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31/03/2011
Tema 6: Campo magnético Física II Grado en Ingeniería Aeroespacial Grupo 2 (Prof.Dr. Emilio Gómez González)
Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
Tema 6
Índice*
Introducción
Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot Biot-Savart Savart
Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre
Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Magnetismo en la materia
*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Tema 6
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Introducción El campo eléctrico es un campo vectorial responsable de la fuerza eléctrica sobre las cargas
Las cargas son fuente del campo eléctrico
Existe otro campo vectorial que puede ejercer fuerzas sobre las cargas: campo magnético
Veremos que las cargas eléctricas en movimiento (corrientes eléctricas) son fuente del campo magnético
Existe una estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo ti
Ambos fenómenos se unen en la llamada teoría electromagnética o electromagnetismo
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Tema 6
Introducción histórica
Las primeras referencias al fenómeno del magnetismo están relacionadas con los imanes:
800 a a.C.: C : los griegos conocían el hecho de que la magnetita (Fe3O4) atrae trozos de hierro s. XII: Primeras referencias escritas al uso de imanes en navegación (brújulas) en China
Experiencia de Oersted (1820): una corriente en un alambre puede desviar la aguja de una brújula
Ampère (1820): describió la fuerza magnética entre corrientes
Corrientes eléctricas originan campo magnético
Corrientes eléctricas sufren los efectos del campo magnético Ampère ideó el concepto de “corrientes amperianas” para explicar el magnetismo natural
Faraday (1831): un campo magnético variable con el tiempo produce un campo eléctrico Maxwell (Final S.XIX): un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Dedujo la existencia de ondas electromagnéticas
Las ecuaciones de Maxwell describen la teoría electromagnética clásica
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Magnetismo en imanes
Si una barra imantada se deja girar libremente uno de sus extremos se orienta hacia el norte y otro hacia el sur
Los polos opuestos de los imanes se atraen, mientras que los polos iguales se repelen Un objeto que contiene hierro es atraído por cualquiera de los polos de un imán
Se denominan polo norte y polo sur del imán á
Ejemplo: imanes en las puertas de los frigoríficos
No existen polos magnéticos aislados Por analogía con interacciones eléctricas afirmamos que un imán genera un campo magnético que emerge en su polo norte y entra por su polo sur
Una aguja imantada (brújula) tiende a alinearse con el campo magnético El sentido del campo magnético lo indica el polo norte de la brújula
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Tema 6
Campo magnético de un imán
Líneas de campo magnético dentro y fuera de una barra imanada: carecen de principio y fin
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Campo magnético de un imán
Líneas de campo magnético exteriores a una barra imanada visualizadas mediante limaduras de hierro
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Magnetismo terrestre
La tierra es un imán con su polo sur próximo al Polo Norte geográfico El campo magnético de la tierra es similar al de una barra imantada inclinada unos 11º respecto al eje de giro La magnitud del campo magnético sobre la superficie de la tierra varía en un rango de 0.3 a 0.6 gauss El campo magnético de la tierra no es constante en dirección
Muestras de rocas de diferentes épocas en un mismo lugar muestran magnetizaciones en direcciones diferentes El campo magnético ha invertido su sentido 171 veces durante los últimos 71 millones de años
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Índice
Introducción
Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot Biot-Savart Savart
Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre
Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Magnetismo en la materia
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Tema 6
Fuerza del campo magnético sobre cargas
r
Llamaremos B al campo magnético r Cuando una carga q se desplaza con velocidad v en el seno de un campo magnético aparece una fuerza sobre r ella: F es proporcional a q y v
r
r
r
Si v B ⇒ F = 0 r r r F ⊥ plano formado por v y B r Sentido de F : regla de la mano derecha ó del sacacorchos r F sobre carga negativa: sentido opuesto que si fuera positiva
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Fuerza del campo magnético sobre cargas
Regla de la mano derecha:
Unidades del campo p magnético: g tesla (T) ( )
1T=1
N N =1 Cm/s Am
