Tema 3: Fuerzas eléctricas y campo eléctrico Fundamentos Físicos de la Ingeniería Ingeniería Industrial Primer curso Curso 2009/2010

Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

1

Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Tema 3.-Fuerzas eléctricas … 2/50

Introducción 





“Elektron” es un vocablo griego que significa i ifi ámbar á b Al frotar el ámbar éste atrae pequeños p q objetos (pajitas, plumas,…) La electricidad es un fenómeno muy presente en la vida diaria:  

Fenómenos de electricidad estática Ingeniería: máquinas y motores eléctricos

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Carga eléctrica 

Evidencia experimental: 





 

Dos barras de plástico frotadas con piel se repelen Dos barras de vidrio frotadas con seda se repelen La barra de vidrio y la de plástico se atraen

Se dice que las barras están cargadas Hay dos tipos de carga:  

Carga positiva C Carga negativa ti

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Propiedades de la carga 

Cuantización  



La carga esta cuantizada: Q   Ne D d e es la Donde l unidad id d fundamental f d t l de d carga, que coincide con el valor absoluto la carga del electrón Usualmente N es muy grande



Conservación de la carga 19 Unidades: culombio (C) e  1.60  10 C



Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es



del orden de 50 nC:

50nC 50  109 C 11 N 3 10    19 e 1.60  10-19 C

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Aislantes y conductores Clasificación de la materia atendiendo a sus propiedades de conducción eléctrica  Conductores: la carga puede desplazarse por su interior con facilidad 



Ejemplo: metales

Aislantes: La carga Aislantes ca ga no puede p ede moverse mo e se libremente 



Cuando se cargan por frotación la carga queda confinada en la región frotada. Ejemplos: vidrio, caucho, madera.

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Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Ley de Coulomb 

Fuerza ejercida por una carga puntual sobre b otra 



 

B l Balanza de d torsión t ió

Está dirigida a lo largo de la línea que las une Disminuye con el cuadrado de la distancia que separa las cargas Es proporcional al producto de las cargas Es repulsiva para cargas del mismo signo y atractiva para cargas de signo contrario

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Ley de Coulomb 

Representación matemática:  qq F12  k 1 2 2 rˆ12 r12    r2  r1 r12 rˆ12      r2  r1 r12

 F12

Nm2 k  8.99  10 C2 9

Constante de Coulomb p Medida experimentalmente

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Principio de superposición Cuando tenemos un sistema de cargas la fuerza sobre cada d carga es la l suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por cada una de las demás g cargas Principio experimental Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Campo eléctrico: introducción 



La fuerza entre cargas puede verse como una acción a distancia. Una visión alternativa es la del campo eléctrico: 



Una carga crea un campo eléctrico lé en todo d el espacio: magnitud vectorial El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras cargas

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Campo eléctrico: definición En un punto colocamos una carga de prueba: q0 No perturba la distribución de cargas original (q ( 0→0) 0) Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula

  

 F

q1 q2

 F10

q0

 Magnitud vectorial

  F E q0

 Dirección de

 F

 Independiente de q0

 F20

 Unidades: N/C

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Campo de una carga puntual  Ei q  0 r ip rp

• Tenemos una carga puntual qi • Situamos una carga de prueba q0

z

• Ley de Coulomb:

 qq Fi 0  k i 2 0 rˆip rip   Fi 0 Ei  q0

 q Ei  k 2i rˆip rip

x

 ri

O

i p

qi

y Punto fuente Punto campo

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL

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Campo eléctrico de una distribución de cargas puntuales 

 rp q3  r3

x

 r1

O



q2

 r2

z

Principio de superposición para el p eléctrico campo

q1

y



Es una consecuencia del principio de superposición para la fuerza El campo eléctrico de la distribución de cargas es la suma vectorial de los campos de cada carga puntual

  q E p   Ei   k 2i rˆipp rip i i

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Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga  



Las distribuciones de carga son siempre discretas (cuantización de la carga) Cuando un punto de la distribución ó de cargas contiene un número muy alto de cargas discretas la distribución puede tratarse como una distribución continua de p carga Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan como distribuciones continuas de masa

V

z x

y

m

dm V 0 V dV dm  m dV  m   m dV

m  lim

i

i



V

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Distribución volumétrica de carga  Campo debido a un dq:

z x

V

dqq  dV  P r

 dq dE  k 2 rˆ r

 Campo total debido a la distribución en V :

 dq E   k 2 rˆ V r

y

 Distribución volumétrica de carga: Densidad de carga: 

dq  dV

 dV d E   k 2 rˆ V r

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Distribuciones superficial y lineal de carga Distribución superficial de carga: z dq  dS  dS E   k 2 rˆ  S r r x P y 

