Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES

σMAX(COMPRESIÓN) z

G

n

x

n

y

σMAX(TRACCIÓN)

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

5.1.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura. 10 kN.m

RA

15 kN/m

20 kN RB

A

8 kN

B 2m

1m

1m

1m

Cálculo de reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:

∑F =0 ∑M = 0

RA + RB = 15.2 + 20 + 8 (1)

resolviendo : RA = 23 kN RB = 35 kN

RB .4 = 15.2.1 + 20.3 + 8.5 (2)

A

Diagramas de esfuerzos:

27

1,53 m

7

-

x + 8 23

8

Vy (kN) 16

x + 19

17,63 Mz (kN.m)

26

0− x−2 V y = 23 − 15.x Vy = 0

x = 0 → V y = 23 kN

x = 2 → V y = −7 kN

23 − 15.x = 0 → x = 1, 53 m

M z = 23.x − 15.x.

x 2

x = 0 → Mz = 0

x = 2 → M z = 16 kN .m

x = 1, 53 → M z = 17, 63 kN .m

2− x−3 Vy = 23 − 15.2 = −7 M z = 23.x − 15.2.( x − 1) + 10

x = 2 → M z = 26 kN .m x = 3 → M z = 19 kN .m

3− x −4 Vy = 23 − 15.2 − 20 = −27 kN M z = 23.x − 15.2.( x − 1) + 10 − 20.( x − 3)

x = 3 → M z = 19 kN .m x = 4 → M z = −8 kN .m M z = 0 → x = 3, 7 m

4− x−5 Vy = 8 kN M z = −8.(5 − x )

x = 4 → M z = −8 kN .m x = 5 → Mz = 0

5.2.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura 2,5 kN/m

10 kN RA

MA h x

1,5 m

1m

1m

Cálculo de las reacciones: Ecuaciones de equilibrio:

1 RA = .2, 5.1, 5 + 10 = 11,87 kN 2 1 1 ∑ M A = 0 M A = 2 .2, 5.1, 5.(2 + 3 .1, 5) + 10.1 = 14, 68 kN .m

∑F =0

Diagramas de esfuerzos:

11,87

-

1,87

x Vy (Kg)

14,68

2,81 0,94

x

Mz (Kg.m)

por semejanza de triángulos :

h 2, 5 = x 1, 5

→ h = 1, 67.x

0 − x − 1, 5 1 1 V y = − .x.h = − .x.1, 67.x 2 2 1 1 M z = − .x.1, 67.x. .x 2 3 1, 5 − x − 2, 5 1 V y = − .1, 5.2, 5 = −1,87 kN 2 1 2 M z = − .1, 5.2, 5.( x − .1, 5) 2 3

x = 0 → Vy = 0

x = 1, 5 → V y = −1,87 kN

x = 0 → Mz = 0

x = 1, 5 → M z = −0, 94 kN .m

x = 1, 5 → M z = −0, 94 kN .m

x = 2, 5 → M z = −2,81 kN .m

2,5 − x − 3,5 Vy = −11,87 kN M z = 11,87.(3,5 − x ) − 14, 68

x = 2,5 → M z = −2,81 kN .m x = 3,5 → M z = −14, 68 kN .m

5.3.-Representar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores de la viga de la figura sometida a las cargas verticales y horizontales indicadas VA

VB

10 kN

z

HA

8 kN y

1m

2m

HB

1m

Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:

∑F =0 ∑F =0 ∑M = 0 ∑M = 0 y

HA + HB = 8

(2)

zA

VB .4 = 10.1

(3)

yA

H B .4 = 8.3

(4)

z

VA = 7, 5 kN

V A + VB = 10 (1)

VB = 2, 5 kN

Resolviendo:

H A = 2 kN H B = 6 kN

Diagramas de esfuerzos: 2,5 -

x

+ Vy (kN)

7,5

6 -

x

+ 2 Vz (kN) x

+ 2,5 7,5 Mz (kN.m) 2

+ 6

My (kN.m)

0 − x −1 V y = 7, 5 kN

Vz = 2 kN

M z = 7,5.x

x = 0 → Mz = 0

x = 1 → M z = 7,50 kN .m

M y = 2.x

x =0→ My =0

x = 1 → M y = 2 kN .m

x

1− x − 3 Vy = 7, 5 − 10 = −2, 5 kN Vz = 2 kN M z = 7, 5.x − 10.( x − 1)

x = 1 → M z = 7, 5 kN .m

M y = 2.x

x = 1 → M y = 2 kN .m

x = 3 → M z = 2, 5 kN .m x = 3 → M y = 6 kN .m

3− x −4 Vy = 7, 5 − 10 = −2, 5 kN Vz = 2 − 8 = −6 kN M z = 7, 5.x − 10.( x − 1)

x = 3 → M z = 2, 50 kN .m

M y = 2.x − 8.( x − 3)

x = 3 → M y = 6 kN .m

x = 4 → Mz = 0 x = 4→ My = 0

5.5.-Representar los diagramas de solicitaciones de la estructura de nudos rígidos de la figura 6 kN/m 10 kN C

D

3m

HA

A

B

4m

VB

VA

Cálculo de reacciones: Ecuaciones de equilibrio:

∑F ∑F ∑M

H

=0

H A = 10 kN

V

=0

VA + VB = 6.4

A

=0

V A = 4, 5 kN

Resolviendo:

VB = 19, 5 kN

VB .4 = 10.3 + 6.4.2

Diagramas de esfuerzos:

N (kN) 4,5

19,5

-

-

10 +

-

4,5

Mz (kN.m)

30 +

30

+

31,69

Pilar AC N = −4, 5 kN M z = 10.x

19,5

Vy (kN)

V y = 10 kN x = 0 → Mz = 0

x = 3 → M z = 30 kN .m

Viga CD : N = 10 − 10 = 0 V y = 4, 5 − 6.x x = 0 → V y = 4, 5 kN M z = 4, 5.x + 10.3 − 6.x. x = 0 → M z = 30 kN .m Pilar BD : N = −19, 5 kN Vy = 0 Mz = 0

x = 4 → V y = −19, 5 kN

RY = 0 → x = 0, 75 m

x 2 x = 4 → Mz = 0

x = 0, 75 → M z = 31, 69 kN .m

5.7.-Representar los diagramas de solicitaciones de la viga de la figura 8 kN.m

50 kN

18 kN/m 10 kN.m

20 kN/m

HA

HB

22 kN

VA

1m

VB

2m

3m 62,4

Solución: 2,4

x

+

47,6

Vy 65,6

14,8 -

+ 7,2

10

Vz

x

x

+ Mz

97,2 21,6

x

+ 8 My

Cálculo de reacciones:

∑F ∑F

y

z

∑M ∑M

1 = 0 VA + VB = .18.2 + 50 + 20.3 (1) 2 = 0 H A + H B = 22 (2) 1 2 = 0 VA .5 = 10 + 18.(3 + .2) + 50.3 + 20.3.1.5 (3) 2 3 H A .5 = 8 + 22.3 (4) yB = 0

zB

resolviendo (1), (2), (3), (4) ⇒ VA = 65, 6 kN VB = 62, 4 kN H A = 14,8 kN

H B = 7, 2 kN

18 h

18 h = → h = 9.(3 − x ) 2 3− x

x 1

2

0 − x − 1: Vy = Vz = M z = 0 M y = 8 kN .m 1 1 − x − 3 : Vy = 65, 6 − 9.(3 − x).( x − 1) − .( x − 1).[18 − 9.(3 − x) ] 2 x = 1 → Vy = 65, 6 kN x = 3 → Vy = 47, 6 kN Vz = −14,8 kN ( x − 1) 1 2 − .( x − 1).[18 − 9.(3 − x) ] . .( x − 1) − 10 2 2 3 x = 3 → M z = 97, 2 kN .m

