TEMA 12 (Oposiciones de Matemáticas) ESPACIOS VECTORIALES.

1. Espacios Vectoriales. 2. Subespacios Vectoriales. 2.1. Intersección de Subespacios. 2.2. Unión de Subespacios. 2.3. Suma de Subespacios. 2.4. Suma Directa de Subespacios. 3. Aplicaciones Lineales. Espacio Cociente. 4. Teoremas de Isomorfía. 5. Bases de un Espacio Vectorial. 5.1. Combinaciones Lineales. 5.2. Dependencia e Independencia Lineal. 5.3. Bases y Dimensión. 5.4. Bases y Aplicaciones lineales. 5.5. Dimensión de Subespacios y Espacios Cociente. 6. Subespacios Vectoriales Complementarios.

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TEMA 12 ESPACIOS VECTORIALES. A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo, (K, +, ·). 1. ESPACIOS VECTORIALES. DEF Llamamos K-espacio vectorial a la terna formada por un conjunto V, una ley de composición interna +, y una ley de composición externa · : KxE → E, verificando las propiedades: 1) (V, +) es un grupo conmutativo. 2) La ley de composición externa satisface las propiedades r r a) Pseudoasociativa: λ·(µ· v ) = (λ·µ)· v r r r r b) Distributiva: λ·( v + w ) = λ v + λw r r r (λ + µ) v = λv + µv r r c) Elemento Unidad: 1· u = u ∀λ, µ∈K

y

r r ∀v , w ∈ V

Lo denotaremos por (V, +, ·K). r rLos r elementos de V reciben el nombre de vectores y se suelen denotar con las letras u , v , w . Los elementos de K reciben el nombre de escalares y se representan mediante letras griegas. La operación externa se llama producto por escalares. r Denotaremos el neutro de (V, +) por O y el neutro de (K, +) por O. PROP Si V es un K-espacio vectorial se satisfacen las siguientes propiedades; ∀λ, r r µ∈K y ∀u , v ∈ V . r r r 1) O ⋅ u = λ ⋅ O = O 2)

(− λ) ⋅ ur = λ ⋅ (− ur ) = −λur

r r r r 3) λ(u − v ) = λu − λv 4)

(λ − µ)ur = λur − µur

r r 5) λu = O ⇒ λ = O ó

r r u =O

Dem.

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r r r r r r 1) O ⋅ u = (O + O)u = Ou + Ou ⇒ Ou = O r λ ⋅ O = λ(O + O) = λO + λO ⇒ λO = O 2)

r

(− λ)ur + λur = (− λ + λ)ur = Our = O ⇒ (− λ)ur = −λur r r r r r r r λ(− u ) + λu = λ(− u + u ) = λ ⋅ O = O ⇒ λ(− u ) = −λu

r r r r r r r r 3) λ(u − v ) = λ(u + (− v )) = λu + λ(− v ) = λu − λv 4)

(λ − µ)ur = (λ + (− µ))ur = λur + (− µ)ur = λur − µur

r r 5) Si λu = O y λ ≠ O ⇒ ∃λ−1 ∈ K por ser K un cuerpo r r r r r r r λ−1 ⋅ (λu ) = λ−1 ⋅ O ⇒ (λ−1 ⋅ λ)u = O ⇒ 1 ⋅ u = O ⇒ u = O Ejemplos: 1) Sea el conjunto Kn = Kx …… xK. Definimos una operación interna y otra externa con cuerpo de operadores K, como sigue: +: Kn x Kn → Kn

(u1 , u2 , …, un ) + (v1 , v2 , …, vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , …., un + vn )

·: K x Kn → Kn

λ·(u1 , u2 , …un ) = (λu1 , λu2 , ….λun )

Es inmediato comprobar que (K n , +, ·) es un K-espacio vectorial. 2) Sea V un K-espacio vectorial y A un conjunto. Definimos VA = {f: A → E/f es aplicación} Si definimos la operación interna +: VA x VA → VA

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

∀x∈A

y la operación externa ·: K x VA → VA

(λf) (x) = λ·f(x)

∀x∈A

entonces (VA, +, ·) es un K-espacio vectorial. 3) (", +, ·) puede ser un 3-espacio vectorial y también un Q-espacio vectorial, col las operaciones suma y producto habituales. PROP Sea V un K-espacio vectorial. Entonces verifica las leyes de simplificación, que son: 3/27

r r r 1) ∀u , v , w ∈ V

r r r r r r u+v = u+w⇒v = w

r r r 2) ∀α, β ∈ K y ∀u ∈ V no nulo αu = βu ⇒ α = β r r 3) ∀α ∈ K no nulo ∀u , v ∈ K

r r r r αu = αv ⇒ u = v

Dem. r r r r r 1) u + v = u + w ⇒ Como (V, +) es grupo Conmutativo ∃(− u ) ∈ V

(− ur) + (ur + vr ) = (− ur ) + (ur + wr ) ⇒ (− ur + ur ) + vr = (− ur + ur ) + wr ⇒ r r r r r r ⇒O+v = O+w⇒v = w r r r r r r r r r r 2) αu = βu ⇒ αu + (− βu ) = βu + (− βu ) ⇒ αu − βu = βu − βu ⇒ r r r ⇒ (α − β )u = O y como u es un no nulo ⇒ α - β = O ⇒α = β r r 3) αu = αv ⇒ como K es cuerpo y α es no nulo ∃α−1 ∈ K tal que

(

) (

)

r r r r r r r r α−1 (αu ) = α−1 (αv ) ⇒ α−1α u = α−1α v ⇒ 1u = 1v ⇒ u = v 2. SUBESPACIOS VECTORIALES. DEF Sea V un K-espacio vectorial y WCV subconjunto no vacío. Diremos que W es un Subespacio Vectorial de V si satisface: 1) (W, +) es subgrupo de (V, +) r r 2) ∀λ ∈ K y ∀u ∈ W ⇒ λu ∈ W Es claro que (W, +, ·) es un K-espacio vectorial con la suma de V y el producto porescalares restringidos a W.

{}

r Todo K-espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales, el O y el propio V. Ejemplo.