Distribución lineal de carga: P r dl  z dl E   k 2 rˆ L dq  dl r x y 

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Ejemplo: Campo sobre el eje de una carga lineal finita y dx L

Q  2L dE P x kdq k dx x dEx   ( xP  x ) 2 ( xP  x ) 2 Distribución uniforme:

L

x

xP

u  xP  x dx Ex  k    L ( x  x)2 du   dx P L

 k  



xP  L

xP  L

du u2

 1 1  2kL kQ Ex  k       2 2 x L x L xP2  L2    P P  xP  L Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

xP  L

Tema 3.-Fuerzas eléctricas … 19/50

Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Líneas de campo eléctrico 

Representación gráfica para visualizar el campo eléctrico 



El campo eléctrico es tangente a la línea de campo El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto más próximas están las líneas de campo

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Ejemplo: carga puntual 





Sólo dibujamos un número finito de líneas, líneas pero existe el campo en todo el espacio Representación p bidimensional de un campo tridimensional Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga p en ese campo

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Ejemplo: carga puntual 





Sólo dibujamos un número finito de líneas, líneas pero existe el campo en todo el espacio Representación p bidimensional de un campo tridimensional Línea de campo no equivale a trayectoria de una carga p en ese campo

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Dos cargas positivas iguales

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Cargas iguales con distinto signo: dipolo eléctrico

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Reglas para representar líneas de campo 







Salen de las cargas positivas y terminan en las negativas Si hay exceso de carga positiva debe haber líneas que acaban en el infinito Si hay exceso de carga negativa debe haber líneas que salen del infinito Para cada carga puntual las líneas í se dibujan entrando o saliendo de la carga y:  



Uniformemente espaciadas En número proporcional al valor de la carga

Dos líneas de campo no pueden cruzarse

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Ejemplo: Exceso de carga positiva: líneas que terminan en el infinito Salen 16 líneas equiespaciadas i i d Entran 8 líneas equiespaciadas Líneas salen de la carga positiva y entran en la carga negativa Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Líneas a distancias grandes 

A distancias grandes comparadas p con la mayor distancia entre cargas del sistema: 





Líneas igualmente Lí i l t espaciadas Líneas radiales

Equivalen a las líneas de una sola carga puntual con carga igual i l a la l carga neta del sistema

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Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Movimiento de cargas en un campo eléctrico 

Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de un campo eléctrico:



 E

  F  qE    qE Segunda g Leyy de Newton: F  ma  q  q  a E m q



Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente acelerado

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Ejemplo 1: electrón en campo uniforme  E

  F  eE

y

   F  eEi  ma

q  e

eE d 2 x  2 a m dt

x

eE  dx v t dt m eE 2 x  x0  t 2m

0 t v( x)  v(0)   adt dt  att 0

t2 x  x0   atdt tdt  a 0 2 t

Movimiento uniformemente acelerado Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Ejemplo 2: electrón con velocidad perpendicular al campo 

y

  F  eE E x

 v0 E q  e

Eje y : movimiento rectilíneo uniforme

y  y0  v0t 

Eje x : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

x  x0 

eE 2 t 2m

La trayectoria del electrón es una parábola, parábola análogamente a la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un campo gravitatorio (tiro parabólico) Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Índice     

Introducción Carga eléctrica Ley de Coulomb Principio de superposición Campo eléctrico    



Campo de cargas puntuales Campo de distribuciones continuas de carga Líneas de campo eléctrico Movimiento de cargas en un campo eléctrico

Ley de Gauss

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Ley de Gauss   

Ley general del electromagnetismo Útil para calcular campos eléctricos Sólo puede aplicarse para tal fin en situaciones en que la distribución de cargas tenga una alta simetría

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Flujo eléctrico 



Magnitud proporcional al número de líneas de campo que atraviesan una superficie Supongamos E uniforme y superficie perpendicular

 E

  EA FLUJO E '  xE   '  x A'  nA   '  n

 Definimos:  Si

A

 Si

El flujo aumenta o disminuye proporcionalmente al número de líneas de campo que atraviesan la superficie

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Flujo eléctrico 

Supongamos una superficie no perpendicular:

 E

A1 es perpendicular a las líneas de campo

nˆ

 A1

A2 A1 es atravesada por el

mismo número de líneas de campo que A2 :

