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Tema 7: Polarizaci´ on 1. Modelo microsc´ opico dipolar: Dipolos inducidos. Polarizabilidad molecular. Dipolos permanentes. Sustancias polares y apolares. 2. Vector polarizaci´ on: Definici´on. Potencial y campo producido por un cuerpo polarizado. Cargas de polarizaci´on. Interpretaci´on f´ısica. 3. Vector desplazamiento: Ley de Gauss para medios diel´ectricos. Definici´on de vector desplazamiento. Discontinuidades sobre superficies cargadas. 4. Leyes constitutivas: Homogeneidad, isotrop´ıa y linealidad en materiales diel´ectricos. Otros materiales. Susceptibilidad, permitividad y constante diel´ectrica. 5. Problemas de potencial en presencia de diel´ ectricos: Formulaci´on general de la electrost´atica. Medios lineales. 6. Energ´ıa y fuerzas en presencia de diel´ ectricos: Trabajo elemental de carga de un sistema. Condiciones para la definici´on de una energ´ıa el´ectrica. Energ´ıa en medios lineales y ferroel´ectricos. Interpretaci´on termodin´amica. Fuerzas a partir del principio de trabajos virtuales.

7.1.

Modelo microsc´ opico dipolar

En el tema 5 hemos establecido la distinci´on entre cargas libres y ligadas, seg´ un el criterio de su posibilidad de movimiento dentro del material. Si la carga se encuentra asociada inequ´ıvocamente a un conjunto (mol´ecula, a´tomo o ion), es decir, que no se separa de ´el ilimitadamente, decimos que se trata de una carga ligada. Un campo externo act´ ua tambi´en sobre este tipo de carga, deformando u orientando la estructura neutra a la que pertenece. Como ejemplo consideremos un ´atomo de hidr´ogeno. En ausencia de fuerzas el´ectricas externas el ´atomo puede imaginarse como una carga positiva casi puntual en el n´ ucleo (el prot´on) y una nube de carga negativa con simetr´ıa esf´erica rode´andolo (el electr´on en su estado cu´antico fundamental). Esta configuraci´on produce un campo el´ectrico nulo en su exterior. Cuando un campo el´ectrico externo act´ ua sobre el ´atomo, el prot´on sufre una fuerza en la direcci´on y sentido del campo, mientras que la nube electr´onica sufre una fuerza opuesta. El resultado es una p´erdida de simetr´ıa esf´erica en la distribuci´on, de manera que el propio campo producido por el a´tomo deja de ser nulo fuera de ´el. En consecuencia, los materiales aislantes responden a un campo externo modificando en mayor o menor medida su estructura y produciendo a su vez campos que debemos sumar al externo. El concepto de dipolo el´ ectrico, visto en el tema 3, es la base que nos permitir´a describir el comportamiento de estos materiales. En el ejemplo visto del ´atomo de hidr´ogeno podemos llegar a la conclusi´on de que el campo el´ectrico externo induce la formaci´on de un dipolo. En efecto, en ausencia de campo externo la distribuci´on de carga tiene un momento dipolar nulo debido a la simetr´ıa esf´erica, mientras que Tema 7: Polarizaci´on

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con campo aplicado aparece un momento dipolar, tanto mayor cuanto mayor sea la deformaci´ on producida en el sistema. El efecto se puede describir diciendo que el centro de cargas positivas (an´alogo al concepto de centro de masas) y el de cargas negativas no coinciden. Por otra parte, una vez eliminado el campo externo, el a´tomo vuelve a su estado original (puesto que las fuerzas puestas en juego son conservativas) y el dipolo desaparece. A este efecto, presente en todas las sustancias, se le denomina polarizaci´ on inducida. Tambi´en se induce polarizaci´on, es decir, separaci´on entre los centros de carga positiva y negativa, al aplicar campos el´ectricos a mol´eculas formadas por iones de distinto signo. Por ello es usual distinguir dentro de los fen´omenos de polarizaci´on inducida entre la polarizaci´ on electr´ onica y la polarizaci´ on i´ onica, seg´ un se trate del primer caso o del segundo. El momento dipolar inducido es proporcional al campo aplicado:  p = αE, siendo α la polarizabilidad. Si la estructura molecular no tiene simetr´ıa esf´erica α tiene car´acter tensorial. Si el campo aplicado es muy intenso la relaci´on deja de ser lineal, e incluso se puede llegar a la ionizaci´on de la mol´ecula. Ejemplo: Polarizabilidad de un ´ atomo de hidr´ ogeno. La distribuci´ on de carga asociada a la nube electr´ onica del a´tomo de hidr´ ogeno en su estado fundamental tiene simetr´ıa esf´erica y viene dada por la densidad ρ(r) =

