales pero adolece de dos incoherencias importantes: a) E1 vector (DF - M) puede tener entre sus valores algunas con signo negativo, lo cual origina un problema de interpretación económica ya que se puede entender que ante incrementos de la demanda final la resultante pueda ser una producción negativa. b) Las importaciones representadas por M incluyen tanto las realizadas para cubrir directamente la demanda hnal como las intermedías, necesarias para la praducción. Es lógico aceptar que las primeras son un elemento exógeno al modelo; pero no ocurre lo mismo can las importaciones de bienes intermedios cuyo nivel depende del nivel de producción. En otras palabras, la matriz inversa de Leontief total no indica el incremento de producción ante incrementos unitarios de la demanda final ya que hay una parte de M que varía en función de la producción, es decir que L1 M_ ^ ^ 11DF Así pues, el total de importaciones se puede dividir en dos partes: una endógena al rnodelo (M ^) de productos intermedios cuyo nivel viene deter-

SOBRE LA ili1LIZACI(5N DE LA MATRIZ INVEI!ZSA DE LEON'TiEF EN ECONOMtA5 ABIERTAS

S^

minado por el de producción y la otra exógena al modelo f M F) que recoge las importaciones destinadas a la demanda final. Es decir: 11^I = M^+ M^

(17)

Al quedar M^ determinada por la producción: M F= [rn^; ] X

{ 18)

Es fácil determinar que [m^;] es una matriz n x n cuyos elementos quedan de^nidos por: x,^; m i., - ^

^

Es decir los elementos que se deberian mantener constantes para aceptar la estabilidad del modelo interno. Sustituyendo { 17) y(18) en (14) resulta: AX + DF= X +M^^+ [mi;] X

(19)

y desarrollando: (1-A+[m^,])X -- D1^,-MF. X = {1- (A - Cm^; ])) -' (DF - M ^^)

Es inmediato el ver que: A-[m^;]=A" DF- MF^= DF"

Con lo que se llega a que: X = (I - A ") -' DF N

Que es la expresión { 11) del modelo interno. Es decir, el desarrollo de las identidades del modelo indica que si no se realizan supuestos adicionales, para determinar la relación entre producción y nivel de demanda linal los únicos coeficientes rigurosamente utilizables son los interiores. Estos cae^cientes no tienen una clara signi^cación tecnológica pero sí relacionan correctamente las variables del modelo. Llegados a este punto hay que plantearse el signi^cado de la inversa de

52

ESTAD^S"TICA ESPAIVOLA

Leontief basada en coef2cientes totales. Para ello retomando el modelo a partir de (19) y despejando el segundo miembro del modelo clásico (1 _ A)-' DF; y dado que [m;;] .X^ = ME. X=( I-- r4 )-'( DF -- M E-- M F^) (1-A)-' D,F=X +(1-.4)^' ME+(1--A)'' MF^

(21)

Es decir, los parámetros de la matriz inversa total de Leontief valoran, ante cambios unitarios de la demanda hnal: El incremento habido en la producción. Más el incremento de producción en el exterior de Ias importaciones intermedias, considerando que las economias extranjeras poseen las mismas estructuras de coste que las nacionales. Más el incremento de producción creado en el exterior debido a las importaciones de bienes finales suponiendo, igualmente, que la estructura de costes es idéntica que en el interior. Según esto, y ciñéndonos a análisis input-output clá.sicos, los estudios de tipo descriptivo de la estructura productíva y sus relaciones internas se analizan a través del modelo interior. La matriz inversa total debe valorar, en principio, las relaciones totales que se crean en todas las economías relacionadas con la que se estudia y pretende dar una visión estructural y tecnológica de las relaciones directas e indirectas de cada rama con todas las demás, independientemente de donde se sitúen geográficamente, sin embargo, la información disponible se refiere exclusivamente a la estructura costes sectoriales de la economía que se investiga. El modelo, en estas condiciones, aplica la estructura de costes internos a las importaciones, o dicho de otro modo, supone idéntica tecnología en todas las economias relacionadas. En principio esta hipótesis no es realista, hecho comprobado en estudios empiricos. Por otro lado, incluso teóricamente, el hecho de importar ciertos bienes parece suponer que en ellos se da algo distinto que no está presente en la estructura de producción interna, ya sea porque ese producto no exista y por tanto la tabla no puede representar su estructura de costes o porque otra estructura permite mejores precios que hacen más competitivo al producto o porque la producción interna es insuficiente. En los dos primeros casos e incluso muy probablemente en el tercero, la información de que se dispone no es válida para representar la estructura de costes de las importaciones. Pero aunque este supuesto es una restricción importante para la utilización de la matriz inversa total en los estudios de estructura pr©ductiva, existe otra limitación mucho mayor, que incluso cuestiona la validez del simple cálculo de la matriz inversa. La cuestión se refiere a que si bien en teoria el

