1

´ Tema 1. Algebra lineal. Matrices 0.1

Introducci´ on

Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran n´ umero de situaciones. Son conocidos los m´etodos de resoluci´on de los mismos cuando tienen dos ecuaciones y dos inc´ognitas que se estudian en la ense˜ nanza secundaria: los de reducci´on, sustituci´on e igualaci´on. Ahora se trata de ver c´omo puede procederse cuando hay mayor n´ umero de ecuaciones y de inc´ognitas simplificando lo m´as posible la escritura. La forma de resolver un sistema consiste en realidad en ir sustituyendo el sistema por otro equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones) pero que vaya siendo cada vez m´as sencillo, hasta llegar a uno que sepamos resolver. Las operaciones que transforman un sistema en otro equivalente son esencialmente dos: umero distinto de 0. 1. Multiplicar una ecuacion por un n´ 2. Sumar una ecuaci´on a otra. Consideremos el siguiente ejemplo:   3x +2y = 8  2x +4y = 5

(0.1)

Se puede proceder as´ı: se multiplica la primera ecuaci´on por 2 y la segunda por −3. Se obtiene as´ı el sistema equivalente   6x +4y = 16 ;  −6x −12y = −15 sustituimos la segunda ecuaci´on por la suma de las dos, y resulta   6x +4y = 16  −8y = 1

(0.2)

(0.3)

Este sistema se llama triangular y ya se sabe resolver: se despeja la y en la segunda ecuaci´on, se sustituye en la primera y en ´esta se despeja la x; resulta  1   y=− 8µ ¶ 11 1 33   6x + 4 − =⇒ x = = 16 =⇒ 6x = 8 2 4

(0.4)

2 Obs´ervese que puede evitarse modificar la primera ecuaci´on y actuar s´olo sobre la segunda:     3x +2y = 8  3x +2y = 8  3x +2y = 8 =⇒ =⇒ (0.5)  −3x −6y = − 15 (− 3 )   2x +4y = 5 −4y = 1 2

2

2

N´otese tambi´en que todo se simplifica si se omite la escritura de las inc´ognitas y se escriben s´olo los coeficientes. As´ı, (0.5) puede escribirse       3 2 8 3 2 8 3 2 8   =⇒   =⇒   1 2 4 5 −3 −6 − 15 0 −4 2 2

(0.6)

con el convenio de que la primera columna representa los coeficientes de x, la segunda los coeficientes de y y la tercera los t´erminos independientes. De esta manera llegamos a las tablas de n´ umeros que reciben el nombre gen´erico de matrices.

0.2

Matrices.

Definici´ on 0.1 Una matriz es una estructura  a a12  11   a21 a22 A=   ... ...  am1 am2

rectangular de n´ umeros  . . . a1n   . . . a2n    ... ...   . . . amn

(0.7)

Los valores aij se llaman los elementos de la matriz. La matriz completa se representa por (aij ). Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que tienen dimensi´on m × n. Definici´ on 0.2 Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensi´on y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Otros nombres que deben conocerse: • Si el n´ umero de filas es igual que el n´ umero de columnas, la matriz se llama cuadrada. A ese n´ umero (el de filas o el de columnas) se le llama el orden de la matriz cuadrada. • Se llama matriz fila aqu´ella que tiene una sola fila, por ejemplo ³ A=

´ 3 −1 2 0 5

3 • Se llama matriz columna aqu´ella que tiene una sola columna, por ejemplo   3      −1      A= 2       0    5 • En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de la forma aii . • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At , a la que se obtiene cambiando las filas y las columnas, por ejemplo  3 −1      −1 −1  3 −1 2 0 5  t   A= =⇒ A =  2 2  −1 −1 2 3 4   0 3  5 4

          

Si la dimensi´on de A es m × n, la de At es n × m. • Una matriz cuadrada se llama sim´etrica si  3   A =  −1  3

es igual a su traspuesta, por ejemplo  −1 3   −1 2   2 0

• Se llama matriz nula aqu´ella cuyos elementos son 0; por ejemplo   0 0 0  A= 0 0 0 es la matriz nula de dimensi´on 2 × 3. • Se llama matriz diagonal a la matriz cuadrada que tiene nulos todos los t´erminos que no est´an en la diagonal principal, por ejemplo    3 0 0 3 0 0       o A= 0 0 0 A =  0 −1 0     0 0 5 0 0 5

    

4 • Se llama matriz unidad o matriz identidad a la matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal igual a  1   A= 0  0

1; por ejemplo  0 0   1 0   0 1

es la matriz unidad de orden 3. • Se llama matriz triangular superior (inferior) a toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los t´erminos que est´an por debajo (encima) de la diagonal principal, por ejemplo 





3 1 −2     A =  0 −1 3    0 0 5

0.3



3 0 0   A =  2 −1 0  5 3 1

o

   

Operaciones con matrices: suma, producto por un n´ umero y diferencia.

