ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I. CURSO 2013/2014

TEMA 0: Introducción. Magnitudes y vectores 1.- La Naturaleza de la Física 2.- Magnitudes físicas 3.- Sistemas de unidades 4.- Vectores y funciones vectoriales TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES

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1.- La Naturaleza de la Física 1.1.- ¿Qué es la Física? 1.2.- Método científico 1.3.- División o ramas de la física (Física I)

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física

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1.1.- Qué es la física? (¿Por qué estudiar física?) Ciencia fundamental  Comprensión de los fenómenos naturales estudio de los componentes de la materia estudio de las interacciones (electromagnética, gravitatoria, etc.)  Base de la Ingeniería y la Tecnología

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física

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1.2.- Método científico (¿Qué hace un físico?) Observar los fenómenos naturales

Comprensión cuantitativa fenómenos Buscar patrones y principios

Experimentar Elaborar Modelos

Método científico

Hacer Predicciones sobre el comportamiento de los Sistemas (validación experimental) Medir, magnitudes, unidades, procedimientos, rango de validez, …

Física: es la Ciencia de la medida

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1.3.- División de la física Mecánica

Física clásica

Electromagnetismo

Física Cuántica

Termodinámica

Física Relativista

…………….

…………… DOMINIO NEWTONIANO

DOMINIO NO CUÁNTICO (objetos grandes) DOMINIO CUÁNTICO (objetos pequeños)

+

DOMINIO RELATIVISTA

DOMINIO NO RELATIVISTA

(velocidades grandes)

(velocidades pequeñas)

objetos grandes velocidades pequeñas



Física I  Mecánica clásica o Newtoniana

Mecánica: Ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas

Cuerpos rígidos

Estática

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Dinámica 5

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División actual de la física

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Historia Aristóteles, Arquímides, Newton, Lagrange,.., Einstein

http://www.galeon.com/histofis/histfisindex.htm

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2.- Magnitudes físicas 2.1.- Definición 2.2.- Clasificación de las magnitudes 2.3.- Medidas y errores 2.4- Unidades

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2.1.- Definición Magnitud: aquella cualidad o característica de los cuerpos o de los fenómenos susceptible de ser medida Objetos de la Física: magnitudes físicas

Longitud, anchura, velocidad, masa, volumen, fuerza, …

Cantidad de una magnitud: estado de esa magnitud en un objeto o fenómeno determinado Distancia recorrida Altura de una persona Distancia saltada Distancia Tierra-Luna

Cantidades de una misma magnitud: la longitud

… TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas

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2.2.- Clasificación de las magnitudes (I)

 Observables directos (tiempo, longitud, ....)  Observables indirectos (energía, velocidad, ..): definidos mediante una relación matemática

(II)

 Magnitud escalar Medida y unidades: (masa  3 kg )  Magnitud vectorial Dirección, sentido, medida y unidades: (fuerza  3i+2j+6k N )

M = xα y β ....

    v = xi + yj + zk Componentes

 v = x2 + y2 + z 2 Módulo

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2.3.- Medidas y errores  Proceso de medida comparación con un patrón (medida directa)  fórmula matemática ó modelo (medida indirecta)

 Resultados cuantitativos método de medida de las magnitudes sistema de patrones

Las medidas y los resultados se deben poder repetir y reproducir (repetitividad)

 Se obtiene un resultado y hay que tener muy en cuenta el error en la medida TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas

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Proceso de medida: comparación con una cantidad patrón Unidades (cantidad patrón)

Cantidad: C = N . u

Cantidad

medida (valor)

Utilizando otra cantidad patrón: C= M .v

N v = M u

El cociente de las medidas de una magnitud, está en razón inversa de las unidades escogidas para medirlas: 1 m = 100 cm

100 m = cm 1

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Errores de medida Error = diferencia entre el valor real de una magnitud y el valor medido En realidad solo podemos conocer el valor más probable de la cantidad de la magnitud y el grado de incertidumbre de dicho valor Precisión ≠ Exactitud