(3, +, ·) es un subespacio vectorial de (", +, ·), siendo el cuerpo de operadores, por ejemplo, Q ó 3. PROP Sea V un K-espacio vectorial, W⊂V con W ≠ Ø. Son equivalentes: 1) W es un subespacio vectorial de V. r r 2) ∀u , v ∈ W

y ∀λ ∈ K

r r u + v ∈W

r y λ ⋅ u ∈W

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r r 3) ∀u , v ∈ W

r r λu + µv ∈ W

y ∀λ, µ∈ K

Dem. 1) ⇒ 2) Como W es un subespacio, las operaciones de suma y producto por un escalar son cerradas. Luego trivialmente se verifica 2). 2) ⇒ 3) r r r r ∀u , v ∈ W y ∀λ, µ ∈ K , por hipótesis λu ∈ W y µv ∈ W y de nuevo aplicando r r 2) λu + µv ∈ W 3) ⇒ 4) Para ver que W es un subespacio. (w, +) es subgrupo r r ∀u , v ∈ W si tomamos λ = 1 y µ = -1 ⇒ u − v ∈ W Para comprobar que la operación externa es cerrada r ∀u , v ∈ W tomamos µ = O ⇒ λu ∈ W ∀λ ∈ K 2.1. Intersección de Subespacios. DEF Sea V un K-espacio vectorial y {W i ≠ i: 1,…, n} una familia de subespacios de V. Definimos la intersección de subespacios como: n r r W = ∩ Wi = {u ∈ v / u ∈ Wi ∀i : 1,...., n} i =1

PROP Sea V un K-espacio vectorial y {W i ≠ i:1,…., n} una familia de subespacios de n

V. Entonces, la intersección, W = ∩ Wi , de subespacios es un subespacio vectorial V. i =1

Dem. r r W ≠ Ø ya que O ∈ Wi ∀ i por ser un subespacio ⇒ O ∈ W . r r r r r r r r Sea u , v ∈ W ⇒ u , v ∈ Wi ∀ i ⇒ λu + µv ∈ Wi ∀λ, µ ∈ K ∀ i ⇒ λu + µv ∈ W W es un subespacio. DEF Sea V un K-espacio vectorial y A⊂V un subconjunto no vacío. Llamamos Subespacio Engendrado por A al menor de los subespacios vectoriales que contienen a A. Se denota por [A]. Es claro que el conjunto [A] es un subespacio de V que contiene al conjunto A, y si existe otro subespacio W de V que también contiene a A, entonces [A]⊂W. PROP Sea V un K-espacio vectorial y A un subconjunto no vacío de V. Sean {Wi/Wi es subespacio y A⊂Wi ∀i∈I. Entonces [A] = ∩ Wi i∈ I

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Dem. Inmediata DEF Sea W un subespacio vectorial de V, K-espacio vectorial, y A⊂V tal que [A] = W. Diremos que el conjunto A engendra W o es un Sistema de Generadores de W. 2.2. Unión de Subespacios. DEF Sea V un K-espacio vectorial y {W i /i∈I} una familia de subespacios de V. Definimos la unión de subespacios como: r r ∪ Wi = {u ∈ V / ∃i ∈ I , u ∈ Wi } No podemos afirmar que la unión de subespacios sea un nuevo subespacio. Ejemplo. Sea V = 32 y U, W subespacios de V con U = 3x{o} y W = {o}x3. Entonces (u, o) ∈U y (o, w)∈W. En cambio (u, o) + (o, w) = (u, w) ∉U∪W. 2.3. Suma de Subespacios. DEF Sea V un K-espacio vectorial y {W i /i:1,…., n} una familia de subespacios de V. Definimos la suma de subespacios como: r r r ∑ W = {u ∈ V / u = ∑ u n

i

i

i =1

con ui ∈ Wi ∀ i : 1,...., n}

PROP Sea V un K-espacio vectorial y {W i /i:1,…, n} una familia de subespacios de V. n

Entonces la suma de subespacios W = ∑ Wi es un subespacio de V. i =1

Dem. Vamos a realizar la demostración por inducción en el número de subespacios, n. Para

n=2

W = W1 + W2

r r r r r 1) Como O ∈ W1 y O ∈ W2 ⇒ O = O + O ∈ W ⇒ W ≠ Ø 2) W1 ⊂ V y W2 ⊂ V ⇒ W1 + W2 ⊂ V ⇒ W ⊂ V r r r r r r r r r r 3) Sea u , v ∈ W ⇒ u = u1 + u 2 y v = v1 + v 2 con u1 , v1 ∈ W1 y u2 , v 2 ∈ W2 ⇒

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⇒ u1 + v1 ∈ W1 y u2 + v2 ∈ W2 ⇒ u + v = (u1 + u 2 ) + (v1 + v2 ) = = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) ∈ W1 + W2 ⇒ u + v ∈ W 4) Sea λ∈K y u∈W ⇒ u = u1 + u2 con u1 ∈W1 y u2 ∈W2 ⇒ ⇒ λu1 ∈W1 y λu2 ∈W2 ⇒ λu = λ(u1 + u2 ) = λu1 + λu2 ∈W1 + W2 ⇒ ⇒ λu∈W Por tanto W es un subespacio. n −1

Para n – 1, por hipótesis de Inducción, W = ∑ Wi es subespacio vectorial i =1

Para n n

n −1

i =1

i =1

W = ∑ Wi = ∑ Wi + Wn Ambos sumandos son subespacios vectoriales, y como la suma de dos subespacios es otro subespacio (caso n = 2) entonces W es subespacio vectorial de V. PROP Sea V un K-espacio vectorial y U, W subespacios vectoriales de V. Se verifica que U + W = [U∪W] Dem. “⊂”

r r r r r Sea v ∈U + W ⇒ v = u + w con u ∈ U

y

r w ∈W ⇒

r r r r r ⇒ u ∈ U ∪ W y w ∈ U ∪ W ⇒ u + w[U ∪ W ] ⇒ v ∈ [U ∪ W ] “⊃”

r r r r r Sea v = [U ∪ W ] ⇒ ∃u ∈ U y ∃w ∈ W / v = λu + µw ∈ [U ∪ W ] ⇒

r r r r r ⇒ λu ∈ U y µv ∈ W → λu + µv ∈ U + W ⇒ v ∈ U + W 2.4. Suma Directa de Subespacios. DEF Sea V un K-espacio vectorial y W1 , W2 dos subespacios de V. Diremos que el subespacio W es suma directa de W1 y W2 , y lo representaremos por W = W1 ⊕W2 , si se verifica: 1) W = W1 + W2 r 2) W1 ∩W2 = {o } PROP Sea V un K-espacio vectorial y W, W1 , W2 subespacios de V. r r r r r r W = W1 ⊕W2 ⇔ ∀w ∈ W ∃• w1 ∈ W1 y ∃• w2 ∈ W2 / w = w1 + w2 Dem.

