Tema 0. Introducción y repaso de matemáticas 1. Por qué estudiar Tecnología Industrial 2. Repaso de trigonometría 3. Repaso de vectores 4. Repaso de magnitudes

1. POR QUÉ ESTUDIAR TECNOLOGÍA INDUSTRIAL Los ciclos formativos de grado superior más afines a Tecnología Industrial son los de las familias de Fabricación Mecánica, Electricidad y Electrónica, Transporte y Mantenimiento de vehículos, Instalación y Mantenimiento, Edificación y Obra Civil, Industrias Alimentarias, Madera, Mueble y Corcho, y Textil. Como vemos, la Tecnología Industrial de Bachillerato está relacionada con un buen número de ciclos formativos de grado superior. Los grados universitarios más afines a Tecnología Industrial son: Ingeniería de Tecnologías Industriales (antiguo Ingeniero Industrial) y sus especialidades (eléctrica, electrónica industrial y automática, mecánica, energía, organización, etc), Ingeniería Aeronáutica, Ingeniería de Caminos, canales y puertos, Ingeniería de Telecomunicaciones, Arquitectura, etc. Como vemos, la Tecnología Industrial de Bachillerato está relacionada con las carreras de ingeniería. Esto nos da idea del terreno que vamos a pisar, que es, digámoslo así, el de la “preingeniería”. Hace años, cuando un estudiante que deseaba cursar una ingeniería tenía que elegir cuál, no tenía elementos de valor para realizar su elección, pues hasta el momento había dado, matemáticas, dibujo técnico, física general y química general. Esta asignatura asegura que el alumno tendrá conocimientos elementales de mecánica, estructuras, electrotecnia, electrónica, energética, etc. que a buen seguro le aclararán a la hora de elegir su formación superior. Recordemos que Tecnología es el conjunto de conocimientos técnicos y científicos que permiten diseñar y crear bienes o servicios que facilitan la adaptación al medio y satisfacen las necesidades de las personas; el encargado de realizar este diseño es el ingeniero. Con el nombre de Tecnología Industrial se engloba un buen número de tecnologías: fabricación mecánica, estructuras, eléctrica, electrónica, automática, robótica, energética, gestión industrial, química, etc. Como son muchas las tecnologías industriales no podemos estudiarlas todas; estudiaremos, a nivel elemental, unas este curso y otras el curso que viene. Para la Ciencia, el conocimiento es un fin en sí mismo. No así para la tecnología, puesto que dichos conocimientos deben poder usarse para algún aprovechamiento práctico; lo que significa que vamos a necesitar conocimientos de matemáticas, física y química, y vamos a utilizarlos para resolver problemas más prácticos de los que resuelven en aquellas asignaturas. Por tanto, la Tecnología Industrial de Bachillerato también nos va a ayudar a aprobar las Matemáticas y la Física y Química. En este curso vamos a estudiar conceptos elementales acerca de: estructuras, mecanismos, máquinas térmicas y frigoríficas, circuitos de corriente continua y corriente alterna y máquinas hidráulicas y neumáticas.

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2. REPASO DE TRIGONOMETRÍA En la asignatura, ésta se entiende, necesitaremos aplicar conocimientos de trigonometría. Por tanto, vamos a hacer un repaso somero de los conceptos de trigonometría que utilizaremos durante el curso.

2.1.- ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS • La unidad de medida de ángulos en el sistema internacional (SI) es el radián (rad), aunque también solemos medir ángulos en grados sexagesimales (°). Estas unidades están relacionadas de la siguiente manera: 360° = 2π rad. • La longitud de la circunferencia es: L = 2πr, siendo L la longitud de la circunferencia y r el radio de la misma. • De lo anterior se deduce que si el ángulo de un arco viene dado en radianes, la longitud de dicho arco es: L = θr , siendo L la longitud del arco, θ su ángulo en radianes y r su radio. En efecto, si el arco fuera toda la circunferencia obtenemos la fórmula de la longitud de la circunferencia. Si algún alumno se preguntaba la razón de utilizar radianes para medir ángulos, aquí la ha encontrado. • Decimos que resolvemos un triángulo cuando hallamos sus tres ángulos y sus tres lados. • Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras). Si es a un cateto, b otro cateto y c la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces: c2 = a2+b2. • Para resolver cualquier triángulo necesitamos conocer tres datos independientes de dicho triángulo. Datos independientes quiere decir que no podemos obtener ningún dato a partir de los otros. Por ejemplo, si los tres datos que nos dan para resolver un triángulo fueran sus tres ángulos, no podríamos dibujarlo, puesto que al conocer dos de sus ángulos ya podemos obtener el tercero; lo que significa que, en realidad, no conocemos tres datos independientes, sino sólo dos. En cambio, sí lo podríamos resolver si los datos fueran dos ángulos y un lado. • De lo anterior se desprende que para resolver un triángulo rectángulo sólo necesitaremos conocer dos datos independientes más, puesto que ya conocemos uno de sus datos, y es que uno de sus ángulos es recto. • Los ángulos comprendidos entre perpendiculares son iguales.

