SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

3

Pág. 1

PÁGINA 58 REFLEXIONA Óscar y Mónica colaboran como voluntarios en el empaquetado de medicinas. — ¿En qué contenedor embalará Óscar los analgésicos? ¿Qué ocurriría si eligiera el que tiene forma de cubo? — ¿Puede Mónica guardar los antibióticos en el contenedor A sin que queden espacios vacíos? ¿Y en el contenedor B? ¿Cómo lo hará en cada caso? — Óscar embalará los analgésicos en el contenedor cuyas dimensiones son 30 cm 40 cm 35 cm, todas ellas divisibles entre 5. Si eligiera el que tiene forma de cubo quedarían espacios vacíos, ya que 24 no es divisible entre 5. — Si Mónica guarda los antibióticos en el contenedor A (4035 30) quedarán espacios vacíos, pues la anchura (35 cm) no es divisible entre ninguna de las dimensiones de la caja de antibióticos (8 6 3). La mayor forma de aprovechar el espacio es hacer coincidir el largo de la caja (8 cm) con el largo del contenedor (40 cm), y el ancho de la caja (6 cm) con el alto del contenedor (30 cm). De esta forma, el alto de la caja (3 cm) cabe once veces en el ancho del contenedor (35 cm) y queda un hueco de 2 cm sin completar. Por el contrario, si Mónica decide guardar los antibióticos en el contenedor cuadrado (2424 24), no quedarán espacios vacíos pues 24 es divisible por 8, 6 y 3.

PÁGINA 59 TE CONVIENE RECORDAR

1 ¿Cabe 8 un número exacto de veces en 96? Sí. 12 veces: 96 : 812

2 ¿Contiene el 100 al 8 un número exacto de veces? No.

3 Calcula mentalmente: a) 169

b) 16 11

c) 127

d) 78 : 6

e) 120 : 8

f) 120 : 20

a) 144

b) 176

c) 84

d) 13

e) 15

f) 6

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 2

4 Continúa en tres términos cada una de estas series: a) 7, 14, 21, 28, … b) 12, 24, 36, 48, … d) 19, 38, 57, 76, … e) 35, 70, 105, 140, … Son todas series de múltiplos consecutivos. a) 35, 42, 49 b) 60, 72, 84 d) 95, 114, 133 e) 175, 210, 245

c) 6, 12, 24, … f) 15, 30, 45, … c) 30, 36, 42 f ) 60, 75, 90

PÁGINA 60 1 Di si a es divisible entre b en cada caso y justifica la respuesta: a)  a 80    b20

b)  a 135    b25

c)  a 156   b13 

d)  a 1 540   b10 

a) Sí, pues 20 cabe cuatro veces en 80. b) No, pues 25 no cabe un número exacto de veces en 135. c) Sí, pues 13 cabe doce veces en 156. d) Sí, pues 10 cabe ciento cincuenta y cuatro veces en 1 540.

2 Di si los números de cada pareja están emparentados por la relación de divisibilidad: a) 294 y 14 c) 115 y 15 a) Sí c) No

b) 360 y 15 d) 561 y 17 b) Sí d) Sí

3 Encuentra al menos cuatro parejas de números emparentados por la relación de divisibilidad: 500 3 500 y 100

93 y 31

93

48

37

31 48 y 8

6y3

8 48 y 6

4 ¿Verdadero o falso? a) 25 está contenido exactamente 6 veces en 150. b) 12 está contenido exactamente 3 veces en 36. c) 36 es divisible entre 12. d) 36 es divisible entre 7.

Unidad 3. Divisibilidad

6

100

48 y 3

93 y 3

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 3

e) 40 contiene a 6 un número exacto de veces. a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero

d) Falso

PÁGINA 61 1 Explica con claridad por qué 184 es múltiplo de 23. Porque la división 184 : 23 8 es exacta.

2 ¿Es 17 divisor de 255? Razona tu respuesta. Sí, porque 255 : 17 15 es exacta.

3 Busca tres números que sean múltiplos de 25. 50, 75 y 125, por ejemplo.

4 Busca tres números que sean divisores de 30. 5, 6 y 10, por ejemplo.

5 Observa estos números: 15

18

25 30

2

10

13

14

5

a) Busca todos los que sean divisores de 60. b) Busca todos los que sean múltiplos de 2. a) 15, 10, 2, 30 y 5. b) 18, 10, 2, 30 y 14.

