´ TEMA 11 F. MATEMATICOS.

TEMA 11 Autovalores y autovectores. Diagonalizaci´ on y formas can´ onicas. 1.

Introducci´ on.

Definici´ on 1 (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Decimos que A es semejante a B si existe una matriz cuadrada P invertible tal que A = P −1 BP . Propiedades de las matrices semejantes 1.

Si A es semejante a B, entonces |A| = |B|.

2.

Si A es semejante a B, Ak es semejante a B k .

3.

Si A es semejante a B y p(t) es un polinomio con coeficientes en R, entonces p(A) es semejante a p(B).

4.

Si A es semejante a B y A es regular, entonces B es regular y A−1 es semejante a B −1 .

2.

Autovalores y Autovectores

Definici´ on 2 Dada una matriz cuadrada A, decimos que λ ∈ K es un autovalor o valor propio de A si ∃ X ∈ Kn , X 6= Θ / AX = λX. Al vector X se le llama autovector o vector propio asociado al autovalor λ. Definici´ on 3 Se llama espectro de A, y se designa σ(A) , al conjunto de todos los autovalores de la matriz A σ(A) ≡ {λ ∈ K /λ es autovalor de A} Definici´ on 4 (Subespacio propio) Al conjunto de todos los autovectores asociados a un autovalor λ junto con el vector ~0 se le suele notar Aλ y se le llama subespacio propio asociado al autovalor λ. Aλ = {X / AX = λX} ∪ {~0}

2.1.

Propiedades de los autovalores.

1.- Dos autovalores distintos no tiene autovectores comunes. ¾ λ1 , λ2 ∈ σ(A) ⇒ Aλ1 ∩ Aλ2 = {~0} λ1 6= λ2 Es equivalente a decir: “Un autovector X admite s´olo un autovalor”. El rec´ıproco, en general, no es cierto. 2.- A y At tienen los mismos autovalores. 3.- Si λ es autovalor de A, kλ es un autovalor de kA. 4.- Si λ es un autovalor de A, λ − k es un autovalor de A − kI. ´ I.T.I. MECANICA Curso 2006/07

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5.- Si λ es un autovalor de A, y A es regular (| A | 6= 0),

1 es autovalor de A−1 . λ

6.- Autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes. 7.- Si λ es autovalor de A, ⇒ λk es autovalor de Ak .

3.

Polinomio caracter´ıstico λ ∈ K es un autovalor o valor propio de A si ∃ X ∈ Kn , X 6= Θ / AX = λX. En este caso AX − λX = Θ = (A − λI)X = Θ

Esta u ´ltima relaci´on representa un sistema homog´eneo. Recordemos que para que un sistema homog´eneo admita soluci´on distinta de la trivial, debe ocurrir que el determinante de la matriz del sistema sea cero, es decir | A − λI |= 0 Para obtener pues, los autovalores de A, bastar´a resolver caracter´ıstica de A. ¯ ¯ a11 − λ a12 ¯ ¯ a21 a −λ 22 ¯ | A − λI |= ¯ .. .. ¯ . . ¯ ¯ an1 an2

la ecuaci´on | A − λI |= 0 , llamada ecuaci´ on ¯ ¯ ··· a1n ¯ ¯ ··· a2n ¯ ¯=0 .. .. ¯ . . ¯ · · · ann − λ ¯

que desarrollando se obtiene el polinomio en λ P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0 llamado polinomio caracter´ıstico de A. Los autovalores de A son, pues, los ceros de su polinomio caracter´ıstico. Definici´ on 5 (Multiplicidad algebraica) Si λ0 es una ra´ız de multiplicidad α de la ecuaci´ on caracter´ıstica de A, se dir´ a que λ0 es un autovalor de orden α de A. A α se le llama multiplicidad algebraica de λ y se suele notar ma (λ). Se observa f´acilmente que: a0 = (−1)n

a1 = (−1)n−1 traza(A)

an = |A|

Teniendo en cuenta las relaciones existentes entre los coeficientes de una ecuaci´on y sus soluciones, se observa que si λ1 , λ2 , · · · , λn son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico (no necesariamente autovalores de A, pues pudiera darse el caso de que λi ∈ / K). λ1 + λ2 + · · · + λn = traza(A)

