TEMA 3: FRACCIONES 1º ESO MATEMÁTICAS

Tema 3: Fracciones

Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones y ordenación

2

Proporcionalidad, Porcentajes y escalas

3

Operaciones con fracciones. + problemas

6

Examen 3

1

Revisión examen

1

Definición de fracción DEFINICIÓN

•

Una fracción expresa partes de una unidad.

3 5

NUMERADOR: Indica el número de partes que se toman

DENOMINADOR: Indica el número de partes iguales en que se divide la unidad

Interpretaciones de una fracción •

Hay tres formas de interpretar una fracción

1. Como las partes de una unidad

1 1

2 2

3 3

4 4

2 5

3 5

Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de la unidad

2 6

1 3

Fracciones equivalentes

2 5

=

6 15

Fracciones equivalentes

1 2

2 4

4 8

Fracciones equivalentes

Observa como la parte coloreada en naranja ocupa siempre la misma parte en el total de la unidad

Fracciones equivalentes

¿

¿ 4 12

1 3

Obtener fracciones equivalentes •

Para obtener fracciones equivalentes a una fraccion dada: Multiplicamos o dividimos sus dos términos por un mismo número distinto de cero. simplificar

1 3

amplificar

12 36

3 9 :3

:4

168 504

24 72 ⋅2

⋅7

Reducción de fracciones a común denominador 5

2

3

7

2 10 20 60 420 = = = = 3 15 30 90 630 2

3

2

2

1 2 = 6 12 24 = = = 5 10 60 120 30

Reducción de fracciones a común denominador 1. Se calcula el mcm de los denominadores 2. Se amplifican todas las fracciones usando como denominador el mcm

Reducción de fracciones a común denominador Completa los términos que faltan para que se cumplan las igualdades

Reducción de fracciones a común denominador

Comparación de fracciones CASO 1: Fracciones con el mismo denominador

¿Qué fracción de las dos es mayor?

2 5

3 2 > 5 5

3 5 •

Si dos fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tiene mayor numerador

Comparación de fracciones CASO 2: Fracciones con el mismo numerador ¿Qué fracción de las dos es mayor?

2 6

2 5

2 2 > 5 6 •

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador

Comparación de fracciones CASO 3: Fracciones con diferente numerador y denominador •

Si dos fracciones tienen diferente numerador y denominador debemos ponerlas bajo común denominador para poder compararlas.

Comparación de fracciones Ej25. Indica cuál es mayor de los siguientes pares de fracciones

Comparación de fracciones Ej26. Escribe una fracción comprendida entre cada par de fracciones

Comparación de fracciones EJEMPLO Javier ha fallado 6 tiros libres de 25, y Alberto, 5 de 31. ¿Quién tiene mejor puntería?

5 6 < 31 25

125 186 < 775 775 Alberto ha fallado menos que Javier, luego Alberto tiene mejor puntería que Javier

ERRORES DE ALBERTO

<

ERRORES DE JAVIER

Comparación de fracciones EJERCICIO 28 En una campaña para ayudar a los afectados por un terremoto han colaborado 25 alumnos de los 32 de 1.o A y 27 de los 35 de 1.o B. ¿Qué clase ha colaborado más?

Fracción propia e impropia Fracción propia •

Es aquella que tiene el numerador menor que el denominador

2 5

Fracción impropia •

Es aquella que tiene el numerador mayor que el denominador

7 5

Fracción propia e impropia Fracción propia •

Es aquella que tiene el numerador menor que el denominador

a b

b>a

Fracción impropia •

Es aquella que tiene el numerador mayor que el denominador

a a>b b

Fracción inversa DEFINICIÓN

•

Dos fracciones son inversas cuando su producto es igual a la unidad.