6 Observa este conjunto de números y responde: 75

45

36

120 42

13

48 60

¿Cuáles son múltiplos de 12? ¿Y de 15? ¿Y de 6? Múltiplos de 12: 120, 48, 60 y 36. Múltiplos de 15: 75, 45, 120 y 60. Múltiplos de 6: 42, 120, 48, 36, 42 y 60.

7 ¿Es 200 divisor de 1 000? ¿Es 1 000 múltiplo de 200?

Unidad 3. Divisibilidad

e) Falso

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 4

¿Es 15 divisor de 70? ¿Es 75 múltiplo de 20? ¿Es 90 múltiplo de 6? ¿Es 125 divisor de 1 000? Razona cada respuesta con una división. 1 000 : 200  5 →Sí 1 000 : 200 5 →Sí 70 : 15  4,7 →No 75 : 20 3,75 →No 90 : 6 15 →Sí 1 000 : 125 8 →Sí

8 ¿Cuál es el divisor de 36 que va emparejado a 12? El 3, porque 12 3 36.

PÁGINA 62 9 Escribe: a) Cinco múltiplos de 6. b) Cinco múltiplos de 17. c) Cinco múltiplos de 200. Por ejemplo: a) 6, 12, 18, 24 y 30 b) 17, 34, 51, 68 y 85 c) 200, 400, 600, 800 y 1 000

10 Busca, entre estos números, cuatro múltiplos de 9. 81

16

53

36

99

108

44

81, 36, 99 y 108

11 Añade cuatro términos a cada una de estas series: a) 3, 6, 9, 12, … b) 13, 26, 39, 52, … c) 15, 30, 45, 60, … d) 51, 102, 153, 204, … a) 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 (múltiplos de 3) b) 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104 (múltiplos de 13) c) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120 (múltiplos de 15) d) 51, 102, 153, 204, 255, 306, 357, 408 (múltiplos de 51)

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 5

12 Escribe los diez primeros múltiplos de 15. 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150

13 Busca todos los múltiplos de 8 comprendidos entre 700 y 750. 704, 712, 720, 728, 736 y 744

14 Escribe el primer múltiplo de 31 que sea mayor que 1 000. El 1 023. (31 33 1 023;

3132992)

15 Escribe los veinte primeros múltiplos de 5. Fíjate en la última cifra. ¿Qué observas? ¿Cómo sabes, de un vistazo, si un número es múltiplo de 5? 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 y 100 Todos acaban en 0 ó 5. Si termina en 0 ó 5, lo es.

PÁGINA 63 16 Encuentra los divisores de: a) 15 b) 18 c) 36 d) 60 a) 1, 3, 5 y 15 b) 1, 2, 3, 6, 9 y 18 c) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 d) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60

17 Busca un número que solamente tenga dos divisores. El 3 (1 y 3), por ejemplo.

18 Busca dos números diferentes que tengan al menos los siguientes divisores comunes: 1 2 3 4 El 24 y el 48, por ejemplo.

19 Busca un número que tenga estos divisores: 1 24 El 24.

Unidad 3. Divisibilidad

2 12

3 8

4 6

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

3

Pág. 6

20 Busca todas las soluciones posibles del siguiente problema: Se desea embalar 36 botellas de refresco en cajas iguales. ¿Cuántas cajas se necesitan? 36 cajas de 1 botella, o 18 de 2, ó 12 de 3, ó 9 de 4, ó 6 de 6, ó 4 de 9, ó 3 de 12, ó 2 de 18, ó 1 caja de 36 botellas.

PÁGINA 64 1 Busca todos los números primos menores que 50. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47

2 Entre estos números hay dos primos. Búscalos. 29

49

39

59

Expresa cada uno de los compuestos como un producto de dos factores.

69

29 y 59 4977;

693 23

39313;

3 Descompón el número 100: a) En dos factores. b) En tres factores. c) En el máximo número de factores. a) 100 2504 2 51010 b) 1002 510455 c) 2 2 55

4 El número 101, ¿es primo o es compuesto? Razona tu respuesta. Es primo, pues solo es divisible entre 1 y él mismo.

5 Descompón en tres factores cada uno de estos números: a) 16 d) 98 a) 224 d) 27 7

b) 20 e) 182 b) 2 25 e) 1 291

c) 30 f ) 1 088 c) 23 5 f ) 2 4136

6 Descompón en el máximo número de factores que sea posible el número 1 024. 1 024222222 2 222

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 7

PÁGINA 65 1 Escribe la sucesión de los veinte primeros múltiplos de 10. ¿Cómo sabes, de un vistazo, si un número es múltiplo de 10? 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200 Un múltiplo de 10 termina en cero.

