I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

1.1. Repaso de números enteros y racionales - Operaciones con números enteros - Paso de decimal a fracción y de fracción de decimal - Operaciones con números racionales - Potencias. Operaciones con potencias 1.2. Números irracionales y reales - Números irracionales - La recta real - Intervalos y valor absoluto 1.3. Radicales - Definiciones -Extracción de factores - Notación exponencial - Operaciones con radicales - Racionalización 1.4. Logaritmos - Definición - Propiedades - Cambio de base - Ecuaciones exponenciales y logarítmicas - Interés compuesto

Matemáticas B. 4º ESO Tema 1: Los números reales

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1.1. Repaso de números enteros y racionales 1. Realiza las siguientes operaciones con números enteros y comprueba el resultado. a) 6 – [6 – 7 – ( - 5)] – (+7) + (- 5) = - 10 b) [3 – (4 – 6) + (- 7 + 3)] – [- (- 3) + (- 6 + 4)]- (- 7+2) = 5 c) (54 – 27 + 36) : (- 9) = -7 d) (- 35 + 5 + 15) : (- 15 + 3 + 7) = 3 e) [(- 5) (- 4) (- 3)] : (- 2) = 30 f) 5 – [4 – (- 6 + 2) + 3]- 1 = - 7 g) (- 2) – (6 – 4+ 3 – 2) = - 5 h) 7 + [- 4 – (- 2 – 3) + 5] – 1 = 12 i) 6 – [2 – (- 4 - 2 - 1) + 5] + 3 = - 5 j) (- 2) + [- 3· (+2 - 4) + 1] – 5 = 0 k) 3 – [- 2 – (- 1) – (- 6) – 3] + 7 = 8 l) 2· (- 32) + 3·[27 + (- 63)] : (- 3) = - 28 m) (5 – 3· 5 – 6 : 2) +(36: 2+ 4) - (- 1 – 2 : 2) = 11 n) (- 30) : (+10) – (- 15) : (- 5) – 2· 3 = - 12 ñ) 2 + 4 : (- 1- 4 +3) – 5 (2 - 3 - 7) : (- 10) = - 4 o) 2 [12 – ( 9 – 4· 2) – 7] +5 = 13 p) 7 [ 5 – ( 1 + 9 : 3) + 7] = 56 q) 8 [ 2 (2 + 5· 2) : 6 ] : 4 = 8 r) 4 + 36 : 9 – 50 : (12 + 17 – 4 ) = 6 s) 25 – [4 + (25 : 5 +3)] (16 – 2· 7) = 1 t) [5 + 3· 2 : (6 – 4)] [- 4 : 2 – 4 + 24 : 4] = 0 u) 2 + 48 : [ 5· 3 – 2 (6 – 10) – 17] = 10 v) - [2 – (- 4- 6) – (- 6)] – [- 3 – (- 2 – 8)] = - 25 w) - 5+ [4 – (3 + 2· 3)] : 5 = - 6 x) [5 – (- 20 – 10)] : 7 + 3· [2 – (- 15)] = 56 y) -2 – (-2) + (-2) + 4 -23 + 1= -20 z) -1 –(-1) = 0

2. Escribe la expresión decimal de las siguientes fracciones. Indica en cada caso el tipo de número decimal que obtienes.

24 5

7 3

84 5

65 8

4 3

5 11

65 36

5 8

223 99

3. Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales: a) 3,45 g) b) 45,1 h) c) 0,00003 i) d) j) e) k) f) l) 3,7 Matemáticas B. 4º ESO Tema 1: Los números reales

38 15

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas 4. Realiza las siguientes operaciones con fracciones y comprueba el resultado.