S^C)^ BRE LA U'i'ILCZ.ACi6N DE LA MATRIZ INVERSA DE LEONTIEF EN ECONOMÍAS ABIERTAS

S3

modelo relaciona estructura de costes de cada producto, cualquier tabla requiere una agregación de bienes en rnayor o menor medida formando un conglomerado de empresas que producen mercancías convencionalmente similares, que es lo que se Ilama rama productiva. La información que afrece la tabla sobre estructura de costes se ref ere a la rama y no es más que una media ponderada de las estructuras de costes de cada producto incluido y elaborado por las unidades económicas agregadas en la rama.

Formalmente, haciendo el supuesto de que una rama agrupa exclusivamente dos productos con estructura de costes diferentes, el coeficiente técnico de cada producto será: xi, ^ x^,z ac. ^--^ _ y a;, 2- X--_ 1

2

y el de Ia rama: _xi,1+2 x i,1 +`xi,2 a i,1 X1+Ui,2X2 ai,l +2- X1+2 , ^1 ^X2 ._` Ji,i ^.^2

Es decír: X2 a^i.^ + 2 -a^`,' X1 X1 +x2 +a^ !'z X1 +X2

Lo que indica que el coeficiente técnico de la rama es la media de los coeficientes técnicos de cada producto agregado ponderada por la participación en la producción de la rama de cada uno. Si se utiliza la matriz inversa total y por tanto la matriz de coehcientes técnico totales, es obligado que la proporción en valor de producción de cada producto incluido en la rama sea idéntica en la economía estudiada y en el resto del mundo. Es decir, para que el modelo sea aplicable, además de la hipótesis de idéntica tecnológica es necesario suponer que la proporción de productos incluidos en cada rama y los importados equivalentes sea también idéntica, lo cual es totalmente improbable. Un ejemplo extremo, pero presente en todas las tablas de España, es muy ilustrativo de la incoherencia que se comete al calcular la matriz inversa total con estos supuestos. Algunas de las actividades que se suelen agregar en las Tablas Input-Dutput españolas, tanto nacional como regionalmente, son la prospección, extracción y refino de petróleo; salvo una mínima cantidad, la rama resultante relaciona la estructura de costes del refinado, cuyo input principal es el crudo de petróleo importado en su rnayoría

