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Tema 10. La integral indefinida 1. Concepto de integral indefinida La derivada de una función permite conocer la tasa de variación (el cambio instantáneo) de un determinado fenómeno a partir de su función. Con la integración, el proceso es inverso: se trata de conocer la función inicial a partir de su derivada: partiendo del estudio de la variación de un fenómeno, llegar a conocer la función que lo explica. 1.1. Primitiva de una función Si se conoce una función F (x) , es fácil hallar su derivada F´(x) → Se aplican las fórmulas. El proceso inverso, encontrar F (x) a partir de F´(x) , se llama integración. F (x) → (derivación) → F ´(x) = f ( x) → (integración) → F (x) A la función F (x) se le llama primitiva o antiderivada de la función f (x) . Para ver que la primitiva de una función es correcta basta con derivar, pues: F (x) es una primitiva de f (x) ⇔ F´(x) = f ( x) Ejemplos: a) Si F ( x) = x 2 + 3 x , su derivada es F´(x) = 2 x + 3 ; entonces: una primitiva de f ( x) = 2 x + 3 será F ( x) = x 2 + 3 x . Observación: Otra primitiva de f ( x) = 2 x + 3 es, por ejemplo, F ( x) = x 2 + 3 x + 14 , pues derivando:

F ´( x) =

(x

2

+ 3 x + 1 4)´= 2 x + 3 = f ( x) . Todas la funciones de la forma F ( x) = x 2 + 3 x + c ,

donde c es un número, son primitivas de f ( x) = 2 x + 3 b) Si F ( x) = ln(3 x + 1) , su derivada es F´(x) = f ( x) =

3 ; en consecuencia, una primitiva de 3x + 1

3 será F ( x) = ln(3 x + 1) . 3x + 1

→ Todas las funciones de la forma F ( x) = ln(3 x + 1) + c son primitivas de f ( x) =

c) Para hallar una primitiva de f ( x) = la raíz”; esto es, que si= y f ( x) =

3x 2

3 . 3x + 1

3x 2

hay que saber la fórmula de la “derivada de 2 x 3 + 17 3x 2 . En consecuencia, una primitiva de x3 + 17 ⇒ y´= 2 x 3 + 17

será= y F (= x)

x3 + 17 .

2 x + 17 Observación: A lo largo de este tema se estudiarán los métodos básicos de integración, pero si no se conocen con soltura (y de memoria) las fórmulas de derivación el trabajo resultará inútil. 3

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1.2. Integral indefinida Dada una función f (x) , si F (x) es una de sus primitivas, la integral indefinida de f (x) es la función F ( x) + c , donde c es un número que se llama constante de integración. Se escribe así:

∫ f ( x)dx = F ( x) + c , (dx indica la variable de integración; de derivación) En consecuencia, la derivada y la integral son “operaciones” inversas; de manera análoga a como lo son la raíz cuadrada y el cuadrado o la exponencial y el logaritmo. Esto es, al aplicar sucesivamente la integral y la derivada a una función se obtiene la misma función: d   d  y f ( x) dx = f ( x)   f ( x)dx  = f ( x) dx     dx En la segunda igualdad debería sumarse una constante. No lo hago para que quede más clara la idea fundamental.

∫

∫

Ejemplos:

∫ b) ∫ c) ∫ a)

(

)

d 2 x + 3x + c = 2 x + 3 dx 3 d (ln(3x + 1) + c ) = 3 dx = ln(3 x + 1) + c . Puede comprobarse que 3x + 1 dx 3x + 1 d 4 4x3 dx = x 4 + c , pues x + c) = 4 x3 ( dx

(2 x + 3)dx = x 2 + 3 x + c . Puede comprobarse que

1.3. Propiedades de la integral indefinida 1) La integral de un número por una función es igual al número por la integral de la función:

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Esto significa que los números que multiplican a una función pueden entrar y salir del 1 f ( x) integrando, según convenga. Así, por ejemplo: f ( x)dx = kf ( x)dx = k dx . k k Esta propiedad facilita el cálculo de integrales mediante el sencillo procedimiento de ajustar constantes.

∫

∫

∫

Ejemplos: a) Para hallar

∫ 8x dx = 3

∫ 8x dx puede verse el ejemplo c) anterior y escribir:   ∫ 2·4x dx = 2  ∫ 4 x dx  = 2 ( x + c ) = 2x + c´ → (puede sustituirse c´ por c). 3

3

3

4

4

b) Obsérvese con un caso particular lo que se ha dicho más arriba sobre que la integral y la derivada son “operaciones” inversas: → Primero se deriva, después se integra: d 3  12 x 2 )= dx 4·3 x 2 )= dx 4 3 x 2= dx 4 x3 + c (Se escribe la constante c). ( (  ( 4 x )=   dx  d   d x4 + = 3 → Primero se integra, después se deriva: c ) 4 x 3 → No hay c. (  ( 4 x )dx=  dx   dx

∫

∫

∫

∫

∫

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2) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de esas funciones:

∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Las propiedades 1) y 2) indican que la integral se comporta como un operador lineal. Ejemplos: a) Número por función:

∫ 5 ( 2 x + 3) dx =5∫ ( 2 x + 3) dx =5 ( x + 3x + c ) =5x + 1 x +5c´ (da igual poner c que c´). OJO: Esta propiedad sólo se refiere a factores numéricos. Así: x(2 x + 3)dx ≠ x (2 x + 3)dx ∫ ∫ 2

∫ 3x dx se escribe: 1 1   ∫ 3· 4·4  x dx= 3·4  ∫ 4 x dx = 3

b) Para hallar

∫ 3x dx= 3

2

3

3 4 3 4 x + c )= x + c → (se deja la misma c). ( 4 4

3

c) Suma de funciones:

∫ ( 4 x − 2 x ) dx = ∫ 4 x dx − ∫ 2 xdx = ( x + c ) − ( x + c ) = x − x + c (las constantes c 3

3

4

2

1

4

2

2

1

y

c 2 no son necesarias; basta con poner una sola c). d) Sabiendo que

xdx ∫ cos =

sin x + c y que

∫ e dx= x

e x + c (recuerda las derivadas de la

función seno y de la exponencial), se obtienen: xdx k sin x + c ⇒ ( −3cos x ) dx = −3sin x + c ∫ k cos= ∫ cos x sin x cos x 1 → = dx +c ⇒ = dx ∫ k ∫ 5 5 sin x + c k 1 e e dx → pe = e= dx = dx dx pe + c ⇒ 2e = dx 2e + c ; ∫ ∫ ∫ 5 ∫ 5 ∫ 5= → ( 3cos x − 2e ) dx= 3 cos xdx − 2 e dx= 3sin x − 2e + c ∫ ∫ ∫

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1 x e +c 5

x

Las propiedades anteriores se utilizan según convenga, de dentro a fuera o de fuera a dentro. Así, por ejemplo: 1 1 3 18 dx 6·3 dx 6 dx 6 ( ln(3 x + 1) += c ) 6 ln(3 x + 1) + c = = = 3x + 1 3x + 1 3x + 1 Siempre se buscará un integrando del que se sepa hallar la primitiva. •

∫

∫

∫

Igualmente: 8

∫ ( x − x ) dx = 8∫ x dx − 8∫ xdx = 2∫ 4 x dx − 4∫ 2 xdx = 2 x − 4 x + c 3

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3

3

4

2

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2. Relación de integrales inmediatas Las integrales de las funciones usuales, que conviene saber de memoria, son las siguientes. (Para agilizar la escritura, y por falta de espacio, cuando en la función compuesta se escribe f debería escribirse f ( x) ; por lo mismo, en todos los casos se omite la constante de integración, c).