Definici´ on 0.3 Sean A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de la misma dimensi´on. Se define la suma de A y B, C = A + B, como aquella matriz C de la misma dimensi´on tal que cij = aij + bij

1≤i≤m

1≤j≤n

Si las matrices no tienen la misma dimensi´on, no se pueden sumar. Ejemplo 0.4 

 

3

1

0 −1

−2 3





+

−2 3

1

1

−2 3





=

1

2

3 −3

−1



6

Definici´ on 0.5 Sea A = (aij ) una matriz de dimensi´on m × n cualquiera y λ un n´ umero real. Se define el producto de λA, C = λA, como aquella matriz C de la misma dimensi´on tal que cij = λaij

1≤i≤m 1≤j≤n

En particular, cuando λ = −1, se obtiene la matriz opuesta de A, −A.

5 Ejemplo 0.6

 −2 

 3

1

0 −1

−2 3



=

 −6 −2 0

4

2



−6

Definici´ on 0.7 Se define la diferencia entre A y B, A − B = A + (−B).

0.4

Producto de matrices.

Vamos a definir el producto de matrices de una forma aparentemente extra˜ na, pero que se revela luego que es la m´as u ´til para las aplicaciones. Este producto no va a permitir multiplicar dos matrices cualesquiera. Se necesitar´a que el n´ umero de columnas del primer factor coincida con el n´ umero de filas del segundo; y la matriz producto tendr´a tantas filas como ten´ıa el primer factor y tantas columnas como ten´ıa el segundo. La definici´on es la siguiente: Definici´ on 0.8 Sean A = (aij ) una matriz de dimensi´on m × n y B = (bij ) una matriz de dimensi´on n × p. Se define el producto C = AB como la matriz C = (cij ) de dimensi´ on m × p definida por cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj Ejemplo 0.9 



1≤i≤m



1≤j≤p

 −2

  −2  =  0 −1 0     −5 1 3(−2) + 1 · 3 + (−2)1 3 · 1 + 1(−2) + (−2)0  =  0 2 0(−2) + (−1)3 + 3 · 1 0 · 1 + (−1)(−2) + 3 · 0 

3

1

   3  3 1

1

−2

El siguiente ejemplo muestra la utilidad del producto de matrices y la raz´on por la que se define de esta manera. Supongamos que deseamos hallar los n´ umeros x1 , x2 que verifican

  3x −2x = y 1 2 1  4x +x = y 1 2 2

siendo

  5y 1  −y

1

−y2

=6

+3y2 = 7

(0.8)

Una forma de atacar el problema es, por supuesto, resolver el segundo sistema, sustituir en el primero los valores de y1 y2 hallados y resolver el primer sistema tambi´en. Pero m´as

6 directo es sustituir en el segundo sistema las expresiones de y1 y2 dadas por el primer sistema y as´ı obtener lo siguiente   5(3x − 2x ) − (4x + x ) = 6 1 2 1 2 =⇒  −(3x − 2x ) + 3(4x + x ) = 7 1 2 1 2    (5 · 3 + (−1)4)x  11x −11x = 6 +(5(−2) + (−1)1)x2 = 6 1 1 2 =⇒  ((−1)3 + 3 · 4)x +((−1)(−2) + 3 · 1)x = 7  9x +5x2 = 7 1 2 1 De este modo hay que resolver un solo sistema. Pues bien, con el c´alculo matricial se simplifica la escritura. El problema (0.8) se escribe:           3 −2 x1 y1 5 −1 y1 6    =    =   (0.9) siendo 4 1 x2 y2 −1 3 y2 7 Sustituyendo el t´ermino independiente del primer sistema en el segundo, resulta            5 −1 3 −2 x1 6 11 −11 x1 6     =   =⇒   =  −1 3 4 1 x2 7 9 5 x2 7 Se comprobar´a en los diversos ejercicios que la multiplicaci´on de matrices no es conmutativa; por ejemplo, el producto de las dos matrices del u ´ltimo ejemplo en orden contrario, da una matriz cuadrada de orden 3. Sin embargo, el producto de matrices s´ı es asociativo, es decir, para multiplicar tres matrices (que se puedan multiplicar, es decir, de manera que el n´ umero de columnas de la primera coincida con el n´ umero de filas de la segunda y el n´ umero de columnas de la segunda coincida con el n´ umero de filas de la tercera) se puede hacer ABC = (AB)C = A(BC).

