10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 1

PÁGINA 192 REFLEXIONA A

Las cajas, los contenedores y la caseta son poliedros. También es un poliedro la figura que forma la caja que pende de la grúa con las cuatro cuerdas que la sostienen.
¿Cuántas caras tiene este poliedro? B ¿Cuántas de ellas son triángulos? ¿Y cuadriláteros? Cuenta el número de aristas y vértices que tiene el poF liedro. 9 caras. 4 triángulos y 5 cuadriláteros. Tiene 16 aristas y 9 vértices.


E

D C H

I G

En algunos vértices confluyen 3 aristas: G, H, … Nombra todos los vértices en los que confluyen tres aristas. Nombra los vértices en los que confluyen 4 aristas. Confluyen tres aristas en F, G, H, I. Confluyen cuatro aristas en A, B, C, D, E.

PÁGINA 193 TE CONVIENE RECORDAR

1 ¿Cuáles de las siguientes figuras son poliedros? D

B

F

C

A

H

E G

De cada uno de ellos di cuántas caras, vértices y aristas tiene. Son poliedros las figuras A, B, C, D y E. NO DE CARAS O

N DE VÉRTICES NO DE ARISTAS

Unidad 10. Geometría del espacio

A

B

C

D

E

6

5

7

12

8

8

6

7

14

12

12

9

12

24

18

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 2

2 a) Halla el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. b) Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de lado 5 cm (l = R = 5 cm). c) Obtén el área y el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 38 cm y 20 cm y los lados iguales 41 cm. a) A = D · d = 8 · 6 = 24 cm2 2 2 x 2 = 32 + 42 = 25 → x = 5

x

3

El lado del rombo mide 5 cm. P = 5 · 4 = 20 cm

4

b) P = 6 · 5 = 30 cm

2,5

a = √52 – 2,52 ≈ 4,33 cm A = P · a = 30 · 4,33 = 64,95 cm2 2 2

c)

5

a

20 41

41

h

9 38

h = √412 – 92 = 40 cm A = (B + b) · h = 58 · 40 = 1160 cm2 2 2 P = 38 + 20 + 2 · 41 = 140 cm

PÁGINA 194 1 Hemos numerado las 12 aristas de esta caja. Comprueba que cortan, 2 y 4 son paralelas, y 1 y 8 se cruzan. 2 1 4

3

6

8

5

10 9

11 12

Unidad 10. Geometría del espacio

7

1

y 2 se

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 3

Di otras dos aristas que se corten, dos que sean paralelas y dos que se crucen. • Aristan que se cortan: 1 y 4 ; 4 y 3 ; 8 y 11 ; … • Aristan paralelas: 1 y 9 ; 1 y 11 ; 12 y 10 ; … • Aristan que se cruzan: 1 y 12 ; 4 y 9 ; 4 y 7 ; …

2 a) Di si cada una de las rectas

, 2 , 3 y 4 corta, es paralela o está contenida en el plano de la base. 1

4 3

b) ¿Sabrías decir el ángulo que forman las rectas 1 y 3 con el plano de la base? a) Las rectas Las rectas Las rectas b) Las rectas Las rectas

1 4 2 1 3

1

y 3 cortan al plano de la base. es paralela al plano de la base. está contenida en el plano de la base. forman un ángulo de 90° con el plano de la base. forman un ángulo de 45° con el plano la base.

2

PÁGINA 195 3 En este prisma hexagonal regular, cada cara está contenida en un plano. Hemos nombrado del 1 al 6 las caras laterales, y las dos bases, A y B .

5 6

4

A

1

3

2

a) Di si se cortan o si son paralelos cada par de planos siguientes: 1 y 2 , 1 y 3 , 2 y 5 , 2 y B , A y B. b) Di el ángulo que forman 1 con 2 y 2 con A .

B

c) ¿Sabrías decir el ángulo que forman 1 y 3 ? a) Planos que se cortan 1 y 2 ; 1 y 3 ; 2 y B Planos paralelos 2 y 5 ; A y B b) Ángulos que forman 1 con 2 : 120° Ángulos que forman 2 con A : 90° c) Forman un ángulo de 60°

4 En este cubo hemos nombrado con las letras A, B, C, D, E, F, G y H a sus ocho vértices.

B A

D

Cada cara se describe mediante sus cuatro vértices; así, ABCD describe la cara de arriba. F

a) Describe un plano perpendicular a la cara de arriba. b) Describe un plano paralelo a ABFE. c) Describe un plano que corte a las caras ABCD y EFGH y no sea perpendicular a ellas. ¿Sabrías decir el ángulo que forma con cada una de ellas?