Función simple

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Función compuesta Ejemplos

−4 x ∫ kdx = kx ∫ dx = x ; ∫ (−4)dx = x 1 x x f x dx = x dx = ; = − , n ≠ −1 , n ≠ −1 x dx = f · f ´dx = ∫ ∫ ∫ ∫ 2x −2 3 n +1 n +1 f ´ 10 x − 3 1 dx = f = dx 5 x − 3x dx = x ∫ ∫ ∫2 x 2 f 2 5 x − 3x f´ 1 3x dx ln( x + 1) ∫ x dx = ∫ xdx = ln x ∫ f dx = ln f ∫ x += 1 3 a a 2 ∫ a dx = ln a ∫ a · f ´dx = ln a ∫ 2 dx = ln 2 ; ∫ 3 ·2 xdx = ln 3 e ∫ e dx = e ∫ e · f ´dx = e ∫ e ·2xdx = e ; ∫ e (−3)dx = ∫ cos xdx = sin x ∫ f ´·cos fdx = sin f ∫ 5cos(5x − 2)dx= sin (5x − 2) ∫ sin xdx = − cos x ∫ f ´·sin fdx = − cos f ∫ 6 x sin ( 2 x ) dx = − cos ( 2 x ) f´ 4 1 dx = tan x ∫ cos f dx = tan f ∫ cos 4 xdx = tan 4 x ∫ cos x tan x tan f ∫ (1 + tan x)dx = ∫ (1 + tan (3x + 2) )·3dx =tan(3x + 2) ∫ (1 + tan f )· f ´dx = 1/ x f´ 1 dx = arcsin f dx = arcsin x ∫ 1 − (ln x) dx = arcsin ( ln x) ∫ 1− f ∫ 1− x n +1

n +1

n

3

n

−2

−3

2

2

2

2

2

−1

3

3

x

f

x

x

f

x

x

f

x2

f

x2

2

2

2

∫

1− x

2

1 dx = arctan x 1 + x2

∫

− f´ 1− f

∫ 1+ f

3

2

2

2

2

∫

−3 x

3

2

dx = arccos x

−3 x

2

2

−1

x2

x2

x

f´ 2

2

− ex

∫ 1 − e dx = arccos e 4 ∫ 1 + (4x) dx = arctan 4 x

dx = arccos f

x

2x

dx = arctan f

2

Ejemplos:

∫ c) ∫ e) ∫

a)

2 2 (3 + x) 5 b) (2 x − 3)e x −3 x dx = e x −3 x + c +c 5 2x (2 x 3 − 1) 6 d) dx = ln( x 2 + 6) + c +c (2 x 3 − 1) 5 ·6 x 2 dx = 2 6 x +6 3 (sin x )2 ·cos xdx = 1 (sin x )3 + c → Observa: f 2 · f ´dx = f , con f = sin x 3 3

(3 + x) 4 dx =

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∫ ∫

∫

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3. Técnicas y métodos de integración Cuando el cálculo de una integral no sea inmediato, cuando el integrando no coincida con alguna de las fórmulas anteriores, se recurrirá a algún método de integración. Estos métodos son procedimientos que permiten escribir el integrando inicial en otro equivalente cuya integral sea más sencilla de calcular. 3.1. Descomposición elemental Consiste en transformar el integrando mediante operaciones algebraicas básicas, como: multiplicar o dividir por una constante apropiada; sumar o restar un número u otra expresión; efectuar las operaciones indicadas… (Para que esas operaciones tengan sentido hay que tener presentes las fórmulas de las integrales inmediatas; y, obviamente, las propiedades de la integral). Ejemplos:

∫ ( 6 x + 5x −1)dx → Se descompone en suma de integrales. 5 5 6 x + 5 x −= 1)dx 2 3 x dx + 2 xdx − dx = 2 x + x − x + c ( ∫ ∫ ∫ 2 2∫ b) ( x − 3) dx → Se hace el cuadrado de la expresión. ∫ x x − 3) dx = ( x − 6 x + 9 )dx = x dx − 6 x dx + 9dx = ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 − 2x + 9x + c 5x + 4 x − 3 c) ∫ x dx → Se hace la división del integrando. 5x + 4 x − 3 4 3  1 3  ∫ x dx = ∫  5 + x − x dx = ∫ 5dx + 4∫ xdx − 3∫ x dx = 5x + 4 ln x + x + c 4 −6 d) dx → Se ajustan las constantes buscando la integral del logaritmo: ∫ 5 − 6x ∫ 5 − 6 xdx . −1 −6 4 4 ∫ 5 − 6xdx = 4· 6 ∫ 5 − 6 x dx = − 6 ln(5 − 6x) + c 5 + 4x e) ∫ 1 + x dx → Se observa que puede tener que ver con un arcotangente y un logaritmo, 2

a)

2

2

2

2

2

2

3

2

5

4

2

4

2

3

2

2

2

−2

2

2

2

pues: 5 + 4x 4x  5 4x  5 dx =  dx + dx = + dx = 2 2 2 2 1+ x 1+ x  1+ x 1+ x2 1+ x 1 2x =5 dx + 2 dx = 5 arctan x + 2 ln(1 + x 2 ) + c 2 2 1+ x 1+ x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Para aplicar este método es necesario conocer muy bien las fórmulas de integrales inmediatas. (Además hay que tener “suerte” y paciencia, pues no siempre que se hace una transformación da el resultado apetecible. Con frecuencia hay que volver a intentarlo o recurrir a otro método). También es imprescindible operar con soltura, como se pone de manifiesto en los tres ejemplos siguientes. •

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Ejemplos: a) Para hallar

∫ sin xdx hay que conocer algunas equivalencias trigonométricas. Hay que 3

saber que:= sin 3 x

sin x ) ( sin x )( sin x ) ; ( sin x ) (= 3

2

2

= 1 − ( cos x ) . 2

2 (Naturalmente también se puede emplear la notación = sin 3 x sin x·sin = x sin x·(1 − cos 2 x ) ).

Por tanto: xdx x )dx ) dx ∫ sin x·(1 − cos = ∫ sin = ∫ sin x·(sin x= ∫ sin xdx + ∫ (− sin x) cos xdx = f 1 = − cos x + cos x + c (En la 2ª integral se aplica la fórmula f ´· f = dx + c .) ∫ n +1 3 2

3

2

2

n +1

3

n

∫

∫

1 f´ dx es imprescindible saber que dx = arctan f . 2 1+ f 2 3+ x El elemento fundamental es que aparece el término 3 + x 2 , que no es descomponible en factores, y que obviamente se parece mucho a 1 + x 2 . El objetivo es transformar la expresión f ´(x) 1 en otra igual a ella, de la forma . 2 2 3+ x 1 + ( f ( x) ) El proceso puede ser el siguiente: 1 1 1 3/ 3 3 1/ 3 3 1/ 3 = = = = = . · · 2 2 2 2 2 2 3   x   3 3+ x    x     x   x    x 1 +  31 +  31 +  1 +     31 +      3    3     3     3    3         x Se ha conseguido el propósito, siendo f ( x) = . 3 Por tanto: 1 3 1/ 3 1  x  dx dx arctan  = = +c 2 2 3+ x 3 3  3  x  1+    3 dx f ´( x) c) Para calcular debe saberse que = dx arcsin f ( x) + c . 1 − ( f ( x)) 2 9 − ( x − 1) 2

b) Para calcular

∫

∫

∫

∫

El elemento fundamental es que aparece la raíz cuadrada y el término − ( x − 1) 2 ; de donde puede suponerse que f ( x) está relacionada con el término ( x − 1) . A continuación hay que saber transformar la expresión buscando que aparezca 1 − ( f ( x)) 2 en el interior de la raíz y f ´(x) en el numerador. El proceso puede ser el siguiente: 1 1 dx 1 3 = dx = dx = dx = 2 2 2  ( x − 1) 2  9 − ( x − 1) x x 1 1 − −      91 − 3 1−  1−    9   3   3  