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“⇒”

Como W = W1 ⊕W2 , entonces en particular W = W1 + W2 .

r r r r r r Sea w∈ W ⇒ w = w1 + w2 con w1 ∈ W1 y w2 ∈ W Para ver que esa expresión es única, vamos a suponer que existe otra: r r r r w = w1 ´+ w2 ´ con w1´∈ W1 y w2 ´∈ W2

Sea

r r r r r r r r Entonces w1 + w2 = w1 ´+ w2 ´⇒ w1 − w1 ´= w2 − w2 ´ r r Como w1 − w1 ´∈ W1

r r r r y w2 − w2 ´∈ W2 y ambos son iguales ⇒ w1 − w1 ´∈ W1 ∩ W2 y

r r w2 − w2 ´∈ W1 ∩ W2 r r r r r Pero como la suma es directa se da que W1 ∩ W2 = {o} ⇒ w1 − w1 ´= 0 y w2 − w2 ´= 0 r r r r ⇒ w1 = w1 ´ y w2 = w2 ´ Por tanto la expresión es única. “⇐” r 1) Como ∀w ∈ W

r r r r r w = w1 + w2 con w1 ∈ W y w2 ∈ W2 ⇒ W = W1 + W2

r r r r r  Como w ∈ W1 ⇒ w = w1 + o 2) Sea w ∈ W1 ∩ W2  r r r r Como w ∈ W2 ⇒ w = o + w2 r r r r r Y al ser la expresión única w1 = o, w2 = o ⇒ w = o

r ⇒ W1 ∩ W2 = {o}

Lo visto de suma directa de dos subespacios se puede generalizar fácilmente a un conjunto de ∩ subespacios. DEF Sea V un K-espacio vectorial y {W i /i:1,….,n} una familia de subespacios de V. Diremos que el subespacio W es suma directa de los subespacios {W i / i:1,…..,n}, y se n

representa por

W = ⊕ Wi si se verifica i =1

n

1) W = ∑ Wi i =1

 n    r 2) Wi ∩  ∑ W j  = {o }  jj =1   ≠i  PROP Sea V un K-espacio vectorial y W, {W i /i:1,…., n} subespacios de V.

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n n r r r r W = ⊕ Wi ⇔ ∀w ∈ W ∃• wi ∈ Wi ∀ i : 1,..., n / w = ∑ wi i =1

i =1

Dem. Análoga a la anterior COROLARIO

Sea V un K-espacio vectorial y {W i / i:1,…., n}, W subespacios de n r r r r r V. W = ⊕ Wi ⇔ Si ∑ wi = o con wi ∈ Wi ∀ i implica wi = o ∀ i n

i =1

i =1

Dem. r r r r Solo hemos de tener en cuenta que o = o + o + ....... + o . 3. APLICACIONES LINEALES. ESPACIO COCIENTE. DEF Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales. Diremos que la aplicación f: V1 → V2 es un homomorfismo de espacios vectoriales (o simplemente lineal) si: r r r r r r 1) f (u + v ) = f (u ) + f (v ) ∀ u , v ∈ V1 r r 2) f (λu ) = λf (u )

∀λ ∈ K

r ∀ u ∈ V1

OBS La condición 1) nos indica que f es un hormomorfismo de grupos entre (V1 , +) y (V2 , +). PROP Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 una aplicación lineal. Si {vri / i :1,....., n} son vectores de V1 y {λ1 / i :1,....., n} escalares se verifica  n r n r f  ∑ λi vi  = ∑ λi f (vi )  i =1  i =1 Dem. Inmediata. PROP Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 una aplicación lineal. Se satisfacen las siguientes propiedades. r r 1) f (o ) = o r r r 2) f (− v ) = − f (v ) ∀v ∈ V1 r r r r r r 3) f (v − w) = f (v ) − f (w) ∀v , w ∈ V1 Dem.

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r 1) ∀v ∈ V1

r r r r r r r f (v ) = f (o + v ) = f (o ) + f (v ) ⇒ f (o ) = o

r 2) ∀v ∈ V1

r r r r r r r f (o ) = f (v + (− v )) = f (v ) + f (− v ) ⇒ f (v ) + f (− v ) = o

por 1)

r r ⇒ f (− v ) = − f (v ) r 3) ∀v, w ∈ V1

r r r r r r r r f (v − w) = f (v + (− w)) = f (v ) + f (− w) = f (v ) − f (w) .

PROP Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales. r r r r r r F: V1 → V2 es lineal ⇔ ∀v , w ∈ V1 y ∀λ, µ ∈ K f (λv + µw) = λf (v ) + µf (w) Dem. r r r r r r “⇒” f (λv + µw) = f (λv ) + f (µw) = λf (v ) + µf (w) “⇐” r r r r r r • Si λ = µ = 1 ⇒ f (1v + 1w) = 1 f (v ) + 1· f ( w) = f (v ) + f (w) r r r r r • Si µ = 0 ⇒ f (λv + ow) = λf (v ) + o· f ( w) = λf (v ) Luego f es lineal. PROP Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 una aplicación lineal. Se satisfacen: 1) Si W1 es un subespacio vectorial de V1 ⇒ f(W1 ) es un subespacio vectorial de V2 . 2) Si W2 es un subespacio vectorial de V2 ⇒ f-1(W2 ) es un subespacio vectorial de V1 . Dem. 1) Como f, en particular, es un homomorfismo de grupos, se verifica que f(W1 ) es un subgrupo de V2 . r r Sea λ∈K y f (v ) ∈ f(W1 ) con v ∈ W1 r r Entonces λ· f (v ) = f (λv ) ∈ f (W1 ) Luego f(W1 ) es un subespacio vectorial de V2 . 2) Igualmente, f-2 (W2 ) es un subgrupo de V1 .

