Tema 1. Leyes de Newton Tercera parte: Sistemas de masa variable • Los sistemas de masa variable, es decir, sistemas en los que la masa que se encuentra en movimiento depende del tiempo, no conservan la energía. Para estudiar el movimiento utilizamos la 2ª ley de Newton, escrita en la forma

Fext =

dp dt

y referida a un sistema de ejes fijo en el espacio. • Estudiamos el caso más general posible. Supondremos que entre el instante t y el instante t + dt , el sistema gana una masa dmg , y expulsa una masa dme con una velocidad U respecto del sistema, en sentido contrario a la velocidad V del sistema. Tomamos como referencia un sistema de ejes fijos. • El momento lineal del sistema, en el instante t , es y en el instante t + dt

pi = mV

(

)

p f = m + dmg (V + dV ) + dme (V + dV − U )

• Restando, el incremento de momento lineal durante el intervalo de tiempo dt es

dp = mdV + Vdmg + (V − U )dme

donde hemos despreciado los términos de orden cuadrado en los diferenciales. De aquí, la 2ª ley de Newton del movimiento tiene la expresión

Fext = m

dmg dV dm +V + (V − U ) e dt dt dt

• Como casos particulares, si no hay expulsión de masa, como el ejemplo del trineo que acumula nieve en su movimiento o de la gota en condensación,

dme =0 dt dmg dm = dt dt con lo cual

Fext =

d (mV ) dt

• En el caso del cohete, siendo m la masa del cohete,

dmg dm = 0 dt dt obtenemos

Fext = m

dV dm +U dt dt

Problemas Resueltos 1.19 Calcular la velocidad y aceleración de ascensión vertical de un cohete que expulsa gases a ritmo constante, con una velocidad U respecto al cohete. • La masa del cohete depende del tiempo, según la ecuación

dm = −k dt m = m0 − kt siendo k la razón de expulsión de los gases quemados, medida en kg/seg. • La ecuación de movimiento adecuada es

Fext = m

dV dm +U dt dt

Ya que el movimiento del cohete es de ascensión vertical, la fuerza exterior corresponde a la fuerza de la gravedad, dirigida hacia abajo. Obtenemos

− mg = m

dV − kU dt

• El estado dinámico del cohete queda caracterizado completamente por el valor de su masa en cada instante, y la dependencia temporal de las variables de movimiento del cohete, ( x, V ) , tiene la forma funcional

x(t ) = x[m(t )]

V (t ) = V [m(t )] Como consecuencia, al resolver el problema es aconsejable, mediante la regla de la cadena, sustituir en la ecuación del movimiento las derivadas temporales por derivadas respecto de m , eliminando así la variable temporal. Obtenemos

d dm d d = = −k dt dt dm dm con lo cual la ecuación de movimiento es

− mg = −km

dV − kU dm

ó

dV g U = − dm k m • Ahora podemos integrar directamente, con el resultado

V=

∫

g g U  −  dm = m − U ln m + cte k  k m

La condición inicial establece que el cohete parte del reposo, con masa inicial m0 . Es decir, V = 0 cuando m = m0 . Aplicando esta condición inicial, obtenemos el valor de la constante

cte = U ln m0 −

g m k 0

y la velocidad de ascensión en función de la masa del cohete

V=

g (m − m0 ) + U ln m0 k m

• Introduciendo m(t ) , obtenemos dicha velocidad de ascensión vertical en función del tiempo

V = − gt + U ln

m0 m0 − kt

Finalmente, derivando respecto del tiempo, obtenemos la aceleración de subida en función del tiempo,

dV Uk = −g + dt m0 − kt • Ya que el cohete parte del reposo en el instante inicial, para que ascienda inicialmente es necesario que

 dV   >0   dt 0 Uk >g m0 relación que se debe satisfacer entre la masa inicial del cohete, la razón y velocidad de expulsión de los gases para que sea posible la ascensión vertical del cohete.

1.20 Calcular la velocidad y aceleración de un cohete, que se mueve horizontalmente, y que expulsa gases a ritmo constante, con una velocidad U respecto al cohete. • De la misma forma que en el problema anterior

dm = −k dt m = m0 − kt La ecuación de movimiento adecuada es

Fext = m

dV dm +U dt dt

Ahora, al moverse horizontalmente, el cohete sufre el amortiguamiento de Newton (velocidades grandes) por lo que Fext = − βV 2 y

− βV 2 = m

dV − kU dt

• Utilizando de nuevo la regla de la cadena, eliminamos la variable t , con lo cual la ecuación de movimiento se escribe en la forma

− βV 2 = −km

dV − kU dm

ó

dV dm + =0 β 2 m U− V k La integración es directa, resultando

Uk +V β k ln + ln m = cte 4βU Uk −V β • Con la condición inicial, V = 0 cuando m = m0 , obtenemos la constante

cte = ln m0 , y la velocidad horizontal en función de la masa del cohete

V= donde hemos definido el parámetro

Uk m0γ − mγ β m0γ + mγ

γ =

4βU k

• Con este resultado, la aceleración puede obtenerse a partir de la ecuación del movimiento. Llegamos a la expresión

dV kU − βV 2 2γk mγ0 mγ = = dt m m (mγ + mγ )2 0 1.21 Calcular la aceleración de caída de una cadena agrupada situada sobre un plano horizontal, debido a su propio peso.