 Tipos de errores

 Errores sistemáticos: mal funcionamiento de los instrumentos de medida, etc., (se pueden evitar por comparación con otros instrumentos)  Errores accidentales: radican en la persona que mide. Son difíciles de evitar y se evalúan por medios estadísticos o Error absoluto

Ea =| valor exacto − valor medido |

Resultado ± error: o Error relativo

Er =

(Mismas unidades que la magnitud)

1 6, 47 ± 0, 02 mm

Ea valor exacto

(Adimensional. Se suele dar en %)

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Cifras significativas: El error sirve para determinar el número de cifras significativas  El valor de una cantidad va a venir dado en función del error que hayamos determinado para ella. Si he medido o determinado un valor de 5,47826 con un error de 0,002, lo correcto es expresar: 5,478 ± 0,002

(5,47826 ± 0,002)

5,478 ± 0.036%  La solución nunca puede ser más exacta que el menos exacto de los factores ¡Cuidado con las calculadoras! Ejemplo: Si la carga de un puente es de 75000 N con un posible error de 100 N, ¿con cuántas cifras habrá que dar la reacción en uno de los soportes del puente si en los cálculos hemos obtenido 14322 N? TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas

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Cuestión 1 ¿Cuál es la suma de 5,786 · 103 y 3,19 · 104? a) 3,7686 · 104 b) 8,976 · 103 c) 3,77 · 104 d) 8,98 · 103

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Cuestión 2 ¿Cuál(es) es(son) la(s) diferencia(s) entre 3,0 y 3,0000? a) 3,0000 podría ser el resultado de un paso intermedio en un cálculo; 3,0 tiene que ser el resultado final b) 3,0000 representa una cantidad que se conoce con más precisión que 3,0 c) No hay diferencia d) Expresan la misma información, pero se prefiere 3,0 por facilidad de escritura

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Cuestión 3 ¿Cuál es el número de átomos de carbono en 0,5 nanomoles de carbono? Un mol contiene 6,02 · 1023 átomos? a) 3,2 · 1014 b) 3,19 · 1014 c) 3 · 1014 d) 3,19 · 1017 e) 3 · 1017

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3.- Sistemas de Unidades 3.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas 3.2.- Sistemas tradicionales 3.3.- Sistema Internacional (SI) 3.4.- Análisis dimensional

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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3.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas Las magnitudes físicas están relacionadas entre sí:  F = m.a  E = ½ m.v2 … Sólo 7 magnitudes físicas son independientes entre sí:

 magnitudes fundamentales (3 para la parte de mecánica) El resto de magnitudes se pueden derivar de estas 7 (3):

 magnitudes derivadas El sistema de unidades selecciona las magnitudes que considera magnitudes fundamentales y define sus unidades (cantidades patrón) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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3.2.- Sistemas tradicionales (Mecánica) Sistema de unidades

CGS (Centímetro , gramo, segundo)

Sistema Técnico

SGI (Sistema gravitacional Ingles)

SAI (Sistema absoluto ingles)

SI

M Masa

g

utm

slug

lb

kg

L Longitud

cm

m

pie

pie

m

T Tiempo

s

s

s

s

s

Fuerza

dina

kp

lbf

poundal

N

Puesto que existe un ley física que relaciona F con masa y aceleración (F=m.a) (a=v/t; v=e/t), tendremos:

kp = peso de un kilogramo de masa lbf = peso de una libra de masa

1 lb = 0, 45359 kg 1 pie = 0, 3048 m

1 dina = 1g .cm.s-2 1 kp = 1utm .m.s-2

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3.3.- Sistema Internacional (SI) (Normativa sobre SI: Ley 88/1967 de 8-111967 y decreto 1257/1974 15-4-1974)