(

)

r r Sea λ∈K y v ∈ f −1 (W2 ) ⇒ f (v ) ∈ f f −1 (W2 ) = W2 ⇒ r r r ⇒ λ· f (v ) = f (λv ) ∈ W2 ⇒ λv ∈ f − 1 (W2 ) 10/27

DEF Si f: V1 → V2 es una aplicación lineal entre K-espacios vectoriales, definimos el r r r núcleo del f, y se denota por Kerf, al conjunto de los v ∈ V1 tales que f (v ) = o . Y la Imagen de f, Imf, como el conjunto formado por las imágenes de f. r r r Kerf = {v ∈ V1 / f (v ) = o }

r r r Im f = {w ∈ V2 / ∃v V1 con f (v ) = w} = f (V1 )

COROLARIO Sea f: V1 → V2 una aplicación lineal entre K-espacios vectoriales. Los conjuntos Kerf e Imf son subespacios vectoriales. Dem. Kerf = f-1

({or}) y {or} es un subespacio de V2

Imf = f(V1 ) y V1 es un subespacio de V1 . PROP Si V1 , V2 y V3 son K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 , g: V2 → V3 aplicaciones lineales, la aplicación compuesta g o f : V1 → V3 es lineal. Dem. Inmediata. PROP Si V1 y V2 son K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 es una aplicación lineal biyectiva, la aplicación inversa f-1 : V2 → V1 es lineal. Dem. Sabemos que f-1 : V2 → V1 es un homomorfismo de grupos, luego solo hemos de probar el producto por un escalar. r Si w ∈ V2 Sea λ∈K DEF 1) 2) 3) 4) 5)

r ∃v ∈ V1

r r / f (v ) = w

r r r r r f −1 (λw) = f −1 (λ ⋅ f (v )) = f −1 ( f (λ ⋅ v )) = λ ⋅ v = λ ⋅ f −1 (w)

Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales y f: V1 → V2 aplicación lineal. f es monomorfismo si f es inyectiva. F es epimorfismo si f es suprayectiva. F es isomorfismo si f es biyectiva. F es endomorfismo si V1 = V2 F es automorfismo si es simultáneamente isomorfismo y endomorfismo.

PROP Sea V un K-espacio vectorial y N⊂V un subespacio vectorial. Existe entonces un K-espacio vectorial, W, y una aplicación lineal θ: V → W tal que Ker θ = N. Dem.

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θ.

Vamos a realizar la demostración en dos pasos; primero construiremos W y después 1) Construcción de W.

Por ser N subespacio vectorial de V ⇒ (N, +) es un subgrupo de (N, +) y como es conmutativa ⇒ N es un divisor normal de V. Vamos a considerar el conjunto cociente V/N, siendo sus elementos clases de equivalencias de V respecto de la relación R definida por r r ∀v , v ∈ V

r r r r v Rv´⇔ v − v´∈ N

La suma de clases estaría definida por

[vr ] + [vr´] = [vr + vr´] siendo (V/N, +) grupo conmutativo Definimos la operación externa ∀λ ∈ K

r r λ ⋅ [v ] = [λ ⋅ v ]

r r r r r r y esta bien definida ya que si [v ] = [v ´] ⇒ v − v´∈ N ⇒ λ ⋅ (v − v ´) ∈ N al ser subespacio r r r r ⇒ λv − λv´∈ N ⇒ [λv ] = [λv´] . La operación externa que acabamos de definir verifica las propiedades Pseudoasociativas, distributivas (de la suma respecto del producto por escalares y viceversa) y existencia de elemento unidad. Su demostración es inmediata y no la hacemos. Por tanto, el conjunto (V/N, +, • K) es un K-espacio vectorial. Tomaremos W = V/N. 2) Construcción de θ. r r r Definimos θ: V → V/N como θ(v ) = [v ] ∀v ∈ V . Así definida, θ es una aplicación lineal: r r r r r r r r r r θ(v + v´) = [v + v´] = [v ] + [v´] = θ (v ) + θ(v´) ∀v , v´∈ V r r r r θ(λv ) = [λv ] = λ[v ] = λ ⋅ θ(v ) ∀λ ∈ K

r ∀v ∈ V

Es claro que Kerθ = N r r r r r r r v ∈ Kerθ ⇔ θ(v ) = o ⇔ [v ] = [o ] ⇔ v − o ∈ N ⇔ v ∈ N DEF El espacio vectorial V/N recibe el nombre de Espacio Vectorial Cociente de V por N.

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DEF La aplicación θ:V → V/N recibe el nombre de Proyección Natural del espacio vectorial V sobre V/N. r OBS Si N = {o} ⇒ θ es inyectiva y V {r} ≅ V o 4. TEOREMAS DE ISOMORFÍA. Teorema: 1e r Teorema de Isomorfía. Sean V y W K-espacios vectoriales y f: V → W aplicación lineal. Entonces existe ~ ~ un único isomorfismo de espacios vectoriales f : V → Im ( f ) tal que f = f o θ , Kerf siendo θ:V → V/Kerf la proyección natural de V en V/Kerf. Brevemente escribimos V ≅ Im ( f ) . Kerf Dem. ~ Construyamos la aplicación f y comprobemos que es isomorfismo y única. ~ Definimos f : V

Kerf

~ r r → Im ( f ) con f ([v ]) = f (v ) ∀[v ] ∈ V

Kerf

~ • f esta bien definida. r r r r r r r r Si [v ] = [v ´] ⇒ v − v´∈ Kerf ⇒ f (v − v ´) = o ⇒ f (v ) − f (v´) = o ⇒ r r ~ r ~ r ⇒ f (v ) = f (v´) ⇒ f ([v ]) = f ([v´]) ~ • f es lineal. r r Sean λ, µ∈K y [v ], [v ] ∈ V

Kerf

~ r r ~ r r r r r r ~ r ~ r f (λ[v ] + µ[v´]) = f ([λv + µv ]) = f (λv + µv´) = λf (v ) + µf (v´) = λ ⋅ f ([v ]) + µf ([v ´]) ~ • f es suprayectiva. r r r r r Sea w ∈ Im ( f ) ⇒ ∃v ∈ V / w = f (v ) ⇒ ∃[v ]∈ V ~ Luego f : V