2 De los siguientes números, ¿cuáles son múltiplos de 3? Justifica tu respuesta. 127 195 369 127→1 2710→No 195→19515→Sí 369 →3 6 9 18 →Sí 444 →44412→Sí

444

570 653 821 1302 570→57 012 →Sí 653 →65 314 →No 821 →8 21 11→No 1 302 →13 026 →Sí

3 Copia en tu cuaderno estos números: 138 150 153 285 299 a) Rodea en rojo los múltiplos de 2. b) Rodea en azul los múltiplos de 5. c) ¿Cuáles son múltiplos de 10?

356

138

356

150

153

285

299

375

375

400

412

400

515

412

Los múltiplos de 10 son los que están rodeados dos veces: el 150 y el 400.

PÁGINA 66 1 Descompón en factores primos: a) 12 d) 36 g) 450 j) 875 a) 12 22 3 d) 36 22 32 g) 450 2 32 52 j) 875 53 7

b) 18 e) 50 h) 504 k) 1 584 b) 18 2 32 e) 50 2 52 h) 504 23 32 7 k) 1 584 24 32 11

c) 24 f ) 130 i) 540 l) 1 188 c) 24 23 3 f ) 130 2513 i) 540 22 33 5 l) 1 188 22 33 11

2 ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales? a) 233

Unidad 3. Divisibilidad

b) 32 7

c) 22 32 5

515

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 8

e) 23 13 b) 63 e) 104

d) 2572 a) 54 d) 490

f ) 252 11 c) 180 f ) 550

3 Descompón en factores primos: a) 256 a) 256 28 c) 729 36

b) 512

c) 729 b) 51229 d) 2 18737

d) 2 187

PÁGINA 67 4 Contesta sin hacer ninguna operación y razonando tus respuestas:   12223 

a) ¿Es 12 divisor de 60? 602235   

b) ¿Es 8 divisor de 180? c) ¿Es 12 divisor de 180?

8222 180 22335

 2  12 2 3  2

180 2 32 5

Ejemplo: 12 es divisor de 60 porque todos los factores primos de 12 están en los de 60. 60 223 5125

b) No, pues no todos los factores primos de 8 están en 180. c) Sí, pues todos los factores primos de 12 están en 180.

5 Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos diferentes del número 12: Por ejemplo: 22 32;

22 35;

12 22 3 23 3

6 Busca todos los divisores del número 60: 60 2235 2; 3; 5; 22; 23; 25; 35; 223; 225; 23 5 y 22 35

7 Descompón 90 en factores primos y busca después todos sus divisores. 902335 Divisores: 2, 3, 5, 2 · 3, 3 · 3, 2 · 5, 3 · 5, 2 · 3 · 3, 2 · 3 · 5, 3 · 3 · 5 y 2 · 3 · 3 · 5

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 9

8 Busca el menor número que tenga, entre otros, los siguientes divisores: 232

35

25

532

35

Todos los divisores tienen que formar parte del número. El más pequeño es: 2 32 511990