Unidades fundamentales (7) (3 para la parte de mecánica) Magnitud

unidad

símbolo

Longitud (l) Masa (m) Tiempo (t) Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica (T) Cantidad de sustancia (n) Intensidad luminosa (IL)

metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela

m kg s A K mol Cd

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Unidades suplementarias (De carácter geométrico. No se ha decidido si son fundamentales o derivadas.) Magnitud Ángulo plano Ángulo sólido

unidad

símbolo

radián estereorradián

rad sr

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Definiciones metro: longitud recorrida en el vacío por un rayo de luz en 1/299.792.458 segundos kilogramo: masa que tiene el prototipo internacional, compuesto de una aleación de platino e iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM) en Sèvres, cerca de París. segundo: masa duración de 9.192.631.770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a nivel del mar. amperio: intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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kelvin: fracción de 1/273,16 partes de la temperatura del punto triple del agua. mol: cantidad de esa sustancia que contiene tantas entidades elementales del tipo considerado, como átomos hay en 12 gramos de carbono-12. candela: intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática. de frecuencia 540 x 1012 hercios y de la cual la intensidad radiada en esa dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

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Ángulo plano: ángulo formado por el arco de circunferencia AB, con centro en O, que intercepta a dos rectas que se unen en el punto O B

O

θ R

θ=

l

l R

A

radián: ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual a la del radio R R (un ángulo completo alrededor de un punto equivale a 2π rad) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Ángulo sólido: espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal. Se obtiene trazando con radio arbitrario R y centro en el vértice O, una superficie esférica y aplicando la relación:

S R2 siendo S el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido Ω=

R

estereorradián: ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente, un área igual al de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera (el ángulo sólido completo alrededor de un punto es 4π sr) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Normas de uso sobre nombres de unidades SI  Nombres unidades y múltiplos o submúltiplos con minúscula, excepto grado Celsius kg  kilogramo / m  metro ºC  grado Celsius  Nombres de unidades compuestas producto de otras se separan con espacio o guión. En cocientes con por: N.m  newton-metro, newton metro m/s  metro por segundo  Valor de la magnitud: si es superior a la unidad se utiliza el plural, si es inferior el singular: 300 m  300 metros /

0,3 m  0,3 metro

 Evitar el uso de nombres antiguos o derogados: µm  micrómetro (en lugar de micra) ºC  grado Celsius (en lugar de grado centígrado) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Normas de uso sobre nombres de unidades SI  Siempre con minúscula excepto si provienen de un nombre propio. Si el símbolo es de dos letras y deriva de un nombre propio, se escribe con mayúscula la primera metro  m

/

newton  N

/

(se permite L para litro)

pascal  Pa  Los símbolos se imprimen en tipo redondo (letra romanilla)  Los prefijos se escriben con minúscula excepto los superiores a mega kilómetro  km

/

megahertz  MHz

 El símbolo con prefijo se considera como nuevo y no necesita paréntesis: cm-1 en lugar de (cm)-1  No son abreviaturas y nunca se escriben en plural ni tienen punto al final 1 km

/

15 km

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Normas de uso sobre nombres de unidades SI  Se deja un espacio entre el valor numérico y el símbolo, salvo grado, minuto y segundo de ángulo. La temperatura se puede expresar de las dos formas: 7 m

/

3 kg

15º 3’ 17’’ 18ºC ó 18 ºC  Productos de unidades mediante un punto a media altura; en cocientes con una barra N·m N/m ó

N·m-1

 Los símbolos que no existan en el juego de caracteres que se utilice se escriben a mano

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Normas de uso sobre nombres de unidades SI  La coma o el punto decimal son aceptados: 3,47 ó 3.47  No utilizar comas o puntos para separar grupos de cifras, se pueden utilizar potencias de 10 o prefijos. No separar por puntos grupos de 4 cifras excepto en una tabla donde haya cifras mayores  Es preferible la notación decimal a las fracciones. Para valores inferiores a uno el cero debe de preceder a la coma 0,67 (en lugar de ,67)

Sobre el uso y desuso del SI. M. Puigcerver. Revista Española de Física 5 (1 ) 1 991

