TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

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INTRODUCCIÓN

El propósito de este tema es introducir a los alumnos en la terminología básica de las Ecuaciones Diferenciales y examinar brevemente como se deducen las ecuaciones diferenciales al tratar de formular o describir fenómenos físicos o geométricos en términos matemáticos.

En la Lección 1 se introduce la definición de ecuación diferencial, se clasifican las ecuaciones diferenciales en ecuación diferencial ordinaria y ecuación diferencial parcial y se establecen criterios para determinar el orden, el grado y la linealidad de una ecuación diferencial. Ya que uno de los objetivos generales del curso de Ecuaciones Diferenciales es resolver ecuaciones diferenciales, es decir, encontrar sus soluciones, en la Lección 2 se estudia lo que significa que una función sea solución de una ecuación diferencial y se analizan los tipos de soluciones que puede tener una ecuación diferencial. Se plantean algunos problemas físicos y geométricos cuya formulación matemática conduce al planteamiento de ecuaciones diferenciales las cuales al ser resueltas y estar sujetas a condiciones sobre la función desconocida y/o sus derivadas nos llevan a la obtención de soluciones particulares. Este tipo de problemas se conocen como problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera.

Para finalizar en la Lección 3 se muestra como a partir de conocer un haz de curvas se pueden obtener ecuaciones diferenciales por medio de un proceso conocido como eliminación de las constantes arbitrarias esenciales.

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LECCIÓN 1: DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

JUSTIFICACIÓN:

Muchos problemas importantes y significativos en ingeniería, en las ciencias físicas y en las ciencias sociales, cuando están enunciados en términos matemáticos, requieren la determinación de una función que satisfaga a una ecuación que contiene derivadas de la función desconocida. Tales ecuaciones se denominan Ecuaciones Diferenciales.

El propósito de esta lección es iniciar al alumno en el estudio de las ecuaciones diferenciales, comenzando con introducir el concepto de ecuación diferencial y su clasificación según tipo, orden y linealidad.

OBJETIVOS:

El estudiante podrá:

1-

Clasificar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

2-

Determinar el orden de una ecuación diferencial

3-

Determinar el grado de una ecuación diferencial

4-

Establecer cuando una ecuación diferencial es lineal y cuando no lo es

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PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Ecuación Diferencial:

En cursos anteriores se han encontrado frecuentemente con la palabra ecuación, la cual se utiliza en muy variadas ocasiones. ¿Podrían darme algunos ejemplos de ecuaciones que ustedes conozcan? ♦ x2 + 2x + 1 = 0 ♦ x3 - 1 = 0 ♦ senx = 0 ♦ ex - 1 = 0 ♦ tgx = cosx ♦ 2x + y = 2 ♦ x2 = 8y ♦ x2 - 10y = 1

Muy bien (deben anotarse en la pizarra las respuestas dadas por los alumnos). ¿Podrían darme una definición de lo que para ustedes es una ecuación? ♦ Una ecuación es una igualdad que se satisface para uno o más valores de la (s) incógnita (s) que interviene (n) en ella.

Correcto. Cuándo se les pide resolver una ecuación ¿qué les sugiere? ♦

Obtener él (los) valor (es) de la (s) variable (s) que hace (n) que se

cumpla la igualdad.

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Exacto. Habrá casos en los cuales el número de soluciones o valores que satisfacen la ecuación es finito y en otros casos es infinito.

Según han visto en los cursos de Análisis Matemático II, Algebra Lineal, Física y Química existen numerosos problemas en estas áreas que conducen a plantear ecuaciones pero en las cuales las incógnitas no son números, sino otros objetos matemáticos: matrices, funciones, aplicaciones lineales, velocidad, reacción química, etc.

Veamos algunos ejemplos que nos conducirán a la definición de ecuación diferencial.

EJEMPLO 1:

Determine la ecuación matemática que representa el siguiente enunciado: la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos es igual a la abscisa de dicho punto.

De acuerdo con los conocimientos previos que traen del curso de Análisis Matemático I, si y = y (x) es la ecuación de la curva ς a determinar y el punto (x, y (x)) es un punto cualquiera de la curva ς ¿Cómo pueden escribir la pendiente de la recta tangente a la curva ς en el punto (x, y (x))?

♦ Se puede escribir:

d y( x ) dx

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Exactamente, la pendiente de la recta tangente a la curva ς en el punto (x, y(x)) es igual a la derivada de la ecuación de la curva evaluada en dicho punto.

¿Quién es la abscisa del punto? ♦

La abscisa del punto (x, y(x)) es x.