∫

∫

∫

∫

 x −1  = arcsin   + c → Compruébese, derivando, que el resultado es correcto.  3 

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4. Integración de fracciones racionales: descomposición en fracciones simples P( x) , donde P ( x) y Q( x) son polinomios. Q( x) Si el denominador es de grado menor o igual que el numerador, la expresión anterior puede P( x) R( x) escribirse así: , donde C(x) y R(x) son, respectivamente, el cociente y el = C ( x) + Q( x) Q( x) resto de la división. (Como debe saberse, el grado de R(x) es menor que el de Q(x)) P( x) R( x) Con esto: dx = C ( x)dx + dx . Q( x) Q( x) La integral que puede presentar dificultades es la última. Aquí se resolverá en dos supuestos fáciles, cuando Q( x) sea un polinomio de grado 1 o 2: mx + n m (1) (2) dx dx 2 ax + b ax + bx + c Las fracciones racionales son de la forma

∫

∫

∫

∫

∫

•

La integral (1) es inmediata (se resuelve por descomposición simple), pues:  f ´(x)  m m m a dx = dx =  dx = ln f ( x)  = ln(ax + b) + c ax + b a ax + b  f ( x)  a

∫

∫

∫

Ejemplos: 3 3 7 3 a) dx = dx = ln(7 x − 4) + c 7x − 4 7 7x − 4 7 3 2 x − 3x + 2 b) Para hallar dx hay que dividir antes (el método de Ruffini es adecuado). x +1 −3 2 x 3 − 3x + 2 Se obtiene: = 2 x 2 − 5x + 5 + x +1 x +1 3 −3 −3  2 x − 3x + 2  2 De donde dx =  2 x 2 − 5 x + 5 + dx dx = 2 x − 5 x + 5 dx + x +1 x +1 x +1  Por tanto: 2 x 3 − 3x + 2 2 5 dx = x 3 − x 2 + 5 x − 3 ln( x + 1) + c x +1 3 2

∫

∫

∫

∫

∫(

∫

)

∫

∫

4.1. Descomposición cuando Q(x) es un polinomio de segundo grado

Para resolver la integral (2) hay que determinar las raíces de ax 2 + bx + c = 0 , y pueden darse tres casos, que dependen de que esas raíces sean: dos simples, una doble o complejas: •

Caso 1. Si hay dos raíces reales simples: x = x 1 , x = x 2 ⇒ ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 ) . mx + n A B La descomposición que se hace es: . = + 2 ax + bx + c a( x − x1 ) ( x − x 2 ) mx + n A B A Con esto, dx = dx + dx = ln ( x − x1 ) + B ln ( x − x 2 ) + c 2 ( x − x2 ) a( x − x1 ) a ax + bx + c Los valores de A y B, que son números, se determinan por el llamado método de identificación de coeficientes. Se ve con un ejemplo.

∫

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∫

∫

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Ejemplo:

∫x

2x dx se procede así: + x−2 – Se hallan las raíces de x 2 + x − 2 = 0 . Son x = 1 y x = −2. Por tanto, la descomposición en fracciones simples será: 2x A B A( x + 2) + B ( x − 1) = ⇒ 2 x = A( x + 2) + B( x − 1) = + ( x − 1)( x + 2) x2 + x − 2 x −1 x + 2 El método de identificación de coeficientes consiste en igualar los coeficientes de los términos del mismo grado de ambos miembros de la igualdad. Esto es: A = 2 / 3  2 = A+ B ⇒ 2 x = A( x + 2) + B ( x − 1) ⇒ 2 x + 0 = ( A + B )x + 2 A − B ⇒  B = 4 / 3 0 = 2 A − B Con esto: 2x 2/3 4/3 2 4 dx = dx + dx = ln( x − 1) + ln( x + 2) + c 2 x −1 x+2 3 3 x + x−2

Para hallar la integral

∫

2

∫

∫

Observación: Una alternativa para calcular A y B consiste en dar valores a x e igualar los resultados de los dos miembros de la igualdad inicial: 2 x = A( x + 2) + B( x − 1) si x = 1: 2 = 3A ⇒ A = 2/3 si x = –2: –4 = –3B ⇒ B = 4/3 A x se le pueden dar dos valores cualesquiera, pero los más cómodos son los de las ráices. Caso 2. Si hay una sola raíz real doble, x = x 1 ⇒ ax 2 + bx + c = a( x − x1 ) . mx + n A B . Se hace la descomposición: = + 2 2 ( x − x1 ) ax + bx + c a ( x − x1 ) mx + n A B −A Con esto, dx = dx + dx = + B ln ( x − x 2 ) + c 2 2 ( x − x2 ) a( x − x1 ) ax + bx + c a ( x − x1 ) 2

∫

∫

∫

Ejemplo: x−2 dx 2 x + 4x + 4 – La ecuación x 2 + 2 x + 4 = 0 tiene una sola raíz doble, x = −2, doble. Por tanto: A + B ( x + 2) x−2 A B = ⇒ x − 2 = A + B( x + 2) = + ( x + 2) 2 x 2 + 4 x + 4 ( x + 2) 2 x + 2 Se identifican coeficientes:  1= B  B =1 ⇒ x − 2 = Bx + A + 2 B ⇒  −2 = A + 2 B  A = −4 Luego, x−2 −4 1 4 dx = dx + dx = + ln( x + 2) + c 2 2 x+2 x+2 ( x + 2) x + 4x + 4

∫

∫

∫

∫

(Cálculo de A y B dando valores a x: si x = –2 ⇒ −4 = A → A = −4; si x = 0 ⇒ −2 = A + 2B → B = 1)