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3.4.- Análisis dimensional  Una magnitud puede ser la misma en dos sistemas de unidades (metros, pies)  Para relacionar las magnitudes sin que intervengan las unidades, Fourier aplicó a estas el concepto de dimensión (corchetes []) (Dimensión: naturaleza cualitativa de una cantidad física)  Si la magnitud es fundamental, los corchetes se pueden omitir. Así, en el SI: [M] = M

[L] = L

[T] = T

 Para las magnitudes derivadas, debe cumplirse siempre que:

[D] = [M ]α [L]β [T ]γ

Principio de homogeneidad dimensional: Si una ecuación expresa correctamente una relación entre magnitudes de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea, esto es, todos sus términos deben tener las mismas dimensiones TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Constantes En las leyes físicas, que establecen la relación entre distintas magnitudes, aparecen unas constantes, que pueden ser universales, específicas o geométricas.  Tienen sus unidades correspondientes

FG = G

m1m2 ; 2 r 12

F = k∆l Cte específica

Cte universal

Modulo de Young del material

T = 2π

l g Cte geométrica

k=

ES l

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Ejemplo de homogeneidad

τ = 2π  l   =  g

l ; g

[τ ] = T ; [g ] =  v  = LT −2 ; [l ] = L; t 

L =T −2 LT

Ejemplo de aplicación: deducción de la fórmula del periodo de un péndulo físico

τ = f (m, l , g ) ⇒ [τ ] = T 1 = [mα l β g γ ] = M α Lβ +γ T −2γ ⇒ α =0 α =0 1 1 − l 1 0 2 β +γ = 0 ⇒ β= ⇒ τ =m l g 2 ⇒ g 2 1 1 γ =− γ =− 2 2 TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades

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Cuestión 4 Sabiendo que la constante de gravitación universal vale: 2 dinas ⋅ cm G = 6,67 ⋅ 10 −8 2 g en: a) sistema internacional;

Hallar su valor b) cuando se miden las masas en kg, las fuerzas en kp y las distancias en m.

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Cuestión 5 a) ¿La terna {masa, longitud, velocidad} se puede usar como terna de magnitudes independientes? b) Usando esta terna, determinar las dimensiones de las magnitudes tiempo y fuerza.

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Cuestión 6 ¿Cuáles son las dimensiones de fuerza y potencia en el S.I (es decir, usando como magnitudes fundamentales {M, L, T})?

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Cuestión 7 La densidad del acero vale 7,8 g/cm3. Expresarla en el Sistema Internacional y en los sistemas técnico, gravitacional inglés y absoluto inglés.

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Cuestión 8 Determinar las dimensiones de I, R, ω, M y C en la ecuación dimensionalmente homogénea: EIy=Rx3-P(x-a)3-ωx4+Mx2+C en donde x e y son longitudes, P es una fuerza y E es una fuerza por unidad de superficie.

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Cuestión 9 La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad ρ y su velocidad v. ¿Cuál será la expresión de la presión en función de estas?

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4.- Magnitudes vectoriales 4.1.- Definición 4.2.- Clasificación de los vectores 4.3.- Operaciones con vectores 4.4.- Funciones vectoriales

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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4.1.- Definición La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector B a A  El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada.  Al origen A se le denomina punto de aplicación  La dirección es la de la recta en que está contenido  El sentido se representa por una punta de flecha en su extremo

Propiedades de la notación vectorial:  La formulación de una ley física en función de los vectores es independiente de los ejes de coordenadas que se escojan  La notación vectorial es concisa TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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4.2.- Clasificación de los vectores (I) Según los grados de libertad

 Libres: Componentes

 Deslizantes: Componentes y recta de acción

 Ligados: Componentes y punto de aplicación TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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(II) Según la forma de actuar

 Polares: No presentan ninguna duda para asignarles el sentido en que actúan (fuerza, velocidad, etc.)  Axiales: Hay que asignar un sentido por convenio (velocidad angular de una rueda, …) Se adopta un convenio: regla del tornillo o de la mano derecha