2 5 10 ⋅ = =1 5 2 10 EJEMPLO La fracción inversa de

3 es: 8 8 3

a b ⋅ =1 b a

Cociente de dos fracciones •

Para hallar el cociente de dos fracciones se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

2 3 2 7 14 : = ⋅ = 5 7 5 3 15

EJEMPLOS 1

Simplificamos la fracción dividiendo entre 5 numerador y denominador

2 1 3 2 1 5 2 ⋅1⋅ 5 10 2 ⋅ : = ⋅ ⋅ = = = 5 7 5 5 7 3 5⋅ 7 ⋅ 3 105 21 Invertimos la fracción y cambiamos el signo de la operación

EJEMPLOS OTRA FORMA DE SIMPLIFICAR

Tachar los dos cincos corresponde con la operación de dividir entre 5 numerador y denominador

2 1 3 2 1 5 2 ⋅1⋅ 5 2 ⋅1 2 ⋅ : = ⋅ ⋅ = = = 5 7 5 5 7 3 5⋅ 7 ⋅ 3 7 ⋅ 3 21

Lo que estamos haciendo es aprovechar que numerador y denominador están factorizados para realizar la simplificación.

EJEMPLOS 2

3 15 12 3 6 = − = − 14 35 70 70 70

1) Cálculo del nuevo denominador

2) Cálculo de los nuevos numeradores

14 = 2 ⋅ 7 35 = 7⋅ 5

15

mcm(14, 35) = 2 ⋅ 7 ⋅ 5 = 70

70

−

12

70

Operaciones combinadas ¿QUÉ ORDEN HAY QUE SEGUIR?

1 2 3

Comprobar si hay fracciones que se pueden simplificar Resolver operaciones dentro de los paréntesis Realizamos multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha *Invertimos las fracciones que sea necesario cambiando el signo de división por el de multiplicación

4

Realizamos las sumas y restas *Poniendo bajo común denominador las fracciones.

5

Simplificar si es posible

EJEMPLOS 2

2 4 3 : − 5 5 5

2 5 3 2 5 3 = . − = . − = 5 4 5 5 4 5

2 3 1 3 5 6 1 = − = − = − =− 4 5 2 5 10 10 10 1) Cálculo del nuevo numerador

2=2 5=5 mcm(2, 5) = 2 ⋅ 5 = 10

2) Cálculo de los nuevos numeradores

5

−

6

10 10

EJEMPLOS 3

3 6 5 : − 7 7 8

3 7 5 3 7 5 = . − = . − = 7 6 8 7 6 8

3 5 1 5 = − = − 6 8 2 8 1) Cálculo del nuevo numerador

2=2 3 8=2

4 5 1 = − =− 8 8 8 2) Cálculo de los nuevos numeradores

4 3

mcm(2,8) = 2 = 8

−

5

8 8

Ejercicios 4

Libro: pág. 74 ej. 51

EJEMPLO RESUELTO 4

Libro: pág. 74 ej. 51

Ejercicios 5

Libro: pág. 74 ej. 53

La escala •

Imaginad que quisiéseis dibujar un tubo de pegamento en vuestro papel. La verdad es que no tendríais ningún problema para hacerlo. Lo dibujaréis con el mismo tamaño que tiene en la realidad.

Escalas Pero si lo que queremos dibujar es nuestra silla de clase en el papel entonces necesitaremos hacerla mas pequeña de lo que es en realidad. • Análogamente, una chincheta tenemos que dibujarla mas grande para poder dibujarla con precisión. • Por tanto, nos encontramos con tres casos distintos a la hora de dibujar una figura en nuestro papel: •

Dibujarla tal y como es en la realidad Dibujarla mas pequeña de lo que es en la realidad, es decir, reducirla Dibujarla mas grande de lo que es en realidad, es decir, ampliarla

Escalas •

Denominamos escala a la relación que existe entre las medidas del dibujo del objeto que hacemos en nuestro papel y las medidas que tiene el objeto real.

Escala Natural

Cuando las dimensiones del dibujo son idénticas a las del objeto.

Escala de reducción

Escala de ampliación

Cuando las dimensiones del dibujo son más pequeñas que las del objeto real.