Unidad 10. Geometría del espacio

C

E

G H

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 4

a) ABFE; BCGF; DCGH; ADHE b) DCGH c) BCHE. Con ambas caras forma un ángulo de 45°

PÁGINA 196 1 Di qué tipo de prisma es cada uno de los siguientes. Indica cuáles son regulares. Dibuja el desarrollo del primero de ellos. a)

b)

c)

d)

a) Prisma triangular regular. b) Prisma cuadrangular. c) Prisma pentagonal. d) Prisma hexagonal regular. Desarrollo de a):

PÁGINA 197 2 Las bases de un prisma recto son rombos cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm. La altura del prisma es 10 cm. Dibuja su desarrollo y halla su área total.

Unidad 10. Geometría del espacio

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 5

10 cm

x

5 cm

3c m

m 4c

x = √32 + 42 = 5 cm Área del rombo = D · d = 6 · 8 = 24 cm2 2 2 Área del rectángulo = 10 · 5 = 50 cm2 Área total = 2 · 24 + 4 · 50 = 248 cm2

3 Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos cuyos catetos miden 12 dm y 5 dm. La altura del prisma es 6 dm. Dibuja su desarrollo y halla el área total. j

y x= 13 dm

m

13 d

12 dm

5 dm 5 dm

6 dm

x = √122 + 52 = √169 = 13 dm Área del triángulo = 12 · 5 = 30 dm2 2 Áreas de los rectángulos = 13 · 6 + 12 · 6 + 5 · 6 = 180 dm2 Área total = 2 · 30 + 180 = 240 dm2

Unidad 10. Geometría del espacio

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 6

PÁGINA 198 1 Las dimensiones de un ortoedro son 6 cm, 11 cm y 10 cm. Halla su área. a = 6 cm

b = 11 cm

c = 10 cm

A = 2(ab + ac + bc ) = 2(66 + 60 + 110) = 472 cm2

2 Halla el área de un cubo cuya arista tiene una longitud de 10 cm. A = 6 · (10 · 10) = 600 cm2

3 El área de un cubo es 294 cm2. Halla su arista. A = 294 = 6a 2 → a 2 = 49 → a = 7 cm

4 El área de un ortoedro es 242 dm2. Dos de sus dimensiones son 3 dm y 7 dm. ¿Cuál es su tercera dimensión? A = 2(ab + ac + bc ) = 242 dm2 a = 3 dm   A = 2(21 + 3c + 7c) = 242 b = 7 dm  42 + 6c + 14c = 242 → 20c = 200 → c = 10 dm Su tercera dimensión es 10 dm.

PÁGINA 199 5 Halla el área total y la longitud de la diagonal de un ortoedro de dimensiones 6 cm, 2 cm y 3 cm. Área total = 2(6 · 2 + 6 · 3 + 2 · 3) = 72 cm2 Diagonal = √62 + 22 + 32 = 7 cm

6 Las dimensiones de una caja de cartón son 40 cm, 25 cm y 20 cm. ¿Se puede guardar en su interior una varilla de medio metro de larga? La longitud de la diagonal es: d = √402 + 252 + 202 = 51,23 cm Por tanto, la varilla de 50 cm cabe en el interior de la caja si la situamos sobre la diagonal de la misma.

Unidad 10. Geometría del espacio

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 7

7 Un cubo tiene 20 cm de arista. Halla su área total y la longitud de la diagonal. Área total = 6 · 202 = 2 400 cm2 Diagonal = √202 + 202 + 202 = 34,64 cm

8 La base de un ortoedro es un rectángulo de dimensiones 9 cm y 12 cm. La diagonal del ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida del lado desconocido y el área total de la figura. d = √a 2 + b 2 + c 2 = √81 + 144 + c 2 = 17 → 225 + c 2 = 289 → c = 8 cm El lado desconocido mide 8 cm. A = 2(ab + ac + bc) = 2(108 + 72 + 96) = 552 cm2