2.2. SENO, COSENO Y TANGENTE DE ÁNGULOS ENTRE 0°° Y 90°° Para resolver triángulos nos serán de gran ayuda las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente de un ángulo (también están la secante, cosecante y cotangente, pero no nos harán falta). Esto es lo que vamos a estudiar a continuación. Vamos a seguir estos pasos: primero definiremos las razones trigonométricas para ángulos entre 0° y 90°. Luego extenderemos esta definición para ángulos entre 0° y 360°; por último, para un ángulo que valga cualquier número (real). El dibujo de la figura nos muestra el triángulo rectángulo ABC. Al cortar dicho triángulo rectángulo por perpendiculares al cateto AC cualesquiera, obtenemos nuevos triángulos rectángulos. El teorema de Thales nos asegura que: • • •

a4/c4 = a3/c3 = a2/c2 = a1/c1 = (cateto opuesto de Â) / (hipotenusa) = sen  b4/c4 = b3/c3 = b2/a2 = b1/a1 = (cateto contiguo de Â) / (hipotenusa) = cos  a4/b4 = a3/b3 = a2/b2 = a1/b1 = (cateto opuesto de Â) / (cateto contiguo de Â) = tg Â

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Es decir, para cada uno de los triángulos rectángulos, la relación (una relación es una división) entre el cateto opuesto del ángulo  y la hipotenusa del triángulo es la misma en todos; por tanto, no depende del triángulo rectángulo escogido sino del ángulo Â. A esta relación la llamamos seno del ángulo  y la representamos por sen Â. Idénticas consideraciones a la relación entre el cateto contiguo a  y la hipotenusa, a la que llamamos coseno del ángulo  y la representamos por cos Â. Lo mismo se cumple con la relación entre el cateto opuesto de  y el cateto contiguo de Â, a la que llamamos tangente del ángulo  y la representamos por tg Â.

OBSERVACIONES •

• • • •

Hasta ahora sólo hemos definido el seno, coseno y tangente de un ángulo agudo, puesto que nos hemos ayudado de triángulos rectángulos para definirlos y no hay ningún triángulo rectángulo con uno de sus ángulos mayor que 90°. Por eso, más adelante tendremos que definirlos para ángulos mayores que 90°. Como los catetos siempre son menores que la hipotenusa, el seno y el coseno no pueden ser mayores que uno. La tangente, por el contrario, no está acotada, es decir, siempre podremos encontrar un ángulo cuya tangente valga tanto como queramos. Podemos deducir que: tg  = sen  / cos  Podemos deducir que: sen2  + cos2  = 1. Podemos deducir que: sen  = cos (90°-Â); cos  = sen (90°-Â).

La siguiente tabla nos dice el valor de seno, coseno y tangente para algunos ángulos que utilizaremos bastante. Es muy conveniente que aprendas a deducirlos.

seno coseno tangente

0° = 0 rad 0 1 0

30°= π/6 rad ½ = 0,5 √3/2 ≈ 0,866 1/√3 ≈ 0,577

45° = π/4 rad 1/√2 ≈ 0,707 1/√2 ≈ 0,707 1

60° = π/3 rad √3/2 ≈ 0,866 ½ = 0,5 √3 ≈ 1,732

90° = π/2 rad 1 0 +∞ ó no existe

2.3. SENO, COSENO Y TANGENTE DE ÁNGULOS ENTRE 0°° Y 360°° Nos vamos a ayudar de un sistema formado por dos ejes coordenados: el eje horizontal (eje x o eje de abscisas) y el eje vertical (eje y o de ordenadas). El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen de coordenadas. El eje y divide al eje x en dos partes; la parte de la derecha se denomina parte positiva del eje x, y la parte de la izquierda parte negativa del eje x. A su vez, el eje x divide al eje y en dos partes; la parte de superior se denomina parte positiva del eje y, y la parte inferior parte negativa del eje y. Estos dos ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. Si dibujamos un ángulo con vértice en el origen de coordenadas y medido a partir del eje x en el sentido contrario al de las agujas del reloj, llamamos primer cuadrante al comprendido entre 0° y 90°. Llamamos segundo cuadrante al comprendido entre 90° y 180°. Llamamos tercer cuadrante al comprendido entre 180° y 270°. Llamamos cuarto cuadrante al comprendido entre 270° y 360°.

