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Matemáticas 1º ESO

Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

TEMA 8: MAGNITUDES PROPORCIONALES. PORCENTAJES 1.

Magnitudes Directamente Proporcionales Kg de café 1 2 3 4 5 · · · 8 · · ·

Precio (€) _______________ 4 _______________ 8 _______________ 12 _______________ 16 _______________ 20 · · · _______________ 32 · · ·

Estas dos magnitudes, peso en kg de café y su precio en €, se dice que son magnitudes directamente proporcionales, porque si compramos el doble, el triple, el cuádruple..., de kg de café, también pagamos el doble, el triple, el cuádruple de €. Si cogemos 2 cantidades de la 1ª magnitud (peso), con las 2 cantidades correspondientes de la 2ª magnitud (precio), y las escribimos en el mismo orden, formamos una proporción: Ejemplo:

1 5

=

4 20

Todas las proporciones tienen 4 términos: 1º término 2º término

1 5

=

4 20

3º término 4º termino

El 1º y 4º términos se llaman extremos: 1 y 20 El 2º y 3º términos se llaman medios: 5 y 4 La proporción se lee de una manera distinta a como se leen dos fracciones: Ejemplo:

1 5

=

4 20

Uno es a cinco como cuatro es a veinte Lo que indica es que la relación que existe entre el 1 el 5 es la misma que la que existe entre el 4 y el 20. Esta relación se llama razón. Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

La razón es el cociente (división) entre los dos números: 1 5

= 0,2

4 20

= 0,2

Propiedad fundamental de las proporciones:

“El producto de los extremos es igual al producto de los medios” Si te has dado cuenta una proporción está formada por dos fracciones equivalentes. Para saber si dos fracciones son equivalentes multiplicamos en cruz. Ejemplo:

1.1.

1 5

=

4 20

1 · 20 = 5 · 4 20 = 20 Es una proporción.

Regla de tres simple y directa.

Hay problemas en los que trabajamos con dos magnitudes. De una magnitud conocemos dos cantidades y de la otra magnitud solo conocemos una cantidad. El problema consiste en calcular la cantidad que falta, a la que vamos a llamar “x”. Estos problemas se resuelven planteando una regla de tres ( porque conocemos tres cantidades), simple (porque sólo hay dos magnitudes) y directa (porque las magnitudes son directamente proporcionales). Pasos: 1º Leemos el problema y buscamos las dos magnitudes y en qué unidades se miden. 2º Colocamos las cantidades en sus magnitudes correspondientes. Muy Importante que estén expresadas en la misma unidad. 3º Comprobamos que es directa ( D ) con esta regla de signos: D + _____________________ + - _____________________ 4º 5º

Formamos la proporción con las cantidades que aparecen la regla de tres en el mismo orden. Calculamos el valor de “x” y ya habremos resuelto el problema.

Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Ejemplos: Problema 1. En 5 cajas hay 115 bolígrafos. ¿Cuántos bolígrafos habrá en 12 cajas? Nº Cajas D Nº de Bolígrafos 5 ________________ 115 12 ________________ x + + 5 12

=

115 x

5 · x 5 · x

Es directa porque si hay más (+) cajas, también habrá (+) bolígrafos.

x

= 12 · 115 = 1.380 =

1.380 5

x = 276 bolígrafos

Solución: En 12 cajas habrá 276 bolígrafos

Problema 2. Una persona camina 26,25 km en 2 h y media. ¿Cuántos km caminará en 20 minutos? Tenemos que expresar 2 h y media en minutos, para trabajar en la misma unidad: 2h y media = 2,5 h = 2,5 x 60 = 150 minutos. Longitud (km) D Tiempo (min) 26,25 ________________ 150 x ________________ 20 26,25 x

=

150 20

Es directa porque en menos (-) tiempo, caminaremos menos (-) km.

150 · x 150 · x x

= 20 · 26,25 = 525 =

525 150

x = 3,5 km

Solución: En 20 minutos recorrerá 3,5 km.

Fco. Javier Sánchez García

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2.