A veces de usa el gauss (no S.I.): 1G=10-4 T
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Índice
Introducción
Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot Biot-Savart Savart
Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre
Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Magnetismo en la materia
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Fuerza sobre corrientes
En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador r Densidad numérica: n r vd Carga de cada partícula libre: q v r A A d vd Velocidad de deriva: vd
L
Corriente eléctrica: I=nqvd A
r
r
r
qvd × B Fuerza sobre un p portador: Fi = q Número de portadores en el segmento: N = nAL Fuerza sobre el segmento: r r r r r = qv F = ∑ i qvd × B d × B nAL
(
)
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Ecuación de la fuerza sobre hilos rectos de corriente
En un hilo conductor la fuerza magnética es la suma de las fuerzas sobre cada portador p r Densidad numérica: n r vd v Carga de cada partícula libre: q r A A d vd Velocidad de deriva: v d
Corriente eléctrica: I=nqvd A
L r Fuerza sobre el segmento: Fr = ILr × B
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN HILO RECTO DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME
r L :vector cuyo módulo es la longitud del hilo, con
dirección paralela al hilo y sentido el de la corriente
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Fuerza sobre hilos de corriente de forma arbitraria
Generalización:
Cable de forma arbitraria Campo magnético no uniforme
La fórmula anterior es válida para un segmento infinitesimal del hilo r r
r r dF = Idl × B
La fuerza total se obtiene por integración:
r dl
a
r r b r F = I ∫ dl × B
b
B
r r r dF = Idl × B
a
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Fuerza sobre espiras
Ejemplo: Fuerza neta sobre una espira cerrada de corriente en un campo magnético uniforme
r r r F = I ∫ dl × B
r B0
γ
r r B = B0
γ
I
es uniforme
r r r F = I ⎡⎢ ∫ dl ⎥⎤ × B0 = 0 ⎣ γ ⎦ 0
La fuerza que un campo magnético uniforme ejerce sobre una espira cerrada de corriente es nula Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Par sobre espiras
Suponemos una espira plana cuadrada en un campo uniforme La orientación de una espira plana se especifica con un vector unitario: nˆ
Módulo: la unidad Dirección: perpendicular al plano de la espira Sentido: depende p del sentido de circulación de la corriente y viene dado por la regla de la mano derecha
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Par sobre espiras: espira plana cuadrada
z
r
r
r
Sobre cada lado recto: F = IL × B r r F3 + F4 = 0 y no producen ningún par por estar sobre la misma línea de acción
y x
r F3
r F4
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r r F1 = − IaBk r r F2 = IaBk
Constituyen C tit un par d de fuerzas que tienden a provocar un giro de la espira 18
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Par sobre espiras: cálculo del momento
Cálculo del momento del par de fuerzas (O en el centro de la espira): r r r r r
τ = r01 × F1 + r02 × F2
r r r b b τ = F1 sen θ j + F2 sen θ j 2 2 r r b τ = 2( IaB ) sen θ j 2 r r τ = IabB sen θ j r r r r con: A = abn ˆ τ = IA × B
z x
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Par sobre espiras: momento dipolar magnético
Momento dipolar magnético de una espira plana:
r r μ = IA
Unidades: Am2 Para una espira de N vueltas:
r r μ = NIA
Momento del par sobre una espira plana:
r r r τ = μ× B
Es válida para espiras planas, aunque no sean cuadradas S cumple Se l para cualquier l i orientación i ió del d l campo Supone que el campo magnético es uniforme
El momento dipolar de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
Analogía con dipolo eléctrico en un campo eléctrico externo:
r r r τ = p× E 20
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Analogía entre espiras, dipolos eléctricos e imanes
Una barra o aguja imanada (brújula) también tiende a orientarse paralelamente a un campo magnético éti externo t
El polo norte de la aguja apunta en el sentido del campo
Veremos que a un imán se le puede asignar también un momento magnético
Su comportamiento se modela por analogía con el de las espiras p de corrientes Usaremos el concepto de “corrientes amperianas” en el imán
Trabajaremos con dos analogías: 1) Espira/campo magnético - dipolo eléctrico/campo eléctrico 2) Espira/campo magnético - imán/campo magnético Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Par sobre espiras Aplicación: motor eléctrico
Conversión de energía eléctrica en energía mecánica
Hay di Ha diversos e sos tipos (DC, (DC síncronos, sínc onos asíncronos…) asínc onos ) Se encuentran en electrodomésticos como ventiladores, lavadoras, frigoríficos… Rotor: corriente continua
Esquema de E d un motor síncrono.