M z = 65, 6.( x − 1) − 9.(3 − x).( x − 1). x = 1 → M z = −10 kN .m M y = 8 − 14,8.( x − 1) x = 1 → M y = 8 kN .m

x = 3 → M y = −21, 6 kN .m

1 3 − x − 6 : Vy = 65, 6 − .18.2 − 50 − 20.( x − 3) 2 x = 3 → Vy = −2, 4 kN x = 6 → Vy = −62, 4 kN Vz = −14,8 + 22 = 7, 2 kN 1 1 ( x − 3) M z = 65, 6.( x − 1) − .18.2.( x − 1 − .2) − 10 − 50.( x − 3) − 20.( x − 3). 2 3 2 x = 3 → M z = 97, 2 kN .m x = 6 → M z = 0 kN .m M y = 8 − 14,8.( x − 1) + 22.( x − 3) x = 3 → M y = −21, 6 kN .m

x = 6 → M y = 0 kN .m

5.11.-Una sección de una viga está sometida a las siguientes solicitaciones: Vy = 90 kN., Vz = -70 kN., Mz = 40 kN.m., My = -50 kN.m. La sección es rectangular de 30 cm x 40 cm. Calcular: 1) Tensiones normal y cortante en un punto de la sección de coordenadas: y= -10 cm., z= 8 cm 2) Línea neutra, indicando las zonas de la sección de tracción y de compresión 3) Tensión normal máxima, indicando el punto donde se dará. 4) Diagramas de tensiones cortantes y Tensión cortante máxima 5) Tensión cortante media

50 kN.m 8 cm A 40 kN.m 70 kN

z 90 kN

1 .30.403 = 160000 cm 4 12 40 cm 1 I y = .40.303 = 90000 cm 4 12 I zy = 0 (ejes de simetria → Ejes principale s ) Iz =

σx 10 cm

x

y 30 cm

σ xA

M z . y A M y . z A 40.10 6.( − 100) − 50.10 6.(80) = + = + = − 6, 94 N / mm 2 4 4 Iz Iy 160000.10 90000.10 30

t ( y ) = 30 cm A τxy

10

Qz ( y ) = 30.10.( −15) = −4500 cm 3

10

Qy ( y ) = 0

z

τ xyA =

Ry .Qz ( y) t ( y).I z

+

por simetría

Rz .Qy ( y) t ( y).I y

=

90.103.(−4500.103 ) = −0,84 N / mm2 4 30.10.160000.10

y

8 τxz

t ( z ) = 40 cm Qz ( z ) = 0 por simetría

7 A

Qy ( z ) = 40.7.11,5 = 3220 cm3 z

40

τ xzA =

y

Ry .Qz ( z) t ( z).I z

+

Rz .Qy ( z) t ( z).I y

=

−70.103.(3220.103 ) = −0,626 N / mm2 4 40.10.90000.10

2) Línea neutra:

tag α = −

M y .I z

=−

M z .I y

−50.160000 = 2, 22 40.90000

→

α = 65,8º

Mz > 0

n

C

C

G

My < 0 n

C

z n

α = 65,8º

T

T

T

n y

T

C

z n

y

z

T

C

n

y

3) Tensiones normales máximas: n

D σMAX(C)

C G

z

T

x x

B σMAX(T)

n y

σ MAX (T ) = σ xB =

M z . y B M y . z B 40.10 6.20.10 −50.10 6.( − 15.10) + = + = 13, 33 N / mm 2 4 4 Iz Iy 160000.10 90000.10

σ MAX (C ) = σ xD =

M z . y D M y . z D 4010 6.( − 20.10) − 50.10 6.15.10 + = + = − 13, 33 N / mm 2 Iz Iy 160000.10 4 90000.10 4

4) Diagramas de tensiones cortantes Diagramas de τxy:

τ xy =

R y .Qz ( y )

+

t ( y ).I z

Rz .Q y ( y ) t ( y ).I y

90.10 3.15.(20 2 − y 2 ).103 = 30.10.160000.10 4

y = 20 → τ xy = 0 → τ xy = 1,125 → y = −20 → τ xy = 0 y=0

siendo:

t ( y ) = 30 cm 20 + y = 15.(20 2 − y 2 ) cm 3 2 por simetría

Qz ( y ) = 30.(20 − y ). Qy ( y) = 0

τXYMAX

z y τxy

20

τXYMAX

y 30

Diagramas de τxz:

τ xz =

R y .Qz ( z )

+

t ( z ).I z

Rz .Q y ( z ) t ( z ).I y

−70.103.20.(15 2 − z 2 ).103 = 40.10.90000.10 4

z = 15 → τ xz = 0 → τ xz = −0,875

z=0

z = −15 → τ xz = 0

→ siendo:

t ( z ) = 30 cm 15 + z = 20.(152 − z 2 ) cm 3 2 por simetría

Q y ( z ) = 40.(15 − z ). Qz ( z ) = 0

z

τxzMAX

40

τxzMAX

z y 15

τ xyMAX = 1,125 N / mm 2

en los puntos del eje z

τxzMAX

G

τ xzMAX = 0,875 N / mm 2 en los puntos del eje y

τxyMAX τMAX y

2 2 τ MAX = τ xyMAX + τ xzMAX = 1, 425 N / mm 2 en el centro de gravedad G

5) Tensión cortante media:

90.103 = 0, 75 N / mm 2 A 300.400 V −70.103 = z = = 0, 583 N / mm 2 A 300.400

τ xymedia = τ xzmedia

Vy

=

τxzmedia

τXYmedia

τXYmedia

τxzmedia

z

5.12.-La sección de una viga IPE-300 está solicitada por los esfuerzos cortantes: Vy=30 kN., Vz=20 kN. Se pide calcular: 1) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección, debidas sólo a Vy. 2) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección debidas sólo a Vz 3) Valores medios de las tensiones cortantes en alas y alma s4

s3

IPE − 300

tf=10,7 mm tw= 7,1 mm

I z = 8360.10 4 mm 4

h/2=150 mm

I y = 604.10 4 mm 4

d=248,6 Vz=20 kN z

s5 Vy=30 kN h/2=150 mm s2

τ xs =

V y .Q z ( s ) t ( s ).I z

+

Vz .Q y ( s ) t ( s ).I y

s1

10,7 mm b/2=75 mm y

b/2=75 mm

Tramo s1:

t ( s) = t f = 10, 7 10, 7 ) = 1547, 75.s1 2 s Qy ( s ) = 10, 7.s1.(75 − 1 ) = −5,35.s12 + 802,5.s1 2 Vy .Qz ( s) 30.103.1547, 75.s1 debido aVy → τ xs = = t ( s).I z 10, 7.8360.104 Qz ( s) = 10, 7.s1.(150 −

debido aVz → τ xs =

Vz .Qy ( s) t ( s ).I y

=

→

20.103.(−5,35.s12 + 802,5.s1 ) → 10, 7.604.104

s1 = 0 → τ xs = 0 s1 = 75 → τ xs = 3, 9 N / mm 2 s1 = 0 → τ xs = 0 s1 = 75 → τ xs = 9,176 N / mm 2

Tramo s2:

t ( s) = t f = 10, 7 10, 7 ) = 1547, 75.s2 2 s Qy ( s ) = 10, 7.s2 .[ − (75 − 2 ) = 5,35.s22 − 802,5.s2 2 Vy .Qz ( s) 30.103.1547, 75.s2 debido aVy → τ xs = = t ( s).I z 10, 7.8360.104 Qz ( s) = 10, 7.s2 .(150 −

debido aVz → τ xs =

Vz .Qy ( s ) t ( s ).I y

=

→

s2 = 0 → τ xs = 0 s2 = 75 → τ xs = 3, 9 N / mm 2

20.103.(5,35.s22 − 802, 5.s2 ) → s2 = 0 → τ xs = 0 10, 7.604.104 s2 = 75 → τ xs = −9,176 N / mm 2