λ1 λ2 · · · λn = |A|

Una vez resuelta la ecuaci´on caracter´ıstica y obtenidos por tanto, los autovalores de A, para calcular los autovectores habr´a que resolver el sistema (A − λi I)X = Θ para obtener los autovectores correspondientes. Nota.- De la igualdad λ1 λ2 · · · λn =| A | , se deduce que si A es una matriz regular, no puede tener ning´ un autovalor nulo. Proposici´ on 6 Si B y A son semejantes, tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y, por lo tanto, los mismos autovalores. ´ I.T.I. MECANICA Curso 2006/07

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C´ alculo del polinomio caracter´ıstico de una matriz mediante sus menores diagonales Anteriormente, al estudiar el polinomio caracter´ıstico |A − λI| de una matriz, s´olo obtuvimos tres de sus coeficientes. Intentamos ahora calcular esos coeficientes que restan sin necesidad de desarrollar |A − λI|. Definici´ on 7 (Menor diagonal) Se llama menor diagonal de orden p de una matriz a los menores de las submatrices de orden p que est´ an situadas sim´etricamente respecto de la diagonal; esto es, aquellas que se obtienen tomando los ´ındices de sus filas iguales a los de sus columnas. Teorema 1 Se verifica |A − λI| = (−1)n λn + (−1)n−1 Traza(A)λn−1 + an−2 λn−2 + · · · + a2 λ2 + a1 λ + |A| · µ ¶ ¸ n h donde ah = (−1) suma de los menores de orden n − h de A . h

4.

Subespacios invariantes

Proposici´ on 8 El subespacio propio asociado a un autovalor λ (Aλ ) de una matriz es un subespacio vectorial invariante. Definici´ on 9 (Multiplicidad geom´ etrica) Se llama multiplicidad geom´ etrica de λ al n´ umero de autovectores linealmente independientes asociados o, lo que es lo mismo, a dim(Aλ ). Se suele notar mg (λ). Proposici´ on 10 Sea A ∈ Mn y λ ∈ σ(A). La dimensi´ on del subespacio vectorial propio Aλ viene dado por dim(Aλ ) = dim(N(A − λI)) = n − rango(A − λI) Proposici´ on 11 Sea A ∈ Mn y λ ∈ σ(A). Si ma (λ) = r entonces la multiplicidad geom´etrica de λ verifica 1 ≤ ma (λ) ≤ r

5.

Teorema de Cayley-Hamilton

Teorema 2 (Teorema de Cayley-Hamilton) Toda matriz cuadrada A sobre un cuerpo K es ra´ız de su polinomio caracter´ıstico. Es decir, si p(λ) = a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an es el polinomio caracter´ıstico y Θn es la matriz nula de orden n , entonces p(A) = a0 An + a1 An−1 + · · · + an I = Θn

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5.1.

5.1

Aplicaci´on al c´alculo de A−1

Aplicaci´ on al c´ alculo de A−1

Sea A una matriz invertible (es decir, | A | 6= 0 ) Teniendo en cuenta que a0 An + a1 An−1 + · · · + an I = Θn , se obtiene a0 An + a1 An−1 + · · · + an−1 A = −an I Al ser an =| A | 6= 0, I=−

an−1 a0 n a1 n−1 a2 n−2 A − A − A − ··· − A an an an an

Multiplicando por A−1 A−1 = −

6.

a0 n−1 a1 n−2 a2 n−3 an−1 A − A − A − ··· − I an an an an

Matrices diagonalizables.

Definici´ on 12 (Matriz diagonalizable) Sea A ∈ Mn (K). Diremos que A es diagonalizable sobre K si es semejante a una matriz diagonal. Dada una matriz A ∈ Kn , queremos ver si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si ∃P ∈ Mn tal que P −1 AP = D. Supongamos 



  P =  X1 

    

X2

...

