Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato

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TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO 1 a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70 b) Pasa a grados los ángulos:

7 rad y 3, 5 rad 6

Solución:  7 rad  rad 180 6 7 7  180  b) rad    210  6 6 

 7 rad  rad 180 18 180  3, 5 rad  3, 5   200  32' 7" 

a) 210   210 

70   70 

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solución: 4 4 180  rad    240  3 3  180  1, 5 rad  1, 5   85  56' 37" 

 13 rad  rad 180 18  11 330   330  rad  rad 180 6 Por tanto: 130   130 

ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA 1 y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar α ) : 3 b) tg 180   α c) tg 360   α d) tg 360   α

EJERCICIO 3 : Si tg α 



a) tg 180   α















Solución:

 c) tg 360

1  3 1     tg    3

 d) tg 360

a) tg 180      tg    

1  3 1    tg   3

b) tg 180     tg   

EJERCICIO 4 : Si sen   0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular : a) sen 180   α b) cos 180   α









Solución: a) sen 180     sen   0, 35











b) cos 180     cos 

Necesitamos saber cuánto vale cos : sen 2  cos 2  1  0,1225  cos 2   1 





0, 35 2  cos 2  1

cos 2   0, 8775  cos  0, 94 (es positivo, pues 0    90 )

Por tanto: cos 180     cos  0, 94

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EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 50  0,77, cos 50  0,64 y tg 50  1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora: a) cos 130  b) tg 310  c) cos 230  d) sen 310  Solución:





a) cos130   cos 180   150   cos 50   0, 64





b) tg 310  tg 360  50  tg 50  1,19

   sen 360  50  sen50

c) cos 230   cos 180   50   cos 50   0, 64 d) sen310







 0, 77

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:

a 2  b 2  c 2  12 2  b 2  15 2 Hallamos los ángulos: sen Bˆ 

b c

 144  b 2  225  b 2  225  144  81  b  9 cm 

sen Bˆ 

9  0, 6 15

ˆ  90   Bˆ  53  7' 48"  Bˆ  36  52'12"  A

ˆ  53 7' 48" ; b  9 cm; B ˆ  90  ˆ  36  52'12" ; c  15 cm; C a  12 cm; A

Por tanto:

EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado 10 metros de cable. Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B.

Solución:

h z

  z sen 60   h    h  10  z sen 35   h  sen 35   10  z  z sen 60   10  z sen 35   z sen 60   10 sen 35   z sen 35  sen 60  

z sen 60   z sen 35   10 sen 35  h  z sen 60  







z sen 60   sen 35   10 sen 35   z 

10 sen 35  sen 60 

10 sen 35  sen 60   sen 35 

 3, 45 m  La altura del mástil es de 3,45 m sen 60   sen 35  Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y: 3, 45 h h tg 60    y   1, 99 m  y tg 60 tg 60 

tg 35  

h x

x

h

3, 45

 4, 93 m tg 35 tg 35  Por tanto, la distancia entre A y B es de x  y  4,93  1,99  6,92 m. 





 3, 98 m

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EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 40. ¿Cuál es la altura de la antena? Solución:

h x

   h  tg 40   x  7 tg 55  

x tg 55   h

      x tg 55  x  7 tg 40  x  7 tg 40  h 

x tg 55   x tg 40   7 tg 40  h  x tg 55  

7 tg 40  tg 55  tg 55   tg 40 









x tg 55   x tg 40   7 tg 40 

x tg 55   tg 40   7 tg 40   x 

7 tg 40  tg 55   tg 40 

 9, 97 m

 14, 24 m  La altura de la antena es de 14,24 metros.

EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Solución: Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: 7 2  5 2  l 2  l 2  74  l  8,6 cm ˆ 5  A ˆ  35  32' 16"  Hallamos los ángulos: tgA 7 2 Aˆ  71 4' 31" Los ángulos del rombo miden: 2Bˆ  108  55' 29" RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

ˆ  54  27' 44" Bˆ  90   A

EJERCICIO 10 : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Solución





ˆ  Cˆ  35  Hallamos el ángulo Bˆ : Bˆ  180   A Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: a sen 65  c



50 sen 35  50



a

sen 35 

 79 km

50 sen 80 

 85, 85 km sen 80 sen 35 sen 35  Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. 







