TEMA 6: SISTEMAS DE ALTITUDES (Nota aunque aparezcan numerados como 5, se corresponden con el tema 6) 5.1

INTRODUCCIÓN

Una vez definido el geoide, hemos conseguido definir la superficie de referencia para la tercera coordenada de los puntos o datum vertical. Nos resta, todavía, definir el sistema de alturas a utilizar para darle altitud a cualquier punto situado sobre la superficie topográfica. Esta altitud (H) de un punto sobre el nivel medio del mar (que es lo que estamos acostumbrados a leer en los mapas) se mide a lo largo de la línea de la plomada (curva) partiendo del geoide o de un punto considerado de cota cero (en España el nivel medio del mar Mediterráneo en Alicante); a este sistema de altitudes se le conoce con el nombre de altitud ortométrica. Este sistema de altitudes es el utilizado en la mayor parte del mundo (incluido España) y a él nos referiremos principalmente.

5.2

INTRODUCCIÓN DE LA MEDIDA DE GRAVEDAD EN LAS

LÍNEAS DE NIVELACIÓN Sabemos que la gravedad variará dependiendo de la altura, de la latitud (achatamiento terrestre y fuerza centrífuga), y de la densidad de los materiales, retomando el concepto de superficies equipotenciales visto en el tema 2 y recordando la ecuación (2.1b):

dW   g dH

5.1

En principio, hemos dicho que la gravedad varía debido a las causas mencionadas, si deseamos mantener dW=cte, para llegar a una determinada superficie equipotencial, debe variar también dH para cumplir con la premisa de constante anterior, con esto lo que se concluye claramente es que las superficies de nivel no son paralelas, tal como habíamos visto en el tema 2.

Recordemos, además, que (5.1) será una ecuación fundamental para la teoría de determinación de alturas, y es una muestra clara de la interrelación entre los conceptos dinámicos y geométricos. Debido a esta falta de paralelismo las diferencias de altitud niveladas entre dos puntos A y B

n  no

será igual a la diferencia de altitudes ortométricas HA y HB

H B  , figura 5.1.

Figura 5.1: Nivelación y altitud ortométrica.

Así, el incremento de nivelación observado

H B

de HB, si designamos por

W

n

es distinto del correspondiente

el correspondiente incremento de potencial,

tendremos:

 W  g n  g 'H B

5.2

Donde g es la gravedad medida en la estación de nivelación y g’ la gravedad sobre la línea de la plomada de B en

H B (dentro de las masas terrestres).

Así:

H B 

g n  n g'

Pero la propia fórmula (5.2) nos ha dado la respuesta para obtener las diferencias de potencial entre dos puntos a partir de medidas de nivelación y de gravedad:

 W   g n

 B

WB  W A  

g n

5.3

A

B

WB  W A  



g n

A

Integral independiente del camino de nivelación según sabemos de la teoría de campos. Así la nivelación sin medidas de gravedad, aunque se aplique en la práctica, no tiene significado desde un punto de vista riguroso como altitudes ortométricas y puede llevar a errores de cierre o contradicciones. A la diferencia de potencial entre el geoide (WO) y otro punto A (WA) conectado al primero se le llamará número geopotencial (C), de A y responderá a la expresión:

A



g dn  W A  WO  C

5.4

0

El punto cero suele ser un punto apropiado de la línea de la costa que se convertirá así en el origen o datum vertical. El número geopotencial será el mismo para todos los puntos de una superficie de nivel, por lo que puede considerarse como una medida natural de la altitud, aunque no tenga dimensiones de longitud. El número geopotencial C se mide en unidades geopotenciales (u.g.p.) donde: 1 u.g.p. = 1 KGal.metro = 1000 gal.metro = 1000 cm/sg2.metro Los números geopotenciales fueron adoptados por la Asociación Internacional de Geodesia (IAG) en 1955 para la medida de altitudes.