5 2  3 1 1 6 3  2 4 4 7  3  1 b) 1 -  :  3 1:   2  4 4   3  1 2 c)  2    1     4  4 4  3   12  d)   2 · 2    1 7 2   1 5 1 1 1 e)   ·     2 83 9 4  5    3  4  75 f)  ·  :   2   7  5 56 3  13 5  3  4 4  45 ·    :     4 g)  12 6  5  5 7  16 3  4 5 2  3 2 4 ·    ·    h) 5  3 6  5  4 3  15

1 4  3  26 2 3  2 3 3 1 1 m) :     1 4  2 4 3 1 3 1 n)    :   5 2  10 3 4  4 2 8 ñ) · :   3  5 3 5 3 5 3 1 11 o) :  1    2  4 8 2 3 5

a)        



1

  1

 2



l) 3+ ·  21   

1 7  3 1 2 1 p)   ·   2   4 8 3 4 6 3  

3 3 91  3 4   ·2  :  5 2 15 q)  2 3   1  2    3   2  9

r)  :    :  ·    4  3   4  9  4



4

i) 1 - 1  : 2 :   1 :   1  1   2   2   2   7

 4 2 5 3 1 2 4 3   :    ·    j)  5 3 6   5 8 5  5 20   1 1    1 1  2   2  3   1   2  3   0     k)   5. Realiza las siguientes operaciones: a) b) b) c) d) Propiedades de las potencias:

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s)

4  5 3  2  3 1 5  14 ·    · :    3  2 4  5  4 3 4  15  3 1  4

  1 3 5  19

t)    :  1 :       4 2  3   2 4 8  6

1 3 1 5 5  4 2 2

u) 1+     : 1 

3 10

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas 6. Halla el valor de las siguientes potencias: (-5)4 = (- 3)6 = 03 = 05 = 0 (-5) = (-32)0 = (-10)4 = 15 = -23 = -12 = (8-5)3 =

(-5)5 = 20 = 51 = 13 = (-2)3 =

(3-7)3 = 3

(2+3)3 = 5

 1 3      2 5

 1 1    2

35· 3· 32 = 58· 5-3 = 73· 72· 7-5 =

5· 56· 54 = 4 5· 4 3· 4 = 2-3· 2-2· 25 =

58:58 = 73:7-2 = 62: 6-2 =

(-3)5:(-3)2 = (- 4)9:(- 4)2 = 24: 22 =

2-2 = 10-1 =

2-5 = 10-2 =

2

4-3 = 10-4 =

3 4· 2 4· 5 4 = (8:4)3 = 102: 52 =

32· 22· (-1)2 = (9:3:3)10 = 363 : 93 = (73)9 = (-3-2)5 =

(0’005)3 = (0’004)2 =

(0’2)5 = (0’06)3=

(3’16)2 = (1’2)2 =

Matemáticas B. 4º ESO Tema 1: Los números reales

3-5 = 10-6 = (2· 4· 5)3 = (-7· 3· 6)2 =

(26)5 = [(-7)4]-3 =

 7     3  4 5 5   ·   8 8 6 2 5 5   :    2  2 4  5  2       2   2

4

3-2 = 10-5 =

2 2· 3 2· 4 2 = (12:4:1)4 = 124: 24: 34 =

(52)4 = [(-5-4)]2 =

 3 3      7  

9 5: 9 5 = 32: 36 = (- 6)4:(- 6)2

(2· 5· 6)5 = (-3· 4· 1)4 =

(54)2 = (-31)-3 =

3

2-3· 22· 24 = 3-4· 32 = 12· 1-3 =

53:57= 67: 63 = (-8)4:(-8)3 =

3-4 = 10-3 =

 4    5

4

2   1  6 

3-4· 3· 32 = 2· 2-3· 2-2 = 43· 4-2· 4 =

(4· 7· 3)5 = [6· 2· (-5)]4 =

4

(5- 4)12 =

 2 1      3 6

(7· 4)3 = (7· 3· 4)2 =

 2 =    3 2 3  3  3   ·    2  2 6 4  3  3   :    4  4 3  4  2       3  

(-3)7 = 150 = 71 = 12 = (-1)2 =

(2’04)2 = (0’3)3 =

[6· 2· (-5)]4 = (64: 8)2 = 485: 65: 85 = (46)3 = (- 6-2)-5 = (7’03)3 = (0’12)4 =

 8   3        4   2  2 4 7 7   ·    4  4 7 10  3  3   :    4  4 5  3  2        5   3