c

50 sen 65 

Los metros de valla necesarios serían: a  b  c  20  15  20, 49  55, 49 m

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EJERCICIO 11 : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos: Solución: Hallamos el lado c con el teorema del coseno: c 2  a 2  b 2  2ab cos Cˆ c 2  9, 5 2  4 2  2  9, 5  4  cos 50   c 2  57, 4  c  7, 58 cm  c 2  90, 25  16  48, 85 Como conocemos los tres lados, la solución es única. Hallamos el ángulo Aˆ : a



c



9, 5



7, 58

ˆ sen Cˆ ˆ sen 50  sen A sen A ˆ  Cˆ  56  14' 36" Bˆ  180   A





 ˆ  9, 5 sen 50  sen A ˆ  0, 96 sen A 7, 58



ˆ  73  45' 24" A



ˆ  73 45' 24" ; b  4 cm; B ˆ  56  14' 36" ; c  7, 58 cm; Cˆ  50  Por tanto: a  9, 5 cm; A EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ángulos de este triángulo: Solución: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de los senos : a b 15 8      ˆ ˆ sen A sen B sen 108 sen Bˆ 8 sen 108   0, 507  Bˆ  30  28' 46" 15 (Como Aˆ es obtuso, Bˆ y Cˆ han de ser agudos, solo hay una relación). ˆ  Bˆ  41 31'14" Hallamos el ángulo Cˆ :  Cˆ  180   A sen Bˆ 



Calculamos el lado c:

c sen Cˆ



a ˆ sen A





c





sen 41 31' 14"





15 sen 108 



c  10, 46 m

ˆ  108  ; b  8 m; B ˆ  41 31'14" ˆ  30  28' 46" ; c  10, 46 m; C Por tanto: a  15 m; A EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Solución: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, existe solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno: ˆ  51, 84  12, 25  36  42 cos A ˆ a 2  b 2  c 2  2bc cos A ˆ  3, 59 42 cos A  12, 25  36  51, 84  42 cos A ˆ  94  54'12" A b 2  a 2  c 2  ac cos Bˆ  12, 25  51, 84  36  86, 4 cos Bˆ 

ˆ  0,0 85 cos A



86,4 cos Bˆ  51, 84  36  12, 25 Cˆ  180   Aˆ  Bˆ  56  7' 41"





cos Bˆ  0, 875  Bˆ  28  58' 7"



ˆ  94  54'12" ; b  3, 5 cm; B ˆ  56  7' 41" ˆ  28  58' 7" ; c  6 cm; C Por tanto: a  7, 2 cm; A EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

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Solución: Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno: x 2  5069 , 38 x 2  34 2  52 2  2  34  52  cos 110   x 2  1 156  2 704  1 209, 38 x  71, 20 km Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km.

EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ? Solución:





ˆ  Bˆ  55  Hallamos el ángulo Cˆ : Cˆ  180   A Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos: a sen 75  b



100



sen 55  100

a

sen 55 

 117, 92 m

100  sen 50 

 93, 52 m sen 50  sen 55  sen 55  Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m. 



b

100  sen 75 

EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos: Solución: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de los senos :

a ˆ sen A

b



sen Bˆ



10 sen 105





6 sen Bˆ



6 sen 105   0,58  Bˆ  35  25' 9" 10 ˆ es obtuso, Bˆ y Cˆ han de ser agudos; solo hay una solución). (Como A sen Bˆ 





ˆ  Bˆ  39  34' 51" Hallamos el ángulo de Cˆ : Cˆ  180   A c a c 10 Calculamos el lado c:     ˆ ˆ sen 39 34' 51" sen 105  sen C sen A







c  6, 6 m

ˆ  105 ; b  6 m; B ˆ  39  34' 51" ˆ  35 25' 9" ; c  6, 6 m; C Por tanto: a  10 m; A EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo? Solución:





El ángulo Cˆ será : Cˆ  180   25   140   15  Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y: x

100







x

100 sen 140 

 248 , 35 m sen 140 sen 15 sen 15  y 100 100 sen 25    y   163, 29 m sen 25  sen 15  sen 15  Por tanto: Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m. 

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DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 18 : Demuestra que: cos x 1  sen x 1  cos 2 x a)   1 1  sen x cos x cos x  sen 2 x 2

x 1   b) 2  cos 2  cos x   1 2 2  

c) sen x  y  sen x  y   sen 2 x  sen 2 y

d)

e)

sen x  cos x  cos 2 x cos x  sen x

 1  sen 2 x

2sen x sen 2 x   cos x tg 2 x cos x

Solución: cos x 1  sen x cos 2 x  1  sen x 1  sen x  cos 2 x  1  sen 2 x a)     1  sen x cos x 1  sen x cos x cos x  sen x cos x

