OPTICA —— Tarea 5A: Optica Geométrica (Superficies asféricas, esféricas y lentes).

Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la anulación de la solución del problema correspondiente. Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje +x apuntando hacia el Este y el +y hacia el Norte.

8:12 am, Feb 05, 2014

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA

TAREA # 5A OPTICA OPTICA GEOMETRICA (SUPERFICIES ASFERICAS, ESFERICAS Y LENTES) Prof. Terenzio Soldovieri C.

URL: http://www.cmc.org.ve/tsweb e-mails: [email protected]; [email protected]; [email protected] (contacto messenger); [email protected] Texto guía: Hecht E. Optica. 3era ed. Pearson, Addison Wesley, 2006. Ultima actualización: 05/02/14. Indicaciones: Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con F plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS “DIRECTOS”. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero especificando en cada caso la integral utilizada.

Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 5A. Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 5A. Sin prórroga. 1. La forma de la interfase que se muestra en la figura 1 se denomina Ovalo Cartesiano por René Descartes que lo estudió en los primeros años del siglo XIX. Esta superficie representa la configuración perfecta para llevar cualquier rayo desde S hasta la interfase y luego a P . Demostrar que la ecuación que define dicha interfase viene dada por, `o n1 + `i n2 = ctte y que esta ecuación equivale a, h i1=2 1=2 2 n1 x2 + y 2 + n2 y 2 + (so + si x) = ctte donde x y y son las coordenadas del punto A.

2. F Considere el Ovalo Cartesiano mostrado en la figura 2. Construya un sistema de ejes coordenados con el origen en el vértice V . Localice el eje X a lo largo de SP y el eje Y perpendicular a éste. Demuestre que la ecuación del ovoide en términos de so , si , n1 , n2 , x e y viene dada por, h i1=2 2 n2 si n1 so = (x so ) + y 2 n1 h i1=2 2 + (x si ) + y 2 n2

La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que ane- 3. Utilizando la figura 3, la Ley de Snell y el hecho xar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. de que en la región paraxial = h=so , ' h=R y La tarea y el examen son inseparables, es deh=si muestre que, cir, de faltar uno de los dos, la calificación total n1 n2 n2 n1 + = será cero. so si R Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2014. República Bolivariana de Venezuela.

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Figura (3): Problema 3.

tual?. Resp.: (a) tice; (b) virtual.

Figura (1): Problema 1.

10; 98 cm a la izquierda del vér-

6. Considere el bloque de vidrio mostrado en la figura 4. Si la fuente puntual S está a 30 cm del vértice del extremo hemisférico de 10 cm de radio, localizar la imagen vista por el observador. Dibuje el diagrama de rayos apropiado. Resp.: Imagen virtual a 10 cm a la izquierda del vértice.

Figura (4): Problema 6.

Figura (2): Problema 2.

7. F Si la interfase mostrada en la figura 5 tiene un radio de 5 cm y separa el aire de la izquierda del vidrio de la derecha (nv = 1; 50), determine fo y fi . Resp.: fo = 10 cm; fi = 15 cm.

4. F Supóngase que tenemos una barra de vidrio (nv = 1; 50) rodeada por aire con el extremo izquierdo en forma de hemisferio convexo de 2 cm de radio. Si una fuente puntual está localizada a 6 cm a la izquierda del vértice del hemisferio. (a) ¿Dónde aparecerá la imagen? y (b) ¿la imagen es real o virtual?. Resp.: (a) 18 cm a la derecha del vértice; (b) real. 5. F Si la barra de vidrio del problema 4 está inmersa en agua (nH2 O = 1; 33), (a) ¿dónde aparecerá la imagen? y (b) ¿la imagen es real o vir-

Figura (5): Problema 7.

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8. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura del ex1; 36). Una hormiga a la deriva en el alcohol estremo derecho de la barra de vidrio mostrada tá a 6 cm del centro de la esfera. Describa su en ela figura 6 si un haz de rayos paralelos conimagen. Resp.: si = 2; 32 cm (imagen virtual a verge en un foco a 100 cm del vértice?. La barra la izquierda del vértice). de vidrio (n = 1; 46) está inmersa en alcohol etíli12. Una interfase convexa separa dos medios de co (n = 1; 36). Resp.: R = 7; 35, donde el signo índices de refracción 1 y 2. Una fuente puntual negativo es debido a que el centro de curvatuaxial en el aire a una distancia de 40 cm del vérra está a la izquierda del vértice. tice origina una imagen en el segundo medio a 80 cm del vértice. Determine el radio de curvatura de la interfase. Resp.: +20 cm.

Figura (6): Problema 8.

13. Una fuente puntual S está localizada en el eje de una lente delgada plano-convexa de vidrio a 30 cm de ella. Supóngase que está inmersa en aire (n`a = 1; 5) y que tiene un radio de 5 cm. Determine la localización de la imagen (a) cuando la superficie plana está del lado de S y (b) cuando lo está la superficie curva. Construya el diagrama de rayos apropiado para cada caso. Resp.: (a) si = 15 cm (real y a la derecha de la lente); (b) si = 15 cm como en (a).