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Nos vamos a ayudar de una circunferencia centrada en el origen de ejes. Para definir el seno, coseno o tangente de un ángulo comprendido entre 0° y 360° hacemos lo siguiente: dibujo el ángulo a partir del eje x hasta que corte con la circunferencia; de esta forma es sencillo obtener un triángulo rectángulo (en la figura está dibujado el de 60°). El valor absoluto del seno, coseno o tangente de un ángulo será el calculado a partir de este triángulo rectángulo. Queda pues, por determinar el signo. Como el coseno está relacionado con el cateto contiguo (cateto que está en el eje x), si el triángulo queda en la parte positiva del eje x (a la derecha) el coseno será positivo, y será negativo en caso contrario (izquierda). Como el seno está relacionado con el cateto opuesto (cateto paralelo al eje y), si el triángulo queda en la parte positiva del eje y (arriba) el seno será positivo, y será negativo en caso contrario (abajo). Como la tangente es la relación entre el seno y el coseno, la tangente será positiva cuando seno y coseno sean los dos positivos o los dos negativos, y será negativa en caso contrario.

2.4. SENO, COSENO Y TANGENTE PARA CUALQUIER ÁNGULO Con este apartado extendemos la definición de seno, coseno y tangente para cualquier ángulo, esto es, ángulos mayores de 360° y ángulos negativos. Comencemos por explicar el sentido de ser de los ángulos con signo. Un ángulo con signo es un ángulo medido a partir del eje x, de forma que si lo medimos en el sentido contrario al de las agujas del reloj, será considerado positivo; si lo medimos en el sentido de las agujas del reloj, será considerado negativo. Por ejemplo, 300° es equivalente a -60°. En cuanto la razón de ser de los ángulos mayores de 360°°, es el siguiente: si intentásemos dibujar un ángulo de 405° dibujaríamos uno de 360° (que es el máximo) estaríamos en el mismo punto donde empezamos y nos faltarían todavía 45°, luego hemos dado una vuelta completa y luego hemos medido 45°, por lo que 405° es equivalente a 45°. Es decir, un ángulo es equivalente a un número entero (positivo o negativo) de vueltas más dicho ángulo:  es equivalente a ±360°n, donde n puede ser 0, 1, 2, etc. Para terminar la definición sólo falta por decir que el seno, coseno y tangente de ángulos equivalentes es el mismo. Esto quiere decir que el seno, coseno y tangente de 405° es el mismo que el de 45°. OBSERVACIONES •

Las fórmulas vistas en las observaciones del apartado 2.2. no son sólo válidas para ángulos entre 0° y 90°, sino para ángulos cualesquiera.

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•

Por supuesto para calcular senos, cosenos o tangentes utilizaremos calculadora. Si veis una D recuadrada en la pantalla de la calculadora, los ángulos deben ser introducidos en grados sexagesimales (°). Si veis una R recuadrada, deben ser introducidos en radianes.

2.5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Nos planteamos ahora el problema inverso. Por ejemplo, la tangente de un ángulo es uno, ¿cuál es ese ángulo? Pues puede ser cualquiera del tipo: 45°±360°n y también -135°±360°n. Como vemos hay infinitos ángulos cuya tangente vale uno. Como la representación de los ángulos 45°±360°n es idéntica, por simplificar el problema, a partir de ahora utilizaremos preferentemente ángulos entre 180° y 180°, sin incluir el -180° pero sí el 180°. Lo hacemos así porque es mejor a la hora de utilizar la calculadora. Hecho esto, nos quedan dos posibilidades: 45° y -135°. Si no nos dan más datos no podemos determinar cuál de los dos ángulos es. Si nos dijeran que está en el primer cuadrante, sería el de 45°; si nos dijeran que está en el tercer cuadrante, sería el de -135°. Definimos arco seno, arco coseno y arco tangente de la siguiente manera: arc sen x = y si y sólo si y = sen x arc cos x = y si y sólo si y = cos x arc tg x = y si y sólo si y = tg x OBSERVACIONES •