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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4.3.- Operaciones con vectores Vectores libres 1.- Suma

s = v + w

w

v s

2.- Producto de un escalar por un vector

p = m v

v

Versor: vector unitario

p = mv  v  v

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Componentes vectoriales, escalares y cosenos directores

z vx x

vx

g a

bv

vy

y

    v = vx i + vy j + vzk  v = v 2x + v 2 y + v 2z vy vx v cos α =  ; cos β =  ; cos γ = z ; v v v

cosenos directores

cos 2α + cos 2β + cos 2 γ = 1     v  u v =  = cos α i + cos β j + cos γ k v TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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Operaciones suma y producto por un escalar en función de las componentes:

      s = v + w = (v x + w x )i + (v y + w y ) j + (v z + w z )k      p = mv = m v xi + m v yj+m v zk

Determinación de un vector • 3 componentes • Módulo y dos cosenos directores • Coordenadas extremo E(xE, yE, zE) y origen O(xO, yO, zO) v = (xE-xO)i + (yE-yO)j + (zE-zO)k TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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3.- Producto escalar (resultado: un escalar)

    a ⋅ b = a b cos α = a x bx + a y by + a z bz

a a b Propiedades •Distributiva •Conmutativa •No asociativa

a a b • Escalar: > = < 0 • Vect. Perpendiculares  prod. escalar 0 • Vect. Paralelos  prod. escalar máximo • v . v = v2 • i . i =j.j=k.k =1 •i . j =j . k =k . i = 0

TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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4.- Producto vectorial (resultado: un vector)

   a ×b = c     a × b = a b senα

bα a

Propiedades •Seudovector •Area del paralelogramo •Distributiva

• i x j =k •j x k =i •k x i = j

•No conmutativa •No asociativa

i axb =

• Perpendiculares = máximo • Paralelos = 0 • i x i =jxj=kxk =0

j

k

ax ay az bx by bz

= (aybz – azby)i + (azbx-axbz)j +(axby-aybx)k

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5.- Otras operaciones •

Producto mixto: a x b . C

•

Doble producto vectorial: a x b x c

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Vectores deslizantes ¿Cómo se puede operar con vectores deslizantes? 

No está definida la suma de vectores deslizantes

 Se deben introducir nuevos conceptos: Momento Los momentos van a expresar la distribución en el espacio de las magnitudes ► Muy útiles y necesarios cuando trabajemos con las fuerzas

 El efecto de una fuerza aplicada a un sólido rígido depende de su punto de aplicación  Es un vector deslizante sobre su recta de acción TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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Momento de un vector (F) respecto a un punto (O)

MO = r x F MO = r F senθ = F d Brazo del vector

Independiente del punto de aplicación sobre la recta soporte, pero dependiente del Polo o Centro de Momentos (O) (vector fijo en O) A cada punto del espacio le corresponde un momento distinto del mismo vector, formándose así lo que se denomina un campo de momentos del vector TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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Determinación de un vector deslizante Un vector deslizante está determinado por: 

Sus componentes (Fx Fy ,Fz)



Un punto de la recta soporte (px ,py ,pz)

O también por: 

Sus componentes (Fx Fy ,Fz)



El momento respecto a un punto (Max, May ,Maz)

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Par de vectores Dos vectores deslizantes 

Iguales en módulo



Paralelos y de sentido contrario

Momento del Par      M O = rA × F + rB × − F    = (rA − rB ) × F   = r ×F

( )

M O = rF sin θ = Fd

(d=distancia entre las dos rectas soportes de los vectores deslizantes) Independiente de O