Cuando las dimensiones del dibujo son más grandes que las del objeto real.

Escalas •

Las escalas se representan mediante fracciones, en las que el numerador se representa las medidas del dibujo, y el denominador, las del objeto real. Medida del objeto real

E1:10 Escala Medidas del objeto en el dibujo

Escalas •

Realizar un rectángulo de lado 40 mm de ancho y 50 mm de alto a escala: a) E 1:1 b) E 3:1 c) E 1:2

a)

Esta escala es natural, por lo que el rectángulo del dibujo mide exactamente lo mismo que el rectángulo real.

Escalas b)

Esta escala es de ampliación, por lo que el rectángulo del dibujo tiene que ser mayor que el rectángulo real. Recordamos que AMPLIAR=MULTIPLICAR, por lo que tenemos que multiplicar las dimensiones del rectángulo real por 3, porque la escala es 3:1

Escalas c)

Esta escala es de reducción, por lo que el rectángulo del dibujo tiene que ser menor que el rectángulo real. Recordamos que REDUCIR=DIVIDIR, por lo que tenemos que dividir las dimensiones del rectángulo real por 2, porque la escala es 1:2

El dibujo es dos veces menor que el objeto real, lo hemos reducido.

Escalas Aquí podemos ver los rectángulos representados en las diferentes escalas

Escala Natural

Escala de reducción

Escala de ampliación

Escalas •

Observa que la escala es una razón o fracción

Escala Natural

1 1 Un mm en el plano equivale a un mm en el objeto real

Escala de reducción

Escala de ampliación

25mm 1 = 50mm 2

150mm 3 = 50mm 1

Un mm en el plano equivale a 2 mm en el objeto real

150 mm en el plano equivalen a 50 mm en el objeto real

Escalas

Una escala es una razón o proporción entre dos valores: la medida del plano y la medida del objeto real.

Medida del objeto real

X 10

1 cm 10 cm 10 cm E1:10 = = = 10 cm 100cm 1 m Medidas del objeto en el dibujo

Obteniendo fracciones equivalentes obtienes otras razones o escalas equivalentes a la primera.

Escalas EJERCICIOS RESUELTOS 1. Realizar un rectángulo de lado 20 mm de ancho y 100 mm de alto a escala: a) E 1:1 b) E 5:1 c) E 1:4 2. ¿Cuál es la escala en la que está construido un mapa sabiendo que 80 km en la realidad vienen representados por 2 cm en el mapa?

x 100000 E 2cm:80km

:2

2 cm 2 cm 1 cm = = = 80 km 8.000.000 cm 4.000.000 cm

= E 1: 4000000

Porcentajes •

Un porcentaje es una fracción o proporción de denominador 100

20 20% = 100 EJEMPLO El 25% de un grupo de 100 alumnos:

25 El 25% de 100 alumnos = de 100 alumnos = 25 alumnos 100

Resolución de problemas de fracciones empleando el diagrama de árbol • Vamos a ver un problema de ejemplo para

entender cuándo nos puede ser útil el diagrama de árbol. • En este problema tendremos una bote lleno de caramelos e iremos sacando caramelos, las cantidades a sacar nos las darán en forma de fracción. • Al final del proceso tenemos que contestar a las preguntas que nos haga el enunciado: decir cuántos caramelos quedan, cuántos se han sacado…

Problemas de fracciones: resolución mediante diagramas de árbol EJEMPLO Enunciado: ”En una caja de caramelos había 100 caramelos. Primero sacamos

1 de los caramelos. De lo que 4

quedaba se han sacado 2 ¿Cuántos caramelos quedan en

5 el bote?” Ahora construimos el árbol:

Para completarlo solo tenemos que usar la definición de fracción Por ejemplo, si la flecha que va del 100 al primer 3 4

círculo lleva un , significa que en ese círculo deben ir los 3 de 100.