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Magnitudes Inversamente Proporcionales Nª de obrero 1 2 4 5 · · · 8 · · ·

Tiempo (días) en hacer una obra _______________ 80 _______________ 40 _______________ 20 _______________ 16 · · · _______________ 10 · · ·

Estas dos magnitudes, nº de obreros y tiempo en hacer una obra, se dice que son magnitudes inversamente proporcionales, porque si contratamos el doble, el triple, el cuádruple..., de obreros, tardaremos la mitad, la tercera parte, la cuarta parte..., de días en hacer la obra. Si observamos la tabla y multiplicamos obreros x días siempre sale el mismo resultado = 80 1 x 80 = 80 2 x 40 = 80 4 x 20 = 80 5 x 16 = 80 ... Si cogemos 2 cantidades de la 1ª magnitud (obrero), con las 2 cantidades correspondientes de la 2ª magnitud (días), y las escribimos en el mismo orden ocurre lo siguiente:: Ejemplo:

1 5

=

80 16

Si multiplicamos en cruz no se cumple la propiedad fundamental de las proporciones: 1 · 16 = 5 · 80 16 = 400 No es una proporción ¿Qué podemos hacer para que sí sea una proporción? Escribimos la inversa de una de las dos fracciones: 1 5

=

16 80 Inversa

Si multiplicamos en cruz ahora si se cumple la propiedad fundamental de las proporciones: 1 · 80 = 5 · 16 80 = 80 Si es una proporción Por eso estas magnitudes se llaman inversamente proporcionales.

Fco. Javier Sánchez García

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2.1.

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Regla de tres simple e inversa. Estas reglas de tres se plantean igual que las directas, pero con dos diferencias:

1ª

Comprobamos que es inversa ( I ) con esta regla de signos: I + _____________________ - _____________________ +

2ª Cuando formamos la proporción, hay que poner la inversa de una de las dos fracciones que forman la proporción. Normalmente ponemos la inversa de la fracción en la que no esta “x”. Ejemplos: Problema 1. 5 obreros hacen un trabajo en 16 días. ¿Cuánto tardarán 8 obreros en hacer el mismo trabajo? Nº Obreros I Tiempo (días) 5 ________________ 16 8 ________________ x + 8 5

=

16 x

Es inversa porque si hay más (+) obreros, tardarán menos (-) tiempo.

8 · x 8 · x

Inversa

= 5 · 16 = 80

x

=

80 8

x = 10 días

Solución: 8 obreros tardarán 10 días en hacer el mismo trabajo Problema 2. Una granjero tiene pienso para alimentar 25 vacas durante 40 días. Si vende 5 vacas, ¿Cuántos días le durará el pienso? Como vende 5 vacas, ahora le quedan: 20 – 5 = 15 vacas. Nº de vacas I Tiempo (días) 25 ________________ 40 20 ________________ x + Inversa

20 25

=

40 x

Es inversa porque si hay menos (-) vacas, el pienso durará más (+) días.

20 · x 20 · x

= 25 · 40 = 1.000 x

=

1.000 20

x = 50 días

Solución: El pienso le durará 50 días.

Fco. Javier Sánchez García

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3.

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Proporcionalidad Compuesta Cuando trabajamos con más de dos magnitudes tenemos la proporcionalidad compuesta. Estos problemas se resuelven planteando una regla de tres compuesta:

3.1.

Regla de Tres Compuesta

1º Escribimos todas las magnitudes que aparecen con la unidad en que las vamos a medir. 2º Leemos el problema y colocamos las cantidades en la magnitud correspondiente. Recuerda que si no están en la misma unidad hay que pasarlas a la misma unidad. Llamamos “x” a la cantidad que tenemos que calcular. 3º Comparamos cada magnitud con la magnitud en la que está la “x” para saber si es directa o inversa: utilizamos los signos “+” y “ – ” Recuerda que: Directa (D)

Inversa (I)

+ __________________ +

+ ____________________ -

- ___________________ -

- ____________________ +

4º Escribimos primero la fracción de la magnitud en la que está la “x” seguida del signo = , después escribimos el producto de las fracciones de las otras magnitudes teniendo en cuenta que: Si es Directa formamos la fracción números igual que aparecen en la regla de tres. Si es Inversa escribimos la fracción inversa. 5º Resolvemos la proporción y tenemos la solución del problema. 1.- 6 Trabajadores forestales limpian 4 hectáreas de bosque en 12 días. ¿Cuántos días tardarán 9 trabajadores en limpiar 10 hectáreas? I

D

Nº Trabajadores

Bosque (ha)

Tiempo (días)

6 _______________

4

___________ 12

9 _______________

10

___________ x

+

+

+

Comparamos Nº de Trabajadores y Tiempo. Hay más ( + ) trabajadores, tardarán menos ( - ) tiempo en limpiar el bosque. Es Inversa. ( I ) Comparamos Bosque y Tiempo. Hay más ( + ) ha que limpiar, más ( + ) días tardarán en limpiarlo Es Directa. ( D ) I D 12

=

x

9 6

12

= 36

x

60

.

