Apuntes

Matemáticas 2º de bachillerato

Leibniz

Tema 7

La integral indefinida

Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.1

Introducción

Def.: Dadas dos funciones, F(x) y f(x), si se verifica que: F´(x) = f(x), para un cierto intervalo de x, entonces se dice que F(x) es una función primitiva de f(x) para ese determinado intervalo. Dos primitivas cualesquiera de f(x) difieren en una constante. Def.: El conjunto de todas las funciones primitivas de una función es la integral indefinida de esa función. Si se cumple que F´(x) = f(x): F(x) F(x) + C

es una primitiva de f(x) es la integral indefinida de f(x)

La integral indefinida es una familia de funciones, cuyas gráficas son paralelas ( por tener todas para cada x la misma pendiente), pero desplazadas a lo largo del eje OY, según sea el valor de la constante C. Se escribe: ∫ f(x)dx = F(x) + C

A f(x) se le llama función subintegral o integrando, F(x) + C es la solución general, siendo C la constante de integración. Para cada valor de C se obtiene una primitiva de f(x) o solución particular de la integral. La diferencial de x, dx, indica que x es la variable de integración. Propiedades: 1ª: La derivada de la integral de una función respecto a la misma variable es la misma función. (∫ f(x) dx)´ = f(x) 2ª: La integral de una suma de varias funciones integrables es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx 3ª: La integral del producto de una constante por una función integrable es igual al producto de la constante por la integral de la función. ∫ c · f(x) dx = c · ∫ f(x)dx

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.2

Integrales inmediatas

El gran problema del cálculo integral consiste en reconocer de qué función es derivada la que nos encontramos en el integrando. En algunos casos, es sencillo reconocerlo; nos encontramos entonces ante las integrales inmediatas, que se resuelven aplicando los resultados de las tablas. En el caso de que la función primitiva no se reconozca con tanta facilidad, tendremos que recurrir a los métodos de integración, que son procedimientos que permiten transformar un integrando que no es inmediatamente integrable, en otro que sí lo es.

1. ∫ f´(x) dx = f(x) + C 2. ∫ k · f´(x) dx = k · f(x) + C 3. ∫[f(x)]n · f´(x) dx = f´(x)

4. ∫ [f(x)]m =

[f(x)]n + 1 n+ 1

−1 (m − 1)[f(x)]m − 1

+ C

+ C

f´(x)

5. ∫ dx = 2 √f(x) + C √f(x) f´(x)

6. ∫ dx = Ln |f(x)| + C f(x) 7. ∫ ef(x) · f´(x) dx = ef(x) + C 8. ∫ af(x) · f´(x) dx =

af(x) Ln a

+ C

9. ∫ cos f(x) · f´(x) dx = sen f(x) + C 10. ∫ sen f(x) · f´(x) dx = − cos f(x) + C 11. ∫ 12. ∫ 13. ∫ 14. ∫

f´(x) cos2 f(x) f´(x) sen2 f(x)

dx = ∫[1 + tg 2 f(x)] · f´(x) dx = tg f(x) + C dx = ∫[1 + cotg 2 f(x)] · f´(x) dx = − cotg f(x) + C

f´(x) √1 − [f(x)]2 f´(x) 1 + [f(x)]2

dx = arcsen f(x) + C dx = arctg f(x) + C

sen2 x =

1 − cos 2x 2

cos 2 x =

1 + cos 2x 2

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

Ejemplos de integrales inmediatas:

1. 2. 3. 4.

∫ 3 dx = ∫ 5x 2 dx = ∫ 7ex dx = 1 ∫ 2 dx = x

3

5. ∫ √x dx = 4 6. ∫ 3 dx = √x 7. ∫(2x + cos x) dx = 8. ∫(3x 2 + sec 2 x) dx = 9. ∫(3x 2 − x − 2)2 dx = 10. ∫(2x + 1)4 dx = 11. ∫(2x + 4)(x 2 + 4x + 1)7 dx = 12. ∫ sen3 x cos x dx = 13. ∫ tg 2 x sec 2 x dx = 14. ∫ cos(2x + 1) dx = 15. ∫ x cos(x 2 + 1) dx = 2x + 8 16. ∫ 2 dx = 17. ∫ 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

x + 8x + 7 7 cos(7x + 2) sen(7x + 2) sen x − cos x

dx =

∫ sen x + cos x dx = ∫ ex cos ex dx = ∫ e3x + 4 dx = 2 ∫ 6x e3x + 7 dx = ∫ 27x− 4 dx = 3 ∫(3x 2 − 4) 2 x − 4x dx = ∫ sen (7x + 8)dx = ∫ 3 sec 2 x dx = 7 ∫ cos2 x dx = ∫(5 + 5tg 2 x)dx = 8 ∫ sen2 x dx = ∫ 3 cosec 2 x dx = 5 dx = ∫ √5x + 3 2x + 5

