Introducci´ on M´ etodos directos: Descomposici´ on M´ etodos iterativos C´ alculo de autovalores Ejercicios

Tema 4 ´ Algebra Lineal Num´erica Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco Departamento de Matem´ atica Aplicada Universidad de M´ alaga

Escuela Polit´ ecnica Superior

Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

´ Tema 4 Algebra Lineal Num´ erica

Introducci´ on M´ etodos directos: Descomposici´ on M´ etodos iterativos C´ alculo de autovalores Ejercicios

¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

¿Qu´e es un Sistema Lineal?

Un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ ognitas puede ser expresado de la forma:  a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,n xn = b1    a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,n xn = b2 ...    am,1 x1 + am,2 x2 + . . . + am,n xn = bm o bien, en forma matricial A~x = ~b, donde A es una matriz m × n y ~b es un vector columna con m componentes.

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

¿Introducir matriz en SCILAB?

El sistema

 2x1 + 4x2 + 3x3 = 3  1x1 + 3x2 − 2x3 = −1  −1x1 − 3x2 + 0x3 = 2

se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma: --> A=[2 4 3; 1 3 -2; -1 -3 0] --> b=[3; -1; 2] --> x=A\b

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Conocimientos previos-I Sistema Compatible Determinado (SCD): Soluci´on u ´nica. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitas soluciones. Sistema Incompatible (SI): No existe soluci´on. Determinante de una matriz cuadrada y su c´alculo. --> det(A) Rango de una matriz. Significado y c´alculo. Matriz traspuesta. --> A’ Matriz inversa. --> inv(A) Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Conocimientos previos-II Si A es una matriz cuadrada: Matriz inversible: (∃A−1 , |A| = 6 0) Matriz singular: (6 ∃A−1 , |A| = 0) Matriz diagonal: i 6= j ⇒ ai,j = 0 Matriz triangular superior: i > j ⇒ ai,j = 0. Matriz triangular inferior: i < j ⇒ ai,j = 0. Matriz sim´ etrica: A = A0 . Autovalores y autovectores. Significado y c´alculo. --> [P,D]=spec(A)

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Propiedades

El producto de una matriz por su traspuesta siempre es una matriz sim´etrica. Los autovalores de una matriz sim´etrica siempre son reales. Los autovalores de A’A siempre son no negativos.

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Norma vectorial: Ejemplos Las usuales son: k~xkk =

q k |x1 |k + |x2 |k + . . . + |xn |k

de las que destacan: Norma 1: k~xk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn | ⇒ k(−1, 3, −4)k1 = 8. p Norma 2: k~xk2 = √|x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2 ⇒ k(−1, 3, −4)k2 = 1 + 9 + 16. Norma ∞: k~xk∞ = m´ ax{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |} ⇒ k(−1, 3, −4)k∞ = 4.

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Radio espectral

Se define el Radio espectral de una matriz A como el m´odulo del autovalor con mayor m´ odulo. Esto es: ρ(A) = m´ax |λi | i

 Ejemplo: Dada la matriz A =

2 1 −1 3

 resulta:

--> rad=max(abs(spec(A)))

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Normas matriciales usuales

Norma 1: kAk1 = m´axj --> norm(A,1)

P

i

|ai,j |

P Norma ∞: kAk∞ = m´axi j |ai,j | --> norm(A,’inf’) p Norma 2: kAk2 = ρ(A0 A) --> norm(A,2) --> norm(A) En general, toda norma verifica ρ(B) ≤ kBk.

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Normas matriciales: Ejemplo  Ejemplo: Para la matriz A =

−2 3 0 0 −1 1

 resulta:

kAk1 = m´ax{2, 4, 1} = 4, kAk∞ = m´ax{5, 2} = 5   4 −6 0 Para la norma 2: A0 A =  −6 10 −1  ⇒ |A − λI | = 0 ⇒ 0 −1 1 4−λ −6 0 −6 10 − λ −1 = −λ3 + 15λ2 − 17λ = 0 0 −1 1−λ ⇒ λ1 = 0, λ2 ≈ 1,235, λ3 ≈ 13,765 luego √ kAk2 ≈ 13,765 ≈ 3,7101. Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Sistemas Sobredeterminados y Vector Residuo A los sistemas que no tienen soluci´ on (incompatibles) se les llama tambi´en sistemas sobredeterminados. Vector residuo: Se llama as´ı al vector ~r = A~x − ~b. --> r=A*x-b Si ~x es la soluci´on del sistema, el residuo es el vector cero, pero no ser´a as´ı debido a los errores que siempre estar´an presentes en los c´alculos. Llamamos soluci´ on de un sistema sobredeterminado al vector ˜ x que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, no existe soluci´on y llamaremos as´ı a la “menos mala”.