Tramo s3:

t ( s) = t f = 10, 7 Qz ( s) = 10, 7.s3 .[ − (150 −

10, 7 ) 2

] = −1547, 75.s3

s3 ) = −5,35.s32 + 802,5.s3 2 Vy .Qz ( s) 30.103.(−1547, 75.s3 ) debido aVy → τ xs = = t ( s).I z 10, 7.8360.104

Qy ( s ) = 10, 7.s3 .(75 −

debido aVz → τ xs =

Vz .Qy ( s) t ( s ).I y

=

→

s3 = 0 → τ xs = 0 s3 = 75 → τ xs = −3,9 N / mm2

20.103.(−5,35.s32 + 802,5.s3 ) s = 0 → τ xs = 0 → 3 4 10, 7.604.10 s3 = 75 → τ xs = 9,176 N / mm 2

Tramo s4:

t ( s) = t f = 10, 7 10, 7 ) ] = −1547, 75.s4 2 s Qy ( s ) = 10, 7.s3 .[ − (75 − 3 ) ] = 5,35.s42 − 802,5.s4 2 Vy .Qz ( s) 30.103.(−1547, 75.s4 ) = debido aVy → τ xs = t ( s).I z 10, 7.8360.104 Qz ( s) = 10, 7.s4 .[ − (150 −

debido aVz → τ xs =

Vz .Qy ( s ) t ( s ).I y

→

s4 = 0 → τ xs = 0 s4 = 75 → τ xs = −3,9 N / mm2

s4 = 0 → τ xs = 0 20.103.(5,35.s42 − 802,5.s4 ) = → 10, 7.604.104 s4 = 75 → τ xs = −9,176 N / mm 2

Tramo s5:

t ( s) = tw = 7,1 s5 s52 3 Qz ( s) = Wpl , y / 2 − 7,1.s5 . = 314.10 − 7,1. 2 2 Qy ( s ) = 0 ( por simetría) debido aVy → τ xs =

Vy .Qz ( s)

debido aVz → τ xs =

Vz .Qy ( s )

e( s).I z e(s ).I y

=

30.103.(314.103 − 7,1.

=0

7,1.8360.104

s52 s5 = 0 →τ xs = 15,87N / mm2 ) 2 → s5 = 124,3 →τ xs = 13,1 N / mm2

Diagramas de τxs debidas a Vy:

Diagramas91,76 de τxs debidas a Vz:

3,9

τMAX

ala

13,1 * alma

d/2=12,43 cm G

z

15,87

z

τMAX

τMAX d/2=12,43 cm

14,08 τmedia

ala *

13,1 τmedia 5,53

3,9

τMAX

9,176

Debido a Ry: hay tensiones cortantes en el alma y en las alas

τ MAX = 15,87 N / mm 2

en el centro del alma (G )

Observación: Las tensiones cortantes en las alas, debidas a Vy , se suelen despreciar Debido a Vz: sólo hay tensiones en las alas

τ MAX = 9,176 N / mm 2 en el centro de las alas 3) Valores medios de las tensiones cortantes en alma y alas

τ xymedia (alma) = τ xzmedia (alas ) =

Vy Aalma

=

Vy h.tw

=

30.103 = 14, 08 N / mm 2 300.7,1

Vz Vz 20.103 = = = 5,53 N / mm 2 Aalas A − d .tw 53,8.10 2 − 248, 6.7,1

5.13.-En la viga de la figura y para los tres casos de sección indicados, calcular las tensiones normales y cortantes en los puntos 1,2 y 3 señalados de la sección más solicitada. IPE-140

RA

4,5 cm

RB

20 kN

1m

2

2

9 cm

z 2,25 cm

3

3m

1

2,5 cm

R= 5 cm

y

2 z

z d/2=5,6 cm

3 3

1

y 1

y

Cálculo de las reacciones en los apoyos: Ecuaciones de equilibrio:

∑F =0 ∑M = 0 A

RA + RB = 20 (1) RB .4 = 20.1

(2)

→

RA = 15 kN

Resolviendo:

RB = 5 kN

Diagramas de esfuerzos 5 x +

0 − x −1 V y = 15 kN M z = 15.x x = 0 → Mz = 0

Vy

15 x

+ Mz

x = 1 → M z = 15 kN .m

1− x − 4 V y = 15 − 20 = −5 kN M z = 15.x − 20.( x − 1) x = 1 → M z = 15 kN .m

15

Sección más solicitada:

x = 1−

→ Vy = 15 kN

x = 4 → Mz = 0

M z = 15 kN .m

a) Sección rectangular:

1 .45.903 = 273, 4.10 4 mm 4 12 I zy = 0 → ejes de simetría → ejes principales Iz =

45 mm

90 mm

2 3 1 y

z 22,5 mm 22,5 mm

σ=

M z .y Iz

τ xy =

V y Qz ( y ) t ( y ).I z

τ xz =

V y Qz ( z ) t ( z ).I z

punto 1:

σ1 =

M z . y1 15.106.45 = N / mm 2 = 246,9 N / mm 2 4 Iz 273, 4.10

τ xy1 =

V y Qz ( y1 ) t ( y1 ).I z

y1 = 45 mm

siendo:

=0

τ xz1 =

V y Qz ( z1 ) t ( z1 ).I z

=0

z1 = 0

t ( y1 ) = 45 mm Qz ( y1 ) = 0 Qz ( z1 ) = 0

por simetría

punto 2:

σ2 =

M z . y2 =0 Iz

τ xy 2 =

V y Qz ( y 2 ) t ( y2 ).I z

=

15.10 3.45, 6.10 3 = 5, 55 N / mm 2 45.273, 4.10 4

y2 = 0

siendo:

τ xz 2 =

V y Qz ( z 2 ) t ( z 2 ).I z

=0

z2 = 0

t ( y2 ) = 45 mm Qz ( y2 ) = 45.45.22,5 = 45, 6.103 mm3 Qz ( z2 ) = 0

por simetría

punto 3:

σ3 =

M z . y3 15.106.22,5 = N / mm 2 = 123, 45 N / mm 2 4 Iz 273, 4.10

τ xy 3 =

V y Q z ( y3 )

siendo:

t ( y3 ).I z

=

V y Qz ( z3 ) 15.10 3.34, 2.103 = 4,17 N / mm 2 τ xz 3 = =0 4 45.273, 4.10 t ( z3 ).I z

y3 = 22, 5 mm

z3 = 0

t ( y3 ) = 45 mm Qz ( y3 ) = 45.22, 5.(22,5 + Qz ( z3 ) = 0

por simetría

22, 5 2 ) = 34, 2.103 mm3 τxy2 2

τxy3 3 1 y

z σ3 σ1

x

b) sección circular

Iz =

π .R 4

=

π .50 4

= 490, 9.10 4 mm 4

4 4 I zy = 0 → ejes de simetría → ejes principales

R = 50 mm

σ=

z

2

25 mm

3

τ xy =

M z .y Iz

V y Qz ( y )

1 y

t ( y ).I z

τ xz =

Cálculo de t(y) y de Qz(y) para un punto cualquiera

t ( y ) = 2. R 2 − y 2 R

G

R

3 2 2 2 2 Qz ( y ) = ∫ 2. R − y´ .dy´. y´= .( R − y ) 3 y 2

z ´

y

y

2

dy´ y punto 1:

M z . y1 15.106.50 σ1 = = = 152, 78 N / mm 2 4 Iz 490,9.10

τ xy1 =

V y Qz ( y1 ) t ( y1 ).I z

y1 = 50 mm

siendo:

=0

τ xz1 =

V y Qz ( z1 ) t ( z1 ).I z

=0

z1 = 0

t ( y1 ) = 0 Qz ( y1 ) = 0 Qz ( z1 ) = 0

punto 2:

σ2 =

τ xy 2 =

V y Qz ( y2 )

siendo:

y2 = 0

t ( y2 ).I z

por simetría

M z . y2 =0 Iz =

V y Qz ( z 2 ) 15.10 3.83, 3.10 3 2τ =0 xz 2 = 2, 55 / = N mm 4 t ( z ). I 2 z 100.490, 9.10

z2 = 0

t ( y2 ) = 100 mm 3 2 2 2 2 Qz ( y2 ) = .(50 − 0 ) = 83, 3.103 mm3 3 Qz ( z2 ) = 0 por simetría

V y Qz ( z ) t ( z ).I z

punto 3:

σ3 =

τ xy 3 =

M z . y3 15.106.25 = = 76,39 N / mm 2 4 Iz 490,9.10 V y Q z ( y3 ) t ( y3 ).I z

siendo:

=

15.10 3.54,1.10 3 = 1, 91 N / mm 2 4 87.490, 9.10

y3 = 25 mm

τ xz 3 =

V y Qz ( z3 ) t ( z3 ).I z

=0

z3 = 0

t ( y3 ) = 2. 50 2 − 252 = 87 mm 2 2 2 2 3 Qz ( y3 ) = .(50 − 25 ) = 54,1.103 mm3 3 Qz ( z3 ) = 0 por simetría

2 τxy2 3 τxy3 1 y

z σ3 x σ1

c) sección IPE-140 73 mm

I z = tablas = 541.104 mm 4

6,9 mm

I zy = 0

4,7 mm z

140 mm 2

d/2 = 56 mm 3 1

σ=

M z .y Iz

τ xs =

V y Qz ( s ) t ( s ).I z

6,9 mm

y punto 1:

σ1 =

punto 2:

M z . y1 15.106.70 = = 194, 08 N / mm 2 Iz 541.10 4

τ xs1 =

V y Qz ( s1 )

σ2 =

M z . y2 =0 Iz

τ xs 2 =

V y Q z ( s2 )

t ( s1 ).I z

t ( s2 ).I z

= 0 → despreciamos τ debidas aV y en las alas

=

15.10 3.44, 2.103 = 26, 07 N / mm 2 4 4, 7.541.10

siendo:

t ( s2 ) = 4, 7 mm Qz ( y2 ) = W pl , y / 2(tablas ) = 44, 2 cm3

punto 3

σ3 =

M z . y3 15.106.56 = = 155, 27 N / mm 2 541.10 4 Iz

τ xy 3 =

V y Qz ( s3 ) t ( s3 ).I z

=

15.10 3.36,8.103 = 21, 73 N / mm 2 4, 7.541.10 4

siendo:

t ( s3 ) = 4, 7 mm Qz ( y2 ) = W pl , y / 2(tablas ) −

2

d d 112 112 .e. = 44, 2 − .4, 7. = 36,8.103 mm 3 2 4 2 4

z

τxs2 x

τxs3 3 1 y

σ3 σ1

5.14.-La viga de la figura es una HEB-200. Se pide calcular: 1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Tensiones normales máximas de tracción y compresión en la sección de empotramiento 3) Tensión cortante máxima en el alma y alas en la sección de empotramiento Sección 7,07 kN 10 kN

30º 10 kN 45º

7,07 kN

z 1m

1m

1) Diagramas de esfuerzos. Proyectamos las cargas sobre los ejes yprincipales z e y: 5 kN

7,07.cos45º

8,66 kN

10.cos30º

7,07.sen45º

5 kN

10.sen30º

5 kN z

z

y

VA

8,66 kN

z

HA

MAz

y

5 kN

A

x

MAy

5 kN y

5 kN

1m

1m

Cálculo de las reacciones:

∑ F = 0 V = 8, 66 + 5 = 13, 66 kN ∑F = 0 H +5=5→ H = 0 ∑ M = 0 M = 8, 66.1 + 5.2 = 18, 66 kN .m ∑ M = 0 M = 5.1 = 5.2 → M = 5 kN .m y

A

z

A

A

Az

Az

Ay

Ay

Ay

13,66 kN

8,66 kN

z

18,66 kN.m A

5 kN x

5 kN

5 kN.m y

0 − x −1

5 kN

1m

V y = 13, 66 kN

1m

Vz = 0 M z = 13, 66. x − 18, 66 x = 0 → M z = −18, 66 kN .m

+ Vy

x = 1 → M z = −5 kN .m

5

M y = −5 kN .m

13,66

1− x − 2

+

Vz

V y = 13, 66 − 8, 66 = 5 kN

5

18,66

Vz = 5 kN M z = 13, 66. x − 18, 66 − 8, 66.( x − 1)

5

x = 1 → M z = −5 kN .m

-

x = 2 → Mz = 0

5

M y = −5 + 5.( x − 1) -

x = 1 → M y = −5 kN .m x = 2→ My =0

My 2) Línea neutra:

M y ( x = 0).I z

A

−5.103.5696.10 4 tag α = − =− = −0, 76 M z ( x = 0).I y −18, 66.103.2003.10 4

n

σMAX(T) T

α = 37,3º z

G

n

C y

x B

α = −37, 3º siendo : I z (tablas ) = 5696.10 4 mm 4 I y (tablas ) = 2003.10 4 mm 4

σMAX(C)

σMAX en la sección x=0

σ MAX (T ) = σ A =

M z . y A M y .z A −18, 66.10 6.( −100) −5.10 6.( −100) + = + = 57, 72 N / mm 2 4 4 Iz Iy 5696.10 2003.10

M z . y B M y .z B −18, 66.10 6.(100) −5.10 6.(100) σ MAX (C ) = σ B = + = + = −57, 72 N / mm 2 4 4 Iz Iy 5696.10 2003.10

3) Debido a Vy la tensión cortante máxima se dará en el centro del alma (G) .

G

z

τMAX(alma)

τMAX(alma)

E yτMAX(ala) τMAX(ala)

Vy .Qz (G) 13,66.321.103 τ MAX (alma) = τG = = = 8,55 N / mm2 4 t(G).I z 9.5696.10 siendo : t (G) = tw (tablas) = 9 mm Qz (G) = Wpl , y / 2(tablas) = 321.103 mm3

τ MAX (ala) = τG =

Vy .Qz (G) Vz .Qy (E) 13,66.138,75.103 + = = 2,22 N / mm2 4 t (G).I z t (E).I y 15.5696.10

siendo : e(E) = t f (tablas) = 15 mm 15   Qz (E) = 100.15.100 −  = 138,75.103 cm3 2  Observación: Debido a Vz: como en la sección x=0 es Vz=0 → τ = 0

5.15.-La sección de una viga tiene la forma indicada en la figura y está sometida a una fuerza cortante Vy=30 kN. Se pide: 1) Los diagramas de tensiones cortantes. Tensión cortante máxima y tensión cortante media 2) Si también estuviese solicitada con Vz = 20 kN., calcular la tensión cortante total en el punto a indicado en la figura 15 cm A

0,8 cm

20 cm

D

C

a

B

z 5 cm

Vy = 30 kN

y

Iz =

1 1 .150.2003 − .(150 − 2.8).(200 − 2.8) 3 = 3043, 7.10 4 mm 4 12 12

Al ser la sec ción simétrica respecto del eje y, y estar sometida solo aVy las tensiones cor tan tes τ xso , en los puntos de corte dela sec ción con el eje y, ( puntos A y B ) son cero

τ xs =

τ xs 0 .t ( s0 ) V y .Qz ( s ) t (s)

s4

+

s3

t ( s ).I z

→ (como τ xs 0 = 0 en A y B ) → τ xs =

τxs0=0

7,1

Solución:

V y .Qz ( s ) t ( s ).I z

7,1

7,1

8 mm 92 mm

7,1

200 mm z s6

s5 s2

s1

75 mm y 75 mm

92 mm

11,27

11,27

τmedia(almas)=9,37

τMAX

τMAX

7,1

7,1 7,1

7,1

tramo s1 :

30.103.(768.s1 ) s1 = 0 → τ xs = 0 s1 = 75 → τ xs = 7,1 N / mm 2 4 8.3043, 7.10 siendo : t ( s ) = t f = 8 mm Qz ( s ) = 8.s1 .(96) = 768.s1