5.3

ALTITUDES ORTOMÉTRICAS

Estas serán, como ya se ha dicho, las altitudes utilizadas mayoritariamente en todo el mundo, por lo que nos referiremos principalmente a ellas. Designaremos por AO la intersección del geoide con la línea de la plomada que pasa por el punto A, figura 5.1, sea C el número geopotencial de A, esto es:

C  WA  WO Y sea H su altitud ortométrica, es decir, la longitud del segmento de línea de la plomada entre A y AO. Efectuaremos la integración de (5.4) a lo largo de esta línea de la plomada (lícito porque el resultado debe ser independiente del camino de integración), entonces tenemos:

H

C



5.5

g dH

0

Que se puede trasformar en:

H

C

1 H H



5.6

g dH

0

O bien:

5.7

C  gH Donde:

H

g

1 H



g dH

0

No es más que el valor medio de la gravedad sobre la línea de la plomada entre el geoide y el punto del terreno.

Así, finalmente, la altitud ortométrica vendrá definida por:

H

Lo que permite calcular H si

5.7

C g

g es conocida, para ello podemos escribir: H

g

1 H

 

g z dz

5.8

0

Donde g(z) es la gravedad real en el punto variable Q que tiene altitud z, figura 5.2.

Figura 5.2: Gravedad en Q. El camino directo para calcular gQ sería usar la fórmula:

P

gQ  g P 



g dH H

5.9

Q

El gradiente real de la gravedad

g H

puede calcularse por la fórmula

(Heiskanen et al. 1985 ec. 2.20):

g  2 gJ  4K  2 2 H

5.10

Siendo J la curvatura media de la superficie de nivel en el punto de cálculo,

 2 la velocidad angular de la tierra y  la densidad entre P y Q. La fórmula para el gradiente normal, es decir, el gradiente para una figura elipsoidal suponiendo que no hay masas entre los puntos P y PO, figura 5.2 responde a la fórmula:

  2J O  2 2 h Donde JO será la curvatura media de las superficies esferopotenciales que responde a la expresión:

JO 

1 1 1    2M N 

Siendo M y N los radios de curvatura meridiana y del primer vertical respectivamente sobre el punto de cálculo (Zakatov 1981). Si basta con la aproximación:

gJ  J O Obtendremos para la ecuación (5.10):

g    4K H h

5.11

Adoptando un sistema geodésico de referencia y un valor para la densidad media de 2.67 gr/cm3 , se obtiene un valor de:

g  0.0848 mgal / metro H Volviendo a la integral de partida (5.8), ahora tenemos que:

g z   g P  0.0848H P  z 

Donde gP es la gravedad medida en el terreno sobre el punto; con esto la integral se convierte en:

H

g

1 H



g P  0.0848H P  z dz

0

Cuya solución es:

5.12

g  g P  0.0424 H P

El factor 0.0424 es válido si usamos la densidad normal de 2.67 gr/cm 3. La correspondiente fórmula para densidad constante arbitraria será:

 1   g  gP    2K  H P  2 h 

5.13

Por lo general el coeficiente (5.12) es el utilizado generalmente, con lo que obtenemos las llamadas altitudes de Helmert:

H

5.14

C g  0.0424 H

Ecuación de segundo grado fácilmente resoluble. A la hora de trabajar no se determina la gravedad para cada enclave de la mira sobre la que efectuamos nivelación, sino que medimos gravedad en señales bastante separadas (apartado 5.3.1), por lo que debemos elegir aquellas estaciones donde la observación gravimétrica sea más representativa.

5.3.1 PRECISIONES Evaluaremos primero el efecto sobre H de un error en la gravedad media partir de la ecuación (5.7), por diferenciación obtenemos:

H  

C g

2

g 

H g g

5.15

g. A

Considerando un valor medio para

g de 1 KGal obtenemos fácilmente un valor

numérico de:

H mm   g mgal H Km Con lo que vemos que un error en

5.16

g de 10 mGal falsifica una altitud de 1000

metros en un centímetro.