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Caso 3. El denominador no tiene raíces reales ⇒ ax 2 + bx + c es irreducible. mx + n k (2ax + b) B , Se hace la descomposición: + = 2 2 ax + bx + c ax + bx + c 1 + ( px + q ) 2 donde ax 2 + bx + c = 1 + ( px + q ) 2 . En todos los casos A y B o k, p y q, son números reales. Observación: Esta descomposición se hace buscando que la integral resulte la suma de un logaritmo y de un arcotangente. Por eso, en la primera fracción se busca el numerador 2ax + b , que es la derivada de ax 2 + bx + c ; y en la segunda el denominador se escribe en la forma 1 + ( px + q ) 2 . mx + n k (2ax + b) B Con esto: = dx dx + dx = 2 2 ax + bx + c ax + bx + c 1 + ( px + q ) 2 B = k ln ( ax 2 + bx + c ) + arctan ( px + q ) + C p Ejemplos: 2− x a) dx 2 x + 2x + 2 – La ecuación x 2 + 2 x + 2 = 0 no tiene raíces reales. Por tanto, se hace la descomposición: 1 − (2 x + 2 ) + 3 3 2− x − 1 2x + 2 = 22 = · 2 + 2 2 x + 2 x + 2 1 + ( x + 1)2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 1 → el numerador: 2 − x = − (2 x + 2 ) + 3 ; → el denominador: x 2 + 2 x + 2 = 1 + ( x + 1) 2 . 2 Para obtener esa descomposición se escribe 2 − x = k (2 x + 2 ) + B , siendo el término 2 x + 2 la derivada del denominador; después se calculan las constantes mediante la identificación de los coeficientes de ambos miembros. Paso a paso, sería como sigue: k (2 x + 2 ) + B 2− x 1) Se escribe la derivada del denominador: 2 = 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 2) De 2 − x = k (2 x + 2 ) + B ⇒ 2 − x = 2k + B + 2kx ⇒ 2k = –1 → k = –1/2; B = 3. 3) Por tanto, 1 1 − (2 x + 2 ) + 3 − (2 x + 2 ) 2− x 3 ⇒ = 22 + 2 = 22 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 2− x − 1 2x + 2 3 ⇒ 2 = · 2 + 2 x + 2 x + 2 1 + ( x + 1)2 x + 2x + 2 En definitiva: 2− x 1 2x + 2 1 = dx + − dx 3 dx = 2 x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 1 + ( x + 1) 2 1 = − ln( x 2 + 2 x + 2) + 3 arctan( x + 1) + c 2 1 (18 x − 12 ) + 4 3x + 2 1 18 x − 12 4 6 b)= dx = dx dx + dx = 2 2 2 2 9 x − 12 x + 5 9 x − 12 x + 5 6 9 x − 12 x + 5 1 + ( 3x − 2 )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

=

∫

∫

∫

∫

1 4 ln(9 x 2 − 12 x + +5) + arctan(3 x − 2) + c 6 3

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4.2. Ampliación: Q(x) es un polinomio de tercer grado La descomposición de la fracción racional

P( x) en suma de fracciones simples puede hacerse para Q( x)

cualquier grado del denominador Q(x), aunque su aplicación resulta más engorrosa. Aquí se aplicará para polinomios de grado 3, que supondremos descompuestos en factores como sigue:

Caso 1. El denominador tiene tres raíces reales simples: Q( x) = ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x3 ) . La descomposición que se hace es: mx 2 + nx + r A B C , con A, B, C ∈ R. = + + (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) Ejemplo: x2 + 6 dx x 3 + 2 x 2 − 3x Como x 3 + 2 x 2 − 3 x = x(x − 1)(x + 3) se hace la descomposición:

∫

x2 + 6 x2 + 6 A B C = = = + + 3 2 x + 2 x − 3 x x(x − 1)(x + 3) x x − 1 x + 3 A( x − 1)( x + 3) + Bx( x + 3) + Cx( x − 1) ( A + B + C )x 2 + (2 A + 3B − C )x − 3 A = = x( x − 1)( x + 3) x( x − 1)( x + 3) Como los numeradores de la primera y última fracción deben ser iguales, se deduce que x 2 + 6 = ( A + B + C )x 2 + (2 A + 3B − C )x − 3 A

 A+ B +C =1  Identificando coeficientes se obtiene el sistema: 2 A + 3B − C = 0 ⇒ A = –2; B = 7/4, C = 5/4  − 3A = 6  Por tanto, x2 + 6 dx = x 3 + 2 x 2 − 3x

∫

∫

7 5  − 2 7/ 4 5/ 4  + + dx = −2 ln x + ln (x − 1) + ln (x + 3) + c  x −1 x + 3  4 4  x

Caso 2. El denominador tiene raíces reales repetidas. Esto es: Q( x) = (x − x1 )( x − x 2 ) . La descomposición que se hace es: B C mx 2 + nx + r A , con A, B, C ∈ R. = + + 2 2 (x − x1 )(x − x2 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x2 ) 2

Ejemplo: 2x − 5 2 dx → Como x 3 + 2 x 2 + x = x(x + 1) se hace la descomposición: 3 2 x + 2x + x 2x − 5 2x − 5 A B C = = = + + 3 2 2 2 x ( x + 1) x +1 x + 2 x + x x( x + 1)

∫

( A + C )x 2 + (2 A + B + C )x + A 2 2 x(x + 1) x(x + 1) Igualando los numeradores primero y último, 2 x − 5 = ( A + C )x 2 + (2 A + B + C )x + A , se A(x + 1) + Bx + Cx (x + 1) 2

=

=

tiene: A = –5; B = –7, C = 5.

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Por tanto, 2x − 5 dx = 3 x + 2x 2 + x

∫

∫

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−5 15 5  7 dx = −5 ln x + 5 ln ( x + 1) −  +c + + 2   x ( x + 1) x x 1 + 1 +  

(

)

Caso 3. El denominador tiene raíces reales y complejas. Esto es: Q( x) = ( x − x1 ) ax 2 + bx + c , con el segundo factor irreducible. La descomposición que se hace es: mx 2 + nx + r A Bx + C , con A, B, C ∈ R. = + 2 2 (x − x1 ) ax + bx + c (x − x1 ) ax + bx + x La integral de la segunda fracción se hace como se indicó anteriormente (también caso 3))

(

)

(

)

Ejemplo: 6 x 2 − 5 x + 22 dx (x − 2) x 2 + 2 x + 10

∫

(

)

Como x + 2 x + 10 = 0 no tiene raíces reales se hace la descomposición: A Bx + C 6 x 2 − 5 x + 22 = = + 2 2 (x − 2) x + 2 x + 10 (x − 2) x + 2 x + 10 2

=

(

(

)

)

(

)

A x + 2 x + 10 + (Bx + C )( x − 2 ) ( A + B )x 2 + (2 A − 2 B + C )x + 10 A − 2 B = (x − 2) x 2 + 2 x + 10 (x − 2) x 2 + 2 x + 10 2

(

)

(

Con esto, 6 x − 5 x + 22 = ( A + B )x + (2 A − 2 B + C )x + 10 A − 2 B . 2

)

2

A+ B = 6   Identificando coeficientes: 2 A − 2 B + C = −5 ⇒ A = 2; B = 4, C = –1.  10 A − 2C = 22  Por tanto, 6 x 2 − 5 x + 22 4x − 1  4x − 1  2 dx =  dx + 2 dx = 2 ln ( x − 2 ) + 2 2 (x − 2) x + 2 x + 10 x + 2 x + 10  x − 2 x + 2 x + 10  La última integral es como la del Caso 3 del apartado anterior, pues teniendo en cuenta que x 2 + 2 x + 10 = 9 + ( x + 1) 2 , puede escribirse: 4x − 1 2(2 x + 2) − 5 2(2 x + 2) 5 . = 2 = 2 − 2 x + 2 x + 10 x + 2 x + 10 x + 2 x + 10 9 + ( x + 1) 2 De donde 4x − 1 2(2 x + 2) 5 x +1 5 dx = dx − dx = 2 ln (x 2 + 2 x + 10 ) − arctan 2 2 2 3 3 x + 2 x + 10 x + 2 x + 10 9 + ( x + 1) → La segunda integral se transforma como sigue: 1 1 5·3· 1 5 1 5 3 dx 5 3 dx = dx → ↑ dx = = 2 2 2 2 9 9 3 9 + ( x + 1) 1 1 x + x + x      +1  1+  1+  1+      3   3   3  En consecuencia, la integral inicial 6 x 2 − 5 x + 22 5 x +1 dx = 2 ln ( x − 2) + 2 ln (x 2 + 2 x + 10) − arctan +c 2 3 3 (x − 2) x + 2 x + 10

