1

Tema 3. DETERMINANTES Definición de determinante El determinante de una matriz cuadrada es un número. Para la matriz A, su determinante se denota por det(A) o por A .

•

a Para una matriz de orden 2, A =  11  a 21 a a12 A = 11 = a11a 22 − a12 a 21 a 21 a 22

Ejemplo:

•

a12   , se define: a 22 

3 4 = 3·7 − 2·4 = 21 − 8 = 13 2 7

 a11  Para una matriz de orden 3, A =  a 21 a  31 a11 A = a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a a 23 = a11 22 a32 a33

a12 a 22 a32

a13   a 23  , definimos: a33 

a 23 a − a12 21 a33 a31

a 23 a + a13 21 a33 a31

a 22 a32

Si calculamos cada determinante de orden 2 y ordenamos por signos, se obtiene:

A = a11a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21a32 − a11a 23 a32 − a12 a 21a33 − a13 a 22 a31 Resultado que puede recordarse fácilmente con la regla de Sarrus, que esquematizamos así: Productos con signo positivo

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

Productos con signo negativo

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a13 a 23 a33

Ejemplo:


1 2 3 5 6 4 6 4 5 A = 4 5 6 = 1· − 2· + 3· = 35 − 48 − 2(28 − 54) + 3(32 − 45) = 8 7 9 7 9 8 9 8 7 = −13 − 2 · (−26) + 3 · (−13) = 0

Aplicando la regla de Sarrus, se tendría: A = 1 · 5 · 7 + 2 · 6 · 9 + 3 · 4 · 8 − 2 · 4 · 7 − 3 · 5 · 9 − 1 · 6 · 8 = 0.

José María Martínez Mediano

2

• Menor complementario y adjunto de un elemento El menor complementario, Mij, del elemento aij de la matriz A = aij

( )n×n es el determinante

de la matriz de orden n − 1, que resulta al suprimir la fila i y la columna j de la matriz A.

( )n×n es Aij = (−1) i + j M ij .

El adjunto del elemento aij de la matriz A = aij  a11  Para la matriz A =  a 21 a  31

a 22 a32

a13   a 23  , los menores complementarios de los elementos de la a33 

primera fila son: M 11 =

a 22 a32

a 23 a ; M 12 = 21 a33 a31

a12

a 23 a ; M 13 = 21 a33 a31

a 22 a32

Para la misma matriz, los adjuntos de los elementos de la segunda fila son: a a13 a a13 a a12 ; A22 = + 11 ; A23 = − 11 A21 = − 12 a32 a33 a31 a33 a31 a32 NOTAS: 1. El adjunto es el menor con signo más o menos. Los signos de los adjuntos se van alternando, como indicamos en la tabla adjunta: 2. Los determinantes se pueden desarrollar por la fila o columna que se desee. Su valor es la suma de los elementos de esa fila o columna por sus respectivos adjuntos.

+ − + −

− + − +

+ − + −

− + − +

• Determinantes de orden 4 y superior Teniendo en cuenta la definición de menor complementario, y lo hecho para determinantes de orden 3, el cálculo de un determinante de orden 4 se hace como sigue: a11 a 21 a31 a 41

a12 a 22 a32 a 42

a13 a 23 a33 a 43

a 22 = a11 a32 a 42

a14 a 24 = a34 a 44 a 23 a33

a 24 a 21 a34 − a12 a31

a 23 a33

a 24 a 21 a34 + a13 a31

a 22 a32

a 24 a 21 a34 − a14 a31

a 22 a32

a 23 a33

a 43

a 44

a1

a 43

a 44

a 42

a 44

a 42

a 43

a 41

a 41

Generalizando, el cálculo de un determinante de orden n se hace mediante calculando determinantes de orden n − 1. Dado que este proceso es muy engorroso convendrá desarrollar por la fila o columna que tenga más ceros. Ejemplo: 2 −1 3 0 7 −3 4 5 6 −3 −5 8

4 2 3 4 2 −1 4 0 = 7 4 6 2 − (−3) 4 5 2 = 7 · (150) − (−3) · 20 = 1110. 2 −3 8 1 −3 −5 1 1

José María Martínez Mediano

3

Determinantes que valen 0

Un determinante vale 0 si todos los elementos de una fila son ceros. 0 0 0 Ejemplo. 4 6 2 =0 −3 8 1

•

Un determinante vale 0 si tiene dos filas o dos columnas iguales. 4 6 2 Ejemplo. 4 6 2 = 0 (F1 = F2) −3 8 1

•

Un determinante vale 0 si tiene dos filas o columnas proporcionales. 1 −2 3 Ejemplo. 0 6 2 = 0 (F3 = −3 · F1) −3 6 −9

•

Un determinante vale 0 si una fila o columna es combinación lineal de otras. 3 1 2 4 2 2 = 0 (C1 = C2 + C3) Ejemplo. −3 2 −5

•

Algunas propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: A = At .