qe −2r/a0 e , πa30

siendo qe = −1,9 · 10−19 C la carga del electr´on y a0 = 5,3 · 10−11 m el llamado radio de Bohr, par´ ametro que da una idea de la distancia al n´ ucleo hasta donde la distribuci´on de carga (que en teor´ıa se extiende hasta el infinito) tiene un valor apreciable. Supongamos que sometemos el a´tomo a un campo el´ectrico uniforme de intensidad E0 , y que se produce un desplazamiento d del n´ ucleo respecto del centro de la nube electr´ onica sin que ´esta se deforme. ¿Qu´e polarizabilidad posee el a´tomo? Suponemos que el desplazamiento del n´ ucleo es peque˜ no, d R1 . En resumen,  = D

q ur . 4πr2

 i = D/  i , donde distinguimos si estamos en la capa diel´ectrica o en el vac´ıo. Por tanto El campo el´ectrico es E ⎧ q ⎪ ur si R1 < r < R2 , ⎨ 4πr2  = E q ⎪ ⎩ ur si r > R2 . 4π0 r2  en r = R2 indica que en dicha superficie se acumula carga de polarizaci´ El salto en el valor de E on. Su valor (P ) viene dado por la relaci´ on ρS = P · n = ( − 0 )E(R2− ), siendo E(R2− ) el campo el´ectrico evaluado en el diel´ectrico y n la normal saliente del cuerpo diel´ectrico, es decir, ur . Esto conduce a (P )

ρS

=

( − 0 )q . 4πR22

Tambi´en hay carga superficial de polarizaci´ on en r = R1 , contigua a la carga libre que existe sobre el conductor. Ahora es n = −ur y se tiene ( − 0 )q (P ) ρS = − . 4πR12  · P = ∇  · D(  0 − )/ = 0. Esto ocurre obviamente En este caso no hay carga en volumen, puesto que ρ(P ) = −∇ siempre que el medio diel´ectrico no acumule carga libre y sea homog´eneo. Ejemplo: Un condensador plano con armaduras de a´rea S0 y separaci´on d se rellena parcialmente de un material diel´ectrico de permitividad . Obt´engase la nueva capacidad en los dos casos siguientes: (a) placa diel´ectrica de espesor e colocada paralelamente a las armaduras; (b) placa diel´ectrica de espesor d parcialmente introducida, siendo S la superficie introducida. d e

I

d II

II e0

e

e0 e

S I

SG x

S1

x z

S

z

y

y V=0

V=V0 (a)

V=0

V=V0 (b)

(a) Supongamos para empezar que el diel´ectrico se introduce en contacto con una de las armaduras. Existen dos regiones con distinta permitividad dentro del condensador, que en la figura aparecen como I y II. Si no tenemos en cuenta los efectos de borde, la homogeneidad del material y la geometr´ıa nos garantizan que, sea cual sea la distribuci´ on de cargas libres y ligadas, ´estas no depender´ an de x ni de y. El campo el´ectrico ser´ a entonces  = D(z)uz . Si aplicamos la ley de Gauss para  = E(z)uz , y por tanto D perpendicular a las armaduras, es decir E diel´ectricos, en forma integral, tomando una superficie gaussiana en forma de paralelep´ıpedo recto que encierre la carga libre de la armadura positiva y llegue a un valor de z arbitrario (ver figura), podemos escribir

 · dS  = D(z)ΔS; q (f ) = ρ(f ) ΔS, D S SG

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(f )

luego D(z) = ρS , que es constante para cualquier z. Esto ocurre incluso cuando pasamos del medio diel´ectrico al  pero EII = D/  0 . Si la diferencia vac´ıo. Sin embargo el campo el´ectrico s´ı sufre un salto, puesto que EI = D/ de potencial entre armaduras es V0 , la circulaci´on del campo hallado nos suministra la relaci´on entre carga libre y potencial:   q (f ) e d − e V0 = EI e + EII (d − e) = + . S  0 q (f ) S = . V0 e/ + (d − e)/0 Si e = d la f´ ormula se reduce a la de un condensador plano salvo por la sustituci´ on de la permitividad del vac´ıo por la del material que rellena el condensador. La capacidad resulta C =