∫

(

∫

∫

(

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∫

∫

∫

∫

∫

∫

)

∫

∫

)

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240

5. Método de integración por partes Este método suele ser apropiado cuando en el integrando figuran funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas multiplicadas entre ellas o por expresiones polinómicas. El método consiste en descomponer el integrando en dos partes: una de ellas se llama u; la otra, que se designa por dv, suele ser el mayor trozo (la mayor parte) del integrando que pueda integrarse fácilmente. Una vez integrada dv surgirá otra integral que deberá ser más sencilla que la inicial. El esquema es el siguiente:

∫ udv = uv − ∫ vdu

Está fórmula se obtiene a partir de la propiedad de la diferencial del producto de dos funciones, u = f (x) y v = g (x) . Así: d ( f ( x)·g ( x) ) = d ( f ( x) )·g ( x) + f ( x)·d ( g ( x) ) = f ´(x) g ( x)dx + f ( x) g´(x)dx (Recuérdese que df ( x) = f ´(x)dx ). Despejando: f ( x) g´(x)dx = d ( f ( x)·g ( x) ) − f ´(x) g ( x)dx . Integrando miembro a miembro se obtiene la fórmula de integración por partes:

∫ f ( x) g´(x)dx = ∫ d ( f ( x)·g ( x)) − ∫ f ´(x) g ( x)dx ⇒ ⇒ f ( x) g´(x)dx = f ( x)·g ( x) − f ´(x) g ( x)dx . ∫ ∫ O de manera esquemática:

d (u·v ) = d (u )·v + u·d (v ) = vdu + udv ⇒ udv = d (u·v ) − vdu ) ⇒

∫ udv = uv − ∫ vdu

Observación: Para la elección de las partes u y dv no hay un criterio concreto; pero, como se ha indicado más arriba, puede ser recomendable tomar dv como la parte más grande del integrando que se pueda integral de forma inmediata. El resto del integrando será u. Ejemplo:

∫ x (sin x ) dx pueden tomarse las siguientes partes: (1) u = x y dv = sin xdx ⇒ du = dx; v = sin xdx = − cos x ∫ x (2) u = sin x y dv = xdx ⇒ du = cos xdx ; v = xdx = ∫ 2 (3) u = x sin x y dx = dv ⇒= du ( sin x + x cos x ) dx ; v = dx = x ∫ Si se hace (1): x sin xd = −xx cos x + cos xd = −xx cos x + sin x + c ∫ ∫ x x Si se hace (2): x sin xdx sin x· − cos xdx (La segunda integral es más complicada ∫= ∫ 2 2 a) Para integral

2

2

2

que la primera. Por tanto, esta partición no es acertada). Si se hace (3):

∫ x sin xdx =x sin x·x − ∫ x (sin x + x cos x ) dx (También la segunda integral es

más complicada que la inicial. Tampoco es acertada esta partición).

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Otros ejemplos: a)

∫ xe dx . x

Tomando: u = x ⇒ du = dx; e x dx = dv ⇒ v = e x

∫ xe dx = xe − ∫ e dx = xe x

Se tiene:

b)

x

x

x

− ex + c

∫ x ln xdx 2

∫

1 x3 ; v = dx = x 2 dx x 3 2 3 3 x x x dx = ln x − +c 3 3 9

Haciendo: u = ln x y dv = x 2 dx ⇒ = du

∫x

Por tanto:

2

c) Para calcular

ln xdx =

3

x ln x − 3

∫

∫ e cos x dx hay que reiterar el método. Observa: x

u = e x y cos xdx = dv ⇒ du = e x dx ; v = sin xdx

Haciendo

∫ e cos x dx = e sin x − ∫ e sin x d . x La segunda integral, e sin x dx , también debe hacerse por el método de partes. ∫ x

Luego:

x

x

x

Tomando: u = e x y sin xdx = dv ⇒ du = e x dx ; v = − cos x Por tanto, e x cos x dx = e x sin x − e x sin x d = exx senx −  e x (− cos x) − e x (− cos x) dx  ⇒  

∫

∫

∫

∫ e cos x dx = e sin x + e cos x − ∫ e cos xdx ⇒ (trasponiendo la integral) ⇒ 2 e cos x dx = e sin x + e cos x ∫ 1 Despejando se tiene: e cos x dx = e (sin x + cos x) + c ∫ 2 ⇒

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∫

d) Para hallar x ln(1 + x 2 )dx hay que aplicar el método de partes y el de descomposición en fracciones. Primero partes. Se hace: u = ln(1 + x 2 ) ⇒ du =

2x x2 ; dx ⇒ v = xdx = dv 2 1+ x2

Luego,

∫

∫

x2 x3 ln(1 + x 2 ) − dx = (descomponiendo en fracciones) 2 1 + x2 x2 x2 1 x2 x   2 2 = ln(1 + x ) − + ln(1 + x 2 ) + c ln(1 + x ) −  x − dx = 2  2 2 2 2  1+ x  x ln(1 + x 2 )dx =

∫

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6. Integración por cambio de variable Consiste en hacer un cambio de variable ( x = g (t ) o t = h( x) , según convenga) de manera que la integral inicial resulte más fácil de calcular. El proceso es el siguiente.

∫ f ( x)dx , si se hace x = g (t ) ⇒ dx = g´(t )dt . Con esto, puede escribirse: f ( x)dx = f ( g (t )) g´(t )dt ∫ ∫

Si se desea hallar la integral

Una vez resuelta la integral en la variable t hay que deshacer el cambio inicial, pues la solución debe darse en función de x. Ejemplos:

∫

a) Para calcular (2 x − 3) 5 dx puede hacerse el cambio: = t 2x − 3 ⇒ = t 5 (2 x − 3)5 ; dt = 2dx → dx =

1 dt 2

Con esto, sustituyendo, 1 1 5 1 6 1 5 6 t dt = t += c ( 2 x − 3) + c ( 2 x − 3) dx= t 5  dt= 12 12 2  2 Observación: En este caso no es imprescindible cambiar de variable, pues ajustando constante f n +1 y aplicando la fórmula f n · f ´dx = , se tiene: n +1

∫

∫

∫

∫

∫

1 1 ( 2 x − 3) 1 5 6 +c = 2 ( 2 x − 3) dx = · ( 2 x − 3) dx = ( 2 x − 3) + c 2 2 6 12 6

∫

5

∫

b) Para calcular e 4 x dx , si se hace: Sustituyendo los cambios se tiene:

∫e

1 du 4 1 u 1 4x 1  1 u eu · du = e du= e + c= e +c  4 4 4  4

u = 4 x ⇒ du = 4dx → dx = 4x

dx=

∫

∫

∫

4 dx , hecha anteriormente mediante ajuste de constantes, se puede 5 − 6x 1 resolver haciendo el cambio: t= 5 − 6 x ⇒ dt = −6dx → dx = − dt 6 4 4 1  4 1 4 4 Luego, dx =  − dt  =− dt =− ln t + c − ln ( 5 − 6 x ) + c 5 − 6x u 6  6 t 6 6

c) La integral

∫

∫

∫

∫

d) Para hallar x 1 + x dx puede hacerse: 1 + x = u 2 ⇒ x = u 2 − 1 ; dx = 2udu Luego,