En realidad el error en

g será debido, en su mayor parte, a una consideración

errónea de la densidad, para obtener el efecto de un error en la densidad sobre

g,

diferenciaremos la fórmula (5.13) con respecto a la densidad:

 g  2K H P  La máxima variación de densidad de las rocas con respecto a esa densidad media de 2.67 gr/cm3 , es de 0.6 gr/cm3 (Borger 1992, pág. 344), por lo que introduciendo un error de 0.1 en la medida de la densidad y una altura de 1000 metros, la fórmula anterior da un error de:

 g  4.2 mgal Lo que introduce un error de –4.2 mm en H según la ecuación (5.16).

Todo esto en cuanto a la medida de

g ; pero al número geopotencial le afecta

principalmente las medidas efectuadas, es decir, los errores en la toma de la gravedad y en la nivelación. Los errores de la gravedad dependerán del gravímetro utilizado y para una red de nivelación de alta precisión sabemos que la tolerancia máxima se fija en

1.5mm K . Diferenciando (5.7) respecto al número geopotencial obtendremos:

dH 

Considerando

dC g

g igual a 1 kGal : dH  dC

Y como:

C  n g med Diferenciando:

5.17

C  g med n  n g med

Para un kilómetro de nivelada, suponiendo que se ha cometido un error igual a la tolerancia máxima, suponiendo

g media  0.1 mgal

e

n  1 Km obtendremos un

error de:

Cu. g . p.  0.0016 Con lo que vemos que el error en nivelación pasaría a error directo en la determinación de las cotas ortométricas (cosa lógica), y que el error en gravimetría se puede despreciar. La nivelación es una de las medida geodésicas más precisas, es posible una desviación típica de  0.1 mm por kilómetro de distancia. Para conservar esta precisión en las cotas ortométricas se sugiere una distancia entre estaciones gravimétricas de 3 a 5 Km en regiones llanas, de 1 a 2 Km en diferencias de alturas moderadas y de 0.3 a 1.5 Km en áreas montañosas.

5.4

AJUSTE INTEGRAL NIVELACIÓN/GRAVEDAD

5.4.1 MODELO MATEMÁTICO El ajuste puede ser realizado en los diferentes sistemas de altitudes que existen: dinámica, ortométrica, normal, etc. En la actualidad, sobre todo para grandes redes, la norma a seguir es la de efectuar el ajuste adoptando como valores observados las diferencias de cotas geopotenciales observadas entre los diferentes nudos de la red. Así, conociendo el valor de la cota geopotencial de un punto de la red, se podrá dar altitud al resto de los puntos de unión de la misma simplemente mediante el empleo de las diferencias de cotas geopotenciales ajustadas. El modelo matemático a emplear podrá ser el de ecuaciones de condición o el de observaciones indirectas, prefiriéndose el de observaciones indirectas ya que con este podemos disponer de la matriz varianza-covarianza de las variables ajustadas con

gran sencillez de cálculo, lo que permite un estudio de las precisiones y figuras de error más avanzado y riguroso. El modelo matemático será el habitual (Chueca et al. 1996):

Ob  Re s  Cal  dCal En este caso la ecuación lineal que se nos plantea es:

CB  C A   Ob  Cal   Re s Donde

C B

y

C A

son las variaciones de las cotas geopotenciales aproximadas,

pero si queremos obtener directamente la cota geopotencial sin necesidad de obtener cotas aproximadas podemos utilizar la conocida notación matricial:

CA  Obs   C AB  Re s C  B

 1 1

Podremos trabajar en el caso de red ligada, donde uno o más puntos tienen un valor de la cota geopotencial conocido, con lo que definiremos el datum de la red. O podremos trabajar en el caso de red libre, para eso, si se trabaja obteniendo la pseudoinversa a partir de la matriz de constreñimientos E (Chueca et al. 1997), y para el caso particular que nos ocupa: el tratamiento de una red vertical, y, por tanto, unidimensional, esta matriz de constreñimientos se expresará por:

E  1,1,,1,11 X n Cuyo defecto de rango es la unidad pues responde al significado geométrico de una traslación paralela en sentido vertical y de módulo la cota del punto fundamental que es desconocida.