31. ∫ √x2 +5x

− 3

ex

32. ∫ √1 −

e2x

33. ∫ √1 −

x4

2x 1

dx =

dx = dx =

34. ∫ 3+

dx =

35. ∫ 1+

dx =

3x2 1

9x2 cos x

36. ∫ 1+

sen2 x

dx =

82

Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.3

Integrales que se reducen a inmediatas

Con ayuda de algunos trucos es posible reducir muchas integrales a inmediatas. Generalizando, los trucos consisten en descomponer un polinomio en sus distintos monomios, en reescribir la función en forma de potencia con exponente fraccionario, en multiplicar y dividir por la misma expresión, en sumar y restar la misma cantidad, en multiplicar por una expresión que resulte la unidad (sen2 x + cos2 x), en sustituir una expresión por otra equivalente, incluso en realizar una división polinómica.

Ejemplos de integrales con trucos: 1.

∫

5x2 + 3x − 6 x4

x2

dx =

dx =

2.

∫ x2 +

3. 4. 5. 6. 7.

∫ sen2 x cos2 x = ∫ cos2 x dx = ∫ tg 2 x dx = ∫ sec 4 x dx = dx ∫ 3 + x2 =

1 dx

7.4

Métodos de integración

7.4.1

Integrales del tipo arcsen x

Se trata de ir transformando el radicando hasta obtener una expresión del tipo 1 – f2 (x), como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar un caso concreto de integrales que se reducen a inmediatas.

∫

Ejemplo: ∫

Ejemplo: ∫

x2 √1 − x6

dx √4 − 3x2

f´(x) √1 − [f(x)]2

dx = arcsen f(x) + C

dx =

=

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7.4.2

Integrales del tipo arctg x

Se trata de ir transformando el denominador hasta obtener una expresión del tipo 1 + f2 (x), como veremos en los ejemplos a continuación. Realmente se puede considerar un caso concreto de integrales que se reducen a inmediatas. Sólo se podrá dar este caso si las raíces del denominador son imaginarias.

∫ Ejemplo: ∫

Ejemplo: ∫

Ejemplo: ∫

Ejemplo: ∫

1 1 + 4x2

1 4 + 5x2

f´(x) dx = arctg f(x) + C 1 + [f(x)]2

dx =

dx =

1 x2 + 2x + 2

dx =

1 x2 + 6x + 11

dx =

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7.4.3

Integración de funciones racionales

Antes de distinguir los casos en función del grado del denominador y del tipo de raíces que este tenga, hay que dejar claro que lo primero que se hará siempre, en caso de que el grado del numerador sea igual o mayor que el grado del denominador, es dividir polinómicamente y expresar la división como cociente más resto entre divisor, como se indica en el ejemplo a continuación. Con esto conseguimos que el grado del numerador sea siempre menor que el del denominador.

7.4.3.1 Integración de funciones racionales con denominador de primer grado Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del denominador. Ejemplo 1: ∫

Ejemplo 2: ∫

3x + 2 x− 2

7 3x + 5

dx =

dx =

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7.4.3.2 Integración de funciones racionales con denominadores de segundo grado Suponemos que el numerador es un polinomio de grado inferior al del denominador. En caso contrario, se realiza la división polinómica y obtendremos un polinomio - cociente y una función racional, en la que el grado del numerador sí que es menor que el del denominador. Si el denominador es de segundo grado, nos encontramos los siguientes casos: a) que tenga dos raíces reales distintas (Ejemplos 1 y 2) b) que tenga una raíz real doble (Ejemplo 3) c) que tenga dos raíces imaginarias conjugadas (Ejemplo 4) Ejemplo 1: ∫

Ejemplo 2: ∫

4x3 + 6x2 − 3x − 4 x2 − 2x − 3

2x + 1 x2 − 3x + 2

dx =

dx =

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

Ejemplo 3: ∫

Ejemplo 4: ∫

x2 − x x2 − 4x + 4

2x + 3 2x2 + 2x + 1

dx =

dx =

Ejercicios: dx

1. ∫ x2 − 4 =

− 3x + 1

2. ∫ x2 − x2

dx =

x+ 1 + 3x − 4

3. ∫ x2 − 4. ∫ x2 −

2x − 8 2 2x + 5

dx = dx =

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.4.4

Integración por sustitución o cambio de variable

El papel de la sustitución en la integración es el equivalente a la regla de la cadena en la derivación. Recuérdese que para las funciones derivables dadas por y = F(u) y u = t(x), la regla de la cadena establece que: d [F(t(x))] = F´(t(x)) · t´(x) dx Integrando la expresión anterior, obtenemos: ∫ F´(t(x)) · t´(x) dx = F(t(x)) + C = F(u) + C

