1.- Si un vehículo con 2 m. de ancho de vía toma una curva de radio 30 m., calcular las revoluciones por minuto de cada planetario del diferencial sabiendo que la corona gira a 600 r.p.m. Solución: • Longitud recorrida por la rueda exterior en una vuelta completa: L re = 2 • π • (R c + 1) = 2 • 3'14 • (30 + 1) = 194'68 m

• Longitud recorrida por la rueda interior en una vuelta completa: L ri = 2 • π • (R c − 1) = 2 • 3'14 • (30 − 1) = 182'12 m

• Longitud de la línea media de la curva en una vuelta completa: L c = 2 • π • R c = 2 • 3'14 • 30 = 188'4 m

• Relación de compensación: 194'68  = 1'0335  188'4 ⇒ 182'12 = 0'9685  Rueda interior : R ri = 188'4  Rueda exterior : R re =

• Número de revoluciones de los planetarios: nre = 600 • 1'0335 ⇒ nre = 620'1 r.p.m. nri = 600 • 0'9685 ⇒ nri = 579'9 r.p.m.

2.- Un tractor toma una curva de 30 m. de radio a 25 Km/h. Su anchura de vía es de 2 m. El radio de las ruedas motrices es de 0'7 m. El radio de los satélites es de 7 cm. y el de los planetarios 8 cm. Calcular: 1º.- Velocidad angular de los planetarios. 2º.- Velocidad angular de los satélites. Solución: V

ω2

ω ω1 8

ω1

7 30

ωs

ω2

• Velocidad angular del tractor respecto al centro instantáneo de rotación:

85

ω=

25 V 36 ⇒ ⇒ω= R 30 m

ω = 0'23 rad/s

• Velocidad lineal del tractor en la rueda interior: Vint = 0'23 • 29 m/s = 6'67 m/s

• Velocidad lineal del tractor en la rueda exterior: Vext = 0'23 • 31 m/s = 7'13 m/s

• Velocidad angular de la rueda interior: ωint =

6'67 = 9'53 rad/s 0'7

• Velocidad angular de la rueda exterior: 7'13 = 10'18 rad/s 0'7 ωs • 8 + ωs • 7 = ω1 • 8

ωext =

ωs • 8 − ωs • 7 = ω2 • 8

Restando: 2 • ωs • 7 = ω1 • 8 − ω2 • 8 ωs = ωs =

8 • (ω1 − ω 2 ) 2•7

8 • (10'18 − 9'53 ) ⇒ ωs = 4'7 rad/s 14

3.- Un vehículo con 2 m. de ancho de vía y ruedas con radio de 80 cm. al tomar una curva de r = 40 m., qué velocidad tienen los planetarios del diferencial cuando la corona gira a 100 r.p.m. (No tiene reducción final). Solución: ωc = 100 r.p.m.

40 m.

• En el c.d.g. la velocidad del tractor es:

86

V = 100 •

π • 0'8 m/s = 8'38 m/s 30

• Velocidad angular respecto al centro instantáneo de rotación: ω=

V 8'38 = rad/s ⇒ ω = 0'21 rad/s 40 40

• Velocidad lineal de la rueda exterior: VRE = 0'21• (40 + 1) ⇒ VRE = 8'61 m/s

• Velocidad angular de la rueda exterior: ωRE =

8'61 ⇒ 0'8

ωRE = 10'76 rad/s

• Velocidad lineal de la rueda interior: VRI = 0'21• (40 − 1) ⇒ VRI = 8'19 m/s

• Velocidad angular de la rueda interior ≡ ω planetario interior: ωRI =

8'19 ⇒ 0'8

ωRI = 10'24 rad/s

Comprobación: ωc =

ωpe + ωpi 2

=

10'76 + 10'24 ⇒ ωc = 10'5 rad/s ≡ 100 r.p.m. 2

4.- Un vehículo con ruedas de 70 cm. de diámetro al tomar una curva de radio 30 m. sus ruedas alcanzan 82'1 Km/h y 76'16 Km/h; hallar el ancho de vía y el número de revoluciones/min de la corona. Solución: • Velocidad angular de la rueda exterior: 1 m/s 3'6 = 32'58 rad/s

ωre • 0'7 = 82'1• ωre

• Velocidad angular de la rueda interior: ωri • 0'7 = 76'16 •

1 m/s ⇒ ωri = 30'22 rad/s 3'6

La velocidad lineal de la corona: ωc =

ωre + ωri 32'58 + 30'22 = ⇒ 2 2

ωc = 30'4 rad/s ≡ 290 r.p.m.

• Velocidad lineal del c. de g. del tractor: 87

Vc. de g. =

82'1 + 76'16 ⇒ Vc. de g. = 79'13 Km/h 2

• Velocidad angular del centro del tractor respecto al centro de giro: ω = 79'13 •

1 1 • rad/s ⇒ ω = 0'73 rad/s 3'6 30

• Igualando con la velocidad lineal de la rueda exterior: a  82'1  0'73 •  30 +  = ⇒ a = 2'48 m 2  3'6 

5.- Un motor ofrece una potencia de 60 C.V. a 3000 r.p.m. Despreciando las pérdidas en la transmisión, hallar: 1º.- Par en el eje motriz sabiendo que hay una demultiplicación de 36/1. 2º.- Calcular la fuerza periférica sabiendo que el radio de las ruedas motrices es de 70 cm. 3º.- Sabiendo que c = 0'25 Kp/cm2, α = 30º y la superficie de cada rueda motriz en contacto con el suelo es de 1000 cm2, cual es el peso mínimo que debe gravitar sobres las ruedas motrices para que la fuerza periférica no supere la máxima permitida por el suelo. Solución: 1º.- 60 • 75 Kp • m/s = M • ω = M • 3000 •