4

=

9 · 4

10

=

6 · 10

_36 60

36 · x = 12 · 60 36 · x = x =

720 720

x = 20 días

36 Solución: Tardarán en limpiar el bosque 20 días. Fco. Javier Sánchez García

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4.

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Repartos Directamente Proporcionales.

Cuando queremos repartir una cantidad entre varios números de manera que al nº menor le corresponda menos y al nº mayor le corresponda más, es lo que se llama Repartos Directamente Proporcionales. Ejemplo: Ana tenía 12 €, Ángel tenía 8 € y Juana tenía 5 €. Juntaron su dinero y compraron 2.500 folios, ¿Cómo deben repartirlos? No se pueden repartir entre tres, porque a todos les correspondería el mismo nº de folios. Hay que repartirlos de manera que al que menos dinero ha puesto, le correspondan menos folios, y al que más dinero ha puesto le correspondan más folios. A esta forma de repartir se llama Repartos Directamente Proporcionales. Para resolver este problema seguimos estos pasos: 1º Sumamos para averiguar cuánto han puesto entre los tres. 2º Dividimos los folios entre el total de € para saber cuántos folios compro por 1 € 3º Ese resultado lo multiplicamos por lo que cada niño ha puesto. Datos: Ana:

12 €

Ángel:

8€

Juana:

5€

Ana: +

12 € x 100 = 1.200 folios

Ángel:

8€

x 100 =

800 folios

Juana:

5 € x 100 =

500 folios

25 € Compran:

2.500 folios. 2.500 folios l 00

Fco. Javier Sánchez García

25 € 100 folios/€ (Por cada € corresponden 100 folios)

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5.

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Porcentajes.

Cuando hablamos de porcentaje o tanto por ciento y lo representamos con % , queremos decir que de cada 100 partes cogemos “tanto”. Si escribimos 5 %, se lee cinco por ciento, significa que de cada 100 partes cogemos 5. Los porcentajes podemos escribirlos en forma de fracción o razón: 5% =

5 100

fracción o razón

También como un número decimal: 5% =

5.1

5 100

= 0,05 Nº Decimal

Cálculo de Porcentajes. Basándonos en lo anterior, hay tres formas de calcular el tanto por ciento de una cantidad. Vamos a verlo con un ejemplo: Calcula el 5 % de 60 = ________ 1ª Forma: Con una regla de tres simple y directa: Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular: Partes Totales 5%

Partes que cogemos

100 _______________ 5 60 _______________ x 100 60

=

5

100 · x = 60 · 5

x

100 · x = 300 x =

300 100

x=3

Solución: El 5 % de 60 es 3

Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

2ª Forma: Expresando el tanto por ciento en forma de fracción: 5 % de 60 =

5

de 60 = ( 60 · 5 ) : 100 = 300 : 100 = 3

100 3ª Forma: Expresando la fracción en forma de número decimal: 5% =

5

= 5 : 100 = 0,05

5 % de 60 = 0,05 · 60 = 3

100 5.1.1 Cálculo de la cantidad a la que se le ha aplicado un tanto por ciento. La mejor forma de resolver estos ejercicios es con una regla de tres simple y directa. Vamos a verlo con un ejemplo: ¿A qué cantidad le hemos aplicado el 8 % para obtener 24? 8 % de ________ = 24 Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular y planteamos la regla de tres: Partes Totales 8%

Partes que cogemos

100 _______________ x 100

=

x

8

_______________ 24

8

8 · x = 100 · 24

24

8 · x = 2.400 x =

2.400 8

x = 300

5.1.2 Cálculo del tanto por ciento que se ha aplicado. La mejor forma de resolver estos ejercicios es con una regla de tres simple y directa. Vamos a verlo con un ejemplo: ¿Qué tanto por ciento le hemos aplicado 250 para obtener 37,50? ___ % de 250 = 37,50 Llamamos “x” a la cantidad que queremos calcular y planteamos la regla de tres: Partes Totales x%

Partes que cogemos

100 _______________ x 250 _______________ 37,50 100 250

=

x 37,50

250 · x = 100 · 37,50 250 · x = 3.750 x =

3.750 250

Fco. Javier Sánchez García

x = 15 %

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

Problemas de Porcentajes.