PÁGINA 201 1 Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un 12 cm

cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es de 12 cm. • Altura de una cara lateral: h = √122 + 52 = √169 = 13 cm

10 cm

La altura de cada triángulo es 13 cm. • Abase = 10 · 10 = 100 cm2

12 cm

h

• Alat = 4 · 10 · 13 = 260 cm2 2 • Atotal = 100 + 260 = 360 cm2

5 cm

2 La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 26,4 dm. Halla su área total. • Altura de una cara lateral: h 2 = √26,42 + 112 = √817,96 = 28,6 dm • Abase = (16 · 5) · 11 = 440 dm2 2

(

)

26,4 dm

h

• Alat = 5 16 · 28,6 = 1144 dm2 2 • Atotal = 440 + 1144 = 1584 dm2

Unidad 10. Geometría del espacio

11 dm

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 8

PÁGINA 202 1 Halla el área lateral de un tronco de pirámide he-

20 cm

xagonal cuyas dimensiones son las del dibujo.

41 cm

20 cm

38 cm

41 cm

h

41 cm

9 cm

38 cm

• Altura de una cara lateral (trapecio): h = √412 – 92 = √1600 = 40 cm • Atrapecio = (B + b) · h = (38 + 20) · 40 = 1160 cm2 2 2

2 Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de la-

6 cm

do y altura 12 cm, es cortada por un plano a mitad de su altura. Hallar el área total del tronco de pirámide resultante. 10 cm

6 cm

6 cm

a

a

6 cm

6 cm x

x

5 cm

10 cm

• Cálculo de la altura de una cara lateral: Los triángulos que vemos en la figura son semejantes. 12 = 5 → x = 30 = 2,5 cm 6 x 12

Unidad 10. Geometría del espacio

a = √62 + 2,52 = 6,5 cm

12 cm

• Alat = 6 · 1160 = 6 960 cm2

10

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 9

Cara lateral del tronco de pirámide: 5 cm

6,5 cm

6 cm

2,5 cm

10 cm

• Abases = 25 + 100 = 125 cm2

(

)

• Alat = 4 · (B + b) · h = 4 15 · 6 = 180 cm2 2 2 • Atotal = 125 + 180 = 305 cm2

PÁGINA 203 1 Considerando la suma de los ángulos que coincidirían en cada vértice, justifica por qué no puede construirse un poliedro en los siguientes casos: a) Coincidiendo seis triángulos equiláteros en cada vértice. b) Coincidiendo 4 cuadrados en cada vértice. c) Coincidiendo cuatro pentágonos regulares en cada vértice. d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados. a) Los ángulos de un triángulo equilátero miden 60°. 60° · 6 = 360° La unión de seis triángulos equiláteros por uno de sus vértices forma un plano. b) Un cuadrado tiene cuatro ángulos iguales de 90°. 4 · 90° = 360° c) Un pentágono regular tiene ángulo de amplitud 108°. 4 · 108° = 432° > 360° d) Un hexágono regular tiene ángulos de 120°. En un vértice de un poliedro han de coincidir, como mínimo, tres caras. 3 · 120° = 360° Los polígonos regulares de más de seis lados tienen ángulos mayores que 120°. Si α > 120°, 3α > 360°.

Unidad 10. Geometría del espacio

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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 10

PÁGINA 205 1 Halla el área de: a) Un triángulo equilátero de lado 2 cm. b) Un cuadrado de lado 2 cm. c) Un pentágono regular de lado 2 cm y apotema 1,38 cm. h = √22 – 12 = 1,73 cm

a) 2 cm

2 cm h

A = 2 · 1,73 = 1,73 cm2 2

1 cm

2 cm

b) A = 4 cm2 c) A = (5 · 2) · 1,38 = 6,9 cm2 2

2 Halla el área de: a) Un tetraedro. b) Un cubo. c) Un octaedro. d) Un dodecaedro. e) Un icosaedro. Todos ellos tienen 2 cm de arista. Tomamos los datos que hemos obtenido en el ejercicio anterior. a) A = 4 · 1,73 cm2 = 6,92 cm2 b) A = 6 · 4 cm2 = 24 cm2 c) A = 8 · 1,73 cm2 = 13,84 cm2 d) A = 12 · 6,9 cm2 = 82,8 cm2 e) A = 20 · 1,73 cm2 = 34,6 cm2

Unidad 10. Geometría del espacio