τ xs =

tramo s2 :

30.103.(768.s2 ) s2 = 0 → τ xs = 0 s2 = 75 → τ xs = 7,1 N / mm 2 4 8.3043, 7.10 siendo : t ( s ) = t f = 8 cm Qz ( s ) = 8.s2 .(96) = 768.s2

τ xs =

tramo s3 :

30.103.( −768.s3 ) s3 = 0 → τ xs = 0 s3 = 75 → τ xs = −7,1 N / mm 2 4 8.3043, 7.10 siendo : t ( s ) = t f = 8 mm Qz ( s ) = 8.s3 .( −96) = −768.s3

τ xs =

tramo s4 :

30.103.( −768.s4 ) τ xs = s3 = 0 → τ xs = 0 s4 = 75 → τ xs = −7,1 N / mm 2 4 8.3043, 7.10 siendo : t ( s ) = t f = 8 mm Qz ( s ) = 8.s4 .( −96) = −768.s4 tramo s5 :

τ xs =

30.103.( −4.s52 + 736.s5 + 57600) 8.3043, 7.10 4

s5 = 0 → τ xs = 7,1 N / mm 2

s5 = 92 → τ xs = 11, 27 N / mm 2

siendo : t ( s ) = t w = 8 mm

Qz ( s ) = 75.8.96 + 8.s5 .(92 −

s5 = 184 → τ xs = 7,1 N / mm 2 s5 ) = −4.s52 + 736.s5 + 57600 2

τ MAX = 11, 27 N / mm 2 → en el centro de las almas τ xsmedia (almas ) =

2)

Iy =

Vy Aalmas

=

Vy 2.h.tw

=

30.103 = 9, 37 N / mm 2 2.200.8

1 1 .200.1503 − .(200 − 2.8).(150 − 2.8)3 = 1935, 64.10 4 mm 4 12 12

debido aVy → τ xs (a ) = τ xs ( s5 = 42 mm) = 10 N / mm 2 ↓ debido aVz → τ xs (a ) =

τ xs 0 .t ( s0 ) Vz .Qy ( s ) t ( s)

+

t ( s ).I y

=

20.103.[50.8.(75 − 4)] 8.1935, 64.10

4

= 3, 67 N / mm 2 ↑

siendo : τ xs 0 = 0

Al ser la sec ción simétrica respecto del eje z y estar sometida ahora sólo aVz las tensiones cor tan tes τ xso , en los puntos de corte de la sec ción con el eje z ( puntos C y D) son cero

debido a Vy + Vz → τ xs ( a ) = 10 ↓ −3, 67 ↑= 6,33 N / mm 2 ↓

5.20.-En la sección de la figura sometida a los esfuerzos: Vy = 3 kN y Mz = 1 kN.m. se pide calcular: 1) Tensiones normales máximas de tracción y de compresión. 2) Diagrama de distribución de tensiones cortantes en la sección 1 cm

10 cm Mz=1 kN.m

z

G 1 cm 10 cm

Vy=3 kN y Cálculo de G: 1 cm

yG =

4,5 cm 9 cm

G2 G

1 cm

G1 5 cm zG=2,87 cm

yG =

z yG=2,87 cm

zG = zG =

10 cm y

Cálculo de Iz , Iy, Izy: 1 cm

4,5 cm 9 cm

7,13 cm

G2 G

1 cm

G1 5 cm zG=2,87 cm 10 cm y

z yG=2,87 cm

A1 . y G1 + A2 . y G2 A1 + A2 10.1.0,5 + 9.1.5,5 = 2,87 cm 10.1 + 9.1 A1 .z G1 + A2 .z G2 A1 + A2 10.1.5 + 9.1.0,5 = 2,87 cm 10.1 + 9.1

I z = I z1 + I z 2 = 180 cm 4 1 .10.13 + 10.1.( 2,87 − 0,5) 2 = 57 cm 4 12 1 = .1.9 3 + 9.1.(7,13 − 4,5) 2 = 123 cm 4 12

I z1 = Iz2

I y = I y1 + I y 2 = 180 cm 4 1 .1.103 + 10.1.(10 − 2,87 − 5) 2 = 128, 7 cm 4 12 1 = .9.13 + 9.1.(2,87 − 0, 5) 2 = 51,3 cm 4 12

I y1 = I y2

I zy = I zy1 + I zy 2 = 106,58 cm 4 I zy1 = 0 + 10.1.(2,87 − 0, 5).(10 − 2,87 − 5) = 50, 48 cm 4 I zy 2 = 0 + 9.1.[ −(7,13 − 4,5) ] .[ −(2,87 − 0, 5) ] = 56,1 cm 4 1)Tensiones máximas de tracción y compresión: Cálculo de la línea neutra:

tag α = −

1 cm

M y .I z − M z .I yz M z .I y − M y .I yz

como M y = 0

1

n

tag α = −

7,13 cm G 2,87 cm

− M z .I yz M z .I y

=

I yz Iy

=

106,58 = 0,592 180

α = 30,63º

z α = 30,63º

2

2,87 cm

n

y

σ=

(M z .I y − M y .I yz ).y + (M y .I z − M z .I yz ).z I y .I z − I yz2

= (M y = 0) =

(M z .I y ).y − (M z .I yz ).z I y .I z − I yz2

(1.106.180.104 ).( −71,3) − (1.106.106,58.104 ).(−18, 7) σ1 = = −51,52 N / mm 2 = σ MAX (C ) 4 4 4 2 180.10 .180.10 − (106,58.10 )

σ2 =

(1.106.180.104 ).(28, 7) − (1.106.106,58.104 ).( −28, 7) = 39, 09 N / mm 2 = σ MAX (T ) 180.104.180.104 − (106,58.10 4 ) 2

2) Diagramas de τ: 10 mm s2 95 mm z

G

71,3 mm cm

10 mm 28,7 mm s1 71,3 mm cm 95 mm y

τ xs =

V y .( I y .Qz ( s ) − I yz .Q y ( s )) + Vz .( I z .Q y ( s ) − I yz .Qz ( s )) t ( s ).( I y .I z − I yz2 )

comoVz = 0

τ xs =

V y .  I y .Qz ( s ) − I yz .Q y ( s )  t ( s ).( I y .I z − I yz2 )

tramo s1

τ xs =

3.103. 180.104.237.s1 − 106,58.104.(−5.s12 + 713.s1 )  10.(180.104.180.104 − (106,58.104 ) 2 t ( s ) = 1 cm Qz ( s ) = s1 .10.23, 7 = 237.s1

siendo:

Q y ( s ) = s1 .10.(71, 3 − s1 = 0 → τ xs = 0

τ xsMAX →

s1 ) = −5.s12 + 713.s1 2

s1 = 95 → τ xs = 2, 34 N / mm 2

dτ xs = 0 → s1 = 31, 3 mm ds1

τ xs = 0 → s1 = 62, 5 mm

τ xsMAX = τ xs ( s1 = 31, 3) = −0, 744 N / mm 2

tramo s2

τ xs =

3.103. 180.104.(5.s22 − 713.s2 ) − 106,58.104.(−237.s2 )  10.(180.104.180.104 − (106,58.104 ) 2

t ( s ) = 10 mm

siendo:

s   Qz ( s ) = s2 .10.  − (71, 3 − 2 )  = 5.s22 − 713.s2 2   Q y ( s ) = s2 .10.( −23, 7) = −237.s2

s2 = 0 → τ xs = 0

s2 = 95 → τ xs = −2, 38 N / mm 2

τ xs = 0 → s2 = 115 mm ( fuera del campo 0 − 10) dτ τ xsMAX → xs = 0 → s2 = 57, 3 mm τ xsMAX = τ xs ( s2 = 57, 3) = −4, 213 N / mm 2 ds2

57,3 mm 4,213

z

G 2,38 0,744

2,34

31,3 mm

y

5.21.-En la viga de la figura se pide: 1) Diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección, empleando los criterios plástico, elástico y de Von Mises y para los siguientes casos de sección: a) Perfil IPE b) sección rectangular bxh siendo h=2b c) sección circular Datos: fy = 275 N/mm2; coeficiente de minoración del material: γM =1,1; coeficiente de mayoración de cargas: γ =1,5 Nota: El angular mediante el cual se transmite la carga a la viga se supone rígido y a su vez rígidamente unido a la misma. No se considerará el peso propio de la viga.