5.4.2 EL PROBLEMA DE LOS PESOS Una vez establecido el modelo matemático y el algoritmo de ajuste debemos estudiar la matriz de pesos para las observaciones. Para las diferencias de altitud geométricas estos se obtenían de la siguiente forma:

El error de cierre de un tramo de nivelación se considera como:

ec  eK K O bien:

ec 

eK 1/ K

5.18

El concepto de peso sabemos que es:



1 p

Por lo que por comparación con (5.18), y considerando que el error kilométrico puede considerarse constante y será el baremo de ponderación al que referiremos el resto de pesos, obtenemos:

1 K 1 P K p

5.19

La asignación de pesos a las diferencias de cotas geopotenciales es distinta puesto que son observaciones calculadas a partir de dos clases diferentes de observables: nivelación y gravedad, pero se va a demostrar que el peso de la diferencia de cotas geopotenciales se reduce a la fórmula tradicional (5.19). La diferencia de cota geopotencial entre dos puntos viene dada por:

5.20

C PQ  g m nPQ Siendo, en este caso:

gm 

g P  gQ 2

Se trata de ver como incide en C los errores cometidos en la nivelación y en la gravedad. Para ello utilizaremos la ley de propagación de varianzas-covarianzas, reduciendo el cálculo a las varianzas suponiendo los observables incorrelados (que lo son, en efecto, ya que se trata de observaciones de distinta naturaleza). Por lo tanto, llamando F a la igualdad (5.20), tendremos que:

2



2 C

2

 F  2  F  2   X1     X 2  g m2  2n  n 2 g2m    X 1   X 2 

5.21

De (5.18) sabemos que:

 2n  eK2 K Con lo que (5.21) se convierte en:

 2C  eKe g m2 K  n 2 g2

m

5.22

Para acotar esta última ecuación numéricamente, supongamos:

n  500 m K = 50 Km.

g m  0.98 kgal  1

 g  1mgal  0.000001kgal m

eK  1.5 mm Con estos datos obtendremos:

 2C  0.0001125  0.00000025  0.00011275 De lo visto se puede deducir que el segundo valor es despreciable, más si tenemos en cuenta que las precisiones de los gravímetros actuales son mucho mejores que 1 mGal como se ha supuesto en el ejemplo, con lo que finalmente obtenemos que, de (5.22), despreciando la parte del error gravimétrico:

 2C  g m2 eK2 K

5.23

Considerando que

g m  0.98 kgal  1 kgal la relación anterior se convierte en:

 2C  eK2 K

5.24

Que no es más que la varianza típica para una nivelación, ecuación (5.18), por lo que se desprende de lo anterior que los pesos para las cotas geopotenciales pueden ser determinados en base a los errores en nivelación, que es como se trabaja habitualmente.

5.4.3 FIGURAS DE ERROR Por analogía con las redes bidimensionales sabemos que a partir de la matriz varianza-covarianza de los parámetros extraeremos las figuras de error (elipses de error), pero la probabilidad de que el vértice exacto esté dentro del recinto de la elipse de error estándar es función de los grados de libertad y se mueve entre los valores de 29 y 39%. En el caso de redes de nivelación o nivelación/gravedad (redes unidimensionales), las elipses se traducen en intervalos de confianza con una probabilidad  de que el valor se encuentre en ese intervalo, tendríamos así la siguiente igualdad que podría ser usada como comprobación del trabajo (Vanicek et al. 1986 pg. 439): 

CiObs  CiAjustado  Re siduo   Ci

5.25



Donde

C

i

es la desviación típica de la matriz varianza-covarianza de los

parámetros a posteriori. Pero al igual que en el caso bidimensional, dada la poca probabilidad de que el punto se encuentre dentro del recinto, o intervalo en este caso, estándar, es preciso utilizar un recinto mayor; la solución se logra multiplicando a los ejes de la elipse (en el caso bidimensional) por un factor de homotecia de la forma:

C  2 F2,mn,

5.26

Siendo F una F de Snédekor, m-n los grados de libertad o redundancias de la red y  el nivel de significación. Para el caso unidimensional que nos ocupa, la ecuación (5.26) se transforma de la forma:

C  F1, m n, Así se calculará el intervalo de confianza que podrá ser validado de la forma: 

Re siduoi  C  Ci

5.5

5.27

ALTITUDES NORMALES

Cuando hablamos de la continuación analítica de la anomalía de gravedad, obteníamos el concepto de anomalía aire-libre, calculando la anomalía de la gravedad directamente sobre el punto P del terreno, figura 5.3.

g AL  g P   Q Y cumpliéndose los mismos principios físicos para los puntos PO y QO (N) que para P y Q (), siendo esa ondulación entre P y Q la que la teoría de Molodensky ha llamado anomalía de altura. Entonces la altitud normal (H*), siguiendo estas ideas, será la altura desde el elipsoide hasta aquel punto en el que WP = UQ, en este caso el punto Q, es decir, el potencial normal en Q es igual al potencial real en P, con lo que la altitud normal sobre P no es otra que la altitud geométrica de Q sobre el elipsoide, de igual manera que la altitud ortométrica de P es la altitud de P sobre el geoide.

Topografia P WP

Superficie equipotencial



WP=UP Q

Superficie esferopotenical

UQ

H

H*

PO

Wo Wo=Uo

QO

Geoide N

Uo

Elipsoide

Figura 5.3: Definición de Altitudes Normales.

Siguiendo la metodología empleada para el cálculo de altitudes ortométricas ahora tenemos:

H*

W  WO  C 



H

 dH *

en lugar de

0

0

C

H* 





g dH

C

dC



en lugar de

H



dC g

0

0

C   H * en lugar de C  g H H*

 

1 H*

 0

H

 dH *

en lugar de

g

1 H

 0

g dH

Como el potencial elipsoidal es una función analítica las fórmulas anteriores pueden ser evaluadas fácilmente, así:

H*

 

1 H*



 z  dz

5.28

0

Donde

 z 

será la gravedad normal del punto variable de altitud z sobre el que se

va integrando; una fórmula para evaluar la gravedad sobre el elipsoide fue ya obtenida, ecuación (2.9):

1   2     z   2 2  h  h  O

 z    O  

Donde

O

 2  z   O

es la gravedad sobre el elipsoide.

Así pues, integrando la ecuación anterior con respecto a z para cumplir la integral (5.28), obtendremos:

2 1  1   2   H *3     H *     2   O H *    H *  2  h  O 3   h  O 2 2 2    H *     H *    O    2   h  O 2  h  O 6

5.29

Fórmula que podrá usarse para calcular H* por medio de:

H* 

C



5.30

Resultando una ecuación cúbica fácilmente resoluble.

5.6

NIVELACIÓN CON G.P.S.

Las técnicas de observación con GPS se contemplan desde su inicio como una potente herramienta para la determinación de altitudes elipsóidicas. El sistema GPS está referido al sistema geodésico WGS84.

La altura de este sistema es la elipsóidica, la cual tiene significado geométrico pero no físico, además estamos acostumbrados a tratar con las altitudes ortométricas, por lo que debemos encontrar una forma de pasar de un sistema a otro.

5.6.1 PROYECCIONES SOBRE EL ELIPSOIDE La coordenada h proporcionada por el GPS será la normal al elipsoide que pasa por el punto P (o proyección de Helmert), figura 5.4.

Figura 5.4: Proyecciones de Helmert y de Pizzeti.

Mientras que la altura ortométrica es la proyección del punto en superficie sobre el geoide a través de la vertical del punto (que es curva), obteniéndose el punto PO sobre el geoide. Como el geoide no es adecuado para los cálculos geodésicos el punto PO se debe pasar al elipsoide según la normal al elipsoide (la propia ondulación del geoide). Esta doble proyección, de P a PO y de PO a QO se conoce con el nombre de proyección de Pizzeti y será la verdadera reducción del punto P al elipsoide; pero si relacionamos ambas proyecciones, y suponemos un triángulo rectángulo PQQO, el valor de  será el ángulo entre la normal elipsóidica y la física, definición propia de la desviación de la vertical.