Esta propiedad permite aplicar todo lo dicho para filas a columnas. 1 0 2 1 0 −3 Ejemplo. 0 6 2 = 0 6 4 = 34 −3 4 1 2 2 1 2. Si se intercambian entre sí dos filas de un determinante, su valor es el mismo cambiado de signo. 1 0 2 1 0 2 Ejemplo. 0 6 2 = 34 , pero F 3 − 3 4 1 = −34 −3 4 1 F2 0 6 2 3. Un determinante no varía si a una fila se le suma o resta otra fila cualesquiera. 1 3 2 = 1 3 2 − 3 6 4 F 2 + 3F1 0 15 10 = −140 Ejemplo. 2 5 − 6 F 3 − 2 F1 0 − 1 − 10 NOTA: Al hacer los cambios anteriores hemos conseguido que aparezcan ceros en la primera columna; esta estrategia facilita mucho los cálculos del determinante.

José María Martínez Mediano

4

OJO: Un ERROR frecuente puede ser el siguiente: 1 3 2 3F1 + F 2 0 15 10 −3 6 4 = −3 6 4 = −3·140 = −420 2 5 − 6 F 3 − 2 F1 0 − 1 − 10 El error consiste en sustituir la F1 por 3F1 + F2. Así se multiplica la primera fila por 3, lo que multiplica por 3 el resultado del determinante. 4. Si los elementos de una fila se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese mismo número. Esto es:

det(k · F1, F2, ..., Fn) = k · det(F1, F2, ..., Fn) Esta propiedad permite “sacra factor común” por filas en un determinante. 10 20 30 1 2 3 − 7 − 14 21 = 10·(-7) 1 2 − 3 = −70·(−60) = 4200 Ejemplo. 5 0 2 5 0 2 (10 “sale” de F1; −7 de F2)

( )n×n , entonces:

5. Si A = aij

kA = k n A .

 1 − 3 5  2 − 6 10      Ejemplo: Si A =  4 − 1 0  ⇒ 2 A =  8 − 2 0  .  0 0 5  0 0 10      Es fácil ver que A = 55 y 2 A = 440 . Esto es: 2 A = 2 3 A 6. El determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes: A·B = A · B

• Cálculo práctico de determinantes La aplicación de las propiedades anteriores facilita el cálculo del determinante de una matriz. Como ya hicimos en algún ejemplo anterior, lo más interesante es “hacer” en alguna fila o columna el máximo número de ceros. Para ello es conveniente pivotar sobre algún elemento fácil de multiplicar (1 o −1 son los más cómodos). Ejemplo: 2 −1 3 0 2 −1 3 0 = 2 −1 3 − 3 7 − 3 2 F 2 − 2 F 4 3 17 − 19 0 = 3 17 − 19 . 4 5 6 − 2 F 3 + 2 F 4 − 2 − 5 22 0 − 2 − 5 22 −3 −5 8 1 −3 −5 8 1 El último determinante es más cómodo de calcular; le seguimos aplicando el método: 2 −1 3 = 2 −1 3 37 32 3 17 − 19 F 2 + 17 F1 37 0 32 = = 37·7 + 32·12 = 643 − 12 7 − 2 − 5 22 F 3 − 5 F1 − 12 0 7

José María Martínez Mediano

5

Rango de una matriz Hay tres definiciones (equivalentes) de rango de una matriz: 1ª. Es el número de vectores fila linealmente independientes de esa matriz. (El rango de una matriz es el número de filas no nulas que tiene dicha matriz.) 2ª. Es el número de vectores columna linealmente independientes de esa matriz. 3ª. Es el orden del mayor menor no nulo.