En la vida cotidiana aparecen con mucha frecuencia los porcentajes, podríamos clasifícarlos en dos tipos de problemas: Disminución Porcentual y Aumento Porcentual. 6.1 Disminución Porcentual.

Son los típicos problemas de rebajas y descuentos. Los productos que están rebajados cuestan ahora menos que antes. Calculamos el tanto por ciento y se lo restamos al precio que tenía el producto y nos saldrá el precio final que tenemos que pagar. Como restamos el descuento o la rebaja que nos hacen, por eso los porcentajes pueden aparecer con signos negativos delante ( – ), como en la foto de arriba: – 50 % Problema Una cadena musical cuesta 600 €. Si tiene un descuento del 12 %, ¿cuánto debo pagar por la cadena? Este problema podemos hacerlo de dos formas: 1ª Forma: Calculamos el 12 % de 600 € y se lo restamos a 600 € Precio (€) Dinero que nos rebajan (€) 100 _______________ 12

12 %

600 _______________ x 100 600

=

12

100 · x = 600 · 12

x

100 · x = 7.200 x =

7.200 100

x = 72 € de rebaja 600 € – 72 € = 528 € Solución: Debo pagar por la cadena 528 € Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

2ª Forma: Pensamos en el significado de que nos rebajan el 12 %: Si algo cuesta 100 € nos rebajan 12 €, por lo tanto pagamos sólo 88 € ( 100 € – 12 € = 88 € ). Pensando así planteamos la regla de tres: Precio (€) Precio Final Rebajado (€) 100 _______________ 88

12 % (100 – 12 = 88)

600 _______________ x 100 600

=

88

100 · x = 600 · 88

x

100 · x = 52.800 x =

52.800 100

x = 528 €

Solución: Debo pagar por la cadena 528 €

Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

6.2 Aumento Porcentual

Son los típicos problemas de subidas o aumentos. El IVA (Impuesto sobre el Valor Añadido), es un porcentaje que se le suma al precio de lo que compramos, por eso aparece con el signo más delante ( + ), como en la foto de arriba: + 18 %. Calculamos el tanto por ciento y se lo sumamos al precio que tenía el producto y obtenemos el precio final que tenemos que pagar. Problema En el móvil he tenido un consumo de 60 €. Cuando recibo la factura tengo que pagar de IVA el 18%. ¿Cuánto tengo que pagar en total? Este problema podemos hacerlo de dos formas: 1ª Forma: Calculamos el 18 % de 60 € y se lo sumamos a 60 € Precio (€) Dinero que pagamos de IVA(€) 100 _______________ 18

18 %

60 _______________ x 100 60

=

18

100 · x = 60 · 18

x

100 · x = 1.080 x =

1.080 100

x = 10,80 € de IVA 60 € + 10,80 € = 70,80 € Solución: Debo pagar en la factura del móvil 70,80 €

Fco. Javier Sánchez García

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Tema 8 Magnitudes Proporcionales. Porcentajes

2ª Forma: Pensamos en el significado de que pagamos de más el 18 %: Si algo cuesta 100 € pagamos 18 € más por lo tanto pagamos 118 € ( 100 € + 18 € = 118 € ). Pensando así planteamos la regla de tres: Precio (€) Precio Final con el IVA (€) 100 _______________ 118

18 % (100 + 18 = 118)

60 100 60

=

118 x

_______________ x 100 · x = 60 · 118 100 · x = 7.080 x =

7.080 100

x = 70,80 €

Solución: Debo pagar por la factura del móvil 70,80 €

Espero que todo lo anterior te haya servido para comprender mejor el tema y puedas resolver todos los ejercicios y problemas. Si sigues teniendo dudas me las preguntas en clase.

Fco. Javier Sánchez García

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