• •

Utilizaremos la calculadora para hallar las razones trigonométricas inversas. Por ejemplo, si queremos hallar el ángulo cuya tangente vale uno, esto es, calcular el arc tg 1, escribiremos en la calculadora: tg-1 1. Si hemos elegido grados sexagesimales en la calculadora (la D), ésta arroja el valor de 45, pero no dice nada acerca del otro posible valor, el -135. Por esto tenemos que tener cuidado al usarla, porque la calculadora sólo nos va a dar un ángulo, que en el caso de las arco tangentes será el comprendido entre -90° y 90°. En general, tg-1 x es arc tg x, que no debemos confundir con 1/(tg x). Por ejemplo, tg-1 0 = 0° ó 180° y 1/(tg 0°) no existe. Lo mismo puede decirse para arco seno y arco coseno. Tampoco debemos confundir por ejemplo: sen2 x con sen x2. Por ejemplo, sen2 30° = (sen 30°)2 = 0,52 = 0,25; sin embargo, sen 302 = sen 900° = sen (900-2*360) = sen 180° = 0. Con esto terminamos el repaso de trigonometría.

3. REPASO DE VECTORES El concepto de vector a buen seguro nos es ya muy familiar; por tanto, si lo repasamos aquí es porque lo vamos a utilizar muchísimo. Recordemos que geométricamente los vectores se representan por flechas y, con ellos, podemos realizar operaciones como veremos más adelante. 3.1. DEFINICIÓN GEOMÉTRICA DE VECTOR Un vector para nosotros será un segmento orientado o flecha en el espacio. Sea v un vector. Podemos diferenciar en él: a) Dirección, dir(v). Dos vectores tienen la misma dirección si las rectas que

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los contienen son paralelas. b) Sentido, sent(v). Una misma dirección tiene dos sentidos; el sentido nos lo indica la punta de la flecha. c) Módulo, mód(v) =|v|. Es la longitud de la flecha. Decimos que dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. OBSERVACIONES • Los vectores los representaremos por letra en negrilla o también con una flechita por encima de la letra. Así, v es exactamente lo mismo que v . • Por ser el módulo de un vector una longitud, nunca podrá ser un número negativo. 3.2. COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR Si bien hemos dicho que los vectores se representan geométricamente mediante flechas, para nuestra suerte, también se pueden representar mediante números, esto es, analíticamente. La cantidad de números que necesitemos para representar un vector depende. Si los vectores de un problema no están todos en el mismo plano necesitaremos tres números para determinar un vector; diremos que el problema es espacial (tres dimensiones). Si los vectores de un problema están todos en el mismo plano pero no todos tienen la misma dirección necesitaremos dos números para definir cada vector; diremos que el problema es plano (dos dimensiones). Si los vectores de un problema tienen todos la misma dirección necesitaremos sólo un número para representar cada vector; diremos que el problema es rectilíneo (una dimensión). En este curso la inmensa mayoría de los problemas serán problemas planos; por tanto, para nosotros un vector se representará casi siempre y mientras no digamos lo contrario mediante dos números. Veamos cómo podemos representar un vector de forma cartesiana, esto es, cómo calcular sus dos componentes cartesianas. Sea v un vector. Se llama primera componente o componente x de v, vx, al producto del módulo de v por el coseno del ángulo con signo medido desde una paralela al eje x hasta v. Se llama segunda componente o componente y de v, vy, al producto del módulo de v por el seno del ángulo con signo medido desde una paralela al eje x hasta v. v = AB = (vx, vy) = (3, 2)

OBSERVACIONES • Notar que las componentes cartesianas de un vector dependen de cómo hayamos elegido los ejes x e y. • No debemos confundir las componentes cartesianas de un vector con las coordenadas cartesianas de un punto. Por ejemplo, las componentes del vector AB son (3, 2), las coordenadas del punto A son (2, 3) y las coordenadas del punto B son (5, 5).

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• Dos vectores son iguales si y solo si tienen sus componentes x iguales y sus componentes y iguales. 3.3. COMPONENTES POLARES DE UN VECTOR Además de las representaciones geométrica y cartesiana de un vector, vamos a estudiar un tercer tipo de representación de vectores llamado representación polar de un vector. Las componentes polares de un vector son el módulo del vector y el argumento del vector. El módulo de un vector ya ha sido definido. El argumento de un vector es el ángulo con signo medido desde una paralela al eje x hasta el vector. El argumento es un ángulo comprendido entre -180° y 180° (el -180° no incluido). La relación entre componentes cartesianas y componentes polares es.