∫

x 1 + x dx =

∫ (u

2

− 1)·u·( 2udu ) =

∫ ( 2u

2 2 − 2u 2 )du = u 5 − u 3 + c 5 3 1 + x , se tendrá 4

Deshaciendo el cambio, 1 + x = u 2 ⇒ u = 2 2 x 1 + x dx = (1 + x) 5 − (1 + x) 3 + c 5 3

∫

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6.1. Cambios de variable para integrales trigonométricas Los cambios más frecuentes son: 1) Si el integrando es una función f (x) impar en cos x, se hace el cambio sin x = t. (Una función es impar en cos x cuando al cambiar cos x por – cos x la expresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( x) = cos3 x .) Así se obtienen las siguientes equivalencias: sin x t 1 sin 2 x =− 1 t 2 ; tan x = sin x = t ⇒ cos x =− ⇒ tan x = cos x 1− t2 dt ⇒ cos xdx = dt ⇒ dx = 1− t2 Ejemplo:

∫

∫(

∫

( cos5 x ) dx =( cos4 x )·( cos xdx ) = 1 − t 2 =

∫

) dt =∫ (1 − t ) dt = 4

2 2

2 1 2 1 (1 − 2t 2 + t 4 )dt = t − t 3 + t 5 + c = sin x − sin 3 x + sin 5 x + c 3 5 3 5

2) Si el integrando es una función f (x) impar en sin x, se hace el cambio cos x = t. (Una función es impar en sin x cuando al cambiar sin x por – sin x la expresión cambia de signo. Por ejemplo, f ( x) = sin 3 x .) Así se obtiene las siguientes equivalencias: cos x = t ⇒ sin x =− 1 cos 2 x =− 1 t 2 ; tan x = ⇒ − sin xdx = dt ⇒ dx = −

1− t2 sin x ⇒ tan x = t cos x

dt 1− t2

Ejemplo:

− ( sin x )·( cos x )·( − sin x ) dx = − ( 1− t ∫ (sin x )( cos x ) dx = ∫ ∫ 3

=

∫

2

2

2

2

) t dt = ∫ (1 − t )t dt = 2

2

2

2

1 1 1 1 (t 2 − t 4 )dt = t 3 − t 5 + c = cos 3 x − cos 5 x + c 3 5 5 3

3) Si el integrando no cambia al sustituir sin x por – sin x y cos x por – cos x, se hace el cambio tan x = t. Así se obtiene las siguientes equivalencias: 1 1 ⇒ cos x = tan x = t ⇒ 1 + tan 2 x = 2 cos x 1+ t2 ⇒ (1 + tan 2 x)dx = dt ⇒ dx = ⇒ tan x =

dt 1+ t2

sin x t ⇒ sin x = tan x·cos x ⇒ sin x = cos x 1+ t2

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Ejemplo:

∫ ( tan x ) dx , haciendo tan x = t se tiene: dt t = tan x ) dx = t · ( ∫ ∫ 1 + t ∫ 1 + t dt 3

Para integrar

3

3

3

2

2

t3 t =t− Esta segunda integral se hace por descomposición, pues dividiendo: 2 1+ t 1+ t2 t3 t2 1 t   Con esto, = = dt − ln(1 + t 2 ) + c t − dt   2 2 2 2 1+ t  1+ t  Deshaciendo el cambio inicial, se tiene: tan 2 x 1 tan 2 x 3 2 +c + ln ( cos x ) + c ( tan x ) dx = 2 − 2 ln (1 + tan x ) = 2

∫

∫

∫

4) En todos los casos puede hacerse el cambio tan x/2 = t. Así se obtiene las siguientes equivalencias: 2dt x 1 x tan = t ⇒ 1 + tan 2  dx = dt ⇒ dx = 1+ t2 2 2 2 x sin( x / 2) x x x x 1 x 1 De tan= ⇒ cos 2 = . ⇒ sin= tan cos ; 1 + tan 2 = 2 2 cos( x / 2) 2 2 2 2 cos ( x / 2) 2 1+ t2 1 2t x x x  x  Luego, sin x = 2  sin   cos  = 2 tan ·cos 2 ⇒ = sin x 2= t 2 1+ t 1+ t2 2 2 2  2  Como tan x =

2 tan( x / 2) 1− t2 2t sin x ⇒ ; ⇒ cos x = tan x = cos x = 1+ t2 1− t2 1 − tan 2 ( x / 2) tan x

Ejemplo:

∫

∫

1 x dx , haciendo tan = t se tiene: 1 − sin x 2 1 1 2dt 2 2 dx = · = dt = +c ⇒ 2 2 2t 1 + t 1 − sin x 1 − t 1 − t ( ) 1− 1+ t2

Para integrar

∫

∫

∫

1 2 dx = +c x 1 − sin x 1 − tan 2

6.2. Otros cambios y transformaciones Las técnicas de integración son numerosísimas; si el lector está interesado puede buscar en cualquier libro de grado superior: los clásicos Cálculus. Aquí, a modo de apunte, se hacen dos ejemplos más para mostrar la gran diversidad de trucos de integración. Ejemplos: a) Para integrar

∫ (sin x ) dx puede recurrirse a la equivalencia sin 2

2

x=

1 − cos 2 x , 2

obteniéndose: 1 − cos 2 x 1 1 1 1  sin x ) dx = dx = − cos 2 x dx = dx − (  ∫ ∫ 2 ∫  2 2  ∫ 2 2 ∫ cos 2 xdx = 2

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1 1 1 1 x − sin 2 x + c= x − sin x cos x + c 2 4 2 2 (La última expresión se obtiene escribiendo sin 2 x = 2sin x cos x ). =

Observación: Las transformaciones de las expresiones trigonométricas, mediante otras equivalentes, es un recurso que debe tenerse en cuenta. b) Para integrar

∫

1 − x 2 dx puede hacerse el cambio x = cos t , obteniéndose:

x = cos t ⇒ dx = − sin tdt ; 1 − x 2 = 1 − cos 2 t = sin t Por tanto:

∫ −

1 − x 2 dx =

− ( sin t )dt ⇒ (por el ejemplo a) ∫ sin t·( − sin tdt ) = ∫ 2

1 1 1 1  sin t )dt = −  t − sin t cos t  + c = − arccos x + ( ∫ 2 2 2 2  2

1 − x 2 ·x + c

Téngase en cuenta que x = cos t ⇒ t = arccos x . Por último conviene observar que los métodos de integración no son rígidos, pues puede llegarse al mismo resultado por distintos procedimientos. Así, algunas veces se utilizan cambios de variable que resultan innecesarios; otras veces, un cambio de variable facilita mucho la integración. Véanse un par de ejemplos. •

Ejemplos: a) La integrar Si se escribe

∫ (sin x ) dx (hecha antes) puede resolverse también por el método de partes. 2

∫ (sin

2

x ) dx =

∫ (sin x )·(sin xdx ) y se toma:

u = sin x y sin xdx = dv ⇒ du = cos xdx ; v = − cos x Se obtiene:

∫ (sin x ) dx = sin x·( − cos x ) − ∫ ( − cos x ) cos xdx = sin x·( − cos x ) + ∫ ( cos x ) dx ⇒ ⇒ ( sin x ) dx = sin x·( − cos x ) + 1 − ( sin x )  dx = − sin x·cos x + 1·dx − ( sin x )dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2

2

2

2

2

La última integral es la misma que la inicial, luego, si se traslada de miembro, se obtiene:

∫ ⇒ ( sin ∫

∫

2· ( sin 2 x ) dx = − sin x·cos x + 1·d = −xsin x·cos x + x + c ⇒ 2

x ) dx =

1 sin x·cos x x + +c ( − sin x·cos x + x + c ) =− 2 2 2

∫

ex dx puede hacerse: 2 + ex – Mediante el cambio e x = t ⇒ e x dx = dt . ex 1 Por tanto: dx dt c ln ( 2 + e x ) + c = = ln ( 2 + t ) + = x 2+e 2+t – Directamente, si se observa que el numerador es la derivada del denominador y, por tanto, la integral es un logaritmo. b) La integral

∫

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∫

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246

Problemas Propuestos Integrales inmediatas 1. Calcula las siguientes integrales:

) ∫( 5x d) ∫ 3 + 3x dx x sen 2 x   g)  3 cos − ∫  2 5 dx j) cos x·(sin x) dx ∫ x m) ∫ x + 2 dx 5x p) ∫ 1 − x dx 3 x 2 + x − 2 x dx

a)

2

2

2

3

2

s)

∫ (1 − x ) dx 3

(

∫ f) ∫ i) ( cos(2 x) − 3e ∫ l) (2 − 3 x ) dx ∫ 4x o) ∫ 3 − x dx r) 2 xe dx ∫

∫ x (1 − x ) dx

2

2 2

2

2

t)

∫

5 x (1 − 2 x ) dx 2

e −2 x dx 5 1    sin 2 x − cos 5 x  dx 3  

∫ e) cos(4 x + 3)dx ∫ h) x cos(3 x )dx ∫ k) 5 x(1 − 2 x ) dx ∫ 3 n) ∫ 1 + x dx 5 q) ∫ 1 − x dx 3

2. Calcula las siguientes integrales: a)

)

x 4 − 4 x 2 dx

b)

2 x −3

) dx

2

2

3

3 x2

u)

∫

( x − 1)

3

x

dx

b)

∫ ( 3x

dx

c)

∫

x dx 1 + 3x 2

b)

∫ x ( 7 x + 3) dx

c)

∫

5 x + 3x dx x2

b)

∫ (sin x + cos x ) dx

c)

∫ (sin x − cos x ) dx

2

− 2x

)

c)

2

3. Calcula: a)

∫

2x 3x + 1 2

dx

2

4. Resuelve las integrales: a)

∫ (sin 2x − 3cos 5x ) dx

2

2

5. Halla:

∫ d) 4 dx ∫

∫ e) 4·3 dx ∫

e4x dx

a)

x

6. Calcula: a)

∫ (e

x

∫ f) 20 x·3 ∫

e x /3dx

b)

x

)

+ e − x dx

b)

∫ (e

x

+ e− x

)

2

dx

c)

7. Resuelve, ajustando constantes, las siguientes integrales: 1 dx a) b) c) dx 2 2+ x 16 − x 2

∫

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∫

2

xe1− x dx

c)

∫ (e ∫

2x

x2

dx

)

− sin 2 x dx

x −3 dx x2 + 9 José María Martínez Mediano

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247

Integración por descomposición en fracciones racionales 8. Calcula, descomponiendo el integrando, las siguientes integrales: x3 − 3x 2 + 5 x 3 + 5 x 2 − 3x + 2 2 x − x 2 + 3x3 a) b) c) dx dx dx 4 x3 x4 x

∫ d) ∫

x −3 x 4

x3

∫ x −1 f) ∫ x + 3 dx

∫  4x − 4x + 1  e)  ∫  4x + 1 dx 2

dx

9. a) Comprueba que

3

2

1 1 x . b) Calcula la integral indefinida: − 2 = 3 x x +1 x + x

10. Calcula las siguientes integrales: ( x − 3) 2 2 − 3x + 5 x 2 a) b) dx dx 4x 2x 3x3 − x 2 + 4 x − 5 3x3 − x 2 + 4 x − 5 d) e) dx dx x x +1

∫ ∫

∫ ∫

11. Calcula la integrales: x+8 a) b) dx 2 x + x−2

∫

12. Calcula las integrales: 1 a) b) dx 2 x −1 13. Halla: 3x + 1 a) b) dx 2 x + 2x +1

∫ ∫

∫

f)

∫

∫

d)

c)

∫

x2 dx x2 − 1

d)

c)

∫

3 dx x − 4x + 5

d)

∫

c)

∫

x dx 2 x −1

∫

x+2 dx x − 2x +1

2

2

14. Propuestas en UNED. Resuelve las siguientes integrales: 2x 2 + 1 x 2 + 2x − 1 a) b) c) dx dx x3 + x x3 − x

∫

2 x 3 − 3x 2 + 5 dx x2 3x3 − x 2 + 4 x − 5 dx x2 + 1

1 dx x − 2x − 3

2dx x2 − 4

2

c)

∫

∫

∫

1 dx . x +x 3

∫

1 dx 2 x + 2 x − 12

∫

x3 dx x2 − 1

∫

2x +1 dx x + 2x + 2

2

2

− x 2 + 2x + 1 dx . x3 − x2 + x −1

Método de integración por partes 15. Calcula las siguientes integrales:

∫ e) ( x ln x ) dx ∫

∫ f) arcsin xdx ∫

∫ ∫ g) x sin(2 x)dx h) x cos xdx ∫ ∫ x 16. Utilizando el método de integración por partes, calcula ∫ e dx 17. A partir del resultado de ln xdx , calcula las siguientes integrales. ∫ a) 2 ln xdx b) ln(2 x)dx c) ln x dx d) ( ln x ) dx ∫ ∫ ∫ ∫ a)

x cos xdx

b)

xe 2 x dx

c)

x 2 ·e 3 x dx

d)

2

2

2 x3e x dx 3

x

2

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2

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248

Integración por cambio de variable 18. Calcula las siguientes integrales haciendo el cambio que se indica:

∫ ∫ dx c) d) x· 4 + x dx → ( 4 + x = t) ∫ ∫ x(4 − ln x) → ( t = ln x ) 1 19. Halla la integral indefinida ∫ 1 + x dx mediante el cambio de variable x 1 − x 2 dx → ( 1 − x 2 = t)

a)

(sin x)3 dx → (cos x = t)

b)

2

3

20. Propuestos en UNED. Calcula: 2x a) dx → ( 2 x = t ) 2x 2 +2

∫

21. Calcula

∫

4

b)

∫x

2

2

x =t.

tan 2 x 3 dx → ( x 3 = t )

→ (Sugerencia: cambio t = x 4 )

x 7 e x dx

22. Haciendo el cambio de variable e x = t , halla: ex ex dx a) b) dx 2x x 2 x e + 3 e + 2 1+ e

∫(

∫

)

23. (Propuesto en Selectividad, Aragón, junio 14) Usando el cambio de variable t = ln( x) , determina el valor de la integral:

1 + 3ln( x) + ( ln( x) )

∫ x (1 − ( ln( x) ) )

3

2

dx

Otras integrales 24. Calcula las siguientes integrales. 2 2x a) b) c) dx dx 2 1+ x 1 + x2

∫

∫

∫

2 dx 1 − x2

25. Propuestos en UNED. Resuelve: x2 −1 5x − 2 a) b) c) dx dx 2 x2 − 4 4x + 1 26. Resuelve: 1 a) b) cos 2 x dx cos x dx 2 x 27. Integra: e2 x e x + e2 x sin x a) b) c) dx dx dx x x cos 4 x 1+ e 1+ e

∫

∫

∫

( )

∫

d)

∫

∫

2

dx

ln x dx x2

∫

∫

∫ (1 + x ) 2

c)

d)

∫

d)

e)

∫ (1 + x ) dx 2x

2

∫ 2 ln xdx

7x + 2

∫ x − 6 x + 10 dx 2

tan 2 xdx

e)

∫

2x 1 − x4

dx

28. (Propuesto en Selectividad, Aragón, junio 13 y septiembre 14) a) Determina la función f (x) cuya derivada es f ´(x) = 2 xe 5 x y que verifica que f (0) = 2 . b) La derivada de una función 𝑓(𝑥) es: ( x − 1) ( x − 3) . Determina la función f ( x) sabiendo 3

que f (0) = 1 .