Kerf

Kerf

~ r r r tal que f ([v ]) = f (v ) = w

→ Im ( f ) es un isomorfismo, que además hace conmutativo el

diagrama ~ f = f oθ

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( ~f o θ)(vr) = ~f (θ(vr )) = ~f ([vr ]) = f (vr ) ~ • f es único. ~ Supongamos que ∃f ´: V

(

Kerf

~ → Im f / f = f o θ

)

(

)

~ r ~ r r ~ r ~ r Entonces f o θ (v ) = f ´([v ]) = f (v ) = f ([v ]) = f o θ (v ) ~ ~ Luego f ´= f OBS Sea V un K-espacio vectorial y U, W subespacios vectoriales de V con U⊂W. Podemos definir una aplicación ϕ: V/U → V/W de forma natural con r r r ϕ(v + U ) = v + W , v ∈ V . r r r r r r La definición es correcta pues si v + U = u´+U ⇒ v − v ´∈ U ⇒ v − v ´∈ W ⇒ r r r r ⇒ v + W = v ´+W ⇒ ϕ(v + U ) = ϕ(v´+U ) Además, ϕ es lineal y suprayectiva (epimorfismo) y su núcleo es W/U ya que r r r r r r r r Kerfϕ = {v + U / ϕ(v + U ) = o + W } = {v + U / v + W = o + W } = {v + U / v ∈ W } = W / U COROLARIO

2º Teorema de Isomorfía.

Sea V un K-espacio vectorial y U, W subespacios de V con U⊂W. Dada ~ VU V V V ϕ : U → W lineal, existe un único isomorfismo f : W → W tal que U V ~ ϕ = f o θ donde θ es la proyección natural de V/W en U W V

( )

( )

( )

( )

Dem. La demostración es inmediata aplicando el 1er teorema de isomorfia y teniendo en cuenta que Kerϕ = W/U. Teorema. 3e r Teorema de Isomorfía. Sea V un K-espacio vectorial y U, W subespacios de V. Entonces los espacios U +V y W U U ∩ W son isomorfos. Dem. r r Consideremos la proyección θ: V → V/U con θ(v ) = [v ],θ es lineal. Si lo restringimos a W obtenemos la aplicación lineal 14/27

r r r θ w : W → V U θ w(v ) = [v ] ∀ v ∈ W 1) Comprobemos que Im (θ w) = U + W U r r r r r r r r Si [v ]∈ Im (θ w) ⇔ [v ] = θ w ( w) = [w] con w ∈ W ⇔ v − w = u ∈ U ⇒ r r r r r r r ⇒ v = u + w con u ∈ U y w ∈ W ⇔ v ∈ U + W ⇔ [v ] ∈ U + W U 2) Comprobemos que Ker (θ w) = U ∩ W r v ∈W   r • Si v ∈ Ker (θ w) ⇒  r r r r r ⇒ θ w (v ) = [o ] ⇒ [v ] = [o ] ⇒ v − o ∈ U  r ⇒ v ∈ U ∩ W ⇒ Ker(θ w) ⊂ U ∩ W r r r r r r r • Si v ∈ U ∩ W ⇒ θ w (v ) = θ (v ) = [v ] y como v ∈ U ⇒ [v ] = [o ] ⇒ r ⇒ v ∈ Ker (θ w) ⇒ U ∩ W ⊂ Ker (θ w) Luego Ker (θ w) = U ∩ W Aplicando el 1er teorema de isomorfia a la aplicación θ w W que resulta ser: W U ∩ W ≅ U + W U Ker (θ w) ≅ Im (θ w)

obtenemos

5. BASES. DIMENSIÓN. 5.1. Combinaciones lineales. r r DEF Sea V un K-espacio vectorial y {vi / i : 1,...., n} vectores de V. Diremos que v ∈ V Es combinación lineal de los vectores {vi / i : 1,..., n} si existen {λi / i : 1,..., n} escalares r n r del cuerpo K, tales que v = ∑ λi ⋅ v i . Los λi reciben el nombre de coeficientes de la i =1

combinación Lineal. PROP El vector nulo es Combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. Dem. Sea

{v1 , v2 ,..., vn }

un conjunto del K-espacio vectorial V. Basta tomar los r n r coeficientes todos cero para que o = ∑ o ⋅ vi . i =1

15/27

PROP 1) Un vector cualquiera es combinación lineal de si mismo. 2) Un vector pertenece a un conjunto es Combinación lineal de dicho conjunto. Dem. r r r r 1) v = 1 ⋅ v ⇒ v es combinación lineal de {v } r r r 2) Sea {v1 , v2 ,..., vn } un conjunto. r i −1 vi = ∑ o ⋅ v j + 1 ⋅ vi + j =1

n

r

∑o ⋅v j =i +1

j

∀i : 1,..., n

r r r Luego vi es Combinación lineal de {v1 ,..., vn } r PROP Si un vector w es Combinación Lineal del conjunto r r vi es combinación lineal del conjunto {u1 ,..., um } , entonces {ur1...., urm }

{vr1 ,..., vrn }

y cada uno de los r w es combinación lineal de

Dem. n m r r r r Sabemos que w = ∑ λi vi y cada vi = ∑ µij u j j =1

i =1

∀ i : 1,..., n

n n m  m r r r  n m r  n  r Entonces w = ∑ λi vi = ∑ λi ⋅  ∑ µij u i  = ∑ ∑ λi ⋅ µij u j = ∑  ∑ λi µij  ⋅ u j i =1 i =1 j =1  i =1   j =1  i =1 j =1

PROP Sea V un K-espacio vectorial y A un subconjunto no vacío de V. El subespacio engendrado por A, [A], es el conjunto de todos los vectores V que se pueden escribir como combinación lineal de los vectores de A. Dem. r r Sea A = {v1 ,....., vn } r r n r Definimos S = v ∈ V / ∃(λi )i :1,.., n ∈ K con v = ∑ λi vi   i =1  Hemos de comprobar que S = [A], para lo cual hay que verificar tres condiciones. S es un subespacio de V. r r r n r r n r Sean u , v ∈ S ⇒ u = ∑ λi vi y v = ∑ µi vi i =1

i =1

16/27

n n n r r r u + v = ∑ λi vi + ∑ µi vi = ∑ (λi + µi )vi ∈ S i =1

i =1

n n r r λ ⋅ u = λ ⋅ ∑ λi vi = ∑ (λ ⋅ λi )vi ∈ S i =1

ya que (λi + µi ) ∈ K ∀ i

i =1

ya que λ ⋅ λi ∈ K ∀i

i =1

Entonces S es subespacio vectorial de V. • A⊂S Por una proposición anterior, todo vector de un conjunto, se puede escribir como combinación lineal de dicho conjunto. • S es el más pequeño que lo verifica. Sea S´ un subespacio vectorial de V tal que A⊂S´. r r Si v ∈ A y λi ∈ K ⇒ λi ⋅ vi ∈ S´ ∀ i n