Sea R un vector plano; R = |R|∠θ = (Rx, Ry), entonces: R x = R cos(θ ) R y = R sen (θ )

R =

(R x )2

θ = arctg

Ry

+ (R

)

2

y

¡OJO!

Rx

OBSERVACIONES • Un vector queda determinado de tres maneras, de forma que conocida una podemos hallar las otras dos. Primera: módulo, dirección y sentido. Segunda: componente x y componente y. Tercera: módulo y argumento. • Si el módulo de un vector es cero no tiene sentido hablar de argumento de dicho vector. • Mucho ojo al calcular el argumento de un vector a partir de las coordenadas cartesianas. En efecto, si usamos la calculadora para calcular el argumento del vector (1,1) hay que hallar el arco tangente de uno y la calculadora arroja 45°, lo cual es correcto; pero si ahora hacemos lo mismo para el vector (-1,-1) hay que hallar de nuevo el arco tangente de uno y la calculadora arroja otra vez 45°, en vez de -135°, que sería el argumento correcto. Esto es así porque como dijimos antes siempre hay dos argumentos para cada arco tangente y porque para la arco tangente la calculadora siempre nos da el argumento que está entre -90° y 90°. 3.4. OPERACIONES CON VECTORES Los vectores no nos serían de utilidad si no pudiéramos operar con ellos. Lo siguiente que vamos a definir son algunas operaciones que se pueden hacer con vectores. Sean a = (ax, ay) y b = (bx, by) dos vectores. Definimos: - Opuesto de a, -a. Geométricamente, es un vector de igual módulo de a, igual dirección de a y sentido contrario a a. Analíticamente, –a= (-ax,-ay) - Suma de a más b, a+b. Geométricamente, si situamos el origen de b en el final de a, el vector a+b es el vector que tiene como origen el punto origen de a y como final el punto final de b. Analíticamente, a+b = (ax+bx, ay+by) - Resta de a menos b, a-b. Geométricamente, es la suma de a más el opuesto de b. Analíticamente, a-b = (ax-bx, ay-by) - Producto de un número k por un vector a, ka. Geométricamente, es un

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vector cuyo módulo es |k||a|, cuya dirección es la misma dirección de a y cuyo sentido es el de a si k es positivo o contrario a a si k es negativo. Analíticamente, ka = (kax, kay). - División de un vector a entre un numero k, a/k. Geométricamente, es el vector resultado de multiplicar a por el inverso de k. Analíticamente, a/k = (ax/k, ay/k). OBSERVACIONES • Para cada operación hemos dado dos definiciones equivalentes: una geométrica y otra cartesiana. Si quieres puedes comprobar que se llega al mismo vector de cualquiera de las dos maneras, como no podía ser de otra manera para que esté bien definido. • Fíjate bien que, hasta ahora, sólo hemos definido la suma y resta de vectores, y la multiplicación y división de un vector con un número real; no hemos definido ni el producto de dos vectores, ni la división de un vector entre otro vector, ni la raíz de un vector, etc. • No hemos definido estas operaciones en componentes polares. 3.5. VECTORES DE LOS QUE CONOCEMOS SU DIRECCIÓN Terminamos este repaso de vectores explicando un caso que se nos va a presentar en multitud de ocasiones. Imagínate que de un vector v conocemos su dirección, pero no conocemos su módulo, ni su sentido. Por ejemplo que su argumento sea 30° o -150°. ¿Cuáles son sus componentes cartesianas? Elegimos uno de los dos argumentos, por ejemplo el de 30°. El vector será de la forma (v·cos 30°, v·sen 30°), con lo que sólo nos queda por hallar v, que es un número (positivo o negativo). Si v valiese 5 significaría que el módulo de v es 5 y que efectivamente su argumento era 30°. Si v valiese -8 significaría que el módulo de v es 8 y que el argumento es el contrario a 30°, es decir, el de -150°. OBSERVACIONES • Como vemos el módulo de v nos da el módulo de v y el signo de v nos da el sentido de v. • No debemos confundir v (que es el número que usamos para representar a v) con |v| (que es el módulo de v). En efecto, v puede ser positivo o negativo; en cambio, |v| es siempre positivo puesto que es el módulo del vector. • El alumno elegante puede animarse a demostrar lo que acabamos de ver. El alumno menos elegante tiene, al menos, que comprenderlo perfectamente, pues es fundamental.