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Soluciones 3/ 2

5 x 1 2 1 x −2 + c . b) 2x 2 − x 4 + c . c) − e −2 x + c . d) ln ( 3 + 3 x 2 ) + c 2 3/ 2 10 6 1 1 x 1 1 1 e) sin (4 x + 3) + c . f) − cos 2 x − sin 5 x + c . g) 6sin + cos 2 x + c . h) sin ( 3 x 2 ) + c 2 15 2 10 6 4 3 5 1 3 2 x −3 1 3 i) sin(2 x) − e + c . j) ( sin x ) + c . k) − (1 − 2 x 2 ) + c . l) 4 x − 6 x 2 + 3 x3 + c . 12 2 2 3 1 8 m) ln ( x3 + 2 ) + c . n) 3arctan x + c . o) − 3 − x 3 + c . p) −5 1 − x 2 + c . q) 5arcsin x + c . 3 3 2 1 1 3 1 3 1 r) e3 x + c . s) x − x 2 + x3 − x 4 + c . t) x 2 − x3 + x 4 − x 5 + c . 3 2 4 5 2 4 3 2 1 3 u) ln x − 3 x + x − x + c . 2 3 5 2 20 3 9 4 1 2. a) x − x + 5 x 4 + c . b) x5 − 3 x 4 + x3 + c . c) ln 1 + 3 x 2 + c . 2 3 5 3 6 2 2 3 3. 3 x 2 + 1 + c . b) 2 x 7/2 + 2 x3/2 + c . c) 5 ln x − +c 3 x 1 3 4. a) − cos 2 x − sin 5 x + c . b) x + sin 2 x + c . c) x + cos 2 x + c 2 5 2 1 1 4 x 1 10 x2 5. a) e4 x + c . b) 3e x /3 + c . c) − e1− x + c . d) 4 x · ·3 + c . f) ·3 + c + c . e) 2 ln 4 ln 3 4 ln 3 1 1 1 1 6. a) e x − e − x + c . b) e2 x − e−2 x + 2 x + c . c) e2 x + cos 2 x + c 2 2 2 2 x 2 1 x x 7. a) + c . b) arcsin   + c . c) ln x 2 + 9 − arctan   + c . arctan 2 2 2 3 4 1 3 5 1 1  2 8. a) − 2 + + 3ln x + c . b) x − ln x − 2 + c . c)  x 3 + 2 x 2 − 2 x + 4  x1 / 2 + c 4 4 8x x x  7 3 4 12 1 x 3 2 d) x3/4 − x 7/12 + c . e) x − ln( 4 x 2 + 1) + c . f) − x + 9 x − 28 ln( x + 3) + c 3 2 3 7 2 1 9. a) Cierto. b) ln x − ln( x 2 + 1) + c 2 5 3 5 1 3 9 10. a) ln x − x + x 2 + c . b) x 2 − x + ln x + c . c) x 2 − 3 x − + c x 2 4 8 2 4 1 d) x3 − x 2 + 4 x − 5ln x + c . e) x3 − 2 x 2 + 8 x − 1 ln ( 3x + 1) + c . 2 3 2 1 f) x − x + ln x 2 + 1 − 4 arctan x + c 2 2 1 1 11. a) 3ln( x − 1) − 2 ln( x + 2) + c . b) ln ( x − 2 ) − ln ( x + 2 ) + c . 2 2 1 1 1 1 c) − ln( x + 1) + ln( x − 3) + c . d) ln( x − 2) − ln( x + 3) + c 10 10 4 4 x2 1 1 1 1 1 12. a) ln( x − 1) − ln( x + 1) + c . b) ln x 2 − 1 + c . c) + ln( x − 1) − ln( x + 1) + c . 2 2 2 2 2 2 1. a) x 3 +

(

(

(

)

)

(

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)

)

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(

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)

x2 1 + ln x 2 − 1 + c 2 2 2 −3 13. a) 3ln( x + 1) + + c . b) + ln( x − 1) + c . c) 3arctan ( x − 2 ) + c . x +1 x −1 d) ln ( x 2 + 2 x + 2 ) − arctan ( x + 1) + c d)

1 14. a) ln x + ln ( x − 1) − ln ( x + 1) + c . b) ln x + ln ( x 2 + 1) + c . c) ln ( x − 1) − ln ( x 2 + 1) + c . 2 1 1 2 3x 1 2 15. a) x sin x + cos x + c .b) xe 2 x − e 2 x + c . c) x 2 e 3 x − xe 3 x + e +c. 2 4 27 3 9 2 2 1 x2 d) x 2 e x − e x + c . e) x 2 ln x − + c . f) x arcsin x + 1 − x 2 + c 2 4 1 1 1 g) − x 2 cos 2 x + x sin 2 x + cos 2 x + c . h) x 3 sin x + 3x 2 cos x − 6 x sin x − 6 cos x + c . 4 2 2 −x −x 16. − xe − e + c 17. a) 2 ( x ln x − x ) + c . b) ( ln 2 )·x + x ln x − x + c . c) 2 ( x ln x − x ) + c .

d) x ( ln x ) − 2 ( x ln x − x ) + c 2

18. a) −

(

(1 − x )

1 3

2 3

1 + c . b) − cos x + cos3 x + c . c) − ln (4 − t ) + c = − ln (4 − ln x ) + c 3

(

)

)

4 33 19. 2 x − 2 ln 1 + x + c · 4 + x2 + c . 8 1 1 2x 1 20. a) · arctan + c .b) tan x 3 − x 3 + c 3 ln 2 2 2 ex +1 1 4 −1 21. x 4 − 1 e x + c 22. a) . b) ln +c + c 4 ex + 2 1+ ex

d)

(

(

23. −

)

)

(ln x) 2 5 3 − ln (1 − ln x ) − ln (1 + ln x ) + c . 2 2 2

24. a) 2 arctan x + c . b) ln (1 + x 2 ) + c . c) ln (1 + x ) + ln (1 − x ) + c . d) − e) 2 ln (1 + x ) +

2 +c. 1+ x

2 +c 1+ x

1 5 1 1 − arctan ( 2 x ) + c . b) 2 ln ( x − 2 ) + 3ln ( x + 2 ) + c . c) − ln x − + c . 4 8 x x d) 2 ( x ln x − x ) + c .

25. a)

1 x 7 cos x·sin x + + k . c) ln( x 2 − 6 x + 10) + 23arctan( x − 3) + c 2 2 2 1 27. a) e x + c . b) e x − ln (1 + e x ) + c . c) + c . d) tan x − x + c . e) arcsin x 2 + c 3 3cos x 1 5 3 4 2 1  52 28. a) f ( x) =  xe 5 x − e 5 x  + . b) f ( x)= x − x + 4 x3 − 5 x 2 + 3x + 1 . 5 2 5 5  25

26. a) sin x + c . b)

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