9. F Una barra de diamante (nD = 2; 42) que ter- 14. F ¿Cuál debe ser la longitud focal de una lente mina (en uno de sus extremos) en un hemisferio delgada positiva si el objeto y la imagen distan convexo contiene un pequeño defecto negro. de su vértice 90 cm y 45 cm respectivamente?. Si el radio de curvatura es de 20 cm y el defecto Resp.: f = 30 cm (positiva por ser una lente conse ecuentra en el eje central a 20 cm del vérvergente). tice, ¿dónde aparecerá su imagen cuando la 15. F Calcule la longitud focal de la lente delgabarra es sumergida en agua (nH2 O = 1; 33)?. Reda bicóncava mostrada en la figura 7 si está sp.: El objeto está en el centro de curvatura, por hecha de vidrio de pedernal (n` = 1; 66) y está lo tanto la imagen se forma a 20 cm indepeninmersa en agua (nH2 O = 1; 33). Resp.: f = 26; 9 dientemente del medio circundante. cm (negativa como era de esperarse). 10. Una larga barra de vidrio (nV = 1; 5) tiene 10 cm de diámetro y está sumergida en el aire. En su extremo izquierdo termina en un hemisferio convexo y del lado derecho en una superficie hiperbólica cóncava. El hiperboloide tiene una excentricidad de 1; 5 y su vértice está 5 cm a la derecha de su primer foco F1 . ¿Dónde debe estar localizada una fuente puntual axial en la barra si debe formar una imagen virtual en F1 ?. ReFigura (7): Problemas 15 y 16. sp.: Para la superficie esférica fo = 10 cm y, por lo tanto, so = 10 cm a la izquierda. 11. Una esfera de vidrio (nV = 1; 5) de 4 cm de ra- 16. F Calcule la longitud focal de la lente delgada bicóncava mostrada en la figura 7 suponiendio está rodeada por alcohol etílico (nC2 H6 O = Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2014. República Bolivariana de Venezuela.

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do que está hecha de fluorita (n`(Ca S2 ) = 1; 43) sumergida en disulfuro de carbono (nCS2 = 1; 63). Resp.: f = +54; 3 cm. La lente rodeada por un medio de mayor índice de refracción se convierte en convergente, es decir, los rayos se desvían hacia el eje central.

vatura de 50 cm y si el índice de refracción relativo lente-medio es n`m = 1; 5, determine la localización del objeto y la imagen con respecto a la lente (a) usando la expresión Newtoniana y (b) usando la expresión Gaussiana. Construya el diagrama de rayos apropiado para cada caso. Resp.: so = 150 cm; si = 300 cm.

17. Una lente delgada bi-convexa de índice de refracción 1; 5 tiene una longitud focal de 50 cm en 23. Supógase que un objeto que está a 10 pulg del lado izquierdo de una lente positiva da lugar a el aire. Cuando se sumerge en un líquido transuna imagen 30 pulg del lado derecho. ¿Dónde parente su longitud focal se convierte en 250 cm. aparecerá la imagen si el objeto es colocado Determine el índice de refracción del líquido. ahora a 2; 5 pulg de la lente?. Describa compleResp.: n = 1; 36. tamente la imagen en ambos casos. Resp.: Para 18. ¿Cuál es la proporción de la longitud focal de la primera situación se obtiene que f = +7; 5 una lente delgada plano-convexa f`pc con respulg de manera que la imagen es real, invertipecto a la logitud focal de una lente delgada da y de mayor tamaño (MT = 3) como era bi-convexa f `bc, suponiendo que los índices de de esperarse porque f < so < 2. En la segunda refracción son los mismos y todas las superficies situación se obtiene que si = 3; 75 pulg frente a f esféricas tienen la misma curvatura?. Resp.: f `pc = `bc la lente, siendo esta vez la imagen virtual, dere2. cha y de mayor tamaño (MT = +1; 5). 19. F Calcular las distancias objeto e imagen para 24. F Imagínate que quieres ver a tu loro mascouna lente delgada bi-convexa si la imagen debe ta a través de una lente, derecho pero reduciser proyectada, en tamaño real, en una pando a un tercio de su altura real. Designando la talla. La lente tiene radios iguales de 60 cm y longitud focal con f , determina el tipo de lente n`m = 1; 5 (n`m índice de refracción relativo de necesaria y las distancias objeto e imagen en la lente con respecto al medio en el cual está términos de f . Construye el diagrama de rayos inmersa). Resp.: so = si = 2f = 120 cm. Nótese (la figura 8 muestra la situación planteada). Reque MT = 1, es decir, la imagen es invertida. sp.: Como la imagen tiene que ser derecha y de menor tamaño, la lente tiene que ser diver20. F Un corcho de botella de vino, de 3 cm de gente; so = 2f ; si = 32 f . altura, se coloca a 75 cm de una lente delgada positiva cuya distancia focal es de 25 cm. Describa completamente la imagen resultante usando la formulación Gaussiana. Resp.: si = 37; 5 cm, positiva significando que la imagen es real y localizada más allá de la lente. El aumento es MT = 1=2 de manera que el tamaño de la imagen es yi = 1; 5 cm, siendo de menor tamaño e invertida. Figura (8): Problema 24. 21. F Rehaga el problema 20, usando ahora exclusivamente la formulación Newtoniana. 22. Se requiere que una imagen real formada por una lente plano-convexa sea el doble de tamaño del objeto. Si la lente tiene un radio de cur-