El momento de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto sin que cambien sus efectos Se puede representar un par de fuerzas por un vector libre idéntico al Momento del par M TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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Reducción de un Sistema de Vectores Deslizantes ¿Qué ocurre si se desplaza la fuerza de un punto a otro? Al desplazar el VD F de A a O cambian sus efectos • Se puede añadir en O dos vectores iguales y opuestos a F • Los tres vectores se podrán remplazar por el vector fuerza equivalente y el vector par sin que cambien los efectos Sistema El efecto de cambiar la fuerza de punto de Fuerza-Par aplicación supone introducir adicionalmente un momento • •

   Si se desplaza F de O a O’ tenemos que sustituir el momento por MO’ : M O ' = r ′ × F           Los dos momentos están relacionados: M O ' = r '× F = (r + s ) × F = r × F + s × F    = MO + s × F

 Hay que añadir el Momento de la Fuerza en O con respecto a O’

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• Un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido (vectores deslizantes), puede ser reemplazado por un conjunto de Sistemas Fuerza-Par que actúan en un punto O • Se pueden ahora combinar (sumar) las fuerzas por un lado y los pares por otro, resultando una fuerza resultante R y un par resultante MOR

  R = ∑F

R   M O = ∑ (r × F )

• El sistema puede ser trasladado de un punto O a otro O’ sin más que sumar el momento de la Resultante R respecto a O’

R R   M O' = M O + s × R TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales

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Sistemas especiales 1.- Sistema de vectores concurrentes •

En el punto de concurrencia es equivalente a la resultante general R

•

Su Momento total respecto al punto de concurrencia será cero

2.- Sistema de Pares de vectores •

Equivalente a su momento total

•

Su resultante general es cero

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4.4.- Funciones vectoriales Similares a cualquier otra función: a = a(u) (Ejemplos: r=r(t), v=v(t), etc.) Indicatriz: Sea una función vectorial a(u). Si se llevan a un mismo punto de aplicación los valores que toma al ir variando la variable independiente u, se llama indicatriz de la función a la curva definida por los extremos Indicatriz

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Derivada de una función vectorial

 da du

∆a a(u)

∆a = a(u+Du)-a(u) ∆s

da ∆a a (u + ∆u ) − a (u ) = lim ∆u→0 = lim ∆u→0 du ∆u ∆u

a(u+∆u)

•

Dirección: tangente a la indicatriz

•

Sentido: el del incremento del vector para incrementos positivos de u

•

Módulo:

∆a ∆s ds da = lim ∆u→0 = = lim ∆u→0 ∆u ∆u du du

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Expresión analítica

da y d a da x da = j+ z k i+ du du du du Reglas de derivación Las mismas que para las funciones escalares    d  da db + a+b = du du du  d  df  da ( fa ) = a + f du du du      db d  da ⋅b + a ⋅ a ⋅b = du du du   d    db da  + ×b a ×b = a × du du du

(

)

( ) (

)

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Integración Las mismas que para las funciones escalares •

Integral de un vector es otro vector cuyas componentes son las integrales de las componentes del vector

∫ adu = ∫ a dui + ∫ a du j + ∫ a duk x

y

z

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Cuestión 10 Dados los vectores A=3i+4j+k y B=i-2j+5k calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su producto vectorial; g) un versor perpendicular a A y a B.

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Cuestión 11 Dada la función vectorial A(t)=cos(t)i+sen(t)j, siendo t un escalar, calcular → → d A

2

→

d A  A x  dt dt 2   

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Cuestión 12 ¿Cuáles de los siguientes vectores son mutuamente perpendiculares? A=(2, 1, 1); B=(0, 0, 2); C=(1, -2, 0); D=(1, 1, -3); E=(9, 5, 3)

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Cuestión 13 Sean A=(-1, 0, 1), B=(1, 1, 3), C=(-2, 1, -1), D=(2, 5, 1) cuatro puntos del espacio. a) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y CD; b) determinar el vector unitario que sea perpendicular a AB y esté contenido en el plano XY.

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Cuestión 14 Dado el vector B=4t2i+2tj-k determinar el módulo de la derivada del vector y la derivada del módulo de vector para t=2. dB d B y dt dt

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