Entonces

r

∑ λ v ∈ S´⇒ S ⊂ S´ i i

i =1

r r OBS El conjunto A = {v1 ,...., vn } es un sistema de generadores de S. 5.2. Dependencia e Independencia Lineal. DEF

r r Sea V un K-espacio vectorial. El conjunto {u1 ,...., un } de vectores de V diremos r

n

que es Linealmente Independiente si la relación

∑ λu i

i

r = o se verifica solamente para

i =1

λi = o ∀ i . r r DEF El conjunto {u1 ,....un } es Linealmente Dependiente cuando no es Linealmente Independiente. r r OBS Es lo mismo decir que {u1 ,....un } es un conjunto Linealmente independiente y r que los vectores {u1 ,...., un } son linealmente independientes. r OBS Si un conjunto de vectores es Linealmente independiente, el vector o se expresa de forma única como combinación lineal de los mismos. En caso de que el vector nulo no se exprese de forma única es cuando decimos que el conjunto es linealmente dependiente. PROP Sea V un K-espacio vectorial. Se verifica: r 1) {o} es un conjunto linealmente dependiente.

17/27

r r r 2) {u} con u ≠ o es un conjunto linealmente independiente. Dem. r r r 1) 1 ⋅ o = o es una combinación lineal del o Linealmente Dependiente.

con escalar no nulo ⇒

{or}

es

r r r r r 2) Una combinación lineal de {u} es λu y λu = o si λ= 0 ya que u ≠ o ⇒ {u } es Linealmente Independiente. PROP Sea V un K-espacio vectorial. Se verifica 1) Todo subconjunto de un conjunto Linealmente independiente es linealmente independiente. 2) Un conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente. Dem. Inmediata. COROLARIO

Sea V un K-espacio vectorial. Se verifica:

1) Todo vector de un conjunto linealmente independiente es no nulo. r 2) Si un conjunto contiene al vector o es linealmente dependiente. Dem. Inmediata. r r PROP Sea V un K-espacio vectorial. El conjunto {u1 ,..., un } es linealmente dependiente si y sólo si al menos uno de ellos es combinación lineal del resto. Dem. “⇒”

n r r r r Si {u1 ,..., un } son L. D. ⇒ ∃λ1 ,…, λn ∈K no todos nulos tal que ∑ λi ui = o i =1

Sea λj ≠ o con j ∈ {1,..., n} ⇒ ∃λ−1j ∈ K n n n n r r r r r r r λ−j1 ⋅ ∑ λi ui = λ−j1 ⋅ o ⇒ ∑ (λ−j 1λi )ui = o ⇒ u j + ∑ (λ−j1 λi )ui = o ⇒ u j = − ∑ (λ−j1λi )ui i =1

“⇐”

i =1

i =1 i≠ j

Supongamos que uj es combinación lineal del resto.

18/27

i =1 i≠ j

n r Entonces ∃(λi ) ∈ K / u j = ∑ λi ⋅ ui ⇒ Si tomamos λj = -1 podemos escribir i =1 i≠ j

r

n

∑ λu i

i

r r r = o y no todos los escalares son nulos ⇒ {u1 ,..., un } son L. D.

i =1

PROP Sea V un K-espacio vectoria l. Si un vector es combinación lineal de un conjunto {ur1 ,..., urn } de vectores linealmente independientes entonces dicha combinación lineal es única. Dem. r r n r Sea u ∈ V un vector tal que u = ∑ λi ui con λi ∈ K ∀ i . i =1

r n r Supongamos que ∃µ1 ,..., µn ∈ K tal que u = ∑ µi u i i =1

n n r r r n r r o = u − u = ∑ λi u i − ∑ µi ui = ∑ (λi − µi )ui i =1

i =1

i =1

Como {u1 ,....., un } son L. I. ⇒ λi - µi = o ∀i ⇒ λi = µi ∀i Por tanto, la C. L. es única. PROP Si el conjunto {u1 ,...., un } es linealmente dependiente y es un sistema generador para el K-espacio vectorial V, entonces existe un vector uj∈{u1 ,….,un } tal que el conjunto {u1 ,…, uj-1, uj+1 ,…, un } sigue siendo un sistema generador de V. Dem. n r Como {u1 ,....., un } es L. D. ∃u j ∈ {u1 ,...., un } / u j = ∑ λi ui i =1 i≠ j

Vamos a comprobar que {u1 ,...., u j −1 , u j +1 ,..., u n } es Sist. Generador de V. r ∀u ∈ V

∃µi ∈ K

r n r ∀ i : 1,...., n / u = ∑ µi u i ya que {u1 ,...., un } es S. G de V. i =1

n n n n r n r r r r r r u = ∑ µi u i = ∑ µi u i + µ j u j = ∑ µi u i + µj ⋅ ∑ λi ui = ∑ (µi + µ j λi )ui i =1

i =1 i≠ j

r Entonces ∀u ∈ V generadores de V.

i= j i≠ j

r u es C. L. de

i =1 i≠ j

{u ,..., u 1

19/27

j −1

i =1 i≠ j

, u j +1 ,...., u n } luego es un sistema de

r r PROP Sea V un K-espacio vectorial, L = {u1 ,...., u n } un conjunto linealmente r r r independiente y v ∈ V tal que v ∉ L siendo L ∪ {v } un conjunto linealmente r dependiente. Entonces v ∈ [L] . Dem. r

n

Sea

∑λu i

i

r r r + λo v = o una combinación lineal del vector o .

