SISTEMAS LINEALES

Tema 2. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (Sesión 2) 14 de octubre de 2010

F. JAVIER ACEVEDO [email protected]

TEMA 2 Contenidos.

•Representación de señales discretas en términos de impulsos •Representación de señales continuas en términos de impulsos •Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Suma de convolución. Ejemplos de suma de convolución •Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Integral de convolución. Ejemplos de integral de convolución. •Propiedades de los sistemas LTI a partir de su respuesta al impulso. •Respuesta al escalón. •Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias.

ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

REPASO DE CONCEPTOS En un sistema LTI la respuesta al impulso (h[n] o h(t)) caracteriza completamente el sistema. Es decir, a partir de la respuesta al impulso podemos conocer la salida ante cualquier entrada mediante la operación de convolución.

y [n] =

h[n] = y[n]|x[n]=δ[n]

∞ P

k=−∞

y (t) =

h(t) = y(t)|x(t)=δ(t)

R∞

−∞

Las propiedades que cumple la convolución son: a) Conmutativa b) Asociativa c) Distributiva Importante:

x(t) ∗ δ(t) = x(t) x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )

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x [k] h [n − k] = x[n] ∗ h[n]

x(τ )h (t − τ )dτ = x (t) ∗ h (t)

REPASO DE CONCEPTOS Es imprescindible entender qué significa que el sistema es LTI. En el siguiente ejemplo, en el que se conocen las salidas ante x1[n] y x2[n] encuentre la respuesta al impulso. 4

4

4 3

x1 [n]

3

y1 [n]

2 2

1 1

2

1

1

0

0

-1

-1

-2 -4

-2 -3

-2

-1

0

1

2

3

-2 -4

4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2 4

x2 [n]

y2 [n]

3

2

1

2

1.5 1 0.5

1 0

1 -0.5 0

-1.5

-1

-2 -4

-2

-1

-2 -4 -3

-2

-1

0

1

2

3

4

h[n] =

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-3

-2

-1

0

1

2

3

4

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS A partir de la respuesta al impulso, en un sistema LTI, se puede determinar sus propiedades de causalidad, memoria, estabilidad y encontrar el sistema inverso si existe.

a) Causalidad: Un sistema es causal cuando su salida no anticipa valores futuros de la entrada. Podemos asegurar que un sistema es causal si:

h(t) = 0 t < 0

h[n] = 0 n < 0

Demostración: Si el sistema es causal, al no poder depender de valores futuros de x[n] en la suma de convolución no podrá depender de valores de x[k] si k>n

y [n] =

∞ P

k=−∞

x [k] h [n − k] =

Para que se de esa igualdad:

n P

k=−∞

x [k] h [n − k]

Esta igualdad solo si es causal

h[n − k] = 0 si k > n h[n − k] = 0 si n − k < 0

Si recordamos que (h[n] o h(t)) es la respuesta al impulso, parece lógico que un sistema LTI que es causal (y por tanto no puede anticipar la entrada) no pueda tener salida no nula antes de del instante cero. ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS b) Memoria: En un sistema LTI sin memoria, su respuesta al impulso solo puede ser un múltiplo de δ[n], δ(t)

h(t) = 0 ∀t 6= 0

Sistema sin memoria: h[n] = 0 ∀n 6= 0

Dado que en un sistema sin memoria, la salida no puede depender de valores pasados ni futuros de la entrada, solo puede ser no nula en el instante cero. c) Estabilidad: Un sistema LTI es estable si se cumple: ∞ P

−∞

R∞

|h[n]| < ∞

−∞

|h(t)|dt < ∞

Demostración: En un sistema estable, la salida tiene que estar acotada si la entrada está acotada:

|x[n]| ≤ P |y [n] | = | ∞ P

k=−∞

∞ P

k=−∞

|y[n]| < ∞ x [k] h [n − k] | =

|x [k] ||h [n − k] | ≤

∞ P

k=−∞

∞ P

k=−∞

|x [k] ||h [n − k] | < ∞

P |h [n − k] |∞

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∞ P

−∞

|h[n]| < ∞

PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS d) Invertibilidad. Un sistema será invertible si existe un sistema tal que

h[n] ∗ hI [n] = δ[n] x (t)

Sistema

h(t) ∗ hI (t) = δ(t) y (t)

h(t) δ (t)

Sistema Inverso hI (t)

h (t)

z (t) = x (t) δ (t)

Ejemplos: De los siguientes sistemas LTI conocemos su respuesta al impulso. Deduzca a partir de las mismas las propiedades de causalidad, memoria y estabilidad. a) h[n] = 2n u[n] b) h(t) = 3δ(t + 1) c) h[n] = cos(3n + 2)

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PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS De los siguientes sistemas deduzca sus propiedades de linealidad, invarianza en el tiempo, causalidad, memoria y estabilidad. Para aquellos que sean LTI calcule su respuesta al impulso (de la forma más cerrada posible) y a partir de la misma vuelva a deducir sus propiedades de causalidad, memoria y estabilidad. a)

y[n] = x[n]

b) y(t) =

Rt

∞

x(τ )dτ

c) y[n] = cos(n)x[n]

d) y[n] =

∞ P

k=0

x[k]cos[n − k]

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RESPUESTA AL ESCALÓN Hasta ahora hemos trabajado con la respuesta al impulso (h[n] o h(t)). A veces interesa trabajar con la respuesta al escalón:

s[n] = y[n]|x[n]=u[n]

s(t) = y(t)|x(t)=u(t)

La respuesta al escalón está relacionada con la respuesta al impulso mediante:

h[n] = s[n] − s[n − 1] s[n] =

n P

h(t) =

h[k]

s(t) =

k=−∞

Una propiedad de los sistemas LTI es que

y(t)

x(t)

d(s(t)) dt

Rt

−∞

= s0 (t)

h(τ )dτ

y 0 (t)

x0 (t)

A partir de las propiedades de la convolución, podemos deducir ´ que: ³ 0

0

y (t) = x(t) ∗ h (t)

0

y(t) = x (t) ∗

y(t) = x0 (t) ∗ s(t)

y[n] = (x[n] − x[n − 1) ∗ s[n] ITT Sistemas Telecomunicación SISTEMAS LINEALES.

Rt

−∞

h(τ )dτ

SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS Un sistema descrito por una ecuación en diferencias es aquél que viene definido como: N M

P

k=0

ak y[n − k] =

P

k=0

bk x[n − k]

De la ecuación anterior podemos despejar y[n] como:

y[n] =

1 a0

µ

M P

k=1

bk x[n − k] −

N P

k=0

¶ bk y[n − k]

Si el sistema se denomina no recursivo. Se trata de un sistema LTI y su respuesta al impulso viene dada por:

h[n] =

bn a0

0

0