ESTADÍSTICA ESPAÑC)LA

y que en este caso aparece, por tanta, en el reemplea. De utilizarse la matriz inversa total, el modelo, al calcular tos efectos indirectos (debidos al crudo), aplica la estcuctura de inputs del refino al propio crudo, creando un bucle en el reempleo totaimente incoherente, y dando unos resultados distorsionados y falsos. Lo que acurre en este caso es que en la estructura de costes interna la p^roparción de refino es mucho mayor que la del crudo de petróleo y, sin embargo, la irnportación es básicamente de crudo, que tiene una estructura diametralmente diferente. El modelo utiliza los coeficientes medios internos ^sesgados hacia el refino) para calcular el arrastre indirecto que crearía el crudo. Este es un ejemplo rnuy extremo, pero la distorsión existe en todas las importacianes intermedias en mayor o menor medida. En definitiva, en estudios empiricos donde la estructura de costes sectorial es una agregación de varios productos, la utilizaci©n de la matriz inversa totai, sin madificaciones, no está justificada. Sólo es posible superar las limitaciones de este enfaque si se dispone de un modelo multinacional (y rnultírregianal en su caso) y aún asi siempre existirán estructuras de costes no representadas. Cuando se dispone exclusivamente de una tabla nacional o regional,, en estudios de estructura productiva es preferible limitarse a investigar la estructura interior a partir del modelo interno y las ligazones con el exterior a partir de las necesidades de importación por unidad de demanda final. Otra alternativa sería renunciar a considerar los efectos indirectos y utili2ar la matriz de coeficientes técnicas en lugar de la inversa, lo que permite analizar relacYOnes sectoriales técnicas de forma válida. En los estudios de impactos y proyecciones la problemática es ligeramente diferente. Se puede estar interesado en calcular los efectos totales que se producirian en el mundo ante incrementas de demandas finales de una economia concreta. Este cálcula no es posible disponiendo de una sala tabla, ya que además de todos los supuestos del madelo, poco reales para estudios exante, son también relevantes las restricciones señaladas anteriormente. Sin embarga, es factible pensar en utilizar ía matriz inversa total en el cá,lculo de efectos cuando se hace el supuesto adicional de que el incrementa de producción debida a variaciones en la demanda final se cubre íntegramente con producción interiar. En esencia se trata del tema clá.sico de sustitucíón de importaciones, y el modelo permite calcular un valor potencial, si todos los arrastres se quedan en ei interior. Se trata de un supuesto poco realista, pero a1 menos aporta una valoración del efecto máximo o impacto potencial, que unido a un valor medio, que se consigue a través del modelo interno --es decir, suponiendo que el porcentaje de inputs importados permanece consenriquece los estudios de impactos y proyecciones. Estos cálculos setante rian igualmente muy útiles para estudiar la articulación real y potencial de un sector en 1a economía, lo que significaría una importante ayuda en programas de mejora de articulación interna a de medidas para sustitución de importaciones.

S4BRE l.A UT[LIZACtÓN DE LA MATRIZ INVERSa DE LEONTIEF EN ECUNOMfAS ABIERTAS

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Incluso en estos casos, la matriz inversa total no es utilizable, pues a nadie se le escapa que existen bienes que en ningún caso se pueden producir en el interior, como son ejemplo claro los recursos naturales, si la economía no dispone de ellos. Par tanto, es necesario depurar previamente la matriz de coeficientes técnicos de las importaciones denorninadas complementarias. La matriz resultante A* estaría formada par filas de A en aquellos productos sustitutivos y de A" en en aquellos complementarios. La inversa (1-- A*) -1 daría infarmación sobre el impacto potencial en la economía ante variaciones unitarias de la demanda flnal si existe sustitución total de importaciones sustitutivas. La comparación entre (1- A* )-^ y(1- A") ^ 1 permite el estudio de lás desarticulaciones evitables y de las ramas que debieran especialmente sustituir importaciones.

Con todo, conviene reflexionar sobre qué tipo de importaciones se pueden considerar complementarias y cuáles sustitutivas. Su significado parece claro pero no resulta tan fácil asignar cada producto importado a uno u otro grupo; ambos conceptos se sitúan en extremos y la mayoría de los productos importados se ubican entre ellos. En primer lugar hay productas que son tipicamente complementarios; se trata sobre todo de praductos naturales, de índole agrícola y minera, cuya presencia es imprescindible en los procesos productivos y de las que se carece en el espacio económico considerado. Ejemplos son el crudo de petróleo, el café, minerales, etc. En el otro extremo se sitúan las producciones que se elaboran en el interior con la misrna estructura y tecnología. Las importaciones de estos bienes se consideran sustitutivas; sin embargo, hay que analizar detalladamente las productos, ya que lo que a primera vista puede parecer sustitutivo puede ser también complementario. Por ejemplo, la calidad exigida en un proceso productivo puede hacer que un mismo producto (como algún tipo de acero) se elabore dentro de las fronteras y a la vez se importe en base a su diferente calidad. En realidad esta importación seria complementaria aunque el fenómeno de la agregación puede velar su verdadero carácter. Igualmente se debe considerar que el proceso de fragmentación del mercado mediante el marketing y la marca comercial hace que productos que a primera vista parecen sustitutivos adquieran un cierto tinte de complementariedad. Este hecho se observa en una gran proporción de bienes finales, y gradualmente va haciendo su aparición en bienes intermedios.