Estator: E t t corriente i t alterna trifásica
El estator genera un campo magnético giratorio Las espiras del rotor “persiguen” al campo magnético
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Índice
Introducción
Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot Biot-Savart Savart
Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre
Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Magnetismo en la materia
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Fuentes del campo magnético
Hasta ahora hemos estudiado el efecto del campo magnético g sobre cargas g y corrientes Pero ¿Cuál es la fuente del campo magnético? Lo que sabemos:
Imanes: primeras observaciones sobre el fenómeno del magnetismo Oersted (1820) comprobó que una corriente eléctrica es capaz de desviar la aguja de una brújula cercana
Lo que vamos a ver:
La corriente eléctrica é actúa ú como fuente del campo magnético El magnetismo de los imanes puede explicarse en base a un modelo de corrientes microscópicas moleculares en el material (corrientes amperianas)
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Ley de Biot-Savart
Es una Ley experimental deducida por Ampère Proporciona r corriente r el campo magnético creado por un hilo de Campo dB debido a una I que pasa a través de un dl :
r r μ 0 Idl × rˆ dB = 4π r 2 μ 0 = 4π × 10−7
Tm A
Permeabilidad del vacío Elemento de corriente
Propiedades:
r r r r ⎧⎪dB ⊥ dl y dB ⊥ r ⎨ 2 ⎪⎩dB ∝ 1/ r , I ,sen θ
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Campo debido a un hilo finito
Hay que integral a lo largo de la longitud del hilo
En general se trata de un cálculo complicado
r r μ 0 Idl × rˆ B=∫ γ 4π r2
Puede aplicarse el principio de superposición
El campo magnético creado por varias distribuciones de corriente es la suma vectorial de los campos creados por cada r r r di t ib ió aisladamente distribución i l d t
I1
r B2
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B = B1 + B2
r B1
I2 26
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Campo de una espira circular
Ejemplo: B en el centro de una espira circular
r r μ 0 Idl × rˆ dB = 4π r 2 dB = B=
μ 0 Idl sen θ 4π R 2
μ0 I 4π R 2
∫ dl =
B= Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
=1 μ0 I 2πR 4π R 2
μ0 I 2R 27
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Campo de una espira circular
Campo magnético en todos los puntos del espacio
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Campo lejos de la espira
2 En el eje de la espira: Br = μ 0 2 I πR ir 3 (boletín de problemas) 4π ( x 2 + R 2 ) 2 Para x>>R: μ 2 I πR 2 μ 0 2μ Bx ≈ 0 = 4π x 3 4π x 3
Para un dipolo eléctrico: (boletín de problemas)
Ex =
1 2p 4πε 0 x 3
El campo magnético lejos de la espira es análogo al campo eléctrico de un dipolo eléctrico Una espira muy pequeña es un dipolo magnético Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Analogía entre dipolos magnéticos y eléctricos
Los campos “lejos” son iguales (P: ¿Qué significa “lejos”?) Para puntos muy cercanos hay una diferencia:
Entre E t llas cargas ell campo eléctrico lé t i es opuesto t all momento t dip. di eléc. lé En el centro de la espira el campo magnético es paralelo al momento dipolar magnético
r p
r m
Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo
Un dipolo magnético tiende a alinearse con un campo magnético externo Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Campo de un solenoide Cable enrollado (N vueltas) con espiras muy próximas entre sí por el que se hace pasar una corriente
Se usa p para producir p un campo p magnético g intenso y uniforme en su interior
Análogo al condensador en electricidad
Su campo magnético puede obtenerse por superposición del campo de N espiras
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Campo de un solenoide Campo en el eje de solenoide de longitud L :
• El campo dentro es uniforme
• Es proporcional a n=N/L y a I
Las líneas de campo magnético son idénticas a las de una barra imantada Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Campo debido a una corriente en un hilo recto r r μ Idx r r μ 0 Idl × rˆ μ 0 Idx 0 = sen φ k = cos θ k dB = 4π r 2 4π r 2 4π r 2
x = R tan θ
r2 dx = Rd θ / cos θ = d θ R 2
cos θ = R / r
dB =
μ0 I cos θd θ 4π R
Donde todo es constante salvo θ Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Campo debido a una corriente en un hilo recto B=
μ 0 I θ2 μ I cos θd θ = 0 (sen θ2 − sen θ1 ) ∫ 4π R θ1 4π R Para un hilo muy largo:
θ1 → −90º θ2 → 90º B=