3

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12 : 3 ·4  3 ·3 ·2  18 : 6 · 21 : 7   15 : 3 ·5  6 ·6 ·6  2

2

4

5

7

5

5

4

4

5

2

4

4

2

7

32·34·3·33= 3·32·33= 22·23:24= (26)3:(22)5= (317:37):(33)2= (22)3·(24)5:224= (317·33):(32)10= (812:32):92= 243:63= 72·42= (162:22):42= 273:93= 72·42:142=

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  2 3  ·    3 2  3 5 5  :    2 2 1 1     2

4

5 9  ·   3 4 2 7 4  :   5 8 3 6    7

7. Escribe con una sola potencia: 4

 3 5  ·    4 8 2  3 6  :    2 5 4 8     3

2

4 7  ·    3 2 3  4 5  :    3 3 2  3     5

1

3 ·5 : 15  5 : 25 : 5   10 : 5 : 12 : 6   4 ·5 : 5  3 : 15 : 5   4

4

6

4

6

4

6

4

4

6

4

4

4

4

4

5·57:58= (72) 6·7·74= (52·53)4:518= 52·(53)3= 52:(54:52)= 510:(53)3= 5·52:(55:52)= (43·53):23= 152·22= 203·43:403= (93·53):153= 152·22:62= 403·23:83=

2

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas 1.2. Números irracionales y reales Recordemos que los números racionales son todos aquellos que pueden escribirse en forma de fracción. Todos los naturales y los enteros lo son, también los números decimales exactos y los periódicos puros y mixtos como se vio en el apartado anterior. Sin embargo hay números como por ejemplo , que no se puede escribir como cociente de dos números enteros (demuéstralo), y en su desarrollo decimal aparecen infinitas cifras decimales no periódicas. A los números de esta forma se les llama números irracionales. Si x no es un cuadrado perfecto es un número irracional (por ejemplo o ). En genera , si x es entero pero no lo es, entonces es un número irracional. También son irracionales los números El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de los números reales y se designa por . Naturales: Enteros: Racionales: N

os

Enteros negativos

Reales: Fraccionarios Irracionales

1. Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

 3 , 2,8 , 4

5,

1 5 , 2

1,12112111211112…,

3

8 2,



8 1 , 3’25, , + 4 16 , 3 4 4 ,

3

 8 , -8`5, 1,12121212…,

.

Ya sabemos representar en la recta numérica los números enteros y las fracciones, además a cada número de la recta le corresponde un número racional o uno irracional, por eso a la recta numérica se le llama recta real. El método para representar gráficamente los números del tipo , siendo n entero, consiste en considerar un triángulo rectángulo y en el cual la hipotenusa se obtiene por el teorema de Pitágoras. Veamos dos ejemplos:

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2. Representa en la recta real los números:

3. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: (en caso de ser falsas indica un contraejemplo) Todos los números son racionales. Los números racionales son números reales. Los números irracionales son números reales. Todos los números decimales se pueden expresar en forma de fracción. 4. Si , explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: x² es siempre positivo o nulo. x³ es siempre positivo o nulo. 3 x solo existe si x  0 . 1 x es negativo si lo es x.  x 2 es siempre negativo.

Intervalos. Dados dos números reales , se define el intervalo cerrado de extremos a y b como el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Con notación matemática: Gráficamente:

Cambiando

< se obtienen los intervalos abiertos ( a , b ).

Se diferencian en que el intervalo cerrado contienen a los extremos y el abierto no. También hay intervalos semiabiertos (o semicerrados) e infinitos (que se corresponden con una semirrecta. 5. Escribe la definición de los siguientes intervalos numéricos, donde (a , b) = { [a , b) = [a , ) = ( , b) =

: a < x < b}

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[a , b] = (a , b] = (a , ) = ( , b] =

:

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas = 6. Describe y representa gráficamente los siguientes intervalos: (3 ,10) = (2 , 7] = [4,8) = (   , 6) = [7, [-3, 5] = 7. Escribe el intervalo que corresponde a las desigualdades siguientes: 1 < x