  EA1  EA2 cos 

 

 En g general:   E  A

   ˆ  EA cos    E  A  E  nA

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Flujo eléctrico 

Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme  Tomamos Ai tan pequeña que pueda considerarse:

 E

nˆi

 Superficie plana

Ai 

 Campo eléctrico uniforme

  i  Ei  nˆi Ai

 Flujo total:    i Ei  nˆi Ai ; en el límite Ai  0 :    ˆ   E  dA    E  ndA S

S

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Flujo en una superficie cerrada 



Es aquella superficie que divide el espacio en dos regiones: interior y exterior A la hora de calcular el flujo en una superficie cerrada se toma por convenio el vector nˆ hacia fuera de la superficie:

nˆ

  

S



 ˆ dA E  ndA

El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional al número neto de líneas que salen del volumen

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Ley de Gauss 

Suponemos una carga puntual en el centro de una esfera de radio R

 Q Radial E  nˆ  En  k 2   R    E  dA   En dA  En 4R 2

R Q

SR

SR  

SR

  4kQ

El flujo fl j es independiente i d di de d R El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera

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Ley de Gauss 

Supongamos otras superficies no necesariamente esféricas:

Q S1

SR

 A todas las superficies las atraviesa t i ell mismo i número ú de líneas  Mismo flujo neto para todas las superficies:

  4kQ

S2 Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Ley de Gauss 

Supongamos un sistema de cargas: 

q3

P i i i de Principio d superposición: i ió

  

S

   ( E1  E2 )  dA  1   2

q2

q1

  4k (q1  q2 ) 

S

Para la carga exterior:

 3  

S

  E3  dA  0

Todas las líneas de campo que entran por un punto de la superficie salen por otro

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Tema 3.-Fuerzas eléctricas … 41/50

Enunciado de la Ley de Gauss El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es 4k veces la carga neta dentro de la superficie      E  dA   En dA  4kQint S

S

 A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la permitividad del espacio libre:

1 4k  0

con

0  8,85  10

12

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C2 Nm2



Qint 0

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Aplicaciones de la Ley de Gauss 





Es una Ley válida para cualquier superficie y cualquier distribución de carga A veces es útil para determinar el campo g q que eléctrico debido a una distribución de carga tiene un alto grado de simetría La técnica consiste en emplear la ecuación de la Ley de Gauss buscando una superficie de integración (superficie gaussiana) tal que el campo eléctrico pueda salir fuera de la integral p g 

Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante ó nulo

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Simetría esférica 

Carga puntual  

Simetría: Si t í campo radial di l Superficie gaussiana: esfera de radio r    En dA  En  dA  En 4r 2  4kq Sr

r

Sr

 E  En nˆ

En  k

q r2

Sr Fundamentos Físicos de la Ingeniería. Ingeniería Industrial Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada III

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Simetría esférica 

Esfera de radio R con carga Q uniformemente distribuida en su volumen 

Superficie gaussiana: esfera de radio r

rR    En dA  4kQ Sr

  En 4r 2

En  k

Q r2

r  R   En 4r 2  4kqint r3 3 qint   4r 3  Q 3 R Q  4R 3 3 En 

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kQ r R3

Tema 3.-Fuerzas eléctricas … 45/50

Esfera con carga uniforme en volumen

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Simetría cilíndrica 

Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ( ) Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con la línea de carga

 

    ˆ dA   E  ndA ˆ dA   E  ndA ˆ dA   E  ndA ˆ dA    E  ndA S1

S2

SL

  En 2rL 

S1

r SL

En 

S2

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1  20 r

qint L  0 0

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Simetría plana 

Plano infinito uniformemente cargado 

 

Simetría:E ( z ) p perpendicular p al plano p e impar p en z Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

 ˆ   E ( z )dA   E ( z )dA  2 E ( z ) A    E  ndA S1

z

nˆ

 E( z)

S1

x

y

SL

S2

nˆ

nˆ  E ( z )

S2

E ( z )   E ( z ) q A   2 E ( z ) A  int  0 0  E  2k  2 0

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Simetría plana Ez

z

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Resumen 

La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la carga eléctrica   

 



 

Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa). Está cuantizada. cuantizada La carga se conserva.

La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley de Coulomb. La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular la fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua, ejerce sobre una carga. Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por una distribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto del espacio. El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresión i t integral l y se representa t gráficamente áfi t mediante di t líneas lí d campo. de La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede utilizarse para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo eléctrico creado p por distribuciones de carga g q que p posean un alto g grado de simetría.

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