50 kN 2,8 m

1m 0,2 m

Se trasladará el efecto de la carga de 5000 Kg que actúa sobre el angular a la viga a través de la unión de ambos. RA

Cálculo de reacciones

RB

50 kN

∑ F = 0 R + R = 50 (1) ∑ M = 0 R .4 = 50.1 + 10 (2) A

A

10 kN.m

B

A

3m

1m

B

B

resolviendo : RA = 35 kN RB = 15 kN

15

Diagramas -

M z = 35.x

+ Vy

0 − x −1 V y = 35 kN x = 0 → Mz = 0

35

x = 1 → M z = 35 kN .m +

35

1− x − 4 V y = −15 kN M z = 15.(4 − x )

Mz 45

x = 1 → M z = 45 kN .m x = 4 → Mz = 0

2) Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico: + Sección mas solicitada: x= 1 : Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN

M z max = 45 kN .m M z* ≤ M zpl ,d = Wzpl . f yd sustituyendo valores : 45.106.1,5 ≤ Wzpl .

275 → Wzpl ≥ 270.103 mm3 1,1

a ) caso de IPE : entrando en tablas IPE →

IPE − 220

comprobación a cor tan te V y : Vy = 15 kN Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd

3 siendo : Av = (area del alma ) = h.t w = ( IPE − 220) = 220.5, 9 = 1298 mm 2

275 1,1 sustituyendo valores :15.10 .1,5 ≤ 1298. y operando : 22500 ≤ 187350,1 3 ¡ sí cumple a cor tan te ! y además : Vy* = 22500 < 0, 5.Vypl = 0,5.187350,1 = 93675 3

¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te b) caso de sec ción rec tan gular : Wzpl = 257, 7.103 mm3 b.h 2 b.(2.b) 2 = (como h = 2.b) = = b 3 = 270.103 4 4 comprobación a cor tan te Vy :

Wzpl =

275 1,1 15.10 .1,5 ≤ 8354, 47. V ≤ Vypl = Av . 3 3 siendo Av = A = b.h = 64, 63.129, 27 = 8354, 47 mm 2 * y

f yd

3

→ b = 64, 63 mm h = 129, 27 mm

→ 22500 < 1205863 → ¡ si cumple !

y además : Vy* = 22500 < 0,5.Vypl = 602932 → sí se verifica ¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te c) caso de sec ción circular : Wzpl = 270.103 mm3 4 Wzpl = .R 3 = 270.103 → R = 58, 72 mm 3 comprobación a cor tan te Vy : 275 1,1 V ≤ Vypl = Av . 15.10 .1,5 ≤ 10833,5. 3 3 2 2 siendo Av = A = π .R = π .58, 72 = 10833, 5 mm 2 * y

f yd

3

→ 22500 < 1563676, 7 → ¡ si cumple !

y además : Vy* = 22500 < 0,5.Vypl = 781838,3 → sí se verifica ¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te

Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio elástico: + Sección mas solicitada: x= 1 : Mz = 45 kN.m; Vy = 15 kN

M z max = 45 kN .m

M z* ≤ M zel ,d = Wzel . f yd

sustituyendo valores : 45.106.1,5 ≤ Wzel .

275 → Wzel ≥ 270.103 mm3 1,1

a ) caso de IPE entrando en tablas IPE → IPE − 240 comprobación a cor tan te V y : Vy = 15 kN

Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd

3 siendo : Av = (area del alma ) = h.t w = ( IPE − 240) = 240.6, 2 = 1488 mm 2

275 1,1 y operando : 22500 ≤ 214774,3 3 ¡ sí cumple a cor tan te ! y además : Vy* = 22500 < 0, 5.Vypl = 0,5.214774,3 = 107387,1 sustituyendo valores :15.103.1,5 ≤ 1488.

¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te b) caso de sec ción rec tan gular : Wzel = 270.103 mm3 Wzel =

b.h 2 b.(2.b) 2 2 3 = (como h = 2.b) = = .b = 270.103 6 6 3

→ b = 74 mm h = 148 mm comprobación a cor tan te V y : Vy = 15 kN

Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd 3

siendo : Av = A = b.h = 74.148 = 10952 mm 2

275 1,1 sustituyendo valores : 35.10 .1,5 ≤ 10952. y operando : 22500 ≤ 1580785 3 ¡ sí cumple a cor tan te ! y además : Vy* = 22500 < 0, 5.Vypl = 0,5.1580785 = 790392, 5 3

¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te c) caso de sec ción circular : Wzel = 270.103 mm3

Wzel =

π .R 3 4

= 270.103 → R = 70 mm

comprobación a cor tan te V y : Vy = 15 kN

Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd 3

siendo : Av = A = π .R 2 = π .702 = 15393,8 mm 2

275 1,1 sustituyendo valores :15.10 .1,5 ≤ 15393,8. y operando : 22500 ≤ 2221903, 6 3 ¡ sí cumple a cor tan te ! y además : Vy* = 22500 < 0, 5.Vypl = 0,5.2221903, 6 = 1110951,8 3

¡no es necesario combinar momento flector con fuerza cor tan te

Dimensionamiento a resistencia de la sección con el criterio de Von Mises: Secciónes más solicitada:

x = 1+ → V y = −15 kN

M z = 45 kN .m ( máx )

x = 1− → V y = 35 kN ( máx ) M z = 35 kN .m Puntos más solicitados: se predimensionará en el punto 1 (σmax) y se comprobarán puntos 2 y 3

2

z2

2

z

3

3

1

1

z

3 y

x = 1+ → Vy = −15 kN

y

1

y

M z = 45 kN .m ( máx )

punto 1 :

σ 1* =

M z* . y1 M z* 45.10 6.1, 5 = = Iz W zel W zel

τ 1* = 0 σ co1 = σ 1*2 + 3.τ 1*2 = σ 1* = a ) sec ción IPE :

45.10 6.1, 5 275 ≤ W zel 1,1

→ W zel ≥ 270.10 3 mm 3

Wzel ≥ 270.103 → tablas : IPE − 240

b) sec ción rec tan gular h * b siendo h = 2.b : Wzel ≥ 270.103 → Wzel

1 1 .b.h 3 .b.(2b)3 Iz = = 12 = 12 ≥ 270.103 h ymax b 2

→ b ≥ 74 mm → h ≥ 148 mm

c ) sec ción circular :

π .R 4 Wzel ≥ 270.103 → Wzel =

Iz = ymáx

4 R

≥ 270.103

→ R ≥ 70 mm

comprobaci ones puntos 2 y 3 para los tres tipos de sec ciones : a)sec ción IPE − 240

punto 2:

σ 2* = 0 τ 2* =

Vy*.Qz (2) t (2).I z

=

−15.103.1,5.183.103 = −17,07 6,2.3890.104

σ co 2 = 29,57 < 2751,1 = 250

punto 3: 190, 4 45.106.1,5. * M . y 2 = 165, 2 σ 3* = z 3 = Iz 3890.104

σ co 3 = 167,1 < 250

190, 4 190, 4   −15.103.1,5. 183.103 − .6, 2. V .Qz (3) 2 4   = = −14, 45 τ 3* = t (3).I z 6, 2.3890.104 * y

b)sec ción rec tan gular : h = 148mm b = 74 mm → I z =

1 .74.1483 = 1991, 05.104 mm4 12

punto 2 :

σ 2* = 0 τ 2* =

* y

V .Qz (2) t (2).I z

=

148 148 . ) 2 4 = −3, 09 74.1991, 05.104

−15.103.1,5.(74.