1  cos 2 x  sen 2 x  2sen x cos x cos x  2

1  cos 2 x 1 cos x  sen 2 x 2 x 1    1  cos x 1  b) 2  cos 2  cos x   2   cos x   1  cos x  cos x  1 2 2 2 2     c) 2 2 sen x  y  sen x  y   sen x cos y  cos x sen y sen x cos y  cos x sen y  sen x cos y   cos x sen y   





 sen 2 xcos 2 y  cos 2 xsen 2 y  sen 2 x 1  sen 2 y  cos 2 xsen 2 y  sen 2 x  sen 2 xsen 2 y 





 1  sen x sen y  sen x  sen x sen y  sen 2 y  sen 2 x sen 2 y  sen 2 x  sen 2 y sen x  cos x  cos 2 x  sen x  cos x  sen x  cos x  cos 2 x  d) cos x  sen x cos x  sen x cos x  sen x  

2

2

2

sen x  cos x 2  cos 2x 2

2

cos x  sen x

2



sen

2

2



x  cos 2 x  2 sen x cos x  cos 2 x  cos 2 x

 sen 2 x  cos 2 x  2 sen x cos x  1  2 sen x cos x  1  sen 2 x e)





2 sen x sen 2 x 2 sen x sen 2 x 2 sen x cos 2 x sen 2 x 2 sen x cos 2 x  sen 2 x sen 2 x          sen 2 x tg 2 x cos x cos x sen 2 x cos x 2 sen x cos x cos x cos 2 x 2 2 cos x  sen x sen 2 x cos 2 x  sen 2 x  sen 2 x cos 2 x      cosx cosx cosx cosx cosx

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 19 : Resuelve: a) sen x  45   sen x  45   1

b) sen 2x  cos x  0

c) cos x sen 2x  sen x  0

d) cos 3 x  3 cos x  3 cos x sen x

e) 4 cos 2 x  1  3 cos x

f) sen 2 x  cos 2 x  1  cos x  2sen 2 x









Solución: a) sen x  45   sen x  45   1  sen x  cos 45   cos x  sen 45   sen x cos 45   cos x sen 45   1







2 sen x cos 45   1 2

 x  45   360  k    x  135   360  k 

b)



2 2

sen x  1 

2 sen x  1 

1 2

donde k  Z

sen 2 x  cos x  0 2sen x cos x  cos x  0

sen x 



cos x 2sen x  1  0





2 2



Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato   x  90   360k cos x  0   x  270  360 k      2sen x  1  0  sen x   1   x  210  360 k    2  x  330  360 k

7

donde k  Z



2



c) cos x sen 2 x  sen x  0  cos x  2sen x cos x  sen x  0  sen x 2cos x  1  0  2  x  45   360  k cos x      2   x  315  360 k    2 1 cos x   2   x  135  360 k cos x        2 2 2  x  225  360 k  x  0   360  k x  45   360  k x  135   360  k     x  315  360 k x  225   360  k Por tanto, las soluciones son: x  180  360 k

  x  0   360  k sen x  0       x  180  360 k  1  2 2 2cos x  1  0  cos x  2 

donde k  Z. d) cos x  3 cos x  3 cos x sen x  cos 3 x  3 cos x  3 cos x sen x  0  cos x cos 2 x  3  3 sen x  0



3





2





2





2



cos x 1  sen x  3  3 sen x  0  cos x  sen x  3 sen x  2  0   cos x sen x  3 sen x  2  0 



  x  90  360 k 3 98 3 cos x  0        x  270  360 k  sen x  2 2 sen 2 x  3 sen x  2  0 

1



 1  31     2  2 (no vale)

x  270   360  k

sen x  1 

 x  90   360  k Por tanto las soluciones son:   x  270   360  k



2

2

siendo k  Z



2

2

e) 4 cos 2 x  1  3 cos x  4 cos x  sen x  1  3 cos x  4 cos x  4sen x  1  3 cos x





4 cos 2 x  4 1  cos 2 x  1  3 cos x  4 cos 2 x  4  4 cos 2 x  1  3 cos x  8 cos 2 x  3 cos x  5  0 cos x 

3

9  160 16



 3  169 16



5  3  13   8 16  1

  x  51 19' 4"360  k 5   cos x    8  x  308 40' 56"360 k   cos x  1  x  180   360  k  

siendo k  Z

f) sen 2 x  cos 2 x  1  cos x  2 sen 2 x  2 sen x cos x  cos 2 x  sen 2 x  1  cos x  2 sen 2 x 2 sen x cos x  cos 2 x  sen 2 x  1  cos x  2 sen 2 x  0  2 sen x cos x  cos 2 x  sen 2 x  1  cos x  0 2 sen x cos x  1  1  cos x  0  2 sen x cos x  cos x  0  cos x 2 sen x  1 0  cos x  0     2 sen x  1  0 

 x  90   360  k     x  270  360 k siendo k  Z 

1 sen x  2



 x  30   360  k     x  150  360 k

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20

  a Representa la siguiente función trigonométrica: y  cos  x   2  b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:

Temas 4 y 5 – Trigonometría – Matemáticas I – 1º Bachillerato

Solución: a Hacemos una tabla de valores:

La gráfica sería:

b La gráfica corresponde a la función y  cos x. EJERCICIO 21 a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica:

b Representa la siguiente función: y  cos x   Solución: a La gráfica corresponde a la función y  sen x. b Hacemos una tabla de valores:

La gráfica sería:

8

EJERCICIOS – TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA – MATEMÁTICAS I – 1º BACH

1

EJERCICIOS TRIGONOMETRÍA – TEMAS 4 Y 5 CAMBIOS DE UNIDADES EJERCICIO 1 : Expresa en radianes las medidas de los siguientes ángulos: a) 45º b) 120º c) 690º d) 1470º EJERCICIO 2 : Expresa en grados los siguientes ángulos: 7 a) 3 rad b) 2,5 rad c) rad 2

d)

 rad 5

EJERCICIO 3 : Calcular 3/4 rad + 0,5 rectos + 50º 40’ 3’’ expresándolo en radianes.

OPERAR CON ÁNGULOS CONOCIDOS EJERCICIO 4 : Halla, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 135º b) 450º c) 210º d) –60º EJERCICIO 5 : Calcula, razonadamente, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 1035º b) –3400º c) 10.000º d) 2700º EJERCICIO 6 : Calcula los valores de las siguientes expresiones, sin calculadora: a) 2.tag 30º + 5.tag 240º - cos 270º b) cos 60º + sen 150º + sen 210º + cos 240º EJERCICIO 7 : Calcular las razones trigonométricas de 120º. EJERCICIO 8 : Sabiendo que sen 25  0,42, cos 25  0,91 y tag 25  0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las principales razones trigonométricas de 155 y de 205. EJERCICIO 9 : Calcula las principales razones trigonométricas de 130 y de 230, sabiendo que: sen 40   0, 64; cos 40   0, 77; tg 40   084 CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO 10 : Sabiendo que sec  = -4 y 0 <  < , calcular: a) cosec (3/2 + ) b) sen (/2 - ) c) tag(630º - ) EJERCICIO 11 : Sabiendo que sen  = 2/3 y /2 <  < 3/2. Calcular: a) cos (3/2 + ) b) tag ( - ) EJERCICIO 12 : Sabiendo que cos  = -2/3 y  <  < 2. Calcular, sin calculadora: a) cos (3/2 - ) b) tag ( + ) EJERCICIO 13 : Sabiendo que cos 53º = 0,6. Calcular: a) cos 37º b) sen 143º c) tag 127º d) cotag 233º

e) sec (-53º)

EJERCICIO 14 : Sabiendo que tag  = ½ y que  <  < 3/2, calcular:

EJERCICIOS – TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA – MATEMÁTICAS I – 1º BACH a) sen (/2 + ) b) cos ( + ) c) tag (/2 - ) d) sec (360º - )

2

EJERCICIO 15 : Sabiendo que cotag  = -2 y que  <  < 2, calcular: a) cos(/2 + ) b) sen ( + ) c) cotag (/2 -) EJERCICIO 16 : Sabiendo que sen (/2 + ) = -1/3 . Calcular sen  y cos  (  pertenece al 2º cuadrante)

sen(  / 2  x )  cos(  x )  sen(   x ) cos( x )  sen(  x ) cot ag( / 2  x ).sen(  / 2  x ) EJERCICIO 18 : Calcular el valor de la expresión: 2.tag(  ) EJERCICIO 17 : Hallar el valor de la expresión

EJERCICIO 19 : Hallar el valor de :

tag(  x ). cos(x ) cot ag(  x ). cos( / 2  x )

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 20 : Sea /2 <  < 2 tal que tg  = 3/4 calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de : a) sen (x/2) b) tg (x + 3/4) EJERCICIO 21 : Si cos x = -4/5 y   x  2 Calcular, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y el valor de cos (x/2) y sen (2x) EJERCICIO 22 : Conociendo sen x = - 3/5 y sabiendo /2  x  3/2, calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de: a) tag ( x - /4) b) sen (x/2) EJERCICIO 23 : Si cos  = -5/13 y  <  < 2.. Calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos. a) sen(2.) b) tag (/2) EJERCICIO 24 : Si x es un ángulo comprendido entre /2 y 3/2 y su seno vale 3/5. Calcular, sin utilizar la calculadora, el sen (2x) y cos(x/2). Razona los signos. EJERCICIO 25: Si sen x = -3/5 a) sen (x/2)