PÁGINA 68 1 Obtén la serie de múltiplos comunes a: a) 10 y 15

b) 20 y 30

c) 40 y 60

d) 24 y 30

Indica en cada caso el mínimo común múltiplo a) Múltiplos de 10 → 10

20

30

40

50

Múltiplos de 15 → 15

30

45

60

…

60

…

Serie de múltiplos comunes: 30, 60, 90, 120… b) Múltiplos de 20 → 20

40

60

80

100

Múltiplos de 30 → 30

60

90

120

…

120

…

Serie de múltiplos comunes: 60, 120, 180, 240… c) Múltiplos de 40 → 40

80

120

160

200

…

Múltiplos de 60 → 60

120

180

240

300

…

Serie de múltiplos comunes: 120, 240, 360, 480… d) Múltiplos de 24 → 24

48

72

96

120

144

…

Múltiplos de 30 → 30

60

90

120

150

180

…

Serie de múltiplos comunes: 120, 240, 360, 480…

2 Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 15 y 20

b) 30 y 40

c) 12 y 18

d) 24 y 36

a) Múltiplos de 15 → 15

30

45

60

…

Múltiplos de 20 → 20

40

60

80

…

m.c.m. (15, 20) 60

Unidad 3. Divisibilidad

111

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 10

b) Múltiplos de 30 → 30

60

Múltiplos de 40 → 40

90

80

120

120

150

160

…

…

m.c.m. (30, 40) 120 c) Múltiplos de 12 → 12

24

36

48

60

Múltiplos de 18 → 18

36

54

72

…

…

m.c.m. (12, 18) 36 d) Múltiplos de 24 → 24

48

72

96

…

Múltiplos de 36 → 36

72

108

144

…

m.c.m. (24, 36) 72

3 Calcula: a) m.c.m. (3, 5) c) m.c.m. (6, 9) a) Múltiplos de 3 → 3

b) m.c.m. (6, 8) d) m.c.m. (10, 20) 9 12 15 18 21

6

Múltiplos de 5 → 5

10

15

20

25

30

…

b) Múltiplos de 6 → 6

12

18

24

30

36

…

Múltiplos de 8 → 8

16

24

32

…

c) Múltiplos de 6 → 6

12

18

24

30

36

…

Múltiplos de 9 → 9

18

27

36

…

…

m.c.m. (3, 5) 15

m.c.m. (6, 8) 24

m.c.m. (6, 9) 18 d) Múltiplos de 10 → 10

20

30

40

Múltiplos de 20 → 20

40

60

…

…

m.c.m. (10, 20) 20

4 Un jardinero riega el césped de un parque cada 6 días y lo siega cada 8 días. ¿Cada cuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en el mismo día? Coincidirán cuando pase un número de días que sea múltiplo de 6 y 8 a la vez. Múltiplos de 6 → 6 12 18 24 30 … Múltiplos de 8 → 8

16

24

32

…

Ambos trabajos coincidirán cada 24 días.

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 11

PÁGINA 69 5 Calcula: a) m.c.m. (60, 90) b) m.c.m. (8, 27) c) m.c.m. (16, 20) d) m.c.m. (45, 54) e) m.c.m. (4, 6, 10) f ) m.c.m. (12, 18, 24) a) 602 2 3 522 35 902 33 5 232 5 m.c.m. (60, 90) 22 32 5180 b) 823 2733 m.c.m. (8, 27) 23 33 216 c) 16 22 22 24 202 2 522 5 m.c.m. (16, 20) 24 580 d) 45335 32 5 542 3 33 2 33 m.c.m. (45, 54) 2 33 5270 e) 422 62 3 102 5 m.c.m. (4, 6, 10) 22 3560 f ) 122 2322 3 182 3 32 32 242 2 2323 3 m.c.m. (12, 18, 24)23 32 72

6 Calcula: a) m.c.m. (150, 180) b) m.c.m. (200, 300) c) m.c.m. (120, 350) d) m.c.m. (120, 180) e) m.c.m. (81, 243) f ) m.c.m. (256, 512) 2 a) 150 2 355235 180 2 233522 32 5 m.c.m. (150, 180)22 32 5900 b) 200 222 55 23 52 300 2 235522 352 m.c.m. (200, 300)23 3 52 600

Unidad 3. Divisibilidad

3

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 12

c) 120 2 223523 35 3502 55 7 252 7 m.c.m. (120, 350)23 352 74 200 d) 120 22 23523 35 18022 32 5 m.c.m. (120, 180)23 32 5360 e) 81 333 334 243 3 333335 m.c.m. (81, 243) 35 243 f ) 256 2 2222 22 2 28 512 2 22222 22229 m.c.m. (256, 512)29 512

PÁGINA 70 1 Obtén los divisores comunes e indica, en cada caso, el máximo común divisor: a) 10 y 15 c) 20 y 30 e) 28 y 72

b) 12 y 18 d) 24 y 32 f ) 12 y 70

a) Divisores de 10 → 1 2 5 10 Divisores de 15 → 1 3 5 15 Divisores comunes de 10 y 15 → 1 y 5 M.C.D. (10, 15) 5 b) Divisores de 12 → 1 2 3 4 6 12 Divisores de 18 → 1 2 3 6 9 18 Divisores comunes de 12 y 18 → 1, 2, 3 y 6 M.C.D. (12, 18) 6 c) Divisores de 20 → 1 2 4 5 10 20 Divisores de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 Divisores comunes de 20 y 30 → 1, 2, 5 y 10 M.C.D. (20, 30) 10 d) Divisores de 24 → 1 2 3 4 6 8 10 Divisores de 32 → 1 2 4 8 16 32 Divisores comunes de 24 y 32 → 1, 2, 4 y 8 M.C.D. (24, 32) 8