25. Una lente delgada bi-convexa de vidrio (nv = 1; 5) tiene radios de curvatura de 30 cm y 60 cm. Si queremos producir una imagen de una lámpara de techo de la mitad de su tamaño ori-

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ginal sobre una pantalla de papel, ¿cuáles deben ser las distancias lente-lámpara y lente - pantalla?. Construya el diagrama de rayos apropiado (la figura 9 muestra la situación planteada). Resp.: so = 120 cm; si = 60 cm.

Figura (9): Problema 25.

(nótese que so < 0). Resp.: El punto A se encuentra en la parte superior de un objeto imaginario, mientras que B es el punto imagen correspondiente. Puesto que jso j < f , la imagen es real, derecha, de mayor tamaño y si > jso j.

Figura (10): Problema 30.

26. Una lente delgada positiva de longitud focal f emite una imagen real N -veces de mayor tama- 31. F Una lente delgada positiva es usada para proyectar la imagen amplificada de una diaño que el objeto. Mostrar que la distancia lente positiva sobre una pared a 10 m de distancia. Si - pantalla es igual a (N + 1) f . las dimensiones de la diapositiva son 20 30 mm 27. Los radios de curvatura de una lente delgada y la de la imagen 2 3 m, ¿cuál debe ser la lonbi-convexa de vidrio (nv = 1; 5) están a razón 2 a gitud focal de la lente y la distancia desde ésta 1. Muestre que el radio menor r viene dado por a la diapositiva?. Resp.: so = 0; 1 m; f = 0; 099 m. r = 34 f . 28. Una lente delgada positiva de longitud focal f 32. F Una lente delgada positiva genera una imagen derecha de 8 cm de altura de un objeto de es colocada entre una fuente puntual S y una 5 cm de altura localizado a 90 cm de la lente. pantalla que están separadas por una distanCalcule la distancia focal de la lente y ubique la cia L. Muestre que las dos posiciones de S que imagen. Construya el diagrama de rayos aprooriginan una imagen real en la pantalla vienen piado. Resp.: f = 240 cm; si = 144 cm. dadas por, i p 1h 33. Una cámara simple consiste de una lente delso = L L (L 4f ) 2 gada positiva la cual pone una imagen real soDibuje el diagrama apropiado. bre el plano de la película. Supóngase que la lente tiene una distancia focal de 50 mm. (a) 29. F Una lente delgada equi-convexa de vidrio ¿Qué tan lejos de un objeto de 1 m de altura de pedernal (n` = 1; 65) tiene una longitud focal debe estar la cámara si la imagen resulta de 25 de 62 cm cuando está inmersa en aire. Determm de altura? y ¿qué tan lejos estará la lente mine sus radios de curvatura. Resp.: R1 = 80; 6 con respecto al plano de la película?. Construcm; R2 = 80; 6 cm. ya el diagrama de rayos apropiado. Resp.: so = 30. La figura 10 muestra un haz de rayos conver2; 04 m; si = 51; 3 mm. gentes entrando a una lente delgada divergente. Describe lo que ocurre y usa la ecuación de las 34. Imagínese una lente delgada para la cual el lentes delgadas para verificar tus conclusiones objeto y la imagen están separadas por una disProf. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, 2014. República Bolivariana de Venezuela.

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tancia L. Mostrar que, L=

f (MT MT

2

1)

35. Una persona tiene visión lejana borrosa porque las imágenes se forman (o enfocan) 1 mm delante de la retina (ver figura 11). Determine la distancia a la que ve claras las letras del diario, si el cristalino no cambia su radio de curvatura. Resp.: 38 cm.

Figura (11): Problema 35.

36. Una lente convergente de distancia focal 10 cm es puesta delante de un objeto de 2 cm de altura. Si la imagen se localiza a 40 cm de la lente, encuentre la altura de la imagen producida. Haga el dibujo correspondiente. 37. Una forma conveniente de medir la distancia focal de una lente positiva aprovecha el siguiente hecho: si un par de puntos conjugados S y P objeto e imagen (real) están separados por una distancia L > 4f ; habrá dos posiciones de la lente separadas por una distancia d para las cuales se obtiene el mismo par de conjugados. Demuestre que, f=

1 L2 4L

d2

Note que esto evita medidas hechas específicamente desde el vértice, las cuales generalmente no son fáciles de hacer.

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