x • Tomamos x como la longitud de la cadena que está cayendo en el instante t . Por tanto, la longitud de cadena en movimiento en el instante t es x . Existen fuerzas de rozamiento entre los eslabones y el plano, que evitan que toda la cadena esté en movimiento en un momento dado. Es un sistema que no conserva la energía. • Al no conservar la energía, y no existir expulsión de masa, debemos utilizar la ley de Newton en la forma

Fext =

d (mV ) dt

En el instante t , la masa en movimiento es

m = λx

donde λ es la densidad de masa de la cadena (masa por unidad de longitud), y cae con

dx , bajo la acción de su peso dt Fext = mg = λxg Por tanto, en el instante t , la ley de movimiento del sistema es d λxg = (λxV ) dt una velocidad V =

• De la misma forma que en el problema del movimiento de un cohete, el estado dinámico dependía exclusivamente del valor de la masa del cohete, en este problema, el

estado dinámico depende exclusivamente del valor de la masa en movimiento, función de la variable x . Por tanto, es recomendable sustituir la derivada temporal por una derivada respecto a x , utilizando la regla de la cadena

d dx d d = =V dt dt dx dx Con este cambio, la ecuación de movimiento pasa a ser

xg = V

d ( xV ) dx

• Para integrar esta ecuación, multiplicamos por x los dos miembros, resultado

x 2 g = xV

con el

d 1 d 2 ( xV ) = ( xV ) dx 2 dx

Ahora, la integral es directa

x 2V 2 =

2 3 x g + cte 3

Inicialmente, la cadena está en reposo totalmente agrupada, por lo que la condición inicial es V = 0 cuando x = 0 . Aplicando esta condición, obtenemos el valor de la constante, cte = 0 , y el perfil de la velocidad de caída en función de la longitud de la cadena en movimiento

V =

2 xg 3

• Para obtener la aceleración de caída, derivamos respecto al tiempo, con el resultado

a=

dV dx dV dV 1 dV 2 1 = =V = = g dt dt dx dx 2 dx 3

1.22 Calcular la velocidad y aceleración de caída de una cadena, que inicialmente se encuentra en posición vertical, con uno de sus extremos tocando justamente el suelo. Calcular la fuerza que ejerce sobre el suelo en su caída.

g

x N

• Al existir una fuerza que frena el movimiento, la fuerza normal del suelo sobre la cadena, no se conserva la energía del sistema. Sea x la longitud de la cadena en el aire, y L − x la longitud de la cadena depositada en el suelo. La ecuación de movimiento para la cadena de longitud x que está cayendo es

dV =g dt puesto que sólo actúa la fuerza de la gravedad. De aquí obtenemos la velocidad de caída

V = 2 gs siendo s la distancia vertical recorrida por la cadena desde su posición inicial. En este caso

s = L−x

por lo que la velocidad de caída tiene la expresión

V = 2 g (L − x )

• La fuerza normal N debe contrarrestar el peso de la cadena de longitud L − x , depositada en el suelo, y la fuerza que ejerce la cadena de longitud x sobre el suelo, debida a su movimiento. Calculamos dicha fuerza según la expresión general

F=

dp dt

siendo dp el momento lineal que comunica la cadena al suelo en el tiempo dt . Sea λ la densidad de masa de la cadena. Dicha cadena lleva una velocidad

V =−

dx dt

(el signo menos tiene en cuenta que la coordenada x disminuye con el tiempo). Durante el intervalo de tiempo dt , la longitud de cadena que se deposita en el suelo es dx = −Vdt , comunicando un momento lineal dp = λdxV = −λV 2dt al suelo. Por tanto, la fuerza que ejerce sobre el suelo la cadena que cae es

F = −λV 2 = −2λg (L − x )

Con este resultado, la fuerza normal que ejerce el suelo sobre la cadena será la suma

N = λg (L − x ) − F = 3λg (L − x )

igual a tres veces el peso de la parte de la cadena depositada. En virtud de la ley de acción y reacción, la fuerza que ejerce la cadena sobre el suelo tiene el mismo valor.

Problemas Propuestos 1.23 Los dos bloques de una máquina de Atwood simple tienen inicialmente la misma masa m0 . El bloque de la izquierda es un recipiente que contiene agua, que comienza a expulsar a razón constante k con velocidad U respecto del recipiente. Si el contenido del agua es de 8 / 9 m0 , calcular la velocidad y aceleración del bloque de la derecha cuando el bloque izquierdo expulse todo el agua.

8 m 9 0

U a= Solución:

m0

4 9 kU g+ 5 10 m0

V =−

8 m0 g  m0 g  9 + 2 + U  ln 9 k  k  5

1.24 Calcular la velocidad y aceleración de caída de una gota de agua que, en presencia de un ambiente saturado de vapor, aumenta su masa a ritmo constante k , debido a la condensación de vapor sobre su superficie.

g (m 2 − m02 ) 2km Solución: g m2 + m02 a= 2 m2 V=