sen θ1 → −1 sen θ2 → 1
μ0 I 2π R
Campo magnético a una distancia R de un conductor recto muy largo Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Curso Dpto. Física Aplicada Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Campo de un hilo recto muy largo
Las líneas de campo son circunferencias centradas en el hilo El sentido del campo se determina siguiendo la regla de la mano derecha tal como se indica en la figura
Líneas de campo de un conductor recto y muy largo visualizadas mediante limaduras de hierro Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Curso Dpto. Física Aplicada Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Fuerza entre dos corrientes paralelas
Suponemos dos hilos largos paralelos que transportan corrientes I1 e I2 y están separados una distancia R
r r r dF2 = I 2 dl2 × B1 dF2 = I 2 dl2
con:
μ 0 I1 2πR
dF2 μ 0 I 2 I1 = dl2 2πR
B1 =
μ 0 I1 2π R
Fuerza atractiva
Fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separados una distancia R
Para corrientes paralelas la fuerza es atractiva Para corrientes antiparalelas la fuerza es repulsiva Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Curso Dpto. Física Aplicada Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Aplicación: fuerza entre espiras
Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con corrientes paralelas ¿se atraen o se repelen? r r Igual que dos dipolos eléctricos: F F 2 1 − q pr q −q pr q r μ1
r μ2 r r F F
Espiras paralelas
+
-
+
-
Igual que dos barras imanadas: S
N
r r F12 F21
S
N
Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos imanes: polos opuestos se atraen Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Curso Dpto. Física Aplicada Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Aplicación: fuerza entre espiras
Suponemos dos espiras cuadradas enfrentadas con corrientes opuestas ¿se atraen o se repelen? r r Igual que dos dipolos eléctricos: 2 F F 1 − q pr q q pr −q + + r r μ1 μ2 Igual que dos barras imanadas: r r r r F F F12 F21 Espiras antiparalelas
S
N
N
S
Las espiras (dipolos magnéticos) se comportan como dos imanes: polos iguales se repelen Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Índice
Introducción
Fuerza del campo magnético sobre cargas Fuerza del campo magnético sobre corrientes estacionarias
Par sobre espiras
Ley de Biot Biot-Savart Savart
Revisión histórica del electromagnetismo Magnetismo en imanes Magnetismo terrestre
Campo de una espira circular y de un solenoide Campo de un hilo recto Fuerza magnética entre dos conductores paralelos
Magnetismo en la materia
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Magnetismo en la materia
Los electrones tienen una propiedad eléctrica inherente: su carga D lla misma De i forma f poseen una propiedad magnética inherente: un momento magnético
Se comportan como diminutas espiras de corriente: dipolos magnéticos
Los átomos y moléculas de los materiales poseen además un momento magnético asociado al movimiento de los electrones en sus órbitas: momento magnético orbital
Un campo magnético externo interaccionará con estos dipolos magnéticos Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Tipos de materiales
Paramagnéticos: alineación parcial de los dipolos magnéticos con el campo magnético externo
Diamagnéticos: momentos magnéticos orbitales inducidos se alinean en sentido opuesto al campo externo aplicado
Incremento débil del campo magnético en el material
El campo magnético en el material disminuye débilmente
Ferromagnéticos: g alineación masiva de los dipolos p magnéticos electrónicos con el campo externo
Fuerte incremento del campo en el interior del material El efecto permanece una vez eliminado el campo externo aplicado: imanes permanentes
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Imanación: corrientes amperianas
Cuando los dipolos se alinean: material imantado Cada dipolo magnético se puede modelar como una diminuta corriente circular
Para un cilindro con imanación uniforme:
La corriente neta dentro es nula Existe una corriente neta sobre la superficie: corriente amperiana o corriente de imanación
Este modelo explica por qué el campo magnético que crea la barra imantada es igual que el del solenoide
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Imanación Vector imanación: momento dipolar magnético neto por unidad de volumen: r d μr M= dV r Sea un disco imanado según su eje M de grosor dl y área A: di Analogía con espira: d μ = Adi M= dl dV = Adl