i =1

r Como L ∪ {v } es L. D. ⇒ ∃λj ∈ K con j: 0,…., n no nulo. • Si λo = 0 ⇒ Es escalar no nulo tendría que ser λj con j 1,…., n pero eso entra en contradicción con que L es L. I. • Luego λo ≠ 0 ⇒ ∃λ−1 o ∈ K y por tanto r n r v = ∑ (− λ−o1 ⋅ λi )ui ∈ [L ] i =1

5.3. Bases y Dimensiones. r r DEF Sea un conjunto B = {u1 ,....., un } de vectores del K-espacio vectorial V. Diremos que B es una Base de V si B es un conjunto Linealmente Independiente y Sistema Generador de V. r OBS Si v ∈ V

r n r r r es v = ∑ λi ui con {u1 ,...., un } base de V, la expresión es única y λi i =1

r recibe el nombre de componente i-ésima del vector v en la base {u1 ,...., un } . DEF Diremos que el K-espacio vectorial V es finitamente generado si existe {ur1 ,....., urm } un conjunto finito sistema generador de V. PROP Sea V un K-espacio vectorial, S un conjunto finito sistema generador de V y L⊂S un subconjunto linealmente independiente. Entonces una base B tal que L⊂B⊂S. Dem. Vamos a considerar el conjunto de conjuntos C (G ) = {G / L ⊂ G ⊂ S y G es L.I .} Este conjunto es no vacío ya que, al menos, A pertenece a él. Sea B∈C(G) un conjunto tal que Card (B) ≥ Card (G) ∀G∈C(G) • B es L. I. ya que B∈C(G) • Si Card (B) = Card (S) ⇒ B = S y B es S. G. de V. 20/27

r r Supongamos B ≠ S. Sea v ∈S – B. ⇒ B ∪ {v } es L. D. ⇒ Por una proposición r anterior v ∈ [B] .

r r u ∈V ⇒ u =

=

r

r

∑ λu = ∑ λu

r ui ∈S

i i

r u i∈B

i



i

+

∑

r u i∈S − B

r λi ui =

 r

∑ λu

r ui∈ B

i i

+

 r  λi ⋅  ∑ µj u j  = r  u ∈B  u∈ S − B  j 

∑



 r

∑ λ u + ∑  ∑ λ µ  ⋅ u = ∑  λ + ∑ λ µ  ⋅ u ∈ [B]

r u i∈B

i

i



r r u i∈ B u i∈S − B

i

j



i

r ui ∈B



i

r u K∈ S − B

K

j



i

Entonces B es S. G. de V. Si B es L. I. y S. G. de V ⇒ B es base de V. COROLARIO posee una base.

r Todo K-espacio vectorial V finitamente generado y no nulo (V ≠ {o} )

Dem. Como V es finitamente generado, sea S un conjunto finito de generadores de V. r r r r r Como V = {o} ⇒ ∃u ∈ V / u ≠ o . Sea L = {u} que es L. I. Aplicando la proposición anterior, existe B base tal que L⊂B⊂S. COROLARIO Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado y N un subconjunto finito linealmente independiente de V. Entonces existe un subconjunto finito N´ de V tal que N∪N´ es base de E. Dem. Como V es finitamente generado, sea S un conjunto S. G. de V. Aplicando la proposición anterior tomando S = S∪N y L = N entonces ∃B base tal que N⊂B⊂S∪N Basta tomar N´ = B – N para demostrar lo pretendido. OBS Podemos deducir que este corolario que dado un conjunto de vectores linealmente independientes de un K-espacio vectorial V finitamente generado, siempre se puede extender ese conjunto a una base, añadiendole vectores adecuados. Veamos ahora que relación existe entre dos conjuntos que sean base de un mismo K-espacio vectorial V.

21/27

TEOREMA Teorema de la Base. Todas las bases de un mismo K-espacio vectorial finitamente generado tienen el mismo número de elementos. Dem. Sean B y B´ dos bases de V. Si comprobar que n = m. r Sea B = {u1 ,....., un }

y

n r r r ∀v j ∈ B´ v j = ∑ λij u j

Card (B) = n

y

Card (B´) = m hemos de

r r B´= {v1 ,....., vm } r r por ser B = {u1 ,...., un } base de V.

i =1

r Sea el conjunto B ∪ {v1 } que es S. G. ya que B es S. G. y L. D. ya que v1 es combinación lineal de B. r r r Podemos extraer una base B1 = {v1 , u1 ,....., u p } con p < n y 1 + p ≤ n. r Repitiendo el proceso, el conjunto B1 ∪ {v2 } es S. G. y L. I. r r r r Podemos extraer una base B2 = {v1 , v2 , u1 ,...., us } s < p y 2 + s ≤ n. Reiterando el proceso m veces encontramos una base r r r r r Bm = {v1 , v 2 ,...., vm , u1 ,...u r } con m ≤ m + r ≤ n ⇒ m ≤ n. Si realizamos el mismo razonamiento, pero invirtiendo los papeles de B y B´ llegamos, después de n pasos, a una base r r r r Bn ´= {u1 ,..., u n , v1 ,..., vt } con n ≤ n + t ≤ ⇒ n ≤ m Luego n = m. DEF Llamamos dimensión de un K-espacio vectorial finitamente generado al número de vectores de una cualquiera de sus bases. Se representa por dim V. COROLARIO Si V es un K-espacio vectorial de dimensión n y B es un conjunto de vectores linealmente independientes tal que Card (B) = n, entonces B es base de V. Dem. Por un corolario previo, existe B´ finito tal que B∪B´ es base de V. Entonces Card (B∪B´) = n