σ co 2 = 5, 36 < 250

punto 3 : M z* . y 3 45.10 6.1, 5.37 σ = = = 125, 4 Iz 1991, 05.10 4 * 3

σ

co 3 37   ) − 15.10 .1, 5.  74.37.(37 + V y* .Q z (3) 2   * τ3 = = = − 2, 32 t (3). I z 74.1991, 05.10 4

= 125, 5 < 250

3

c)sec cióncircular : R = 70mm → Iz =

π.704 4

=1885,7454.104 mm4

punto 2:

σ co 2 = 3, 38 < 250

σ2* = 0 2  −15.103.1,5.  .(702 − 02 )3/2  V . Q (2) z 3  = −1,95 = τ2* = 4 t(2).Iz 140.1885,7454.10 * y

punto 3 :

σ 3* =

M z* . y3 45.106.1,5.35 = = 125, 28 Iz 1885, 7454.104

2  −15.10 .1,5.  .(70 2 − 352 )3/ 2  * V . Q (3) 3  = −1, 46 τ 3* = y z = 2 2 4 t (3).I z 2. 70 − 35 .1885, 7454.10

σ co 3 = 125, 3 < 250

3

Por último se comprobarían de nuevo los puntos 1, 2 y 3, para los tres casos, en la sección:

x = 1− → Vy = 35.103 kN ( máx ) M z = 35.103 kN .m (como se ve coincide con el criterio de dimensionamiento elástico

5.22.-En la viga de la figura se pide el dimensionamiento de la sección a resistencia usando un criterio plástico de dimensionamiento. 2 Datos: perfil IPE; fy = 275 N/mm ; γM = 1,1; γ= 1,35 VA

30 kN

z

HA

VB

A y

5 kN 1m

HB

2m

B

1m Cálculo de

reacciones en los apoyos:

∑ F = 0 → V + V = 30 (1) ∑ F = 0 → H + H = 5 (2) ∑ M = 0 → V .4 = 30.3 (3) ∑ M = 0 → H .4 = 5.1 (4) y

A

z

B

A

zB

B

A

yB

A

resolviendo (1),(2),(3),(4): VA = 22,5 kN ;VB = 7,5 kN ; H A = 1, 25 kN ; H B = 3, 75 kN Diagramas de esfuerzos: 7,5 -

+ Vy

3,75 -

22,5 1,25

Vz

+

7,5

Mz 22,5 1,25

+ 3,75

My

Dimensionamiento a resistencia de la sección con criterio plástico Comprobación a flexión:

M *y M z* + ≤1 M zpl , d M ypl , d Tanteamos secciones, pero partiendo de un predimensionado Predimensionado rápido: Estudio separados Mz y My:

M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd → 30, 38.106 ≤ Wzpl .

275 ⇒ Wzpl ≥ 121, 5.103 mm3 1,1

siendo : M z* = M z .γ = 22, 5.106.1, 35 = 30,38.106 N .mm M *y ≤ M ypl ,d = Wypl . f yd → 5, 06.106 ≤ Wypl .

275 ⇒ Wypl ≥ 20, 25.103 mm3 1,1

siendo : M *y = M y .γ = 3, 75.106.1,35 = 5, 06.106 N .mm con los valores de Wzpl ≥ 121, 5.103 mm3 y de Wypl ≥ 20, 25.103 mm3 busco en tablas un perfil que va lg a para los dos ⇒ IPE − 160 1º tan teo : IPE − 160 : sec ciónes mas solicitadas a flectores : x = 1− : M z = 22, 5 kN .m; M y = 1, 25 kN .m; Vy = 22, 5 kN ; Vz = 1, 25 kN M z* = 22, 5.106.1,35 = 30,30.106 N .mm; M *y = 1, 25.106.1,35 = 1, 687.106 N .mm 275 = 30,975.106 N .mm 1,1 275 Wypl = 26,1.103 mm3 → M ypl ,d = Wypl . f yd = 26,1.103 = 6,525.106 N .mm 1,1 sustituyendo en la fórmula de dimensionamiento: Wzpl = 123, 9.103 mm3 → M zpl , d = Wzpl . f yd = 123,9.103

M *y 30,38.106 1, 687.106 M z* + ≤1 → + = 1, 24 > 1 → No vale 30,975.106 6, 525.106 M zpl ,d M ypl ,d 2º tan teo : IPE − 180 : 275 = 41, 6.106 N .mm 1,1 275 Wypl = 34, 6.103 mm3 → M ypl ,d = Wypl . f yd = 34, 6.103 = 8, 65.106 N .mm 1,1 sustituyendo en la fórmula de dimensionamiento: Wzpl = 166, 4.103 mm3 → M zpl ,d = Wzpl . f yd = 166, 4.103

M y* M z* 30,38.106 1, 687.106 + ≤1 → + = 0, 92 < 1 → Si vale M zpl ,d M ypl ,d 41, 6.106 8, 65.106

Comprobación a cortantes:IPE-180

Vy → V ≤ Vypl , d = Av . * y

f yd 3

275 1,1 → 30375 N ≤ 954. = 137698 N ⇒ Si cumple 3

siendo : Vy* = Vy .γ = 22,5.103.1,35 = 30375 N Av = área alma = h.t w = 180.5,3 = 954 mm2 1 1 y además :Vy* ≤ Vypl ,d → 30375 ≤ .137698 ⇒ Si 2 2 ¡no hay que interactuar con los momentos flectores!

Vz → V ≤ Vzpl ,d = Av . * z

f yd 3

275 1,1 → 1687, 5 N ≤ 1616, 2. = 233278, 4 N ⇒ Si cumple 3

siendo : Vz* = Vz .γ = 1, 25.103.1,35 = 1687,5 N Av = área alas = A − d .t w = 23, 9.102 − 146.5,3 = 1616, 2 mm2 1 1 y además :Vz* ≤ Vzpl ,d → 1687, 5 ≤ .233278, 4 ⇒ Si 2 2 ¡no hay que interactuar con los momentos flectores!

Se podría comprobar también la sección: x = 3+ : M z = 7,5 kN .m; M y = 3, 75 kN .m; Vy = 7,5 kN ; Vz = 3, 75 kN repitiendo los mismos cálculos anteriores pero con estos valores de las solicitaciones → ¡Sí cumple!

5.23.- La figura muestra la viguería del suelo de un piso de un edificio. Las vigas son metálicas y se consideran articuladas en sus extremos. La carga permanente que actúa sobre el suelo se compone de: a) Forjado unidireccional de viguetas metálicas con bloques cerámicos: 3,5 kN/m2, b) Pavimento del suelo: 1 kN/m2. Se pide dimensionar a resistencia la sección de las vigas de los tipos 1 y 4, utilizando perfiles IPE y un criterio elástico de dimensionamiento Dato: fy = 275 N/mm2; γM = 1,1; γ = 1,35 Nota: Sólo se tendrá en cuenta la carga permanente 2m

A

2m 3

1

2

A

2m

1

2

4m

Carga total permanente sobre el suelo: 2

B

C 2

4

1

D

B 1

A

3

2

4m

Forjado:…….3,5 kN/m 2 Pavimento:…1 kN/m 2 TOTAL:……..4,5 kN/m

A

Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 1 (criterio elástico): (Como la longitud de la viga es menor de 6 m. no añadimos el peso propio de la misma)

RA= 18 kN

A

9 kN/m

2m

RB= 18 kN

B

2m

+

c arg a : q = 4, 5 kN / m 2 .2 m = 9 kN / m

x

18

18

Mz (kN.m) +

x

18 Vy (kN)

M zmáx = M z ( x = 2 m) = 18.2 − 9.2.1 = 18 kN .m Vymáx = Vy ( x = 0 m) = 18 kN .m

criterio elástico de dim ensionamiento : sección más solicitada a flectores: x = 2 m: M z = 18kN .m; Vy = 0 M z* = 18.1, 35 = 24, 3 kN .m

M z* ≤ M zel ,d = Wzel . f yd

24, 3.10 6 ≤ Wzel .