Xn

   D = D{d1 , . . . , dn } =  



d1

   

d2 ..

. dn

Si σ(A) = {λ1 , λ2 , . . . , λn } y existe una base de Aλ formada por autovectores B = {~x1 , ~x2 , . . . , ~xn }, entonces se verifica que P −1 AP = D{λ1 , . . . , λn }. Rec´ıprocamente, si A es diagonalizable, entonces ∃P ∈ Mn tal que P −1 AP = D y, por lo tanto, B = {~x1 , ~x2 , . . . , ~xn }, donde las coordenadas de cada vector x~i vienen dadas por las componentes de la columna i de la matriz A, es una base formada por autovectores. As´ı pues, es bastante importante obtener la mencionada base formada por autovectores. ¿Es siempre posible encontrar dicha base? En general, la respuesta es NO. Teorema 3 La condici´ on necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable sobre el cuerpo K es: a) que el polinomio caracter´ıstico se pueda factorizar en K b) que la multiplicidad de cada autovalor λ sea igual a la dimensi´ on del subespacio propio asociado Aλ , es decir, que las multiplicidades algebraica y geom´etrica coincidan ma (λ) = mg (λ).

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7.

Forma can´ onica de Jordan.

Hasta ahora hemos visto cu´ando una matriz es diagonalizable. Hemos dado condiciones en las cuales una matriz cuadrada A era semejante a una matriz diagonal. Ahora bien, ese resultado no es siempre posible (basta encontrar autovalores m´ ultiples cuya multiplicidad algebraica no coincida con su multiplicidad geom´etrica, o bien que el polinomio caracter´ıstico no se pueda factorizar en el cuerpo en que estemos trabajando). Ejemplo.- La matriz cuadrada de orden n  λ 1  0 λ   0   (n) Jλ =     

: 

0 1 λ .. .

0 1 .. . 0

0 .. . λ 0

..

. 1 λ 0

       0   1  λ

no es diagonalizable (estas matrices se conocen con el nombre de bloques de Jordan). El problema es que aunque λ tiene multiplicidad algebraica igual a n, no da lugar a n autovectores independientes sino a uno s´olo. Finalizaremos con el resultado m´as conocido para matrices no diagonalizables: el teorema de Jordan. Este teorema prueba que cualquier matriz cuadrada es semejante a una matriz formada por bloques de Jordan. Teorema 4 Sea A una matriz cuadrada. Entonces existen r autovalores λ1 , λ2 , . . . , λr (que pueden ser iguales) y r n´ umeros naturales m1 , m2 , . . . , mr tales que A es semejante a la matriz diagonal por bloques:  (m1 )  Jλ1   (m ) Jλ2 2     J = ..  .   (mr ) Jλr Esta matriz recibe el nombre de forma can´ onica de Jordan de la matriz A. En ella un mismo autovalor λ aparece en tantos bloques como indica mg (λ) y el n´ umero de veces que aparece en la diagonal de J es ma (λ). Si P es la matriz que reduce A a su forma de Jordan, entonces sus m1 primeras columnas satisfacen: Ax1 = λ1 x1 , Axi = λ1 xi + xi−1

i.e., x1 es un autovector correspondiente a λ1 i = 2, · · · , m1

Los vectores xi (i = 2, . . . , m1 ) se llaman autovectores generalizados de A, y la sucesi´on x1 , · · · , xm1 se dice que es una cadena de Jordan correspondiente a λ1 . Naturalmente, cada bloque tiene su cadena correspondiente. En el caso de que haya autovalores complejos (simples o m´ ultiples), la forma can´ onica real de Jordan de la matriz A adopta la forma

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´ TEMA 11 F. MATEMATICOS.     P −1 AP = B =   

D

I2 D



   ..  .  D I2  D · ¸ · ¸ a b 1 0 siendo D = e I2 = para λ = a ± ib , pues si λ es un autovalor, −b a 0 1 ¯ y con la misma multiplicidad. tambi´en lo es su conjugado λ I2 .. .