Ejemplos: En el caso de las funciones sencillas no tenemos que aplicar este método, ya que la tabla viene preparada con las derivadas internas (f´(x)). a) ∫ 5 √5x + 1 dx =

b) ∫ x (x 2 + 1)3 dx =

En otro tipo de ejercicios es más cómodo realizar la sustitución como realizaremos en el ejemplo a continuación. Ejemplo: ∫

dx √x (1 − √x)

=

Sust.: √x = t dx = dt ⟺ 2 x √

dx √x

= 2 dt

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

Ejercicios: dx

=

1.

∫ x2

2.

∫ ex +

3.

∫

4.

∫

5.

∫ x Ln x Ln (Ln x) =

6.

∫ tg 3 x dx =

7.

∫ cotg x [Ln (sen x)]2 dx =

√1 − x2 dx e−x

e arctg x

dx =

1+ x2 ln x2 x

=

dx = dx

1

5x

8.

∫ x2 dx =

9.

∫

1 + tg2 x √tg x − 1

dx =

x3

10. ∫ √x2 dx = +1 x

11. ∫ 1+

√x

dx

12. ∫ x+

√x

dx = =

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.4.5

Integración por partes

Este método de integración se obtiene de la regla de derivación de un producto: d d d (u · v) = (u) · v + u · v dx dx dx Despejando el último sumando e integrando hacia x toda la expresión, resulta: ∫u

dv d du (u · v) dx − ∫ v dx = ∫ dx dx dx dx

y simplificando: ∫ u dv = u · v − ∫ v du

Existe una regla nemotécnica para la fórmula de la integración por partes: “un día vi un viejo vestido de uniforme” ∫ x · cos x dx =

Ejemplo:

u=x  dv = cos x dx 

du = dx v = ∫ dv = ∫ cos x dx = sen x

1. ∫ Ln x dx = 2. ∫ cos2 x dx = 3. ∫ arcsen x dx = 4. ∫ ex · cos 2x dx = x ex

5. ∫ (x +

1)2

dx =

6. ∫ x 2 Ln x dx = 7. ∫ 2x 2 · sen x dx = 8. ∫ e2x · sen x dx =

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7.4.6

Integración de funciones trigonométricas, del tipo R(sen x, cos x) R es una función racional (sumas, productos y cocientes) de senos y cosenos.

7.4.6.1 R es impar en seno: R (- sen x, cos x) = - R(sen x, cos x) Se realizará el cambio de variable cos x = t sen x

Ejemplo: ∫ 1 +

cos2 x

dx =

7.4.6.2 R es impar en coseno: R (sen x, - cos x) = - R(sen x, cos x) Se realizará el cambio de variable sen x = t dx

Ejemplo: ∫ cos x =

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

7.4.6.3 R es par en seno y coseno: R (- sen x, - cos x) = R (sen x, cos x) Se realizará el cambio tg x = t dx = sen x = {

cos x =

dt 1 + t2 t √1 + t 2 1 √1 + t 2

dx

Ejemplo: ∫ sen2 x =

7.4.6.4

Para el resto de casos se podrá aplicar la sustitución universal: tg

x 2

=t

2 dt 1 + t2 2t sen x = 1 + t2 1 − t2 cos x = { 1 + t2 dx =

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

3 dx

Ejemplo: ∫ 1 −

sen x

=

Ejercicios:

1. ∫ sen2 x cos x dx = 2. ∫ cos3 x dx = 3. ∫ sen x cos x dx = 4. ∫ sen2 x cos3 x dx = 5.

sen x

∫ cos2 x dx =

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Ejercicios 1.

Determina la función primitiva de f(x) = 2x + 1 que pasa por el punto P(1, 5).

2.

Determina una función cuya derivada sea f(x) = 3x2 + cos x que cumpla que cuando x = 0, y también valga 0.

3.

Halla la familia de curvas en las que la pendiente de las rectas tangentes a dichas curvas en cualquier punto viene dada por la función y = x·e2x. Obtén, de esa familia, la curva que pasa por A(0,2).

4.

