TEMA 3: CÁLCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES x 1  1. Hallar f  ,3  .y f (1,1) si f ( x, y )  xy  . y 2  2. Hallar el valor de la función f ( x, y )  R

x2  y 2 

2

x4  2x2 y2  y 4 1  x2  y 2

en los puntos de la circunferencia

.

3. Calcular los siguientes límites: a) b)

c) d)

e)

f)

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

cos( x y )  1 x

sen( x 2  y 2 )  1 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x2  y2 lim

lim

( x , y )( 0 , 0 )

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

lim

( x , y )( 0 , 0 )

x y con x  y x y xy x2  y2

x x y

x2  y 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x 2  y 2 lim

4. Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a)

b)

1   2 f ( x, y )  1  x  y 2  0



si x 2  y 2  1 si x 2  y 2  1

log x 2  y 2 f ( x, y )   0 



si x 2  y 2  0 si x 2  y 2  0

 2 xy si x 2  y 2  0  5. Demostrar que la función f ( x, y )   x 2  y 2 es continua con relación a cada una  0 si x  y  0 de las variables x e y por separado, pero no es continua en el punto (0,0) como función de dos variables.

6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a)

 xy  f ( x, y )   x 2  y 2  0

si x, y   0,0  si x, y   0,0 

b)

 x2  y2 y f ( x, y )   x 2  y 2  0

si x, y   0,0  si x, y   0,0 

7. Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:



a) z  log x  x 2  y 2



b) z  x y

 

c) u  xy z

d) z  arctan

y x

8. Hallar una ecuación para el plano tangente a la gráfica f en el punto  x0 , y0 , f x0 , y0  para: a)

f ( x, y )  x 2  4 y 2 en  x0 , y 0   (2,1)

b)

f ( x, y )  x 2  y 2

c)

f ( x, y )  log x  y   x cos y  arctan( x  y ) en  x0 , y 0   (1,0)





1

2

en  x0 , y 0   (1,1)

f ( x, y )  x, y en  x0 , y 0   (2,1)  9. Hallar el vector gradiente  f ( x, y ) en todos los puntos de funciones:

d)

f ( x, y )  x 2 y 2 log( x 2  y 2 ) si ( x, y )  (0,0) y f (0,0)  0

b)

 1   si ( x, y )  (0,0) y f (0,0)  0 f ( x, y )  xy sen 2 2  x y 

10. Demostrar que x

R

a)

2

para cada una de las siguientes

 y  z z y  xy  z si z ( x, y )  xy  xe  x  x y

11. Sean las funciones f ( x, y )  x 2  y , h(u )  ( sen 3u , cos 8u ) . Sea g (u )  f h(u )  . Calcular u  0 de ambas formas, directamente y usando la regla de la cadena.

dg en du

12. Demostrar que la función w  f (u , v) , donde u  x  at , v  y  bt verifica la ecuación w w w a b . t x y z z  y 13. Demostrar que la función z  xy  x  satisface la ecuación x  y  xy  z . x y x 14. Calcular la derivada direccional de f en el punto y en la dirección dados.     1  a) f ( x, y, z )  xy 2  y 2 z 3  z 3 x , P  (4,2,1) , v  ( i  3 j  2k ) 14 b) c)

     1 f ( x, y, z )  x yz , P  (e, e,0) , v  (12i  3 j  4k ) 13   f ( x, y, z )  xy  yz  zx , P  (1,1,2) , v  (10,1,2)

15. Calcular las segundas derivadas parciales para cada una de las siguientes funciones: a)

f ( x, y, z )  exp( z ) 

b)

f ( x, y )  cos( xy 2 )

c)

f ( x, y )  log( x 2  y )

d)

f ( x, y )  x arctan

1  x exp( y ) x

x y

16. Mostrar que u ( x, y )  exp( x) sen y satisface la ecuación (ecuación de Laplace) 17. Supongamos que F ( x, y ) 

 2u  2u   0. x 2 y 2

f f  y que f es de clase C 2 . Probar que x y

F F  2 f  2 f    . x y x 2 y 2 18. Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación dada. a) x

z z y  y  z  0 ; si u  x , v  x y x

b) y

z z 1 1 x  ( y  x) z ; si u  x 2  y 2 , v   x y x y

c) x 2

2 2z y 2  z  y  0 ; si u  x y , v  2 2 x x y

19. Determinar la fórmula de Taylor de segundo orden para las funciones dadas respecto del punto dado. 1 , x0  0, y0  0 ( x  y 2  1)

a)

f ( x, y ) 

b)

f ( x, y )  exp( x 2  y 2 ) cos( xy ), x0  0, y0  0

c)

f ( x, y )  sen( xy )  cos( xy ), x0  0, y0  0

d)

f ( x, y )  exp( x 2  2 x  1) cos y, x0  0, y0  0

e)

f ( x, y )  y x , x0  1, y0  1

2

20. Hallar los extremos de las siguientes funciones: a) z  x 3 y 2 (6  x  y ), ( x  0, y  0)  x2 y2  b) z  xy1  2  2  b   a c) z 