Para clarificar los conceptos veamos un ejemplo: Sea A una matriz cuadrada de orden 9 con λ1 autovalor real simple siendo ~x1 su correspondiente autovector, λ2 autovalor real doble siendo ~x2 su autovector y ~x3 su autovector generalizado, λ3 = a + ib autovalor complejo simple y ~x4 = ~u1 +i~v1 su correspondiente autovector y por u ´ltimo λ4 = c+id autovalor complejo doble con ~x5 = ~u2 + i~v2 como autovector y ~x6 = ~u3 + i~v3 como autovector generalizado: A~x1 = λ1 ~x1 A~x2 = λ2 ~x2 A~x3 = λ2 ~x3 + ~x2

½

A~u1 = a~u1 − b~v1 ½ A~v1 = b~u1 + a~u1 A~u2 = c~u2 − d~v2 A~x5 = λ4 ~x5 ⇐⇒ A(~u2 + i~v2 ) = (c + id)(~u2 + i~v2 ) ⇐⇒ A~v2 = d~u2 + c~u½2

A~x4 = λ3 ~x4 ⇐⇒ A(~u1 + i~v1 ) = (a + ib)(~u1 + i~v1 ) ⇐⇒

A~x6 = λ4 ~x4 + ~x5 ⇐⇒ A(~u3 + i~v3 ) = (c + id)(~u3 + i~v3 ) + (~u2 + i~v2 ) ⇐⇒  .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .  . ~ x ~ x ~ x ~ u ~ v ~ u ~ v ~ u En definitiva, AP=PB siendo P =  1 2 3 1 1 2 2 3  .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .        B=      

8.

λ1

A~u3 = c~u3 − d~v3 + ~u2 A~v3 = d~u3 + c~u3 + ~v2  .. .  ~v3  y .. . 

·

λ2

1 λ2

¸ ·

a b −b a

¸  ·   

c d −d c

¸

·

¸  1 0  · 0 1 ¸   c d −d c

            

M´ etodo de Caros para el c´ alculo de J

1o¯ Se calculan los autovalores de A λ1 , λ2 , · · · , λk m1 , m2 , · · · , mk

con sus multiplicidades correspondientes

2o¯ Para cada autovalor λ de multiplicidad m se calculan los rangos de las matrices (A − λI)p (a lo sumo habr´ıa que calcular la potencia (A − λI)m rg(A − λI) = r1 → x1 = n − r1 rg(A − λI)2 = r2 → x2 = r1 − r2 .. .

si x1 < m, si x1 + x2 < m, .. .

rg(A − λI)p = rp → xp = rp−1 − rp ´ I.T.I. MECANICA Curso 2006/07

si x1 + x2 + · · · + xp = m, 6

seguimos seguimos .. . FIN

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x1 + x2 + · · · + xp = multiplicidad de λ 3o¯ Al valor propio λ le corresponden: x1 − x2 x2 − x3 .. . xp−1 − xp xp

9.

bloques de Jordan bloques de Jordan .. . bloques de Jordan bloques de Jordan

de orden de orden de orden de orden

1 2 .. . p − 1 p

C´ alculo de P Una vez calculada la matriz J por el m´etodo de CAROS, procedemos a calcular la matriz P . Para ello, llamemos

Nk,λ = N(A − λI)k . Tomemos un vector ~vi ∈ Ni,λ \ Ni−1,λ

o lo que es lo mismo, un vector para el cual, seg´ un el m´etodo de CAROS, exista un bloque de Jordan de orden i. Una vez obtenido v~i , calculamos: ~vi−1 = (A − λI)~vi ~vi−2 = (A − λI)~vi−1 ······ ~v2 = (A − λI)~v3 ~v1 = (A − λI)~v2 y el vector ~v1 resulta ser un autovector de A (o una combinaci´on lineal de ellos) y los vectores {~vj } j = 2, · · · , i son sus autovectores generalizados. Esta operaci´on se repite para cada bloque de Jordan que nos indique el m´etodo de CAROS, obteniendo as´ı m autovectores (propios o generalizados) asociados al autovalor λ . Repitiendo el proceso para cada λ llegamos a obtener la matriz P .

