TEMA 3 “FUERZAS Y MOVIMIENTOS CIRCULARES” 1. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU). Es el movimiento de un cuerpo cuya trayectoria es una circunferencia y su velocidad es constante.

1.1.

Desplazamiento angular o ángulo barrido.

Para describir más cómodamente los movimientos circulares hacemos uso de las siguientes magnitudes angulares:  Radio vector: Es un vector con origen en el centro de la circunferencia y extremo en la posición sobre la circunferencia del punto en cuestión.  Desplazamiento angular o ángulo barrido: Es el cambio de posición que experimenta un móvil entre dos instantes de tiempo, en un movimiento circular. ∆𝜃 = 𝜃2 − 𝜃1 𝜃1 = Angulo inicial 𝜃2 = Angulo final  El radian: Mientras el cuerpo recorre un arco s, en el sentido indicado en el dibujo del margen, el radio vector r, describe un desplazamiento angular , de manera que: 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =

𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

Es decir: ∆𝜽 =

𝒔 𝒓

Podemos considerar que hay dos clases de espacios recorridos:  El espacio lineal o distancia recorrida sobre la trayectoria, s.  El espacio angular o ángulo barrido por el radio vector, 𝜃. 1

El espacio lineal se mide en metros, mientras que el ángulo barrido puede medirse de tres formas (en grados, revoluciones o radianes):  Una circunferencia tiene 360º.  Una revolución es una vuelta completa a una circunferencia.  Una circunferencia tiene 2𝜋 radianes. 1 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 = 360º = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 1.2.

Velocidad angular.

En un movimiento circular uniforme, la velocidad angular, , es el ángulo barrido por el radio vector en la unidad de tiempo. 𝜔=

∆𝜃 𝑡

Su unidad en el SI es el radian por segundo (rad/s), aunque también se suele expresar en revoluciones por minuto (rpm) y en revoluciones por segundo (rps).

1.3.

Relación entre la velocidad lineal y angular.

Al definir el radián, hemos visto que: 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 =

𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟

O escrito de otra manera: 𝑎𝑟𝑐𝑜 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 × 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠 = ∆𝜃 × 𝑟 De esta expresión podemos deducir que una magnitud lineal (arco recorrido) es igual a la correspondiente magnitud angular (arco descrito en radianes), multiplicada por el radio vector, de la misma manera se deduce: 𝑣 = 𝜔 ×𝑟 Es decir, la velocidad lineal es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio vector.

2

1.4.

Aceleración normal o centrípeta.

En un movimiento circular siempre existe una aceleración llamada normal o centrípeta que es debida al cambio de la dirección de la velocidad. Esta aceleración se puede calcular de la siguiente forma: 𝑣2 𝑎𝑐 = 𝑟 Esta como cualquier aceleración se mide en m/s2. Siendo r el radio de la circunferencia. Si además, el movimiento circular fuera acelerado, aparecería una nueva aceleración llamada, aceleración tangencial, debida al cambio en el modulo de la velocidad. Si la velocidad es constante (v = cte) entonces la aceleración tangencial es cero (at = 0). MRU

MRUV

MCU

MCUV

at

NO

SI

NO

SI

an

NO

NO

SI

SI

1.5.

Frecuencia y periodo en el movimiento circular uniforme.

Frecuencia, es el numero de vueltas que describe un cuerpo en la unidad de tiempo. La unidad de frecuencia es el hercio (Hz), que equivale al número de vueltas o ciclos dados en un segundo.

Periodo, es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa. La unidad del periodo es el segundo (s).

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La frecuencia y el periodo son magnitudes inversas: 𝑓=

1 𝑇

𝑇=

1 𝑓

Teniendo en cuenta la definición de periodo, la velocidad con la que un cuerpo recorre una circunferencia, cuya longitud es 2r, es la siguiente: 𝑣= 1.6.

𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 2𝜋𝑟 = = 2𝜋𝑟𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑇

Fuerza centrípeta.

Acabamos de ver, que en todo movimiento circular existe una aceleración, debida al cambio en la dirección de la velocidad, llamada aceleración centrípeta, dirigida hacia el interior de la circunferencia, esta aceleración es debida a una fuerza. La fuerza responsable de esta aceleración, actúa en su misma dirección y sentido, recibe el nombre de fuerza centrípeta, Fc. Dado que:

𝑣2 𝑎𝑐 = 𝑟 La fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo de masa m, que recorre una circunferencia de radio r, a una velocidad v, viene dada por la siguiente expresión: 𝑣2 𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑟 4. LA LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL. La Luna fue el primer cuerpo celeste cuyo movimiento trato de comprender y explicar el científico Isaac Newton, que dedujo, de que, de no existir alguna fuerza actuando sobre ella, la luna debería moverse en línea recta con velocidad constante. Sin embargo, vista desde nuestro planeta, la Luna seguía una trayectoria circular. En consecuencia, debía existir una aceleración hacia la Tierra y una fuerza que la produce.

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Newton dedujo la siguiente ley: “Todos los cuerpos del universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” Este es el enunciado de la ley de gravitación universal, que se expresa matemáticamente de la siguiente forma: 𝑚 ∙ 𝑚′ 𝐹=𝐺 ∙ 𝑟2 Donde m y m’ son las masas de los cuerpos que se atraen expresados en kilogramos (kg), r es la distancia existente en metros (m) entre los cuerpos, y G es la constante de gravitación universal, cuyo valor es: 𝐺 = 6,67 ∙ 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝑘𝑔2 4.1.

La síntesis Newtoniana: La caída y el peso de los cuerpos.

Los objetos caen porque la Tierra los atrae, tal y como hace con la Luna. La fuerza que provoca la caída de los cuerpos no es más que una manifestación de la ley de gravitación universal. También sabemos que el Peso, es la fuerza con la que un cuerpo es atraído hacia el centro de la Tierra y es proporcional a su masa: 𝑃 = 𝑚′ ∙ 𝑔 Aplicando la ley de la gravitación universal: 𝑀𝑇 ∙ 𝑚′ 𝐹=𝐺 ∙ 𝑟𝑇 2 Como se trata de la misma fuerza (P = F): 𝑀𝑇 ∙ 𝑚′ 𝑚 ∙𝑔 = 𝐺 ∙ 𝑟𝑇2 ′

Obtenemos: 𝑔= 𝐺 ∙

𝑀𝑇 𝑟𝑇2

Se deduce, que el valor de g, llamada aceleración de la gravedad, se puede calcular: 𝑀𝑇 5,98 ∙ 1024 −11 𝑔 = 𝐺 ∙ 2 = 6,67 ∙ 10 ∙ = 9,8 𝑚/𝑠 2 6 2 (6,37 ∙ 10 ) 𝑟𝑇 Esta magnitud, g, así definida recibe el nombre de intensidad de campo gravitatorio. 5