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¿Qu´ e es un Sistema Lineal? Conocimientos previos Definiciones. Propiedades Normas Librer´ıas de Scilab

Librer´ıa para Scilab de S.E.L.

prac1.sci En este fichero se encuentra la librer´ıa de rutinas para la pr´actica primera. Pasos para cargar la librer´ıa: File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el que est´a la pr´actica File - Execute (seleccionar el fichero prac1.sci)

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

M´etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Rutinas implementadas Los m´etodos de Gauss implementados en Scilab son los siguientes:  Gauss, gauss.sci; M´etodos Gaussianos. Gauss Jordan, gaussjor.sci; Para resolver un sistema Ax = B por Gauss en Scilab, hay introducir previamente las matrices A y B, a continuaci´on hay que ejecutar las siguientes ´ ordenes: --> x=gauss(A,B) --> residuo=A*x-B --> norm(residuo) Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

Otras opciones

Hay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Comparar los resultados. --> x1=inv(A)*B --> x2=A\B Conviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada para ver que tipo de sistema estamos resolviendo. --> rank(A), rank([A B]) --> det(A)

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

Ejemplo --> A=[1 2 3; 3 4 5; 3 4 5] --> b=[1 2 3]’ Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada: --> rank(A) ans = 2. --> rrank([A b]) ans = 3. El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error. --> x=gauss(A,b) Probar las opciones: --> inv (A) ∗ B --> A\B Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

M´etodo de Factorizaci´on QR

Dada una matriz A, la descompondremos en A = QR siendo Q una matriz ortogonal (Q 0 = Q −1 ) y R una matriz triangular superior. Para resolver A~x = ~b consideramos A~x = QR~x = ~b ⇒ Q0 QR~x = R~x = Q0~b. As´ı: 1 2

Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R]=qr(A) Resuelvo R~x = Q 0~b. ~x = R \ Q 0 ∗ ~b

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

M´etodo QR: Ejemplo 1 Para resolver el sistema A~x = ~b por el m´etodo QR, haremos: 1 Introducimos la matriz A, el vector ~ b y descomponemos: --> A=[4 4 5;2 1 3; 5 6 4]; --> b=[2 3 4]’;[Q,R]=qr(A) 

−0,5963 Q =  −0,2981 −0,7454 2

−0,1988 −0,8447 0,4969

 −0,7778 0,4444  , 0,4444

 R=

−6,7082 0 0

−7,1554 1,3416 0

Calculo ~x mediante: --> R \ (Q 0 ∗ b)

 6 Obtenemos ~x =  −3 . −2 Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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 −6,8573 −1,5404  −0,7778

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

M´etodo QR: Ejemplo 2-(a) Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2), (-2,2), (0,2) y (3,4). La ecuaci´on de la recta es y = mx + b por lo que debemos encontrar m y b tales que se verifique: 3=2m+b; 2=-m+b; 2=-2m+b, 2=b; 4=3m+b, que no pueden verificarse simult´aneamente (sistema sobredeterminado). La mejor soluci´on (recta de regresi´ on por m´ınimos cuadrados), se obtiene de forma eficiente por el m´etodo QR: 2  −1  A =  −2  0 3 

1 1 1 1 1

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 3  2    ~ , b =  2   2 4 

   ⇒ 

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M´ etodos de Gauss y de Gauss-Jordan Otras opciones M´ etodo de Factorizaci´ on QR

M´etodo QR: Ejemplo 2-(b)

   Q= 

−0,4714 0,2357 0,4714 0 −0,7071

−0,3558 −0,5083 −0,5592 −0,4575 −0,3050

0,2170 −0,7079 0,6410 −0,1967 0,0467

−0,1729 −0,4298 −0,1414 0,8663 −0,1222

−0,5777 −0,0126 0,1851 −0,0392 0,6244





    , R =   

−4,2426 0 0 0 0

−0,4714 −2,1858 0 0 0

    