Correcto. Según el enunciado del problema ¿qué relación existe entre la pendiente de la recta tangente y la abscisa del punto? ♦ Se dice que son iguales (se copia la ecuación en la pizarra).

d y( x ) = x dx

(1)

Esta es la ecuación asociada al problema. ¿Podrían explicar ustedes que se está pidiendo en el problema? ♦ Se pide obtener la curva y(x) que satisface la relación de igualdad (1)

Muy bien. Pasemos a otro ejemplo.

EJEMPLO 2:

Determine la primitiva de la función f (x) = 3x2 + 2x

Según lo estudiado en el curso de Análisis Matemático II ¿qué significa para ustedes obtener la primitiva de f(x)?

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♦ Significa buscar una función F(x), tal que su derivada respecto de x sea

igual a f (x), es decir, igual a 3x2 + 2x.

Exactamente d F( x ) = 3x2 + 2x dx

(2)

Hagamos un ejemplo más.

EJEMPLO 3:

Representar a través de una ecuación matemática, que involucre a la derivada, el siguiente enunciado: familia de curvas cuya primitiva es la función f(x) =

1 x

¿Qué se está pidiendo en este ejemplo? ♦ Se está pidiendo hallar una función F(x) tal que su derivada respecto de x

sea igual a f(x) (se escribe la ecuación en la pizarra) d F( x ) dx

=

1 x

(3)

Observen las ecuaciones (1), (2) y (3) ¿qué características comunes hay en esas tres ecuaciones?

♦

Aparece la derivada de una función desconocida respecto de x en un

lado de la igualdad y en el otro una función conocida que depende de x.

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¿Podrían identificar quién es la variable dependiente y quién es la variable independiente en cada uno de los tres ejemplos?

♦

La variable independiente en las tres ecuaciones es x y la variable

dependiente es la función desconocida F(x).

Si yo les dijera que esas tres ecuaciones representan un tipo especial de ecuación, denominada Ecuación Diferencial, ¿cómo definirían una ecuación diferencial?

♦

Una ecuación diferencial es una ecuación donde la incógnita es una

función de una o más variables independientes y en dicha ecuación aparecen derivadas de la función incógnita.

Leamos la definición que aparece en sus guías en la página 2

ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables independientes y una función incógnita y sus derivadas

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales:

Observa los ejemplos que están escritos en la pizarra a) x2 y'' - x y' + y = 6 ex b) (y''')2 - 3 y' y'' + (y')4 = 0 c)

d3y dx 3

+

d2y dx 2

⎛ dy ⎞ + 2⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠

3

− 3y = 6

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d)

∂z ∂x

e) x

f)

∂z ∂x

∂ 2V ∂x 2

∂z ∂y

+

− y

+

− y ∂z ∂y

∂ 2V ∂y 2

∂ 2z ∂y ∂x

= cos x

= xy

+

∂ 2V ∂z 2

= 0

Para los ejemplos a) b) y c)

¿podrían identificar cuántas variables

dependientes y cuántas variables independientes hay? ♦ Una sola variable dependiente y una sola variable independiente.

Para los ejemplos d) e) y f) ¿podrían identificar cuántas variables dependientes y cuántas variables independientes hay? ♦

Una sola variable dependiente y

una, dos o tres variables

independientes.

¿Qué diferencia hay entre el tipo de derivada que aparece en los ejemplos a) b) y c) y el tipo de derivada que aparece en los ejemplos d) e) y f)? ♦

En los tres primeros ejemplos el tipo de derivada que aparece es

ordinario, mientras que en los otros tres ejemplos las derivadas son parciales.

Exactamente y esa diferencia nos lleva a una primera clasificación de las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que involucran. Leamos

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en sus guías en la página 2 la clasificación las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que involucran CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEGÚN EL TIPO DE DERIVADA QUE INVOLUCRA Ecuación Diferencial Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto de una sola variable independiente. Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales:

es una ecuación

diferencial en la cual aparecen derivadas parciales de una sola variable dependiente respecto de dos o más variables independientes.

Observen nuevamente los ejemplos de ecuaciones diferenciales que están en la pizarra ¿podrían indicar en cada uno de esos ejemplos hasta que orden aparece derivada la función incógnita o variable dependiente?

En el ejemplo a) aparece derivada hasta el orden dos; en el ejemplo b) aparece derivada hasta el orden tres; en el ejemplo c) aparece derivada hasta el orden tres; en el ejemplo d) aparece derivada hasta el orden dos; en el ejemplo e) aparece derivada hasta el orden uno; en el ejemplo f) aparece derivada hasta el orden dos.

Por favor, abran su guía en la página 2 y leamos la definición de orden de una ecuación diferencial que allí aparece. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.

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Abran sus guías en la página 2 y realicen el Problema 1 para consolidar los conceptos estudiados hasta el momento.