Estas desviaciones raramente pasan de 20 segundos, pudiendo suponer un valor medio de 10 segundos, por lo que, a nivel submilimétrico, podemos concluir:

hHN

5.31

5.6.2 OBTENCIÓN DE COTAS ORTOMÉTRICAS A PARTIR DE MEDIDAS GPS Y EL CONOCIMIENTO DEL GEOIDE. NIVELACIÓN CON GPS La ecuación (5.31) ha relanzado la geodesia física, ya que todas las instituciones relacionadas con la cartografía y geodesia se plantean actualmente la posibilidad de obtener altitudes ortométricas a partir de un buen modelo de geoide y observaciones GPS. Es por ello que, actualmente, los geoides se calculen sobre el sistema de referencia WGS84 o el GRS80 (idénticos a fines prácticos). El método para la obtención de la altitud ortométrica de esta forma supone un ahorro con respecto al clásico de nivelación y gravedad, que suele ser uno de los trabajos más costosos en cuanto a tiempo y dinero que la topografía y la geodesia poseen, quedando sólo por evaluar las precisiones obtenidas en distintas aplicaciones para poder validarlo. Así surge, desde el principio, la necesidad del conocimiento del geoide con la misma precisión, al menos, con que se pretendan obtener las altitudes ortométricas. La mejora en el conocimiento de las órbitas de los satélites, el rigor en las medidas de la altura de la antena del receptor y la utilización de doble frecuencia, permite obtener diferencia de alturas elipsoidales con precisiones del orden de 1 ppm.

La nivelación geométrica, cuyo error suele darse en

mm k , puede delimitarse a

0.3-1 ppm. Con esto se necesita el conocimiento del geoide con una precisión de, al menos, 1 ppm para poder conseguir los objetivos fijados.

5.6.3 COMPROBACIÓN DE MODELOS DE GEOIDE A PARTIR DE PUNTOS GPS/NIVELACIÓN/GRAVEDAD La idea principal es observar h en puntos de nivelación donde H es conocida con precisión de forma que obtenemos la ondulación del geoide de forma directa (u observada) y se puede comparar con la ondulación del modelo de geoide gravimétrico calculado. Trabajando de esta manera, la principal discrepancia entre las ondulaciones de geoide observadas y modelo se encuentra en que el datum vertical utilizado por el modelo de geoide es global mientras que el de la altimetría utilizada para el cálculo de la ondulación directa es un datum vertical local definido por el nivel medio del mar en un determinado punto de la costa, por lo tanto este será el primer sistematismo a tener en cuenta a la hora de intentar comparar las ondulaciones. A pesar de este sistematismo se puede decir que, en relativo, las diferencias de ondulación deben ser muy parecidas, del orden de 1-2 ppm de discrepancia, si deseamos concluir que nos encontramos ante un modelo de geoide sin sistematismos (Engelis et al. 1985), (Kearsley 1988), (Mainville et al. 1992). Pero, además, los modelos de geoide gravimétricos suelen ser susceptibles de poseer otros sistematismos (como inclinaciones) y deformaciones debido a errores en los coeficientes del modelo global utilizado, una mala cobertura de anomalías de la gravedad sobre la zona de cálculo, datos de gravedad de diferentes fuentes y, por tanto, de difícil unificación, modelos digitales del terreno poco precisos y con escasa resolución, consideración errónea de las densidades, diferencias entre los datums utilizados (modelo global, anomalías de la gravedad y modelo digital del terreno) interpolación deficiente del campo de gravedad, etc., (Tsuei et al., 1994), (Jiang y Duquenne, 1996), (Forsberg, 1997), (Forsberg, 1998), (Duquenne, 1999). Por último, en esta comparación entre la ondulación modelo y la observada, se debe tener en cuenta que este método no cuenta sólo con los sistematismos o deformaciones del modelo de geoide, sino que además contará con los errores en los puntos GPS/nivelación: errores en las medidas de las alturas de antena GPS, y, como no, errores en las líneas de nivelación que usualmente no son conocidos de antemano y que son de difícil modelización. Por tanto, actualmente, se puede seguir concluyendo lo que dijo Zilkoski en el XIX congreso internacional de la Federación Internacional de Geodesia en 1990: “hay que disponer de una mejor estimación de la forma del geoide, así como de los cambios