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Y como Card (B) = n ⇒ B´ ≠ Ø y B es base de V. COROLARIO Si V es un K-espacio vectorial de dimensión finita y K es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces Card (L) ≤ dim V. Dem. Supongamos que Card (L) > dim V ⇒ ∃L´⊂L formado por dim V vectores y L. I. Por el corolario anterior L´ es base. Sea v∈L – L´ ⇒ v es C. L. de los vectores de L´ ⇒ ⇒ L´∪{v} es L. D. y como L´∪{v}⊂⇒ L es L. D. lo que es una contradicción con la hipótesis. Luego la suposición es falsa y Card (L) ≤ dim V. 5.4. Bases y Aplicaciones Lineales. r r PROP Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales de dimensión finita, B1 = {u1 ,...., un } una r r base de V1 y B2 = {v1 ,..., vn } un conjunto de vectores que V2 . Entonces existe una única r r aplicación lineal f: V1 → V2 tal que f (ui ) = vi ∀i = 1,..., n verificándose que f es un isomorfismo si y solo si B2 es base de V2 . Dem. • Existencia de f. r Sabemos que ∀u ∈ V1

r n r u = ∑ λi ui

con λi ∈ K ∀i

i =1

n r r Definimos f (u ) = ∑ λi vi i =1

- f es lineal r n r Sean u = ∑ λi ui i =1

r n r y v = ∑ µi u i vectores de V1 y λ∈K. i =1

n n  n r n r r r r r f (u + v ) = f  ∑ (λi + µi )ui  = ∑ (λi + µi )vi = ∑ λi vi + ∑ µi vi = f (u ) + f (v )  i =1  i =1 i =1 i =1 n r  n r n r r r f (λ ⋅ u ) = f  ∑ (λ ⋅ λi )ui  = ∑ λλi vi = λ ⋅ ∑ λi vi = λf (u )  i =1  i =1 i =1

23/27

r r - Podemos afirmar que f (ui ) = vi

∀i

• Unicidad de f. r r Sea g: V1 → V2 lineal tal que g (ui ) = vi

∀i

r n r Dado u = ∑ λi ui i =1

n n r r r g (u ) = ∑ λi g (u i ) = ∑ λi vi = f (u ) i =1

i =1

Por tanto g = f. Veamos ahora la segunda parte. Es fácil comprobar que; * Si quieres compruébalo* 1) f inyectiva ⇔ B2 es L. I. 2) f suprayectiva ⇔ B2 es S. G. Por tanto, se deduce que f es biyectiva ⇔ B2 es base de V2 . COROLARIO

Sean V1 y V2 K-espacios vectoriales de dimensión finita. V1 ≅ V2 ⇔ dim V1 = dim V2

Dem. “⇒”

r r Sea f: V1 → V2 isomorfismo y B1 = {u1 ,...., un } base de V1 . r r Por el teorema anterior B2 = { f (u1 ),..., f (un )} es base de V2 . Es claro que Card (B1 ) = Card (B2 ) ⇒ dim V1 = dim V2 .

r r r r “⇐” Sea B1 = {u1 ,...., un } y B2 = {v1 ,...., vn } bases de V1 y V2 respectivamente. El teorema anterior nos dice que la única aplicación lineal f: V1 → V2 tal que r f (ui ) = vi ∀ i : 1,...., n tiene que ser isomorfismo. Entonces V1 y V2 son isomorfos.

5.5. Dimensión de Subespacios y Espacios Cociente. PROP Sea V un K-espacio vectorial, B base de V, W el subespacio vectorial engendrado por un subconjunto B´ de B con B´ ≠ B. Entonces el conjunto B – B´ es base de V/W.

24/27

Dem. r r r r Sea B = {u1 ,...., un } y, por ejemplo, B´= {u1 ,..., us } con s < n. r r Por hipótesis W = [B´] y B − B´= {us +1 ,...., u n } • Comprobemos que B – B´ es S. G. de V/W. r r n r Sea [v ] ∈ V/W. Como B es base de V ⇒ v = ∑ λi ui i =1

n r r Por tanto [v ] = ∑ λi ⋅ [u i ] = i =1

r

∑ λ [u ] n

i

i

i =S +1

r r r ya que [ui ] = [o ] ∀i : 1,..., S porque ui ∈ W

∀ i : 1,..., S

• B – B´ es L. I. r r ∑ λi [u i ] = [o ] ⇒ n

Sea

i = S +1

r

n

∑ λ u ∈W i i

i =S +1

S S r r r λ u = λ u ⇒ ∑ i i ∑ i i ∑ λiu i − n

Como B´ es base de W

i = S +1

i =1

i =1

r

n

∑ λu i

i

r =o

i = S +1

Por ser B base de V, en particular son L. I. ⇒ λi = 0 ∀i: 1,…..,n Entonces λi = 0 ∀i: S+1,….,n y B – B´ son L. I. Por tanto B – B´ es base de V/W. PROP Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W un subespacio vectorial de V. Se verifica la relación dim V = dim W + dim V/W Dem. r Si W = {o} ⇒ V {or} ≅ V y dim W = 0, dim V W = dim V r Si W = V ⇒ V V ≅ {o} y dim V W = 0, dim V = dim W r r r r r En caso contrario, sea {u1 ,..., us } base de W y se puede extender a {u1 ,..., us ,..., u n } base de V. Por la proposición anterior {u s +1 ,...., un } es base de V/W y

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dim · V = n, dim W = S dim V/W = n – S verificándose la igualdad dim V = dim W + dim V/W COROLARIO la igualdad

Si U1 y U2 son subespacios de un K-espacio vectorial V, se satisface dim (U1 + U2 ) + dim (U1 ∩U2 ) = dimU1 + dimU2

Dem. Por el 3er teorema de isomorfía: U1 + U 2

U1 ≅

U2

U1 ∩ U 2

y podemos afirmar que dim U1 + U 2 U = dim U 2 U ∩ U 1 1 2 Aplicando la proposición anterior obtenemos dim (U1 + U 2 ) − dim U1 = dim U 2 − dim (U1 ∩ U 2 ) de lo cual se deduce la igualdad a comprobar. OBS Si la suma es directa ⇒ dim (U1 ⊕ U2 ) = dim U1 + dim U2

6. ESPACIOS VECTORIALES COMPLEMENTARIOS. DEF Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio vectorial de V. Diremos que U es un subespacio vectorial complementario de W si V = W⊕U. PROP Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Todo subespacio W de V admite complementario. Dem. Denotemos por U el complementario de W. r Si W = {o} ⇒ U = V r Si W = V ⇒ U = {o} Supongamos que W es un subespacio no trivial. Sea B una base de W (W es una dimensión finita al serlo V). 26/27

∃B´ subconjunto de V B ∪ B´ es base de V. Veamos que U = [B´] r • ∀u ∈ V

r r r u = ∑ λv ⋅ v + ∑ λv´ ⋅ v´⇒ V = W + U r v∈B

r v∈B ´

r • dim (W ∩ U ) = dim W + dim U − dim (W + U ) = 0 ⇒ W ∩ U = {o }

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