1 π • 36 30 M = 515'66 Kp • m

2º.- M = U • r ⇒ 515'66 = U • 0'7 ⇒ U = 736'65 Kp 3º.- Tmáx = S • c + Q • tg α S = 2 • 1000 cm 2 = 2000 cm 2 736'65 = 2000 • 0'25 Kp/cm 2 + Q • tg 30 ⇒ Q ≈ 410 Kp

6.- Si un tractor tiene un reductor epi-hipocicloide en las ruedas motrices como se presenta en la figura:

palier planetario satélite

88

La corona va unida a la trompeta y el palier gira accionado desde el embrague a través de caja de cambios y diferencial con las siguientes relaciones de demultiplicación: np ni

=

n 3 ; ni = 3 ; p = 8 1 n s 1 nc 1

La velocidad de giro del motor es de 2000 r.p.m. el radio del planetario 6 cm, el radio de los satélites es de 6 cm. y el de la corona es de 18 cm. Calcular la velocidad de marcha del tractor, sabiendo que el radio de las ruedas motrices es de 0'7 m. Solución: ωs rs ωps rps rp

ωp

(

)

ωp • rp = ωps • rps − ωs • rs ⇒ ωps • rp + rs − ωs • rs = ωp • rp ⇒

(ωps − ωp )• rp = (ωs − ωps )• rs

⇒

ωp − ωps ωs − ωps

=−

rs rp

(I)

ωs rs ωc ωps

rps

rc

ωps • rps + ω s • rs = ωc • rc ⇒ ωps • (rc − rs ) + ω s • rs = ωc • rc ωps • rc − ωps • rs + ωs • rs = ωc • rc ⇒ ωc − ωps • rc = ωs − ωps • rs

(

ωc − ωps ωs − ωps

=

rs rc

)

(

)

(II)

Dividiendo I por II se tiene:

ωp − ωps ωc − ωps r r : =− s : s rp rc ωs − ωps ωs − ωps Como ωc = 0 y ωp = 2000 •

⇒

ωp − ωps ωc − ωps

=−

rc rp

1 1 1 • • r.p.m. 3 3 8 89

ωp = 27'7 r.p.m. ⇒

27'7 - ωps

− ωps

=−

18 6

27'7 − ωps = 3 • ωps ⇒ ωps = 13'88 r.p.m. V = ωps • r = 13'88 •

π • 0'7 m/s ⇒ V = 1 m/s 30

7.- La caja de cambios de un tractor es del tipo epi - hipocicloidal con el siguiente esquema: Corona C Satélite S

Doble eje de salida 1 2 3

Planetario P

La corona tiene 120 dientes y está unida al eje 3. Cada satélite tiene 30 dientes y están unidos al eje 2 y el planetario con 60 dientes está unido al eje 1 Los ejes 1, 2 y 3 son concéntricos, pueden girar uno dentro de otro y pueden se frenados independientemente. El embrague del tractor activa o para el eje 1. Cuando el motor del tractor gira a 1500 r.p.m. Averiguar: 1º.- Si los ejes 2 y 3 giran libremente cual es la velocidad de giro del eje de salida. 2º. En las condiciones anteriores cual es la velocidad angular de la corona y de los satélites y del portasatélites. 3º.- Si se para el eje 3, cual es la velocidad de giro de los ejes de salida y de cada satélite. Solución: rs rps rp

Sabemos que: 90

(

ωp • rp + ω s • rs = ωps • rps ⇒ ωp • rp + ω s • rs = ωps • rp + rs

(

)

(

)

)

ωp • rp + ω s • rs = ωps • rp + ωps • rs ⇒ ωp − ωps • rp = − ωs − ωps • rs ωp − ωps ωs − ωps

=−

rs rp

(I)

rs rc rps

ωc • rc − ωs • rs = ωps • rps ⇒ ωc • rc − ωs • rs = ωps • (rc − rs )

(

)

(

)

ωc • rc − ω s • rs = ωps • rc − ωps • rs ⇒ ωc − ωps • rc = ω s − ωps • rs

ωc − ωps ωs − ωps

Dividiendo I : II se tiene:

ωp − ωps ωc − ωps

=−

rc rp

=

rs rc

(II)

(III)

1º.- El planetario gira, los satélites giran sobre sí mismos, la corona gira sobre los satélites y el eje de salida no gira. 2º.- Velocidad angular planetario 1500 r.p.m. ωp − ωps ωs − ωps

Como ωps = 0 :

ωp ωs

=−

=−

rs rp

rs rp

w s = −w p •

rp rs

ωp − ωps ωc − ωps

⇒ w s = −1500 •

=−

60 r.p.m. ⇒ w s = −3000 r.p.m. 30

ωp rp rc r ; ωps = 0 ⇒ = − c ⇒ ω c = − ωp • rp rp rc ωc ωc = −1500 •

30 = 375 r.p.m. 120

3º.- Si se para el eje 2 ⇒ ω c = 0 , el eje de salida exterior no gira y el interior gira igual que el portasatélites. ωp − ωps r r = − c ⇒ ωp − ωps = ωps • c rp rp ωc − ωps  r ωp = ωps • 1 + c  rp 

   

91

ωps = ωp − ωps ωs − ωps

=−

ωp r 1+ c rp

=

1500 ⇒ 120 1+ 60

ωps = 500 r.p.m.

rs 1500 − 500 30 1 ⇒ =− ⇒ 1000 = - • (ωs − 500 ) rp ωs − 500 60 2

2000 = −ωs + 500 ⇒

ωs = −1500 r.p.m.

92