PROBLEMA 1:

Clasificar cada una de las ecuaciones que se dan a continuación: Ecuación

Tipo

Orden

2

1) y' = x + 5y 2) y'' - 4y' - 5y = e3x ∂U ∂ 2 U ∂U = + 4 3) ∂t 2 ∂y ∂x dr 4) dφ = rφ d2y − 3x = sen y 5) dx 2 ∂ 2V ∂V 3 = 6) ∂y ∂x 2 7) (2x + y) dx + (x - 3y) dy = 0 8)

∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V +4 +4 =0 ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2

∂ 2T 9) 9 ∂x 2

∂ 2T = 4 ∂y 2

10) y dx + (2x - 3) dy = 0

Disponen de tres minutos para realizar el Problema 1.

¿Qué procesos siguieron para poder resolver el Problema 1?

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♦ Observamos cada ecuación diferencial. Identificamos sus características: número de variables dependientes, número de variables independientes, el tipo de derivada que aparece, esto es, si son derivadas ordinarias o derivadas parciales y hasta que orden aparece derivada la variable dependiente (se copian las respuestas en la pizarra).

Excelente. Podrían irme dando las respuestas que obtuvieron en el Problema1.

Muy bien. El Problema 2 les queda como asignación.

PROBLEMA 2:

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo y orden Ecuación

1) (senx) y''' - (cosx) y' = 2 2) (1 - y2) dx + x dy = 0 4 d3y ⎛ dy ⎞ − 2⎜ ⎟ + y = 0 3) x ⎝ dx ⎠ dx 3

4) (1 - x) y'' - 4xy' + 5y = cosx d2y + 9 y = sen x 5) dx 2

6) y

∂U - 2U = 6x - 4y ∂y

∂4U = 0 7) ∂x 2 ∂y 2

Tipo

Orden

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8) x

∂z ∂z +y =z ∂x ∂y

Observemos nuevamente los ejemplos, a), b), c), d), e) y f) de las ecuaciones diferenciales, que aún están escritos en la pizarra. ¿Podrían decirme cual es la potencia a la cual aparece elevada la derivada de mayor orden en cada uno de esos ejemplos? ♦ En el ejemplo a) la potencia es uno; en el ejemplo b) la potencia es dos; en el ejemplo c) la potencia es uno; en el ejemplo d) la potencia es uno; en el ejemplo e) la potencia es uno; en el ejemplo f) la potencia es uno.

Leamos en la guía del estudiante en la página 4 el concepto de grado de una ecuación diferencial GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.

Resuelvan el Problema 3 que aparece en sus guías en la página 4. Pueden trabajar en grupos de tres personas.

PROBLEMA 3:

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, orden y grado

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Ecuación

Tipo

Orden

Grado

3 ⎛ dx ⎞ d2x ⎟ ⎜ 1) + sen x ⎜ ⎟ = 0 ⎝ dy ⎠ dy 2 2)

∂ 2V ∂ 2V +2 =V 2 2 ∂x ∂y

3) x

4) x2

d 2 y dy + + xy = 0 dx 2 dx 2 d2y ⎛ dy ⎞ − x ⎜ ⎟ + y = cos x ⎝ dx ⎠ dx 2

2 ⎛ ∂ 4z ⎞ ∂ 4z ∂ 4z ⎜ ⎟ 5) =0 + −2 ⎜ 2 2⎟ 4 4 ∂y ∂x ⎝ ∂x ∂y ⎠

Tienen tres minutos para realizar el Problema 3. Veamos algunas respuestas.

Buen trabajo. El Problema 4 les queda como asignación.

PROBLEMA 4:

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, orden y grado Ecuación

1)

Tipo

∂ 3z ∂ 3z ∂ 3z ∂ 3z +3 +3 + =0 3 2 3 2 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

Orden

Grado

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2)

2 d2y ⎛ dy ⎞ − 2x⎜ ⎟ = 0 ⎝ dx ⎠ dx 2

3)

∂ 2 U 1 ∂U 1 ∂2U + + =0 r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂r 2

4) x2 y'' + 2xy' - 12y - 2x2 = 0 5) y''' - y' = x ex ∂ 2z ∂z ∂ 3z + 6 xy + 7y +y=0 ∂y ∂x ∂y ∂x 3

6) x 3

Observen ahora los ejemplos que voy a escribir en la pizarra. A) x

d2y dy + cos x + y ln x = x 2 dx dx

B) y 2

d2y dy + xy + y ex = 0 2 dx dx

3 ⎛ d2y ⎞ 2 ⎟ + x dy + e x y = cos x C) x ⎜ ⎜ 2⎟ dx ⎝ dx ⎠

En el ejemplo

A)

¿quiénes son los coeficientes de la variable

dependiente y de sus derivadas? ♦ Los coeficientes de las variables dependientes y de sus derivadas en el ejemplo A) son: x, cosx, lnx.

Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas? ♦ Tienen potencia 1.

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Muy Bien. Realicemos el mismo análisis para el ejemplo B) ¿quiénes son los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas? ♦ Los coeficientes de las variables dependientes y de sus derivadas en el ejemplo B) son: y2, xy, ex.

Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas? ♦ Tienen potencia 1.

Muy bien. Observe las respuestas obtenidas para los ejemplos A) y B) compárenlas y establezcan las semejanzas y las diferencias entre ellas. ♦

En ambos ejemplos la potencia de la variable dependiente y de sus

derivadas es igual a 1. En el ejemplo A) los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen solo de x (la variable independiente), mientras que en el ejemplo B) los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen tanto de x como de y.

Analicemos el ejemplo C) ¿quiénes son los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas? ♦

Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas en el

ejemplo C) son: x2, x, ex

Correcto. ¿Qué potencia tienen la variable dependiente y sus derivadas? ♦ Tienen potencia uno y potencia tres.

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Observen las respuestas obtenidas en los ejemplos

A)

y

C),

compárenlas y establezcan las semejanzas y las diferencias entre ellas. ♦ En ambos ejemplos los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen solamente de x. En el ejemplo A) la variable dependiente y sus derivadas tienen potencia uno, mientras que en el ejemplo C) no ocurre así.

Si ahora yo les digo que la ecuación diferencial del ejemplo A) se conoce como una ecuación diferencial lineal y las ecuaciones diferenciales de los ejemplos B) y C) no son ecuaciones diferenciales lineales, ¿podrían ustedes establecer cuáles son las características esenciales de una ecuación diferencial lineal? ♦ Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen sólo de la variable independiente. ♦ La variable dependiente y sus derivadas están elevadas a la potencia uno.

De acuerdo. Abran sus guías en la pagina 6 y leamos la definición de ecuación diferencial lineal que allí aparece.

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial en la cual se satisfacen simultáneamente las condiciones: a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado (esto es, están elevadas a la potencia uno).

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b) Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas dependen solo de la variable independiente.

Realicen el Problema 5 de sus guías que está en la página 6 a fin de consolidar los conceptos estudiados hasta ahora.

PROBLEMA 5:

Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación según tipo, orden, grado y linealidad. Ecuación

1) x 2

Tipo

Orden

Grado Linealidad

d2y dy +x + y = 2x 2 2 dx dx

2) y'' - 2x (y')2 = 0 3) y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 4) x2 y'' + 2xy' - 12y = x2 y2 5) y'' + x y = sen y'' 6) y' = x2 + 5y 7) (2x + y) dx + (x -3y) dy = 0 8) x (y')2 + 2xy' + xyy'' = 0

Resuelvan el problema en grupos de tres. Disponen de cinco minutos para ello.

Veamos las repuestas que obtuvieron.

Muy bien. El Problema 6 les queda como asignación.

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PROBLEMA 6:

Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, orden, grado y linealidad Ecuación

Tipo

Orden

Grado

Linealidad

1) x2 y'' + x y' + y = sec(lnx) 2)

d2y − y2 = x 2 ex 2 dx

3) y'' - 4y' + 4y = (12x2 - 6x) e2x 4) 6x2 y'' + 5xy' + (x2 - 1) = 0 5)

d2y dy −3 + 2 y = sen x 2 2 dx dx

6) x 2

d2y dy +x + xy = e x + y 2 dx dx

7) y'' - 2x(y')2 + xy = 0 d2y + 4 y = sen 2 x 8) dx 2

3 d 4 y ⎛⎜ d 3 y ⎞⎟ − 2 = x y ex 9) ⎜ ⎟ 4 3 dx ⎝ dx ⎠ 10) y y' - x y'' = x y senx

CIERRE:

¿Qué estudiamos en esta Lección? ♦ Estudiamos las ecuaciones diferenciales y su clasificación

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¿Qué entendieron por ecuación diferencial? ♦ Una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas.

De acuerdo con el tipo de derivada que involucra ¿cómo se clasifican las ecuaciones diferenciales? ♦

Se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales.

¿Qué caracteriza a cada una de ellas? ♦

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se caracterizan porque en la

ecuación aparecen derivadas de una variable dependiente respecto de una sola variable independiente, mientras que las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se caracterizan porque en la ecuación aparecen a derivadas de una variable dependiente respecto de dos o más variables independientes.

¿Quién es el orden de la ecuación diferencial? ♦ Es el de la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial

¿Quién es el grado de la ecuación diferencial? ♦

Es la potencia a la cual está elevada la derivada de mayor orden en la

ecuación diferencial.

¿Que características tiene una ecuación diferencial lineal?

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♦

La función desconocida o variable dependiente y sus derivadas son

todas de grado uno y los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas vienen dados solo en función de la o las variables independientes.