de su pendiente, antes de que las altitudes ortométricas obtenidas por GPS puedan ser empleadas de forma rutinaria por la comunidad geodésica y topográfica.”

5.6.4 MEJORA DE MODELOS DE GEOIDE GRAVIMÉTRICOS A PARTIR DE PUNTOS GPS/NIVELACIÓN/GRAVEDAD. OBTENCIÓN DEL

MODELO

DE

GEOIDE

COMBINADO

(GRAVIMÉTRICO

–

GPS/NIVELACIÓN) Los modelos de geoide gravimétricos suelen presentar una buena precisión relativa en el sentido de diferencias relativas de la ondulación del geoide, pero su posición absoluta es, generalmente, pobre debido a la introducción de sistematismos debidos a las causas expuestas anteriormente y, sobre todo, a la diferencia de datums verticales entre los diferentes modelos de geoide y la altimetría local. Por el contrario los puntos GPS/nivelación/gravedad poseen una gran precisión en cuanto a posición absoluta pero una pobre resolución ya que son pocos los puntos en los que se podrá obtener el valor de la ondulación de forma directa, principalmente debido al gran esfuerzo que conlleva realizar la nivelación de precisión con una densidad de puntos aceptables. En consecuencia los dos tipos de datos pueden ser combinados: se puede ajustar un modelo de geoide (que posee una buena posición relativa y resolución) a los puntos GPS/nivelación/gravedad (que poseen una buena precisión absoluta) y obtener así un modelo de combinado que aumenta las posibilidades de utilización para cualquier usuario de geoide o de GPS. Como idea se puede decir que los puntos GPS/nivelación/gravedad constituirán los puntos de apoyo para realizar la orientación absoluta del modelo de geoide (Birardi et al. 1995), pero entendiendo que no se trata de una transformación rigurosa, sino que únicamente se pretende que los parámetros del ajuste absorban esos sistematismos del modelo de geoide, de manera que estamos ajustando el modelo de geoide al campo gravitatorio local. La forma más sencilla de trabajar es utilizar una regresión polinómica del tipo:

 n

N gps/ niv  N mod . 

i 0

n i

j 0

aij X i Y

j

Polinomio de dos variables donde las coordenadas tendrán origen en el punto medio de la zona de ajuste (m , m) y se referirán a las coordenadas latitud, longitud ya que:

X  cos  m   m ,

Y     m 

En su caso más simple y, a su vez, más adecuado y realista para un área local, es un modelo de regresión plana, (Jiang y Duquenne, 1996), (Forsberg, 1997), (Vermeer, 1998), (Duquenne, 1998), (Duquenne, 1999):

N GPS / niv  N mod  a1  a 2Y  a3 X Donde a1, a2 y a3 son los coeficientes a determinar en un ajuste mínimo cuadrático, con lo que, idealmente estamos aplicando sobre el punto central giros en los dos ejes coordenados, uno en la dirección S-N y otro en la dirección W-E, y un desplazamiento constante sobre la vertical que llevarán la ondulación modelo a la ondulación ajustada. La elección de los pesos del ajuste deberá estar de acuerdo con la precisión de la diferencia a ajustar, por lo tanto deberá ser la composición cuadrática del error obtenido en la observación de la ondulación del geoide para cada uno de los puntos (errores en las medidas de la altura GPS y en la determinación de la cota ortométrica) y la precisión del modelo de geoide para la zona de cálculo (para cuantificar esta precisión se puede tomar la desviación respecto a la media de la comparación directa del modelo de geoide con los puntos GPS/Nivelación/Gravedad).