El módulo de M es la corriente amperiana por unidad de longitud (unidades: A/m)
Analogía con solenoide de corriente:
Campo dentro del solenoide y lejos de los extremos
B = μ0 nI
B = μ0 M
Campo dentro del material debido a su imanación
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Imanación de un medio lineal
El campo magnético dentro del material es la suma del campo aplicado y el campo debido a la imanación: r r r B = Bap + μ 0 M Medios paramagnéticos y diamagnéticos:
La imanación es proporcional al campo aplicado
r r Bap M = χm μ0
r r r B = (1 + χ m ) Bap = K m Bap
χ m : Susceptiblidad magnética (adimensional) K m : Permeabilidad relativa (adimensional) Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Materiales ferromagnéticos
Supongamos una barra de material ferromagnético en el interior de un solenoide (Bap=μ0nI). Campo dentro: B = Bap + μ 0 M = μ0 nI + μ 0 M En la práctica: μ 0 M μ 0 nI (amplificación del campo aplicado)
Saturación: Ms
Curva de histéresis
Campo remanente
• En principio M depende de la historia del material y no solo de Bap • Aun así, lejos de la zona de saturación se suele definir:
M = χm
Bap μ0
B = K m Bap = K mμ 0 nI = μnI • Kmμ0= μ : permeabilidad Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Materiales ferromagnéticos
Son ferromagnéticos el hierro el cobalto y el níquel También algunas tierras raras: gadolinio, disprosio A veces se usan en aleaciones: Material
Km
Níquel (99% puro)
600
Hierro (99,8% puro)
5000
Hierro-silicio (95% Fe, 4% Si)
7000
Permalloyy ((55%Fe,, 45%Ni))
25000
Metalmu (77%Ni,16%Fe,5%Cu,2%Cr)
100 000
En un solenoide con un núcleo ferromagnético la permeabilidad relativa (Km) es el factor por el que se multiplica el campo magnético aplicado debido a la presencia del núcleo ferromagnético Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Materiales ferromagnéticos
Materiales ferromagnéticos blandos: ciclo de histéresis estrecho
Materiales ferromagnéticos duros: ciclo de histéresis ancho
B
B
Bap
Bap
Útiles en núcleos de transformadores Ejemplo: hierro dulce
Útiles como imanes permanentes Ejemplo: acero al carbono
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Tema 6
Algunas preguntas interesantes
¿Por qué se pegan los imanes a la puerta del frigorífico? ¿Por qué un imán atrae objetos como clips, alfileres y clavos?
¿Por qué un imán atrae a las monedas de 1, 2 y 5 céntimos pero no a las de 10, 20 y 50 céntimos?
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Resumen (I)
Un campo magnético ejerce una fuerza sobre cargas en movimiento y, por tanto, actúa sobre las corrientes
Un campo magnético uniforme ejerce una fuerza neta nula sobre una espira cerrada de corriente El momento dipolar magnético de una espira tiende a alinearse con el campo magnético externo
Igual que una barra de imán (brújula) Igual que un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un campo eléctrico externo
La fuente del campo magnético son las cargas en movimiento (corrientes): la Ley de Biot-Savart nos proporciona una ecuación g para p calcular el campo p magnético g debido a un hilo de integral corriente
El campo magnético creado por una espira de corriente en puntos “alejados de la espira” es de tipo dipolar El campo magnético creado por un solenoide de corriente es igual que el de una barra imantada.
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Resumen (y II)
Corrientes paralelas se atraen y corrientes opuestas se repelen
La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es análoga ál a la l que acurre entre t barras b imantadas: i t d polos l opuestos t se atraen y polos iguales se repelen La atracción repulsión entre momentos magnéticos (espiras) es similar a la que aparece entre dipolos eléctricos
Los campos magnéticos interaccionan con los dipolos magnéticos microscópicos presentes o inducidos en los medios materiales En materiales ferromagnéticos se produce una fuerte alineación de los dipolos magnéticos electrónicos con el campo aplicado
Da como resultado un campo magnético que puede ser varios órdenes de magnitud superior al aplicado Puede quedar un campo remanente después de retirar el campo externo: imanes El magnetismo de los imanes puede explicarse con un modelo de corrientes amperianas de origen atómico/molecular
Física II. Grado en Ingeniería Aeroespacial – Grupo 2 Dpto. Física Aplicada III 2010/11
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Tema 6
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