275 1,1

Wzel = 97200 mm 3 → tablas → IPE − 160 sección más solicitada a cortantes: x = 0 m: M z = 0; Vy = 18 kN Comprobación a cortadura V y : V y* ≤ V ypl , d = Av . siendo : V = 18.1, 35 = 24, 3 kN * y

f yd

3 Av = ( área alma ) = h.t w = 160.5 = 800 mm 2

275

1,1 → 24300 < 115470 → ¡ sí cumple ! 3

sustituyendo : 24, 3.10 ≤ 800. 3

Vigas tipo 1 → IPE-160

Dimensionado a resistencia de la sección de las vigas tipo 4 (criterio elástico): (Como la longitud de la viga es mayor de 6 m. añadimos el peso propio de la misma, estimado en 1kN/m) RC= 39 kN

36 kN 1 kN/m

36 kN

B C

2m

RD= 39 kN

B 2m

2m

D x

+ Mz(kN.m)

76

76,5

76 37 1

+ 39 Vy(kN)

1 37

39 x

sección más solicitada a flectores: x = 3 m: M z = 76,5 kN .m; Vy = 0 criterio elástico de dim ensionamiento : M z* = 76, 5.1, 35 = 103, 3 kN .m

M z* ≤ M zel , d = Wzel . f yd

103, 3.10 6 ≤ Wzel .

275 1,1

Wzel = 413200 mm 3 → tablas → IPE − 270 sección más solicitada a cortadura: x = 0 m: M z = 0 kN .m; Vy = 39 kN Comprobación a cortadura Vy : V y* ≤ V ypl , d = Av . siendo : V = 39.1, 35 = 52, 65 kN * y

3 Av = ( área alma ) = h.t w = 270.6, 6 = 1782 mm 2

275 sustituyendo : 52, 65.10 ≤ 1782. 3

f yd

1,1 → 52650 < 257209, 5 → ¡ sí cumple ! 3

Vigas tipo 4 → IPE-270

5.24.-Las vigas que soportan la cubierta de una nave industrial “correas”, se encuentran apoyadas sobre los cordones superiores de dos cerchas, separadas entre sí 5 m y con una pendiente de 22º. La separación entre correas es de 1,175 m. Las carga que han de soportar estas correas son: - Carga permanente: • Peso de la uralita, incluidos ganchos y solapes…………….0,2 kN/m2 • Peso estimado de las correas:……………………………….0,18 kN/m - Sobrecarga de nieve:………………………………………………..0,8 kN/m2 Se pide dimensionar a resistencia la sección de dichas correas, utilizando perfiles IPE y empleando un criterio plástico de dimensionamiento Datos: coeficientes de mayoración de cargas : -cargas permanentes: γ=1,35 -sobrecarga de nieve: γ=1,5. No se tendrá en cuenta la acción del viento. Material: fy =275 N/mm2; γM =1,1 1,175 m 1,175 m

correas

5m cercha

cercha

22º

Cargas sobre las correas:

C arg a permamente (CP ) cubierta : 0, 2 kN / m 2 .1,175 m = 0, 235 kN / m peso propio correas : 0,18 kN / m

22º

Total : q p = 0, 415 kN / m

1,175 m cercha

Sobrec arg a de nieve ( SN ) sobre sup erficie horizontal : 0,8 kN / m 2 sobre sup erficie inclinada : 0,8.cos 22º kN / m 2 Total : qn = 0,8 kN / m 2 .cos 22º .1.175 m = 0,87 kN / m

CP qny= 0,807 qpy= 0,385

SN qn= 0,87

qp= 0,415 z z

qnz= 0,326

qpz= 0,155 y y

q py = q p .cos 22º = 0,385 kN / m

q pz = q p .sen 22º = 0,155 kN / m

qny = qn .cos 22º = 0,807 kN / m

qnz = qn .sen 22º = 0,326 kN / m

Dimensionamiento a resistencia de la sección de las correas utilizando un criterio plástico: CP

SN qny = 0,807 kN/m

qpy = 0,385 kN/m

qpz=0,155 kN/m 2,5 m

qnz=0,326 Kg/m 2,5 m 2,5 m

2,5 m

+ Mz (kN.m)

+

1,2 0,483

Mz (kN.m)

1,01

-

-

My kN.m)

My (kN.m) 2,01

0,963 0,963

2,5

-

2,01

+ Vy (kN)

+ Vy (kN)

0,387

0,815 0,387

+

-

0,815 +

Vz (kN)

Vz (kN)

CP → M z max = 1, 2 kN .m M y max = 0, 483 kN .m Vy max = 0,963 kN Vz max = 0,387 kN SN → M z max = 2,5 kN .m M y max = 1, 01 kN .m Vy max = 2, 01 kN Vz max = 0,815 kN combinaciones de cargas:

CP.1, 35 + SN .1.5 M z* = 1, 2.1,35 + 2,5.1,5 = 5,37 kN .m M y* = 0, 483.1, 35 + 1, 01.1,5 = 2,167 kN .m Vy* = 0, 963.1, 35 + 2, 01.1, 5 = 4,315 kN Vz* = 0,387.1,35 + 0,815.1, 5 = 1, 75 kN

comprobación a flexión:

M *y M z* + ≤1 M zpl , d M ypl , d

predimensionado rápido : sección x = 2,5 m → M z* = 5,37 kN .m ; M y* = 2,167 kN .m ;Vy* = 0;Vz* = 0 275 → Wzpl = 21480 mm3 1,1 275 sustituyendo : 2,167.106 ≤ Wypl . → Wypl = 8668 mm3 1,1

M z* ≤ M zpl , d = Wzpl . f yd

sustituyendo : 5,37.106 ≤ Wzpl .

M *y ≤ M ypl ,d = Wypl . f yd

con los valores de: Wzpl = 21480 mm3 y Wypl = 8668 mm3 se busca una sección que valga para los dos ⇒ IPE-100

1er tanteo : IPE − 100 : Wzpl = 39410 mm3 Wypl = 9150 mm3 275 = 9852500 N .mm = 9,8525 kN .m 1,1 275 M ypl ,d = Wypl . f yd = 9150. = 2287500 N .mm = 2, 2875 kN .m 1,1 5, 37 2,167 sustituyendo : + > 1 → ¡no es válida ! 9,8525 2, 2875 M zpl , d = Wzpl . f yd = 39410.

2º tanteo : IPE − 120 : Wzpl = 60730 mm3 Wypl = 13580 mm3 275 = 15182500 N .mm = 15,1825 kN .m 1,1 275 M ypl ,d = Wypl . f yd = 13580. = 3395000 N .mm = 3,395 kN .m 1,1 5, 37 2,167 sustituyendo : + < 1 → ¡ sí es válida ! 15,1825 3,395 (No haría falta la comprobación de cortantes en esa sección, ya que son cero) M zpl , d = Wzpl . f yd = 60730.

comprobación a cortantes:(IPE-120) sección x = 0: Vy* = 4, 315 kN ; Vz* = 1, 75 kN ; M z* = 0; M y* = 0 Vy* ≤ Vypl ,d = Av .

f yd 3

siendo : Av = (área alma) = h.tw = 120.4, 4 = 528 mm 2

275 1,1 sustituyendo : 4,315.10 ≤ 528. → ¡ sí cumple ! 3 f yd Vz* ≤ Vzpl ,d = Av . siendo : Av = (área alas) = A − d .t w = 1320 − 93, 4.4, 4 = 909 mm 2 3 275 1,1 3 sustituyendo :1, 75.10 ≤ 909. → ¡ sí cumple ! 3 (no haría falta combinar momentos flectores con fuerzas cortantes, pues los momentos flectores 3

en dicha sección son cero) Correas → IPE-120