4. REPASO DE MAGNITUDES Para poder comprender los fenómenos objeto de nuestro estudio, el ser humano elabora teorías acerca de los mismos. Las teorías se expresan relacionando entre sí las cantidades de determinadas magnitudes. Llamamos magnitudes a los conceptos que resultan de hacer abstracción de determinadas cantidades observables y medibles que intervienen en los fenómenos. Representamos simbólicamente a cada magnitud por una letra (el tiempo por t, la masa por m, etc.). De esta forma las leyes pueden expresarse por una fórmula en que intervienen los símbolos que representan magnitudes. Ejemplo: F = ma, donde F es la fuerza total que actúa sobre un cuerpo de masa m y a es la aceleración de dicho cuerpo; se debe cumplir entonces siempre que el producto de m por a es igual a F.

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Podemos clasificar las magnitudes en escalares o vectoriales. Una magnitud escalar es aquella que se representa mediante un número y una unidad de medida de dicha magnitud. Son magnitudes escalares, por ejemplo, la temperatura, la capacidad, el tiempo, la energía, la longitud, etc. Una magnitud vectorial es aquella que se representa mediante un vector y una unidad de medida de dicha magnitud. Son magnitudes vectoriales, por ejemplo, la fuerza, la posición, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, el campo magnético, etc. Como vemos las magnitudes, bien sean escalares o vectoriales siempre van acompañadas de alguna unidad de dicha magnitud. Vamos a hablar ahora de las unidades de medida. Para expresar numéricamente las cantidades de cada magnitud es preciso referirnos a una unidad. En general, nosotros utilizaremos las unidades del Sistema Internacional (SI). El SI tiene siete unidades básicas; el resto de unidades se llaman unidades derivadas, donde las unidades derivadas se pueden poner en función de las unidades básicas. Magnitud física Longitud (l) Tiempo (t) Masa (m) Temperatura (T) Intensidad de corriente (I) Cantidad de sustancia (n) Intensidad luminosa (I)

Unidad básica SI Metros (m) Segundos (s) Kilogramo (kg) Kelvin (K) ¡OJO! Amperios (A) Mol (mol) Candela (cd)

Por ejemplo, sabemos que la fuerza se mide en Newtons (N). Observando la tabla, vemos que la fuerza no es una magnitud básica sino derivada, lo que significa que podemos poner los Newtons en función de otras magnitudes básicas. Como sabemos que fuerza es igual a masa por aceleración: 1 N = 1 kg·m/s2. Recuerda que dos magnitudes sólo se pueden sumar o restar si son del mismo tipo; esto es, una masa sólo se puede sumar o restar con otra masa. Para sumar o restar numéricamente dos magnitudes del mismo tipo, deben estar expresadas en las mismas unidades; por ejemplo, si quiero sumar 2 kg + 300 g, tengo que pasar ambas magnitudes a las mismas unidades, por ejemplo, 2 kg + 0,3 kg = 2,3 kg, o bien, 2000 g + 300 g = 2300 g. Recuerda que dos magnitudes se pueden multiplicar o dividir aunque no sean del mismo tipo. Por ejemplo, 2 kg · 3 m/s2 = 6 kg·m/s2 = 6 N. A continuación, presentamos una lista con algunas magnitudes derivadas, sus unidades y sus dimensiones: -Velocidad (v): tiene unidades de espacio entre tiempo. -Aceleración (a): tiene unidades de velocidad entre tiempo. -Fuerza (F), en newtons (N): tiene unidades de masa por aceleración. -Presión (p), en pascales (Pa): tiene unidades de fuerza entre superficie. -Trabajo (W), en julios (J): tiene unidades de fuerza por desplazamiento. -Energía (E) y calor (Q): tienen las mismas unidades que el trabajo. -Potencia (P), en vatios (W): tiene unidades de trabajo entre tiempo. -Voltaje eléctrico (U), en voltios (V): tiene unidades de potencia entre intensidad eléctrica. -Carga eléctrica (Q), en culombios (C): tiene unidades de intensidad por tiempo. -Ángulo (alfa), en radianes (rad): no tiene dimensiones, es adimensional.

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Sabemos que cada unidad de medida, sea bien básica o derivada tiene unidades múltiplos y unidades submúltiplos, que se expresan mediante prefijos que acompañan a la unidad. Factor

Prefijo

Símb olo

Factor

1012

tera

T

10-1

deci

d

109

giga

G

10-2

centi

c

106

mega

M

10-3

mili

m

103

kilo

k

10-6

micro

μ

102

hecto

h

10-9

nano

n

-12

pico

p

10

1

deca

da

10

Prefijo Símbol o

Recuerda que, por ejemplo, 5 km = 5·103 m= 5000 m. Recuerda también que 5 mm = 5·10-3 m= 0,005 m.