Realiza las siguientes integrales: √x+3x−2 −4 dx x3

p) ∫

dx

a)

∫

b)

∫ x+5 dx

c)

∫

d)

∫ 2x√x 2 − 3dx

e)

∫ x4 +2 dx

f)

∫ x−2 dx

u) ∫ x2 +2x+9 dx

g)

∫ cos4 xsenxdx

v) ∫ √9−x2 dx

h)

∫

i)

∫ 3 x+

dx

x) ∫ x3 +x2 −2x dx

j)

∫ (x+3)3 dx

y) ∫ x3 +2x2 +x dx

k)

∫

l)

∫ x2 −6x+12 dx

aa) ∫ sen2 x · cos3 xdx

m)

∫ x√x + 1dx

ab) ∫ sen3 x dx

n)

∫ x√x+1 dx

ac) ∫ x4 +3 dx

o)

∫ x 2 · 2−x dx

ad) ∫ sen3 x · cos 3 xdx

3x

q) ∫

4x5 +2x3 −4x+1 x2

dx

√ex

2

x3 +4x2 −10x+7 x3 −7x+6

√x

x

r) ∫ x 2 cos 3 dx

t) ∫ 1−√ex dx

x3

√

sen(√x) dx √x

s) ∫ arctg(3x)dx

3x

1

4

x− √x

x+3

dx

x4 +2x−6

x2

2x+5

x3 +22x2 −12x+8 x4 −4x2 5x+2

1

w) ∫ e−2x cos3xdx

dx

z) ∫(x + 2) · Ln(x + 1)dx

cos2 x

5x

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Ejercicios PAU 5x+√3x

dx

1.

∫

2.

a) ∫ 5 √x − 3x 3 + x2 dx

3.

∫ xLnxdx

4.

∫ x2 −2x dx

5.

a) ∫(2x − 1)Lnxdx

x2 3

(Junio 2013) 2

5

b) ∫ (2x−3)2 +9 dx

(Junio 2012) (Junio 2011)

x2 +3

(Sept 2010) 1−x

b) ∫ 1+4x2 dx

(Sept 2008)

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Tema 7: La integral indefinida Matemáticas 2º de bachillerato

Ficha de Repaso

2x  3 dx x2

1.



2.

 1  senxdx

I = 2 tgx + 2/cosx – x + C

3.

x2  1  x 2 dx

I = x – arctg x + C

4.

I = 2x – 7 Ln ( x + 2) + C

1  senx

7

2 x 5

dx

5.

x4  x 2  1 dx

I = x3/3 – x + arctg x + C

6.

x

I = (x2sen2x + xcos2x – ½·sen2x)·1/2 + C

7.

 ( x  1)·(x  3)

8.

 x·2

9.

x 1  x 2  4 x  6dx

2

cos 2 xdx

1

x

11.

12.

 sen

13.

14.



15.

x

x

xe4x 4

−

e4x 16

+C

 x3   x / 2  x  Ln(1  x )  C I = 2·   3 

e x  1dx

1  Lnx

1 x  2 Ln( x 2  4 x  6)  3 2arctg   2  I= 2

I = 1/cosx + cos x + C

dx

dx

1 Ln( x  1) Ln(3  x)   C 4( x  3) 16 16

cos 3 x I =  cos x  C 3

xdx

x

I=

I=

sen 3 x  cos 2 x dx

1

dx

I = - x·2-x/Ln2 – 2-x/(Ln2)2 + C

dx

10. ∫ xe4x dx 3

2

I = 2·( e x  1  arctg e x  1 ) + C

dx

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3x 2  7 x  4  2 x  3 dx x2 dx 17.  2 x x x 3  4 x 2  10 x  7 18.  dx x3  7x  6

I = x2 – 7x – 17/2·Ln(2x-3) + C

16.

2x  5

19.

20.

21.

 ( x  3)



3

2  3x 2

x

x

2

I = - 2 Lnx + 3 Ln(x + 1) + C I = x – 5Ln(x + 1) + 7Ln(x + 2) + 2Ln(x – 3) + C 2 1  C 2 I = x  3 2( x  3)

dx

dx

I=4 x

6 5 x C 5

x  1/ x  C I = Ln 1  x

1 dx  x3

 3  5x    2  dx 22. 3

x4 dx  2x  5

23.

x

24.

 3 x

25.

x

3

26.

x

3

2

1

27.

x

2

I=

2

Ln( x 2  2 x  5) 

3 2

arctg

x 1 2

C

dx

x dx  2x  x 2  2

I=

4x  4 dx  x 2  4x  4

8 1  Ln( x  1)  3Ln( x  2)  Ln( x  2)  C 3 I= 3

x 2 dx  9 x 2  27 x  27

1 1 2 x Ln( x  1)  Ln( x 2  2)  arctg C 3 6 3 2

Ln( x  3) 

2

3

1

I=

6 11 1  · C x  3 2 ( x  3) 2

98