0.5

Sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas se puede escribir    a11 x1 +a12 x2 + . . . +a1n xn = b1      a x +a22 x2 + . . . +a2n xn = b2 21 1   ... ... +... ... ...      a x +a x + . . . +a x = b m1 1 m2 2 mn n m

(0.10)

7 Los n´ umeros aij son los coeficientes del sistema, Los n´ umeros b1 , ..., bm son los t´erminos independientes y x1 , ..., xn son las inc´ognitas del sistema. Cuando todos los t´erminos independientes son nulos, el sistema se llama homog´eneo. umeros {s1 , ..., sn } Definici´ on 0.10 Una soluci´on del sistema es un conjunto ordenado de n´ tal que si se sustituye la letra x1 por el n´ umero s1 , la letra x2 por el n´ umero s2 , ..., la letra xn por el n´ umero sn , se verifican las m igualdades. Si un sistema no tiene soluci´on, se llama incompatible; por ejemplo,   x +x = 1 1 2  x +x = 2 1

2

es incompatible, porque dos n´ umeros no pueden sumar a la vez 1 y 2. Si un sistema tiene al menos una soluci´on, se llama compatible. Y dentro de ´estos, se llamar´a compatible determinado, si tiene una sola soluci´on (como por ejemplo (0.1)) o compatible indeterminado, si tiene m´as de una soluci´on (como por ejemplo el sistema formado por la ecuaci´on x + y = 1). De hecho todo sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones, como se ver´a despu´es. Utilizando la notaci´on matricial que conocemos, el sistema lineal puede escribirse del modo siguiente. Llamamos matriz del sistema  a a12  11   a21 a22 A=   ... ...  am1 am2

a la matriz  . . . a1n   . . . a2n    ... ...   . . . amn

formada por los coeficientes y matriz ampliada a la matriz  a a12 . . . a1n b1  11   a21 a22 . . . a2n b2 A0 =    ... ... ... ... ...  am1 am2 . . . amn bm Entonces (0.10) puede escribirse :  a a12  11   a21 a22    ... ...  am1 am2

 ... ... ... ...

a1n

  a2n    ...   amn



       





x  1       x2   =      ...      xn

b1

  b2    ...   bm

(0.11)

8 Las transformaciones de las que habl´abamos en la Introducci´on que convierten los sistemas en equivalentes son las que se llaman transformaciones de filas, que son tres: 1. Multiplicar una fila por un n´ umero no nulo. Si la fila i se multiplica por k, escribiremos Fi → kFi . 2. Sumarle a una fila otra u otra multiplicada por un n´ umero no nulo. Si la fila i se sustituye por la suma de ella misma y de la fila j multiplicada por k, escribiremos Fi → Fi + kFj . 3. Cambiar de orden dos filas. Si intercambiamos las filas i y j, escribiremos Fi ↔ Fj . Estas transformaciones aplicadas a la matriz ampliada de un sistema, lo transforman en otro equivalente. As´ı por ejemplo, las transformaciones de (0.1), (0.2) y (0.3), se pueden expresar brevemente     3 2 8 6 4 16    ∼ 2 4 5 −6 −12 −15 F1 →2F1 F2 →−3F2

0.6

 ∼ F2 →F2 +F1

 6

4

0 −8

16 1



(0.12)

El m´ etodo de Gauss para la resoluci´ on de sistemas lineales.

El m´etodo de Gauss es un m´etodo que permite conocer si un sistema lineal es compatible o incompatible y resolverlo en el primer caso. Lo hace transformando el sistema propuesto en otro que sea equivalente y triangular, que se sabe resolver de forma an´aloga a como hicimos en la Introducci´on. Explicamos el m´etodo sobre un ejemplo. Supongamos que pretendemos resolver

cuya matriz ampliada es

   x +y −2z = 9   2x −y +4z = 4     2x −y +6z = −1 



1 1 −2 9    2 −1 4 4  2 −1 6 −1

  . 