Unidad 3. Divisibilidad

30

12

24

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 13

e) Divisores de 28 → 1 2 4 7 14 28 Divisores de 72 → 1 2 3 4 6 8 Divisores comunes de 28 y 72 → 1, 2 y 4 M.C.D. (28, 72) 4 f ) Divisores de 12 → 1 2 3 4 6 12 Divisores de 70 → 1 2 5 7 10 14 Divisores comunes de 12 y 70 → 1 y 2 M.C.D. (12, 70) 2

9

12

35

70

18

24

36

72

15

20

30

60

2 Calcula: a) M.C.D. (12, 16) a) Divisores de 12 → 1 Divisores de 16 → 1 M.C.D. (12, 16) 4

2 2

b) M.C.D. (60, 40) 3 4 6 12 4 8 16

b) Divisores de 60 → 1 2 3 4 5 6 10 12 Divisores de 40 → 1 2 4 5 8 10 20 40 M.C.D. (60, 40) 20

3 Halla: a) M.C.D. (24, 36) b) M.C.D. (15, 30) a) Divisores de 24 → 1 Divisores de 36 → 1 M.C.D. (24, 36) 12

2 2

3 3

4 4

b) Divisores de 15 → 1 Divisores de 30 → 1 M.C.D. (15, 30) 15

3 2

5 3

15 5 6

6 6

8 9

10

12 12

15

24 18

36

30

4 Hemos de embalar 12 botellas de refresco de naranja y 18 botellas de refresco de limón en cajas con igual número de botellas, lo más grandes que sea posible y sin mezclar en una misma caja ambos sabores. ¿Cuántas botellas pondremos en cada caja? El número de botellas tendrá que ser un divisor común de 12 y 18, y el máximo. Divisores de 12 → 1 2 3 4 6 12 Divisores de 18 → 1 2 3 6 9 18 M.C.D. (12, 18) 6 Pondremos 6 botellas en cada caja.

Unidad 3. Divisibilidad

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 14

PÁGINA 71 5 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso: a) 45, 54 c) 140, 210 e) 12, 18, 24 g) 2, 9, 11 a) 4532 5 542 33 M.C.D. (45, 54) 32 9 m.c.m. (45, 54) 2 33 5270

b) 24, 32 d) 392, 252 f) 3, 5, 7 h) 132, 176, 220

b) 24 23 3 3225 M.C.D. (24, 32) 23 8 m.c.m. (24, 32) 25 396 c) 140 22 57 2102 357 M.C.D. (140, 210) 2 5770 m.c.m. (140, 210)22 357 280 d) 392 23 72 25222 32 7 M.C.D. (392, 252) 22 7 28 m.c.m. (392, 252)23 32 72 3 528 e) 12 22 3 182 32 2423 3 M.C.D. (12, 18, 24)236 m.c.m. (12, 18, 24)23 32 72 f ) M.C.D. (3, 5, 7) 1 m.c.m. (3, 5, 7) 3 57 105 g) 2 9 32 11 M.C.D. (2, 9, 11) 1 m.c.m. (2, 9, 11)232 11198 h) 132 22 311 17624 11

Unidad 3. Divisibilidad

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 15

22022 511 M.C.D. (132, 176, 220)22 1144 m.c.m. (132, 176, 220)24 3511 2 640

6 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en cada caso y reflexiona: a) 10, 5 b) 15, 60 c) 8, 24 d) 25, 100 Si un número a es divisor de otro b, ¿cuál es su M.C.D.? ¿Y su m.c.m.? a) 102 5 b) 15 35 5 6022 35 M.C.D. (10, 5) 5 M.C.D. (15, 60) 15 m.c.m. (10, 5) 10 m.c.m. (15, 60)60 d) 25 52 c) 823 2423 3 100 22 52 M.C.D. (8, 24) 8 M.C.D. (25, 100) 25 m.c.m. (8, 24) 24 m.c.m. (25, 100)100 Si a es divisor de b, su M.C.D. es a y su m.c.m. es b.

Unidad 3. Divisibilidad