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EJERCICIOS TEMA 0 2. REPASO DE TRIGONOMETRÍA 1. 2. 3. 4.

5.

6.

7.

Expresa en grados sexag.: π rad; 1,2 rad; 2 rad. Expresa en radianes: 360°; 70°; 120°. ¿Qué longitud tiene un arco de 8 cm de radio y un ángulo de 210°? De un triángulo rectángulo sabemos que uno de sus ángulos vale 15°, ¿cuánto valen los otros dos ángulos? Calcula los lados del triángulo si es posible. De un triángulo rectángulo sabemos que la hipotenusa vale 5 cm y uno de los catetos vale 3 cm, ¿cuánto vale el otro cateto? Calcula los ángulos del triángulo si es posible. Halla el argumento del ángulo cuya tangente es: a) -3 y está en el segundo cuadrante; b) 0,5 y está en el tercer cuadrante; c) -1 y está en el cuarto cuadrante; d) 2 y está en el primer cuadrante. 2 2 Calcula: sen (30°); sen (30°) .

3. REPASO DE VECTORES 8.

Calcula las componentes cartesianas y polares de los siguientes vectores:

13.

14.

15.

16.

17.

18.

componentes cartesianas y sus componentes polares. De un vector sabemos que su argumento es -60° y que el valor absoluto de su componente y es 12. Dibújalo, calcula sus componentes cartesianas y sus componentes polares. De un vector sabemos que su módulo es 10, que su componente x es 12 y que está en el cuarto cuadrante. Dibújalo, calcula sus componentes cartesianas y sus componentes polares. *Dibuja y halla las componentes cartesianas y polares de un vector del que sabemos que el valor absoluto del seno de su argumento es 0,5, que el valor absoluto de su componente x es 8, que la componente y es negativa y que la tangente de su argumento es positiva. *Dibuja y halla las componentes cartesianas y polares de un vector del que sabemos que tiene módulo 5 e igual argumento que el vector (3, -3). ¿Cuál es ese vector? Sabemos que a = (3, 4) y que b = (-4, 2). Dibuja, calcula las componentes cartesianas y las componentes polares de los siguientes vectores: a) a; b) b; c) –a; d) a+b; e) a-b; f) 2a; g) b/(-2). Sabemos que a = (4, 0) y que b = (-3, -1). Dibuja, calcula las componentes cartesianas y las componentes polares de los siguientes vectores: a) a; b) b; c) –a; d) a+b; e) a-b; f) -0,5a; g) b/3.

Nota: Llamamos vector resultante o resultante de un conjunto de vectores a la suma de los mismos. 19. Hallar las componentes cartesianas y polares de la resultante de los siguientes vectores: (-5, 5); 3∟π/6 rad; 4∟-60°. Resuelve también gráficamente. 20. Hallar las componentes cartesianas y polares de la resultante. Resuelve también gráficamente.

9.

Dibuja y calcula las componentes polares de los siguientes vectores: a = (3, 4); b = (-2, 5); c = (5, -5); d = (-3, -4); e = (6, 0); f = (-4, 0); g = (0, 0). 10. Dibuja y calcula las componentes cartesianas de los siguientes vectores: a = 5∟30°; b = 4∟-30°; c = 3∟(πrad); d = 1∟120°; e = 5∟(-5π/6rad); f = 2∟-90°; g = 4∟0°. 11. De un vector sabemos que su módulo es 10, que su componente x es -5 y que su argumento está en el tercer cuadrante. Dibújalo, calcula sus componentes cartesianas y sus componentes polares. 12. De un vector sabemos que su módulo es 5 y que su componente y es -5. Dibújalo, calcula sus

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21. Sabiendo que la resultante de los vectores es nula, calcula las componentes cartesianas y polares del vector v. Resuelve también gráficamente.