Puede comprobarse que la capacidad encontrada equivale a la asociaci´ on en serie de dos condensadores de igual ´rea y separaciones e y d − e, uno relleno de diel´ectrico y otro vac´ıo. Tambi´en es interesante observar que la a localizaci´on de la placa diel´ectrica dentro del condensador no altera el resultado. Las cargas de polarizaci´on se limitan a dos distribuciones superficiales opuestas en las caras de la placa diel´ectrica, (P ) (f ) de valor ρS = ±ρS ( − 0 )/. (b) Si ahora la placa diel´ectrica tiene el grosor del condensador, d, y se introduce parcialmente hasta un ´area S1 se pierde la simetr´ıa del problema. Las distribuciones de carga libre y ligada no son necesariamente uniformes seg´ un las coordenadas x e y. No obstante vamos a ensayar una soluci´ on sencilla que consiste en un campo el´ectrico uniforme  = uz V0 /d en todo el condensador. Esta propuesta viene motivada por dos consideraciones: (i) si cada medio E fuera ilimitado el campo cumplir´ıa todas las condiciones exigidas (satisface la ecuaci´on de Laplace, las armaduras son equipotenciales y la circulaci´on del campo entre ambas nos da la diferencia de potencial establecida); (ii) en la frontera entre ambos medios se cumplen todas las condiciones exigidas. En efecto, la continuidad de la componente  se cumple por ser el campo propuesto tangencial e igual en ambos medios, mientras que, al no haber tangencial de E  se garantiza al ser proporcional al carga libre en la frontera, la continuidad de la componente normal del vector D campo el´ectrico y no tener ´este componente en esa direcci´on. Es interesante analizar omo se distribuyen las cargas libres y ligadas. Aplicando la condici´ on de salto en el vector   c´  = ρ(f ) , a cualquiera de las armaduras obtenemos ρ(f ) = D, pero DI = E y DII = 0 E, desplazamiento, n · D S S por lo que en la superficie adyacente a cada medio la densidad de carga libre es constante, pero con valor distinto. En cambio la condici´ on de salto para el campo el´ectrico incluye toda la carga (libre y de polarizaci´ on); como el campo es uniforme, la carga superficial total en cada armadura es tambi´en uniforme. Esto es posible porque la carga de polarizaci´ on tambi´en cambia de un medio al otro y se “ajusta”para hacer uniforme la distribuci´ on total. (P ) ´ltima observaci´ on al respecto: la carga total Puede comprobarse esto mediante el c´alculo directo ρS = P · n. Una u es suma de dos distribuciones superficiales contiguas, una libre, en la armadura, y otra ligada, en la frontera del diel´ectrico. La capacidad se calcula dividiendo la carga libre acumulada en la armadura positiva por la diferencia de potencial entre ambas. La carga libre es (f )

(f )

q (f ) = ρSI S1 + ρSII (S − S1 ) = DI S1 + DII (S − S1 ) = ES1 + 0 E(S − S1 ) =

V0 [S1 + 0 (S − S1 )] . d

La capacidad resulta 1 [S1 + 0 (S − S1 )] . d Se observa que el resultado coincide con la asociaci´ on de dos condensadores en paralelo, uno de a´rea S1 y separaci´on on y vac´ıo. d relleno de diel´ectrico y otro de a´rea S − S1 , igual separaci´ C=

7.6.

Energ´ıa en presencia de diel´ ectricos

En el tema 2 se asign´o a la cantidad uE = 0 E 2 /2 el car´acter de densidad volum´etrica de  r) en el espacio. En el tema energ´ıa el´ectrica asociada a un sistema que produce un campo E( Tema 7: Polarizaci´on

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3, referido a sistemas est´aticos, se vio que la energ´ıa el´ectrica total del sistema UE = uE dτ , donde la integral se extiende a todo el espacio, se puede interpretar como el trabajo necesario para traer las cargas desde el infinito, partiendo del reposo, hasta su posici´on final. Esta energ´ıa es en principio totalmente recuperable (el sistema la puede ceder) si no estamos en presencia de medios materiales. Cuando estamos en presencia de medios polarizables nos encontramos con la dificultad de que en un proceso de carga del sistema, trayendo carga desde el infinito, entran en juego fuerzas de muy diverso tipo, pudiendo existir transformaci´on de parte del trabajo realizado por nosotros en calor (fen´omenos disipativos). Por ello, aun cuando la energ´ıa definida en temas anteriores tiene un significado claro, no resulta en general u ´til, puesto que ni coincide con el trabajo que nosotros realizamos para cargar el sistema, ni tenemos garant´ıa de que en un proceso vayamos a obtenerla en forma de trabajo realizado por el sistema. Para discutir en qu´e condiciones es posible definir una energ´ıa electrost´atica en presencia de materiales polarizables vamos a calcular cu´al es el trabajo elemental δW que debemos realizar para incrementar la distribuci´on de carga libre, ρ(f ) (r) del sistema. Es importante recalcar que nos interesa una variaci´on de carga libre δρ(f ) (r) porque en la pr´actica es el tipo de carga que podemos manejar (en cambio no podemos actuar directamente sobre la carga de polarizaci´on). Usando la interpretaci´on del potencial electrost´atico V (r) como trabajo necesario para traer la unidad de carga desde el infinito hasta la posici´on r, podemos escribir 