4

3 3⋅100 300 ⋅100 = = = 75 4 4 4

Si volvemos a aplicar el mismo procedimiento ocurre lo siguiente: Ahora nos fijamos en la flecha que va del 75 al siguiente círculo y que lleva un 3 , significa que 5

en ese círculo deben ir los 3 de 75. 5

3 3⋅ 75 225 ⋅ 75 = = = 45 5 5 4

EJERCICIO 1

Enunciado: ”En un garaje había 200 coches. La mitad de ellos salieron a medio día. De los que quedaban se fueron por la tarde 2 y se cerró el parking hasta la mañana siguiente.

5

A.

¿Cuántos coches había en el garaje esa noche?

B.

¿Cuántos salieron a medio día?

C. ¿Cuántos salieron por la tarde?

salen 1 2

A. Coches que salieron a mediodía

200

1 2

?

se quedan

? 40

R: 100 coches

B. Coches que salieron por la tarde

100 ?

2 salen 5

1 200 ⋅ 200 = = 100 2 2

3 5 se quedan ? 60

2 200 ⋅100 = = 40 5 5

R: 40 coches

C. Coches que quedaron

3 300 ⋅100 = = 60 5 5

R: 60 coches

EJERCICIO 2

Enunciado: ”De un acuario con 165 peces se retiraron 2

5 3 en el mes de Enero y 3 meses después se retiraron de 11 los peces que quedaban. A.

¿Cuántos peces quedan en el acuario?

B.

¿Cuántos peces se retiraron 3 meses después?

C. ¿Cuántos peces se retiraron en total?

A. Peces que se retiraron en Enero

se retiran

2 2 ⋅165 ⋅165 = = 66 5 5 165 − 66 = 99

165

2 5

3 quedan 5

R: 66 peces

B. Peces que se retiraron 3 meses después 66 ?

99 ?

3 se retiran 11 ? 27

9 11 quedan ?

3 297 ⋅ 99 = = 27 11 11

R: 27 peces

C. Peces que se retiraron en total

27 + 66 = 93

R: 93 peces

Observa un detalle. Para “bajar” en el árbol calculamos operaciones como esta:

3 3⋅ 75 225 ⋅ 75 = = = 45 5 5 4

¿Qué pasaría si quisiéramos “subir” en el árbol? Sabemos que una “cosa” se ha multiplicado por 3 y dividido entre 5 y ha dado 45 Para saber cuál era esa cosa deshacemos las operaciones. Es decir, multiplicamos por 5 y dividimos entre 3

3 ⋅? = 45 5

45⋅ 5 ?= = 75 3

EJERCICIO 3

Completa los huecos con interrogante en el siguiente árbol

3 60 ⋅ 5 300 ⋅? = 60 ? = = = 100 5 3 3 salen

200 ?

1 2

1 se quedan 2 100 ?

2 salen 5

3 5 60

1 ⋅? = 100 2 100 ⋅ 2 ?= = 200 se quedan 1

EJERCICIO 4

Enunciado: ”En una bodega que ha decidido cerrar se ha tomado la decisión de sacar progresivamente las botellas de vino que hay en el interior. Durante el mes de Enero hemos sacado 2 de las botellas y durante el mes de

5 Febrero hemos sacado 5 de lo que quedaba. Si quedan 8

90 botellas en la bodega: A.

¿Cuántas botellas había antes de empezar a vaciarla?

B.

¿Cuántas botellas se sacaron en Enero?

C. ¿Cuántas botellas se sacaron en Febrero?

100 ⋅ 2 3 ⋅? = 240 ? = = 200 5 1 salen

400 ?

2 5

3 se quedan 5

160

240 ?

5 salen 8 150

3 8 se quedan

90

3 ⋅? = 90 ? = 90 ⋅ 8 = 720 = 240 3 3 8 A. ¿Cuántas botellas había antes de empezar a vaciarla?

R: 400 botellas A. ¿Cuántas botellas se sacaron en Enero?

R: 160 botellas A. ¿Cuántas botellas se sacaron en Febrero?

R: 150 botellas

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