El rango puede calcularse empleando cualquiera de las definiciones anteriores, pero, para mayor facilidad, conviene mezclarlas y seguir un proceso similar al que indicamos a continuación: a) Eliminar filas o columnas proporcionales o que dependan linealmente de otras. b) Hacer el máximo número de ceros en alguna fila o columna. Así se descubren más fácilmente las posibles dependencias lineales entre filas o columnas. c) Buscar un menor distinto de cero y del mayor orden posible. Ejemplos: 3 −1 1 0   2 −1 − 6 2  1. Veamos que el rango de la matriz A =  es 2. (Puedes intentar ver 0 1 12 − 4    3 −1 − 3 1    combinaciones lineales entre sus filas y columnas). Para eliminar las filas o/y columnas sobrantes haremos ceros en la primera columna: 3 −1 3 −1 1 0 1 0     3 − 1 F 2 − 2 F1 0 − 1 − 12 4  1 0 2 −1 − 6 2   → →  A=    0 1 12 − 4 0 − 1 − 12 4  0 1 12 − 4      3 −1 − 3 1  F 4 − 3F1  0 − 1 − 12 4    1 0 Como = −1 ≠ 0 ⇒ rango (A) = 2 → Hay 2 filas linealmente independientes. 0 −1 1 3 3 1   2. Determinemos el rango de A según los valores del parámetro k: A =  k k 3 − 1 .  −1 3 3 0    Transformamos la matriz inicial: se resta la columna 4ª a las demás, como se indica. C1 − C 4 0 0 1 1 3 3 1  0     A =  k k 3 − 1 → C 2 − 3C 4 →  k + 1 k + 3 6 − 1  −1 3 3 0  C 3 − 3C 4  − 1 3 3 0   

Obviamente hay menores de orden 2 que son distintos de cero. Por ejemplo

0 1 . 6 −1

Veamos los menores de orden 3: 0 0 1 0 0 1 k + 1 6 − 1 = 3k + 9, que es nulo si k = −3; k + 3 6 − 1 = 3k − 9 , que vale 0 si k = 3 −1 3 0 3 3 0 Por tanto, el rango de A siempre será 3. (Si k = −3, el 2º menor es distinto de cero; si k = 3, el primer menor es distinto de cero; si k ≠ ±3, ambos menores son no nulos.)

José María Martínez Mediano

6

Inversa de una matriz Una matriz A−1 es inversa de A si A−1 · A = A · A−1 = I, siendo I la identidad del mismo orden. 1 −1 • La matriz inversa se calcula aplicando la siguiente fórmula: A = Aij t , ( A ≠ 0 ) A

( )

La matriz (Aij ) es la adjunta de la matriz A = (aij ), siendo Aij = ( −1) i + j M ij y Mij el menor complementario del elemento aij. Ejemplos:  0 2 4   1. Para la matriz A =  3 1 4  se tiene que 5 − 3 0   Los adjuntos son: 1 4 3 A11 = + = 12 ; A12 = − −3 0 5 2 4 0 A21 = − = −12 ; A22 = + −3 0 5 2 4 0 A31 = + = 4; A32 = − 1 4 3

A = −16 ; en consecuencia, existe A−1.

4 = 20 ; 0 4 = −20 ; 0 4 = 12 ; 4

20 − 14   12   La matriz adjunta es: (Aij ) =  − 12 − 20 10   4 12 − 6    12 − 12 4   1 1  t −1 Aij = Luego: A =  20 − 20 12  = A − 16    − 14 10 − 6 

( )

3 5 0 A23 = − 5 0 A33 = + 3 A13 = +

1 = −14 −3 2 = 10 −3 2 = −6 1

 − 6 6 − 2  1  − 10 10 − 6  8 − 5 3   7

 − 6 6 − 2  0 2 4  8 0 0 1 0 0   1    1 Comprobamos que A · A = I →  − 10 10 − 6  3 1 4  =  0 8 0  =  0 1 0  8 8    − 5 3  5 − 3 0   7 0 0 8 0 0 1  3 y + 5 7 12    2. Vamos a comprobar que la matriz C ( y ) =  2 y + 3 3 6  no tiene inversa para ningún 3y + 4 2 6    valor real de y. −1

Una matriz no tiene inversa cuando su determinante vale 0. Por tanto, habrá que ver que C ( y) = 0 . En efecto, aplicando las propiedades de los determinantes: 3 y + 5 7 12 F1 − 2 F 3 − 3 y − 3 3 0 − y −1 1 0 C ( y ) = 2 y + 3 3 6 = F 2 − F 3 − y − 1 1 0 = 3· − y − 1 1 0 = 0, pues tiene dos 3y + 4 2 6 3y + 4 2 6 3y + 4 2 6 filas iguales. •

José María Martínez Mediano