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22. Sabiendo que la resultante de los vectores es nula calcula las componentes cartesianas y polares de los vectores u y v. Resuelve también gráficamente. 23. El módulo del vector resultante de dos vectores perpendiculares es 10. Si el módulo de uno de ellos es 8, ¿cuál es el módulo del otro? 24. Descomponer un vector de módulo 100 en dos componentes rectangulares tales que sus módulos sean iguales (lo que dice el problema es que el vector de módulo 100 es la suma de dos vectores perpendiculares; lo que pide es el módulo de dichos vectores). 25. Dos vectores tienen módulos de 5 y 7. ¿Qué ángulo forman dichos vectores para que su resultante tenga de módulo 10? 26. Dados los vectores a = (3, -2) y b = (-4, 1), se pide calcular las componentes cartesianas y polares de c = 2a – 3b. 27. Los módulos de tres vectores son: |a| = 6, |b| = 3, |c| = 4. El vector a está en el primer cuadrante y forma con el eje x un ángulo sin signo de 45°. El vector b está en el segundo cuadrante y forma con el eje y un ángulo sin signo de 60°. El vector c está en el tercer cuadrante y forma con el eje y un ángulo sin signo de 30°. Hallar las componentes cartesianas y polares de 3a - 4b + 2c. 28. Los módulos de tres vectores son: |a| = 2, |b| = 4, |c| = 7. El vector a está en el primer cuadrante y forma con el eje y un ángulo sin signo de π/6 rad. El vector b está en el segundo cuadrante y forma con el eje y un ángulo sin signo de 45°. El vector c está en el cuarto cuadrante y forma con el eje x un ángulo sin signo de π/3 rad. Hallar las componentes cartesianas y polares de 5a - 3b + c. 29. Se tienen tres vectores que cumplen: 8a - 3b + 2c = 0. El módulo de a es 7 y forma 30° negativos con el eje x. El módulo de b es 5 y forma π/4 rad positivos con el eje y. Calcular las componentes cartesianas y polares de c. 30. Se tienen tres vectores que cumplen: a + b + c = 0. El vector a tiene módulo 8 y argumento +30°. Conocemos las direcciones de b y de c, pero no sus sentidos, de forma que un posible argumento de b es 45° y un posible argumento de c es 120°. Calcular las componentes cartesianas y polares de b y de c. 31. Se tienen tres vectores que cumplen: a+b+c=0. El vector a tiene módulo 10 y argumento -45°. Conocemos las direcciones de b y de c, pero no sus sentidos, de forma que un posible argumento de b es 90° y un posible argumento de c es 30°. Calcular las componentes cartesianas y polares de b y de c.

34. La ecuación de los gases perfectos (gases ideales se les llama en química) es: pV = nRT, donde p es la presión, V el volumen, n el número de moles, R la constante de los gases y T la temperatura. En química, nos enseñaron que un mol de gas, a 1 atm de presión y a 0°C de temperatura, ocupa 22,4 l de volumen. Halla el valor de R en (atm·l)/(mol·K) y 5 también en el S.I. (Ayuda: 1 atm = 1,01325*10 Pa). 35. Comprueba que el trabajo tiene las mismas unidades que la masa por la velocidad al cuadrado. 36. Realiza la siguiente operación de unidades de longitud: 4,3*102 m + 6,57*10-4 km – 78,25*108 mm + 2368*10-1 cm

37. ¿Cuál de los siguientes volúmenes es mayor? 3 2 2 a) 3567 l; b) 5 m ; c) 400 cm x 200 dm ; d) 40·10 3 9 3 dm ; e) 1,5·10 mm 38. Una fuerza es de 4 kN y argumento -30°. Halla las componentes cartesianas y polares de dicha fuerza en kilopondios o kilogramos fuerza (1 kp = 1 kgf = 9,8 N). 39. Dada la siguiente ecuación entre magnitudes se pide: a) Hallar las unidades, expresadas en unidades básicas del S.I., de los sumandos de la ecuación. b) Hallar X en unidades del S.I. Nota: 1 cal = 4,18 J 40. Dada la siguiente ecuación entre magnitudes se pide: a) Hallar las unidades, expresadas en unidades básicas del S.I., de los sumandos de la ecuación. b) Hallar X en unidades del S.I. MW ⋅ min 5 ⋅ 10 − 2 CV ⋅ h + 2,4 ⋅ 10 2 kcal = 8,9 − 4 ⋅X N Nota: 1 cal = 4,18 J; 1 CV = 736 W

4. REPASO DE MAGNITUDES 32. Identificar el carácter vectorial o escalar de las siguientes magnitudes: masa, trabajo, fuerza, velocidad, peso, potencia, presión, energía y aceleración. 33. Para cada una de las siguientes magnitudes derivadas: velocidad, aceleración, fuerza, presión, trabajo, energía, potencia, ángulo; escribe su unidad derivada en función de las unidades básicas.

Tecnología Industrial I. Tema 0

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