90º  x  270º b) cos (2x)

Calcular y razona en que cuadrante están:

EJERCICIO 26 : Sabiendo que /2 <  < 3/2 y sen  = 1/3 a) Hallar el cuadrante y el resto de razones trigonométricas de  b) Hallar el cuadrante y el valor del cos (2) c) Hallar el cuadrante y el valor del sen (/2) a) Hallar el cuadrante y el valor de tag ( - /4) EJERCICIO 27 : Sabiendo que 90º < x < 270º y sen x = -2/5, hallar, sin utilizar calculadora, el cuadrante y el valor de : a) sen (2x) b) cos (x/2) c) ctg (x + 45º)

EJERCICIOS – TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA – MATEMÁTICAS I – 1º BACH

3

SIMPLIFICAR EJERCICIO 28 : Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas   sen   x .tag  x  2 2 1  tag x . sen x. sec x   2  a) b)  cos 2   x  2 2 cos x  sen x .tagx   2  sec 2   x .1  cos 2 x . cos x 2   sec x  1 1 2 2 c)  2 d)  : sen x  cos x   sen x  cos x  2  1  sen x 1  sen x 1  tag x  

 









DEMOSTRAR IDENTIDADES EJERCICIO 29 : Comprobar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas: 1  sen 2  1 1  tagx. a)  cos  b) tagx  cos  tagx 1  cos 2 x 1 1 1 c) cos2x + sen2x + tag2x = d) 1   2 2 cos x tag x sen 2 x EJERCICIO 30 : Demuestra las siguientes igualdades: sen x cos x 1 a)  tg 2 x b) sen x  y  sen x  y   sen 2 x  sen 2 y 2 2 cos x  sen x 2 sen 2 x 1 x 5 cos x  1 c) cosx  45  cosx  45   cos 2x d)  cos 2  2 sen x 2 2 sen x 1  cos x 4  4cos x x e) cos x  2sen 2  1 f)   2 1  cos x sen x 2sen x  sen 2 x ECUACIONES EJERCICIO 31 : Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: a) tag2x – tag x = 0 b) 2cos2x – sen2x + 1 = 0 3 d) cos (2x + 20º) = e) 3sec x - 2sen x.tag x = -3 2 EJERCICIO 32 : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos 2 x  3 sen x  1 b) sen 2 x  1  cos 2 x e) 2  4 cos 2 x  2 sen x

d) sen x sen 2x  2sen 2 x  0









g) sen x  45   sen x  45   1 h) cos 2 j) cos (6.x) + cos (8.x) = - 3 .cos x

c) 2senx.cos2x – 6sen3x = 0 1 5 f) sen2 x +  sec x 4





c) sen 2 x  1  2 cos 2 x 1 f) cos 2 x  sen 2 x   0 2

x 1 cos x  i) cos 2x  cos2 x  2 2 4 k) cos5x + cos 3x = 2 .cos4x

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 33 : Representa gráficamente y estudia las propiedades de las siguientes funciones: a y  cos x   b y  sen x + 1

EJERCICIOS – TEMAS 4 Y 5 – TRIGONOMETRÍA – MATEMÁTICAS I – 1º BACH

4

PROBLEMAS EJERCICIO 34 : Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55’ y ABC = 52º 16’. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada estación? EJERCICIO 35 : Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuál es la distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 36 : Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si 30 m se observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol es de 24 m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de 45º 37’. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual del primer punto. EJERCICIO 37 : Resolver el siguiente triángulo: A = 30º, a = 40 m, b = 65 m. Calcular su área. ( Enuncia las resultados teóricos que utilices ). EJERCICIO 38 : Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a 200 y 300 Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras es de 60º. En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 250 Kms. ¿Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 39 : Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas extremas de una fila. Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro asistente obteniéndose resultados de 37º y 42º. ¿A qué distancia está cada uno de ellos del conferenciante?. ¿A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una butaca a la otra hay una distancia de 30 m. EJERCICIO 40 : Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía. EJERCICIO 41 : De un triángulo ABC sabemos que a = 12 cm, b = 18 cm y A + B = 110º ¿Cuánto valen A y B? EJERCICIO 42 : En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre los pueblos A y D. EJERCICIO 43 : En una circunferencia de radio 10 cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB. EJERCICIO 44 : Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho punto forma un ángulo de 40º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal forma un ángulo de 75º. ¿Qué altura tiene la montaña?