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Ejercicios 1.

Calcular los  1 A =  −1 0

2.

Diagonalizar  1 0 A= 0 1 0 0

3.

Determinar la matriz A = (1ad2be3cf de manera que admita por autovectores a los vectores (1,0,1), (-1,1,0) y (0,1,-1).   a 1 p 2 q . Sea la matriz A =  b c −1 r Sabiendo que admite como autovectores (1, 1, 0), (−1, 0, 2), (0, 1, −1), hallar los autovalores y los elementos de la matriz.   1 0 2 Sea A =  −1 2 1 . Expresar A−1 en funci´on de I3 y de A. 1 1 2   1 0 1 2 . Dada la matriz A =  a −2 3 0 −1

4.

5.

6.

autovalores y subespacios invariantes asociados a las matrices:    2 0 5 0 −4 3 1  0  B= 0 3 1 1 2 0 −1 las siguientes matrices, calculando la matriz de paso    −7 −5 −5 −2 2 −4  −4  B =  −5 −5 −4 2 −1

a) Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable. b) Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A−1 .

7.

c) Para dichos valores de a, calcular An .   3 0 a Dada la matriz A =  3 −1 b  −2 0 c a) Calcular A de forma que (2, 0, −1) sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es λ = −1. b) Hallar los dem´as autovalores y autovectores.

8.

Estudiar para qu´e valores de los par´ametros a y b, la matriz   5 0 0 A =  0 −1 b  es diagonalizable. Calculando: 3 0 a a) Forma can´onica de Jordan y matriz de paso para los valores a = −1 y b = 1. b) Forma can´onica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en este caso A129 .

9.

10.

a) Determinar una matriz A cuadrada de orden tres, sabiendo que tiene por autovalores λ = −1 (doble) y λ = 0 y siendo los autovectores para λ = −1 el (1, −2, 1) y su vector asociado es (0,1,0) y el autovector asociado a λ = 0 es (1,-2,0). b) Dada la matriz A = (111011000 , obtener la forma can´onica de Jordan y su matriz de paso.   0 c a Sabiendo que la matriz A =  1 0 b  es diagonalizable, tiene un autovector de la forma 1 1 0 (d, 0, −1) con d > 0, y el autovalor correspondiente a (d, 0, −1) es doble, calcular a, b y c.

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11.

Estudiar, seg´ un los  11 0 −9  b A=  9 a 12 0 b

diferentes valores de a y b, la diagonabilidad de la matriz   . 

Obtener la forma de Jordan y la matriz de paso para a = 2 y b = 3. 12.

Dada la matriz



2α + 4 1 − α 0 4−α A= 0 0

 −2α 0  4

(a) Estudiar para qu´e valores de α es diagonalizable. (b) Calcular la forma can´onica de Jordan y la matriz de paso para α = 0. 13.

Hallar la forma can´onica de Jordan de la matriz, calculando la matriz de paso, de las matrices:     2 0 2 0 2 0 1 0  1 2 0 −2   3 2 0 1    A= B=  0 0 2   0 0 2 0  0 0 0 1 2 0 0 3 2

14.

1 Resolver la ecuaci´on en diferencias Zn = Zn−1 − Zn−2 con valores iniciales Z1 = 2 y Z2 = 1 2

15.

Resolver la ecuaci´on en diferencias dada por xn = 3xn−1 + 4xn−2 , con x1 = 1 y x2 = 4.

16.

Obtener la expresi´on general de la sucesi´on {Xn } dada por la ecuaci´on en diferencias Xn = 2n−1 + 3Xn−2 , X1 = 1, X2 = 2.

17.

Resolver la ecuaci´on en diferencias Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 , D1 = 5, D2 = 19.

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