δW =

δρ(f ) (r)V (r)dτ.

esp

La variaci´on de densidad de carga libre se puede expresar en funci´on de la variaci´on del vector desplazamiento a partir de la ley de Gauss:  · D)  =∇  · δ D,  δρ(f ) = δ(∇ con lo que el trabajo elemental queda 

δW =

esp

 · δ Ddτ  V∇ =

 esp

 · (V δ D)dτ  ∇ −

 esp

 · δ Ddτ,  ∇V

donde hemos usado el desarrollo de la divergencia de un campo escalar por uno vectorial. La primera de las dos integrales resultantes puede transformarse en una de superficie aplicando el teorema de la divergencia. Dado que el volumen de integraci´on es todo el espacio, consideramos la integral extendida a una esfera de radio R que luego hacemos tender a infinito. Siguiendo un argumento ya usado en otras ocasiones, si las distribuciones de carga decaen suficientemente r´apido con la distancia a un punto, podemos admitir que la integral de superficie es nula una vez tomado el l´ımite R → ∞. La otra integral se puede escribir 

δW =

esp

 · δ Ddτ.  E

El trabajo total necesario para cargar un sistema es la suma de trabajos elementales, partiendo de  yD  nulos en una situaci´on original sin carga libre (que habitualmente corresponde a campos E  r) y todo el espacio) hasta una situaci´on final en la que estos campos poseen valores conocidos E(  D(r). Podemos expresar esta suma como una integral de evoluci´on de los campos en cada punto del espacio:   

W = Tema 7: Polarizaci´on

esp

dτ

 [E(  r ),D(  r )] [0,0],γ

 · δD  , E 12

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donde γ indica que para cada punto espacial la evoluci´on de los campos viene representada por  un camino en el espacio de las componentes de D. Dz g(r)

D(r)

Dy Dx

El criterio fundamental que nos permite establecer si un trabajo realizado por nosotros para formar un sistema puede considerarse almacenado en ´el en forma de energ´ıa es que dicho trabajo sea funci´on exclusivamente de los estados inicial y final del sistema (la energ´ıa es una funci´on de estado). Seg´ un esto, debemos exigir que la integral de l´ınea anterior, calculada en cada punto del espacio, sea independiente del proceso de carga γ(r). Un ejemplo importante de sistemas que admiten la definici´on de una energ´ıa electrost´atica es el de los medios diel´ ectricos lineales. Para estos medios en cada punto se tiene, si adem´as son is´otropos,  · δD  =E  · δ(E)  = 1 δ(E 2 ) = 1 δ(D  · E),  E 2 2 y por tanto la densidad de energ´ıa almacenada en cada punto es la integral de una diferencial exacta, y finalmente se escribe la energ´ıa total como UE =

1 2

 esp

 · Ddτ.  E

Puede demostrarse que si el medio es lineal pero anis´otropo, la f´ormula anterior sigue siendo v´alida, pero hay que admitir que el tensor permitividad es sim´etrico. Digamos que la existencia de una f´ormula para la energ´ıa en estos medios proviene de la certeza de que para ellos todas las fuerzas involucradas a nivel microsc´opico son conservativas, y una vez admitida su existencia, surge como consecuencia la simetr´ıa del tensor permitividad. Un ejemplo opuesto, con el que ponemos de manifiesto que no siempre es posible definir la energ´ıa de un sistema, es el de los medios ferroel´ ectricos. Recordemos que para estos materiales no  y D,  sino que su valor depende de la existe en general una relaci´on un´ıvoca entre los vectores E historia del material. En tal caso es evidente que la integral de l´ınea en el espacio {Dx , Dy , Dz } depender´a del proceso de carga, y no s´olo del estado final. Nota avanzada: La energ´ıa obtenida para medios lineales tiene un significado termodin´ amico distinto que el visto para distribuciones en el vac´ıo. En efecto, aunque el proceso de carga deber´ıa poder ser arbitrario, el hecho de que la permitividad del material sea una funci´ on de la temperatura del sistema (y tambi´en de la presi´on, aunque en menor grado), obliga a que el proceso concreto que define la energ´ıa electrost´atica del sistema sea isotermo, con lo que garantizamos que la permitividad va a ser una constante en cada punto. Si el proceso no es isotermo, no hay garant´ıa de que el resultado sea el mismo. Por otra parte, siguiendo con los requisitos termodin´amicos, para que los campos macrosc´opicos est´en bien definidos es necesario que el sistema est´e siempre en equilibrio, y por