(0.13)

9 Utilizando el t´ermino a11 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la primera columna que est´an por debajo de ´el:    1 1 −2 9 1 1 −2 9       ∼  0 −3 8 −14  2 −1 4 4     2 −1 6 −1 F2 →F2 −2F1 0 −3 10 −19

   . 

F3 →F3 −2F1

Utilizando ahora el t´ermino a22 , transformamos el sistema en uno equivalente que tenga nulos los elementos de la  1 1    0 −3  0 −3

segunda columna que est´an por debajo de ´el:    1 1 −2 9 −2 9       ∼  0 −3 8 −14  . 8 −14     10 −19 0 0 2 −5 F3 →F3 −F2

El sistema es, pues, equivalente a    x      

+y

−2z

=9

−3y +8z = −14 , 2z

(0.14)

= −5

que se resuelve de abajo a arriba obteni´endose la soluci´on u ´nica z=−

5 2

y = −2 x = 6.

El sistema es compatible determinado. Aplicamos el m´etodo al ejemplo siguiente    2x −y +z  

=3 (0.15)

4x −4y +3z = 2     2x −3y +2z = 1 Quedar´ıa:    2 −1 1 3 2 −1 1 3       ∼  0 −2 1 −4  4 −4 3 2     0 −2 1 −2 2 −3 2 1 F2 →F2 −2F1 F3 →F3 −F1

El sistema es equivalente a

   2x      

−y

+z



     F3 →F3 −F2

2 −1 1 3     ∼  0 −2 1 −4    0 0 0 2

=3

−2y +z = −4 . 0z



=2

(0.16)

10 La u ´ltima ecuaci´on es claramente imposible de verificar. El sistema es incompatible. Apliquemos por u ´ltimo el m´etodo    x   x     2x Resultar´ıa:  1 −3 1 4    1 −2 3 6  2 −5 4 10

al sistema −3y

+z

=4

−2y +3z

=6

−5y +4z = 10

    F2 →F2 −F1 F3 →F3 −2F1









(0.17)

1 −3 1 4   ∼ 0 1 2 2  0 1 2 2

    F3 →F3 −F2

1 −3 1 4   ∼ 0 1 2 2  0 0 0 0

    

La u ´ltima ecuaci´on se verifica de forma trivial de modo que el sistema es equivalente a   x −3y +z = 4 (0.18)  y +2z = 2 Para resolver este sistema, se introduce el par´ametro λ = z y se resuelve el sistema   x −3y = 4 − λ (0.19)  y = 2 − 2λ cuya soluci´on es z = λ,

y = 2 − 2λ,

x = 10 − 7λ

∀λ ∈ R

El sistema es compatible indeterminado. El t´ermino de la diagonal que se utiliza para anular los t´erminos de la columna que est´an por debajo de ´el, recibe el nombre de pivote.

0.7

Determinantes.

A las matrices cuadradas se les asocia un n´ umero, llamado determinante de la matriz, que resulta muy u ´til para bastantes cuestiones. Este n´ umero se representa escribiendo los elementos de la matriz entre dos barras verticales (en vez de entre par´entesis). Lo definiremos para las matrices cuadradas de orden 2 y 3 e indicaremos c´omo se calcula para matrices de mayor orden.

11 Si A es una matriz cuadrada de orden 2, se define ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 ¯ ¯ ¯ = a11 a22 − a12 a21 ¯ ¯ ¯ a21 a22 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(0.20)

Si A es una matriz cuadrada de orden 3, se define ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ (0.21) Si A es una matriz cuadrada de cualquier orden triangular, su determinante es el

producto de los t´erminos de la diagonal. Para calcular el determinante de una matriz cuadrada cualquiera, se aplican las transformaciones de filas Fi → Fi + kFj hasta convertirla en una matriz triangular; entonces, el determinante de la matriz triangular es el determinante de la matriz original. Cuando un sistema lineal tiene el mismo n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas, la matriz de ese sistema es cuadrada. Pues bien, si su determinante es distinto de 0, el sistema es compatible determinado independientemente de c´omo sean los t´erminos independientes; estos sistemas se llaman sistemas de Cramer. Si el determinante es 0, entonces el sistema es compatible indeterminado o incompatible seg´ un sean los t´erminos independientes; en particular, en el caso del sistema homog´eneo, resulta ser compatible indeterminado. El resultado exacto que detalla todo lo que sucede es el Teorema de Rouch´e-Frobenius que se estudia en Bachillerato.