 −2,8284      −5,3374  −4,2426x − 0,4714y = −2,8284 0,3953  ~b 0 = Q 0~b =  ⇒ ~x =  0,3104  ⇒ −2,1858y = −5,3374 2,4419  −0,4174  0,4910 

luego la recta es: y=0.3953x+2.4419

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

M´etodos iterativos. Los m´etodos directos resultan, en general, inservibles para n > 50 inc´ognitas porque propagan los errores. Otro problema es que los m´etodos directos necesitan almacenar la matriz A en memoria. Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la pr´actica, tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual a cero) y aunque existen m´etodos directos especiales, usualmente se resuelven por m´etodos iterativos. Los m´etodos iterativos tienen la ventaja de no propagar el error. La estimaci´ on de la soluci´ on obtenida ~x (k) , puede considerarse como vector inicial (sin errores) para la iteraci´on siguiente k + 1. Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Convergencia y otros problemas asociados Los m´etodos iterativos obtienen una estimaci´ on de la soluci´on del sistema ~x (m+1) en funci´ on de las anteriores, en este caso s´olo ser´a una funci´on lineal de la anterior: ~x(m+1) = B~x(m) + C donde B es la matriz del m´etodo y C es un vector. Los problemas asociados con los m´etodos iterativos son: Convergencia Para que sea u ´til debe ser convergente y el l´ımite ser la soluci´ on del sistema. Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo m´as r´apido posible. Vector inicial: ¿C´ omo se elige?. Condici´ on de parada: ¿Cu´ando paramos de iterar? Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Criterio de Convergencia

Un m´ etodo iterativo de la forma: ~x(m+1) = B~x(m) + C, converge, si y s´ olo si, ρ(B) < 1. Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio. Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valor de ρ(B). Interesa que sea lo m´as pr´ oximo a cero posible. La soluci´on del sistema (~x∗ ), debe ser punto fijo del m´etodo iterativo ~x∗ = B~x∗ + C.

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Forma matricial del m´etodo de Jacobi Consideremos la descomposici´ on A = D + L + R donde: D= Matriz diagonal con la misma diagonal que A. L= Matriz con todos los t´erminos nulos, excepto los que est´an por debajo de la diagonal en los que coincide con A. R= Matriz con todos los t´erminos nulos, excepto los que se encuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A.

Dado el sistema A~x = ~b ⇒ (D + L + R)~x = ~b ⇒ D~x = −(L + R)~x + ~b ⇒ ~x = −D−1 (L + R)~x + D−1~b El m´etodo de Jacobi queda: ~x(m+1) = BJ~x(m) + CJ con BJ = −D−1 (L + R), CJ = D−1~b Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Ejemplo Hallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el (0) 0 al sistema: A~ m´etodo x = ~b:  de Jacobi , ~x = (2,3, 0) ,  5 3 −1 2 A =  −2 3 −1  , ~b =  4  1 3 −5 −5 Tras 3 iteraciones por Jacobi, --> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[2;3;0]):     −0,0160 1,3519 ~x (3) =  1,7333  → res ~ =  −0,5361  ⇒ 1,7680 1,3439   ~ 1 = 3,2319   kresk ~ ∞ = 1,3519 kresk   ~ 2 = 1,9802 kresk Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Condiciones de convergencia

La condici´ on necesaria y suficiente de convergencia de un m´ etodo, es que el radio espectral de la matriz del m´ etodo sea menor que 1: ρ(B) < 1. Como para cualquier norma, ρ(B) < ||B||, si ||B|| < 1 el m´etodo converge.

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Errores en los m´etodos iterativos El error cometido en un m´etodo iterativo tras m iteraciones puede acotarse mediante: k~x(m) − ~x∗ k∞ = k∆~x(m) k∞ ≤

kBkm x(1) − ~x(0) k∞ ∞ k~ 1 − kBk∞

donde B (kBk∞ < 1) es la matriz del m´etodo iterativo. De la f´ormula anterior, podemos calcular el n´ umero de iteraciones n necesario para obtener una soluci´ on con un error determinado E : m≥

 E · (1 − kBk )  1 ∞ · log (1) (0) ~ k~x − x k∞ log kBk∞ )

Estas f´ormulas pueden dar problemas en el caso de que kBk∞ sea pr´oxima a 1. Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Generalidades M´ etodo de Jacobi Condiciones de convergencia Errores

Errores en los m´etodos iterativos: Ejemplo Acotar el error cometido  5 Jacobi al sistema  −2 1

al dar 3 iteraciones el m´etodode    por 3 −1 2 0 6 −1  ~x =  4 , ~x (0) =  1 . 3 −5 −5 0

--> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[0;1;0]) --> n=norm(BJ) --> ans=0.8 --> x1=jacobi(A,b,1,[0;1;0]) --> n1=norm(x1-[0;1;0]) Resultados y calculamos el error: k∆~x(3) k∞ ≤

n3 n1 1−n

= 4,096

¿Cu´antas iteraciones ser´an necesarias para obtener un error menor que 10−7 ? Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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C´alculo de autovalores Scilab calcula los autovalores de una matriz A con la orden spec(A), si queremos adem´as la matriz diagonal V y la matriz de paso X , escribiremos [X,V]=spec(A). Un m´etodo iterativo para el c´alculo de autovalores se basa en la descomposici´on QR de la matriz A. 1 2

A0 = A Repetir: [Q, R] = qr(Ai ) Ai+1 = RQ

En Scilab el algoritmo est´a implementado en el archivo francis.sci, ejecutarlo y luego introducir francis(A,n), siendo A la matriz de partida y n el n´ umero de iteraciones. Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Ejercicio 1 Dado el sistema Ax=b, siendo:   16 0 −1 0 −5 2 1 4  2 7 −2 0 3 0 −1 4     0 3 16 1 0 0 −1 4     4 2 0 20 4 0 0 4   , A= 5 11 1 0 4   −1 −1 −1   −1 −1 −1 −1 6 12 0 4     0 1 1 1 2 7 15 4  0 2 1 0 0 0 1 4

      b=     

1 3 −2 2 5 6 3 0

           

(a) Iterar por el m´etodo de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen). Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, ∞ del vector residuo. (c) Acotar el error cometido. Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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Ejercicio 2 Dado el sistema Ax=b, siendo:   1 −3 2 1 0  0 3 10 −1 2     A =  1 10 30 −1 1  ,  2 4 0 10 2  2 11 1 0 10

   b=  

1 1 2 1 1

     

(a) Estudiar la compatibilidad del sistema. (b) Resolverlos por m´etodos directos e iterativos estudiados. (c) Estudiar la convergencia de los m´etodos iterativos. (d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la soluci´on con error menor que 10−6 .

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Ejercicio 3 Dado el sistema Ax = b, con  4 −1 −1 4 A= −2 0 0 −2

   −2 0 4 0 0 −2 ;b =   0 4 −1 −1 4 −4

Estudiar la convergencia de Jacobi y calcular el error cometido si das 100 iteraciones.

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Ejercicio 5 Dado el sistema Ax = b con:  8,9988745 A = 3,1871123 8,4364121

2,3214327 4,42111111 −8,62046793

   6,6423 10,9983091 −1,222222  ; b =  −6,8773192  . 16,9512661 42,62861406

(a) Resolver por los m´etodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiando previamente la convergencia. (b) Calcular los residuos y comparar. (c) Acotar el error cometido en cada uno.

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Ejercicio 6 La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce el siguiente sistema de ecuaciones: (R1 + R3 + R4 )I1 + R3 I2 + R4 I3 = E1 R3 I1 + (R2 + R3 + R5 )I2 − R5 I3 = E2 R4 I1 − R5 I2 + (R4 + R5 + R6 )I3 = 0 Calcular las intensidades de corriente I1 , I2 , I3 cuando R1 = 1, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 1, R5 = 2, R6 = 4 y E1 = 23, E2 = 29. Calcular tambi´en para E1 = 12, E2 = 21,5. Resolver por los distintos m´etodos estudiados, calcular errores y comparar resultados.

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´ Tema 4 Algebra Lineal Num´ erica

Introducci´ on M´ etodos directos: Descomposici´ on M´ etodos iterativos C´ alculo de autovalores Ejercicios

Ejercicio 7 Dado el sistema Ax = b con A = (aij ) = 1/(i + j − 1); b = (bi ) = i 2 − 3, (i, j = 1 . . . ..n). (a) Resolver por un m´etodo directo y por un m´etodo iterativo con n = 8. (b) Comparar resultados analizando el vector residuo, y su norma.

Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

´ Tema 4 Algebra Lineal Num´ erica

Introducci´ on M´ etodos directos: Descomposici´ on M´ etodos iterativos C´ alculo de autovalores Ejercicios

Ejercicio 9 Calcular, si es posible, los autovalores de la matrices de los ejercicios anteriores con la orden directa y con el algoritmo francis.

Angel Mora Bonilla, Emilio Mu˜ noz Velasco

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