Tema 7: Polarizaci´on

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tanto el proceso de carga debe ser reversible. Una funci´ on de estado que tiene significado de trabajo reversible en presencia de un foco t´ermico es la energ´ıa libre, o funci´ on de Helmholtz F , que es el potencial termodin´ amico que debemos asociar a la energ´ıa electrost´atica.

Una vez discutida la definici´on de energ´ıa asociada a un sistema podemos aplicar directamente el formalismo que nos da la fuerza (generalizada) a partir de la aplicaci´on del principio de los trabajos virtuales. En procesos a carga libre constante y a potencial constante se tiene respectivamente Fx = −δUE /δx|q ,

Fx = δUE /δx|V .

Ejemplo: En el condensador plano parcialmente relleno de una pieza diel´ectrica de igual espesor que la distancia entre armaduras, ya analizado en el ejemplo anterior, calc´ ulese la fuerza que act´ ua sobre la pieza. profundidad, b e0

e

z y

V=V0 d

x a

V=0

Llamemos x a la distancia desde el borde del condensador por donde entra el diel´ectrico hasta el extremo de la pieza. Supongamos que en la direcci´ on x el condensador tiene longitud a y longitud b en la direcci´on y. El a´rea de la armadura en contacto con el diel´ectrico ser´ a entonces S1 (x) = bx. Si se produce un desplazamiento virtual δx en la posici´on de la pieza la energ´ıa del sistema variar´a una cantidad δUE . La fuerza el´ectrica ejercida sobre la pieza, en un proceso a potencial constante es Fx = δUE /δx|V . La energ´ıa del sistema es UE = C(x)V02 /2. La capacidad se calcul´ o en el ejemplo mencionado y, teniendo en ormula que cuenta que las dimensiones de las armaduras, C(x) = bx/d + 0 b(a − x)/d. Sustituyendo todo en la f´ da la fuerza y efectuando la derivada resulta Fx =

( − 0 )bV02 , 2d

por lo que el diel´ectrico tiene tendencia a rellenar el condensador. Para hacernos una idea de la magnitud de la fuerza sobre el diel´ectrico podemos considerar el caso de un condensador plano colocado verticalmente y ligeramente sumergido en un l´ıquido aislante. El l´ıquido tiende a subir su nivel hasta una altura h tal que la fuerza el´ectrica compense a la fuerza gravitatoria, Fg = ρm τ g = ρm dbhg = ( − 0 )bV02 /(2d). Si el l´ıquido tiene la densidad del agua, una constante diel´ectrica r = 3 y el condensador tiene 1 mm de separaci´on entre placas, la diferencia de potencial para que el l´ıquido suba 1 cm es V0  3,33 kV. Algunos aspectos de este problema merecen ser comentados: (1) La tendencia de un material diel´ectrico a migrar a regiones donde el campo es m´as intenso es bastante general. Una aplicaci´ on es el control de masas l´ıquidas en ausencia de gravedad, como es el caso del combustible de una nave espacial. (2) El c´ alculo realizado no ha tenido en cuenta los efectos de borde. Sin embargo pueden darse argumentos para justificar que el resultado es el mismo si ´estos se incluyen, puesto que lo que cuenta es la variaci´ on de la capacidad ante un peque˜ no desplazamiento del extremo de la pieza y las regiones donde el campo es no uniforme quedan invariantes. (3) Si hubi´eramos intentado calcular la fuerza directamente a partir de las distribuciones de carga y campo el problema hubiera sido formidable. Hay que observar que no hay carga de polarizaci´ on en el extremo de la pieza y por tanto la fuerza tiene su origen en la zona del borde del condensador, donde los campos son muy complicados. No deja de resultar parad´ojico que para el m´etodo energ´etico usado esta zona carezca de importancia.

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