Aún en el caso de que los productos internos y externos fuesen de la misma naturaleza, calidad y marca, puede haber diferencias en precios, cos-

Sb

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA

tes de los factores, etc. Así pues, el ejem^^ lo de importación sustitutivo puro es dificil de encontrar, aún cuando existen productos que se acercan mucho más a este concepto que al de complementario. Todos estos elementos indican que hay que actuar con cautela cuando se pretenda crear una matriz de impactos potenciales, A pesar de ello y con ciertas reservas, la elaboración y estudio de matrices de impactos bajo diversas hipótesis de suscitución de importaciones son útiles en el análisis inputoutput y perrniten situar cotas superiores en las proyecciones.

3.

C'ONCLUSI(JNES

En la actualidad es muy común la publicación de la matriz inversa total al editar unas Tablas Input-Output. Se ha pretendido a lo largo de este articulo demostrar que la utilidad de esta matriz es nula y que puede inducir a error a cualquier usuario. En cualquier caso es una fuente de confusión e incoherencia. Esta conclusión debe ser evidente para cualquier persona que haya profundizado en los elementos de análisis input-output, aunque es de temer que haya estudios basados en tablas que no hayan tenido en cuenta estas limitaciones. En realidad los supuestos del modelo de Leontief, como los de casi todas las herramientas de análisis económico, son útiles y se cumplen con bastante rigor cuando se realizan estudios ex-post, pero son deficientes cuando se trata de realizar proyecciones, simulaciones o cualquier análisis ex-ante. A pesar de ello, en favor del análisis input-output está el hecho de considerar la desagregación sectorial y las relaciones intersectoriales como elementos relevantes del sistema, sumados a los más clásicos de los inputs primarios {capital y trabajo) que en otros análisis de estructura productiva son los únicos cansiderados.

NOTACICJN UTILIZADA a}

Matrices y vectores X = vector de producciones sectoriales (n x l). I= matriz identidad (n x n). A = Matriz de coeficientes técnicos totales (n x n). DF= vector de demanda hnal total (n x 1). A^'-- rnatriz de coeficientes internos (n x n). DF ^= vector de demanda finai de origen interno (n x 1).

SOBRE^ I.A LI'1'[1.17A^`I(")N UE: L.A MATRI7_ lNVERSA DE L.FC)NTIEF f^N F:C^C.)N(7M^AS ABIFRTAS

57

1^1- vector de importaciones equivalentes tutales (n x 1). M^^ = vector de importaciones int^:rmedias (n x 1). M^-- vector de importaciones de bienes para la dernanda final {n x 1). [m;^] = matriz de coeficientes de importación intermedia (n X il ). A*= matriz de coellcientes técnicos depurada de importaciones complementarias (n x n).

b)

Elemer^tos n= número de sectores considerados.

^

x; f-- compras intermedias totales del sector j al i. X; = producción del sector j. . u;; = coeficiente técn^co total

_^ ^, - '-X^

•

DF; = demanda final total del sector i. X;; - compras intermedias del sector ^ al i de origen interno. XN

u,^' = coeficiente interno --'-' X^

_x^; = compras intermedias del sector j al i de origen externo (Importaciones intermedias).

M^ = importaciones equivalentes totales del sector i. M;f^ = importaciones intermedias del sector i. M t^^ importaciones finales de productos del sector i. .^c ^ -^ m;^; = coeficientes de importación intermedia ---^^ X^

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SS

ES^'ADISTICA ESPAIVOLA

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SCJ M MARY ON THE USE OF THE LEONTIEF IN^ERSE MATRIX IN OPEN ECONOMIES The main object of this article is to demonstrate the imposibility of using the Leontief inverse matrix, which is elaborated in base of the technical coef^icients, when there is an interindustrial trade relationship with the rest of the world. The useful coefficients in the analysis really are the internal coefficients or the approach ta the total coefricients obtained from the technical coefficients matrix of complementary imports. As result, the model estability in time and space decreases, which impaires it as an instrument in projections, simulations or impact analysis. Key wor^s•: Input-Output model, Coefficients stability, Impacts analysis, Complernentary imports, Multipliers. AMS 1980 Subject classification: 90 A 17.