1

2

8 x   y, ( x  0, y  0) x y

d) z  e x  y ( x 2  2 y 2 )

21. Hallar los extremos de las funciones de tres variables: a) u  x 2  y 2  z 2  xy  x  2 z b) u  x 

y2 z2 2   , ( x  0, y  0, z  0) 4x y z

22. Determinar los extremos condicionados de las funciones: a) u  x 2  y 2 , si

x y  1 2 3

b) u  x  2 y  2 z , si x 2  y 2  z 2  9 c) u  x 2  y 2  z 2 , si

x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c2

d) u  xy 2 z 3 , si x  y  z  12  x  0, y  0, z  0 e) u  xyz , con las condiciones x  y  z  5 y xy  yz  zx  8 f) u  x  y  z , con las condiciones x 2  y 2  1 y 2 x  z  1 23. Hallar la distancia mínima desde el origen en R 3 hasta la superficie z  6 xy  7 . 24. Descomponer un número entero a  0 en tres sumandos no negativos de manera que el producto de éstos sea máximo. 25. En una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea máxima. 26. Evaluar las integrales dobles siguientes, donde R es el rectángulo 0,2   1,0 . a)



b)



c)



R

   x   y cos 4  dy dx   

   y   x e x sen   dy dx  R  2   R

( x 2 y 2  x) dy dx

27. Calcular las integrales iteradas:

 x2   dy dx a)    0 0 1 y2    1 1



3 cos 

r



b)

 

c)

  x  2 y  dx dy

d) e)

2

 2

0

3

5

3

y2 4

2

x2

1

1

 

x

sen 2  dr d

x2 dy dx y2

2

a

0

a sen 

 

2

r dr d

28. Invertir el orden de integración en las siguientes integrales dobles. a) b) c) d)

4 12 x



0 3x2

f ( x, y ) dy dx

1

3 y 2

0

y2



f ( x, y ) dx dy

2

a

( 2 ax  x 2 )

a

0

  2



sen x

0

0

 

1

2

f ( x, y ) dy dx

f ( x, y ) dy dx

29. Pasando a coordenadas polares, calcular las siguientes integrales. a)



D

( x 2  y 2 ) dx dy , donde D es el recinto limitado por la circunferencia de ecuación

x 2  y 2  2ax . b)



D

a 2  x 2  y 2 dx dy , donde D es un semicírculo de radio a con centro en el punto (0,0)

situado en el eje OX . c)



D

a 2  x 2  y 2 dx dy ,

donde

D

está

limitado

por

la

hoja

lemniscata

(x2  y 2 )2  a2 ( x2  y 2 ) , x  0 . 30. Calcular el área de la figura situada sobre el eje OX y limitada por y  0 , y 2  4ax , x  y  3a . 31. Hallar el área limitada por las parábolas y 2  10 x  25 , y 2  6 x  9 . 32. Hallar el área limitada por las curves   a (1  cos  ,   a cos  , (a  0) . 33. Hallar las coordenadas cilíndricas y esféricas de las siguientes superficies que están en coordenadas rectangulares cartesianas: a) x 2  y 2  4 z 2  16 b) x 2  y 2  9 z c) x 2  y 2  z 2  2 y  0 34. Representar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas cilíndricas son: a) r 2  z 2  9 b) r  z c) r  2 cos  35. Describir en coordenadas cilíndricas: a) La región del espacio de los puntos que están a un distancia a del Polo y se encuentran en el interior del cilindro de ecuación r  a cos  . b) El cono sólido de altura y radio iguales a 4 unidades.

R 36. Describir las siguientes regiones del espacio

3

utilizando coordenadas esféricas:

a) La intersección del cono con vértice en el Polo, eje de simetría el eje z y ángulo entre el eje  radianes, con la esfera de radio a y centro el Polo. de simetría y una generatriz igual a 6 b) La región comprendida entre las esferas centradas en el Origen y con radios a y b, respectivamente a  b . 37. Calcular las siguientes integrales triples a)



V

(1  x  y  z ) 3 dx dy dz , donde V es el recinto limitado por los planos de coordenadas

y por el plano x  y  z  1 . b)



V

z 2 dx dy dz , donde V es la parte común de las esferas de ecuación x 2  y 2  z 2  R 2 ,

x 2  y 2  z 2  2R z . c)



V

z2  d)

z dx dy dz , donde V es el recinto limitado por el plano z  h y por el cono de ecuación

h2 (x2  y 2 ) . R2



V

dx dy dz , donde V es el recinto limitado por las superficies

z 2  x2  y 2 ,

x 2  y 2  z 2  2 R z y que contiene el punto (0,0, R ) . e)



V

x 2  y 2  z 2 dx dy dz , donde V es la parte interna de la esfera x 2  y 2  z 2  x .

38. Calcular el volumen de la parte del cilindro x 2  y 2  2 a x , comprendido entre el paraboloide x 2  y 2  2 a z y el plano XOY.